Signaux Aléatoires et Systèmes Linéaires

Master MEGA

Signaux Aléatoires et Systèmes Linéaires

1. Motivation

2. Relations fréquentielles fondamentales 3. Cas des systèmes bruités

4. Identification des fonctions de transfert

Motivation

• Quelles sont les relations entre les descripteurs statistiques de X(t) et ceux de Y(t) ?

• On privilégie les descripteurs fréquentiels:

X aléatoire Y aléatoire





( ) , )

SX f df  dX f  ^{SY ( f )df }









( ) )

YX f df dY f dX

S   f 

DSP DISP

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Principe

• Rappel:

( , ) ^j2 ^ft ( , ) X t  ^e ^ dX f 







( , ) ^j2 ^ft ( , ) Y t  ^e ^ dY f 







( , ) ( ) ( , ) dY f   H f dX f 

Relations fréquentielles fondamentales

( ) ( ) 2 ( )

Y X

S f  H f S f ( ) ( ) ( )

YX X

S f  H f S f ( ) ( ) ( )

Y XY

S f  H f S f

2

2 ( )

( ) 1

( ) ( )

YX YX

X Y

S f

f S f S f

  

1) 2) 3) 4)

DSP de la sortie

DISP entre la sortie & l’entrée DSP de la sortie

Fonction de cohérence entre la sortie & l’entrée

« coefficient de corrélation » à la fréquence f

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Interprétation de la fonction de cohérence

• Si X et Y sont décorrélés à la fréquence f, alors _YX²(f ) = 0

• Si X et Y sont linéairement liés à la fréquence f (corrélation parfaite), alors _YX²(f ) = 1

• Sinon,

2

2 2

2

( ); ( ) 2

cos ( )

( ) (

( )

YX )

dY f dX f

dY f dX

f

f



  



( ) dY f

( ) dX f

( ) dY f

( )

dX f dY f( )  H f dX f( ) ( ) ( )

dX f



0 _YX2 ( ) 1f 

Cas des systèmes bruités: bruit sur la sortie

U H V B

X Y

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

X t U t

Y t V t B t Y t h t X t

 

  

  



mesures

bruit

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

X U

Y U B

S f S f

S f H f S f S f

 

   



2 2 2

2

2

( ) ( ) ( ) 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

( )

YX U

YX

X Y U U B B

V

S f H f S f

f S f S f S f H f S f S f S f

S f

   ^ 

   

 

0  2 ( ) 1f 

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Cas des systèmes bruités: bruit sur l’entrée

U H V

B

X Y

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

X t U t B t Y t V t

Y t h t X t

 

 

  



mesures bruit

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

X U B

Y U

S f S f S f

S f H f S f

 



 



 

2 2 2

2

2

( ) ( ) ( ) 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

( )

YX U

YX

X Y U B U B

U

S f H f S f

f S f S f S f S f H f S f S f

S f

   ^ 

 

0 _YX2 ( ) 1f 

Identification des fonctions de transfert

• Problématique: estimer H(f) à partir des mesures (éventuellement bruitées) X(t) et Y(t).

• Cas sans bruit (peu réaliste):

• Cas avec bruit sur la sortie:

mais

( ) ( )

ˆ ( )

( ) ( )

YX Y

X XY

S f S f

H f  S f  S f

( ) ( ) ˆ ( )

( ) ( )

VU YX

X U

S f

S f

H f  S f  S f

( ) ( ) ( )

ˆ ( ) ( )

( ) ( ) ( )

V B V

Y S f S f S f

S f

H f S f S f S f

   

H₁

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Identification des fonctions de transfert

• Cas avec bruit sur l’entrée:

mais

( ) ( ) ˆ ( )

( ) ( )

V Y

XY UV

S f S f

H f  S f  S f

( ) ( )

ˆ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

VU VU

YX

X U B U

S f S f

S f

H f  S f  S f S f  S f



H₂