Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore

Troisième / Quatrième

1 Le théorème de Pythagore : pour calculer des longueurs

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit se nommel’hypoté- nuse^a.

Remarque: On confondra souvent le côté avec sa longueur.

a. Le mot hypoténuse est formé du préfixe grec Hypo- (sous) et du verbe grec teinen (tendre) . Chez les anciens, on plaçait l’angle droit d’un triangle rectangle en haut du schéma A

B

C hypothénuse

G

F E

hypothénuse Définition 1(Hypoténuse)

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, BC²=AB²+AC²

Autre formulation

Dans un triangle rectangle, l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

A

B C

BC ² AC ²

×

×

×

AB ²

× ×

Théorème 1(Théorème de Pythagore)

Exemple 1 : Calculons BC.

A

B

C

6 cm ?

3 cm

• Données.

Le triangle ABC est rectangle en C. L’hypoténuse est donc le côté [AB].

• Le théorème.

donc d’après lethéorème de Pythagore:

AB²=AC²+CB² 6²= 3²+CB²

On obtient donc

CB²= 6²−3²

= 36−9 CB²= 27

• Conclusion.

et puisqueCBest une longueur, on a

CB=√27≈5,2cm à0,1cm près.

Exemple 1(Rédaction type)

Troisième / Quatrième Le théorème de Pythagore

2 Réciproque et contraposée de Pythagore : pour savoir si un triangle est rectangle

Sidans un triangle, le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres côtés, Alorsle triangle n’est pas rectangle.

Théorème 2(Contraposée du théorème de Pythagore)

Exemple 2 : Le triangle DEF est-il rectangle ?.

D

E

F

7 cm 5 cm

4 cm

• Données.

Si le triangle DEF est rectangle, c’est en F car [DE] est le plus grand côté.

• Le test.

D’une part :

DE²= 7²= 49

D’autre part :

DF²+F E²= 4²+ 5²= 41

• Conclusion.

On n’a donc pas égalité,DF²+F E² 6=DE². De ce fait, d’après lacontra- posée du théorème de Pythagore, le triangle DEF n’est pas rectangle.

Exemple 2(Rédaction type)

Sidans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, Alorsle triangle est rectangle (en le sommet opposé au plus grand côté).

Autre formulationSoit GHI un triangle.

SiGH²=HI²+IH²alors le triangle GHI est rectangle en I.

Théorème 3(Réciproque du théorème de Pythagore)

Exemple 3 : Le triangle GHI est-il rectangle ?.

G

H

I 17 cm

15 cm

8 cm

• Données.

Si le triangle GHI est rectangle, c’est en I car [GH] est le plus grand côté.

• Le test.

D’une part :

GH²= 17²= 289

D’autre part :

GI²+IH²= 8²+ 15²= 289

• Conclusion.

On a donc égalité,GI²+IH²=GH²donc d’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle GHI est rectangle en I .

Exemple 3(Rédaction type)

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