ECE2 Mathématiques
Oraux - HEC
Sujet E 89
Exercice avec préparation 1
1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité.
Pour tout n∈N, soit fnla fonction définie par :
∀x∈R, fn(x) =
xnexp
−x2 2
six>0
0 sinon
2. a) Établir la convergence de l’intégrale Z +∞
0
fn(x) dx. On pose : ∀n∈N,In= Z +∞
0
fn(x) dx.
b) CalculerI0 etI1.
3. a) Montrer quef1 est une densité de probabilité.
b) Tracer la courbe représentative def1 dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
Dans la suite, on note X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,A,P) admettantf1 pour densité.
c) Déterminer la fonction de répartitionF de X.
d) Justifier l’existence de l’espéranceE(X) et de la varianceV(X) de X. CalculerE(X) etV(X).
4. On pose : Y =X2.
a) Montrer queY est une variable aléatoire à densité.
b) Quelle est la loi deY ?
Exercice sans préparation 1
Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matriceAdans la base canonique deR3est :A=
−1 1 1
0 0 2
1 −1 1
.
1. Déterminer une base de Ker(f) et une base de Im(f).
2. On admet sans démonstration que A3= 0. SoitM ∈M3(R) définie parM =
0 1 1
0 1 2
1 −1 2
.
a) Quelles sont les valeurs propres deM? La matrice M est-elle diagonalisable ?
b) Justifier que M est inversible et exprimer M−1 en fonction de A et I (matrice identité de M ∈M3(R)).
1
