ÉCS2
Sommes Doubles
Les essentielsDans cette fiche, je m’intéresse auxsommes doubles, c’est-à-dire aux sommes du type X
(i,j)∈I×J
ui,j
où I et Jsont deux ensembles d’indices (I ⊂N, J⊂N) et, pour tout i et j de I et J, ui,j est un réel appeléterme d’indice (i, j)de la suite (double) u.
1 Sommes finies
Dans cette partie, je suppose que I et Jsont deux ensembles finis, de sorte qu’il n’y a qu’un nombre fini de termesui,j et que leur somme existe nécessairement. On a alors :
X
(i,j)∈I×J
ui,j=X
i∈I
X
j∈J
ui,j
=X
j∈J
X
i∈I
ui,j
!
=X
i,j
ui,j,
la dernière écriture qui ne stipule pas les ensembles d’indices étant autorisée lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté possible sur les indices.
1.1 Sommes « faussement » doubles
Avant de se lancer dans un calcul “savant”, on factorisera au maximum les expressions à sommer : il arrive que chaque termeui,j puisse s’écrire
∀(i, j)∈I×J, ui,j =ai×bj. Alors par factorisation :
X
(i,j)∈I×J
ui,j= X
i∈I
ai
!
×
X
j∈J
bj
.
Exemple :
X
(i,j)∈[[0 ;m]]×[[1 ;n]]
j 2i =
m
X
i=0
n
X
j=1
j 2i
=
m
X
i=0
1 2i
n
X
j=1
j
=
m
X
i=0
1 2i ×
n
X
j=1
j
où le
crochet
n
X
j=1
j
est indépendant de l’indiceide la première somme et peut être factorisé :
X
(i,j)∈[[0 ;m]]×[[1 ;n]]
j 2i =
n
X
j=1
j
×××
m
X
i=0
1 2i
!
=n(n+ 1)
2 ×1−(1/2)m+1 1−(1/2) .
Ainsi X
(i,j)∈[[0 ;m]]×[[1 ;n]]
j
2i = n(n+ 1)
1− 1 2m+1
et on observe que : j
2i = j×××1 2i a permis d’écrire la somme double comme produit de deux sommes simples indépendantes.
1.2 Sommes carrées ou rectangulaires
Soitn∈N. Calculons Sn
déf.= X
(i,j)∈[[0 ;n]]2
i j
= X
06i,j6n
i j
.
Il s’agit donc de la somme de tous les coefficients binomiaux dont les indices sont inférieurs ou égaux àn, que nous visualisons ici pourn= 4:
H HH
HH i
j 0 1 2 3 4 X
j
0 1 0 0 0 0 L0= 1
1 1 1 0 0 0 L1= 2
2 1 2 1 0 0 L2= 4
3 1 3 3 1 0 L3= 8
4 1 4 6 4 1 L4= 16
X
i
C0= 5 C1= 10 C2= 10 C3= 5 C4= 1 S4= 31
On s’appuie sur les résultats suivants, qui donnent les sommes des coefficients binomiaux suivant les lignes et les colonnes :
Li=
n
X
j=0
i j
= 2i et Cj=
n
X
i=0
i j
= n+ 1
j+ 1
.
La première s’obtient par le développement du binôme(1 + 1)n, la seconde par télesco- page en partant de
i j
= i+ 1
j+ 1
− i
j+ 1
(d’après formule de Pascal).
• En calculant d’abord les sommes en ligne : Sn=
n
X
i=0
n
X
j=0
i j
=
n
X
i=0
Li= X
06i6n
2i= 1−2n+1
1−2 = 2n+1−1.
• En calculant d’abord les sommes en colonne : Sn =
n
X
j=0 n
X
i=0
i j
!
=
n
X
j=0
Cj =
n
X
j=0
n+ 1 j+ 1
=
n+1
X
j=1
n+ 1 j
=
n+1
X
j=0
n+ 1 j
−
n+ 1 0
= 2n+1−1.
