I. Le théorème de Pythagore

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Pythagore I. Le théorème de Pythagore

Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a :

AC² = AB² + BC² d'où 14² = 12² + AB² soit 196 = 144 + AB² soit AB² = 196 – 144 = 52 on a donc AB = 52 7, 2

Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a :

DE² = DF² + FE² d'où DE² = 8² + 15² soit DE² = 64 + 225 soit DE² = 289

on a donc DE = 289= 17

II. La réciproque du théorème de Pythagore

Calculons AC² = 13² =169

Calculons AB² + BC² = 5²  12² = 25  144 = 169 On constate que AC² = AB² + BC² donc , d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B

ATTENTION !! Il ne faut surtout pas rédiger de la manière suivante :

AC² = AB² + BC² 13² = 12² + 5² 169 = 144 + 25 169 = 169

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III. Montrer qu’un triangle n’est pas rectangle

Calculons AC² = 8² =64

Calculons AB² + BC² = 4²  7² = 16  49 = 65 On constate que AC²  AB² + BC² donc le triangle

ATTENTION !! On n'utilise pas la réciproque du théorème de Pythagore mais bien le théorème direct ( celui qui sert à calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle) : En effet, si le triangle ABC était rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on aurait AC² = AB² + BC² , mais on a démontré

Quelles sont les hypothèses nécessaires pour l'utiliser ?

 un triangle rectangle

 les longueurs de deux côtés

A quoi sert ce théorème ?

 à démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

 à calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle.

 à démontrer qu'un triangle est rectangle.

12 C B

A

? 14

15 E F

D 8 ?

on ne sait pas si l'égalité AC² = AB² + BC² est vraie.

On n'a donc pas le droit d'écrire cette égalité avant de le savoir.

B 7 C

A 4 8

 les longueurs des trois côtés du triangle.

B 12 C

A 5 13

(2)

ABC n'est pas rectangle en B.

(Comme [AC] est le plus grand côté, le triangle ne peut pas être rectangle en A ou en C)

que AC²  AB² + BC² donc le triangle ne peut pas être rectangle.