Lycée HenriPoincaré 1/2 lo
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Sommes Doubles
Les essentiels1.3 Sommes triangulaires
Il arrive qu’on somme un tableau triangulaire de termes. Sur l’exemple précédent, les « 0» ne contribuent pas à la somme et on somme en fait les éléments du triangle du Pascal.
On peut écrire :
Sn =
n
X
i=0
i
X
j=0
i j
= X
06j6i6n
i j
• Calculons cette somme dans l’ordre où elle est écrite : Sn=
n
X
i=0
i
X
j=0
i j
=
n
X
i=0
2i= 2n+1−1
• Et si je veux permuter l’ordre des sommations ? J’exploite les inégalités 06j6i6npour dire :
¬j parcourt[[0 ;n]];
et pour toutj de[[0 ;n]],iparcourt[[j;n]].
Sn=
n
X
i=0
i
X
j=0
i j
= X
06j6i6n
i j
=
n
X
j=0
n
X
i=j
i j
=
n
X
j=0
n+ 1 j+ 1
= 2n+1−1
2 Séries doubles
Pour une série double, on procède de la même façon, mais il faut être sûr de l’existence des sommes des séries qui apparaissent. On sait(1) que si les séries sont à termes positifs ou absolument convergentes, alors l’ordre de sommation n’influe pas sur la valeur de la somme.
La méthode est la suivante :
¬ Je choisis l’ordre des sommations (d’abordiou d’abordj?).Pour la suite, admettons que je somme d’abord sur j...
Je prendsiquelconque dansI et je montre queX
j∈J
ui,j converge. SoitAi sa somme.
® Je montre que X
i∈I
Ai converge.
¯ Je conclus : X
(i,j)∈I×J
ui,j existe et vautX
i∈I
Ai.
(1). C’est un résultat qui n’est pas à connaître par cœur mais que les énoncés doivent rappeler.
Exemple :
Soitλ∈] 0 ; +∞[. Soit, pour tout(i, j)deN2,
ui,j =
λj
2ij!(i−j)! si06j 6i,
0 sinon.
• En sommant d’abord sur j : soiti∈N.
+∞
X
j=0
ui,j n’a qu’un nombre fini de termes non nuls, donc existe. Je l’appelleAi.
Ai =
+∞
X
j=0
ui,j =
i
X
j=0
ui,j = 1 2i
i
X
j=0
λj
j!(i−j)!, là, je complète pour faire apparaître un coefficient binomial, ce qui débouchera sur la formule de Newton,
Ai=
+∞
X
j=0
ui,j= 1 2ii!
i
X
j=0
i j
λj = 1
2ii!(λ+ 1)i=
λ+ 1 2
i
× 1 i!.
Ai est le terme général d’une série exponentielle, donc convergente, X
i,j
ui,j existe et
X
i,j
ui,j=
+∞
X
i=0
Ai= exp λ+ 1
2
.
• En sommant d’abord sur i:soit j∈N.
+∞
X
i=0
ui,jse réduit à
+∞
X
i=j
ui,j(les termes manquants étant tous nuls). Commeje ne connais pas la nature de la série,je passe par une somme partielle. SoitN>j.
N
X
i=j
ui,j =λj j!
N
X
i=j
1
2i(i−j)!, et un décalage d’indicekdéf.= i−j donne
N
X
i=j
ui,j = λj j!
N−j
X
k=0
1
2k+jk! = λj 2jj!
N−j
X
k=0
(1/2)k
k! , or d’après le cours sur les séries expo- nentielles,
N−j
X
k=0
(1/2)k
k! −−−−−→
N→+∞ exp(1/2). Donc
+∞
X
i=0
ui,j existe et vaut λj
2jj!exp(1/2). Je l’appelleBj.
Bj = exp(1/2)× λ
2 j
× 1
j! est le terme général d’une série exponentielle donc conver- gente, doncX
i,j
ui,j existe etX
i,j
ui,j=
+∞
X
j=0
Bj= exp(1/2)×exp(λ/2) = exp λ+ 1
2
.
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