Exercices du Chapitre 2
2.1 Consid´erez les donn´ees de l’exercice 1.3.
(a) Calculez les moyennes, les m´edianes, les ´ecarts types et les ´ecarts interquartiles des deux s´eries de mesures.
(b) Est-ce que selon vous ces calculs soutiennent l’hypoth`ese que le d´eficit alimentaire prot´eique est associ´e `a la myopie ?
(c) Une valeur aberrante (9.00) a ´et´e d´etect´ee dans la premi`ere s´erie; apr`es v´erification on a constat´e qu’il s’agissait d’une erreur. En ´eliminant cette valeur, recalculez la moyenne, la m´ediane, l’´ecart type et l’´ecart interquartile de l’´echantillon modifi´e.
Comparez les nouveaux r´esultats avec les premiers.
2.2 Consid´erez les donn´ees (nombres d’´etamines de 100 fleurs) de l’exercice 1.1 ainsi que les donn´ees transform´ees en prenant leur logarithme naturel. Eliminez la plus petite ob- servation dans les deux ensembles.
(a) Calculez les deux m´edianes et les deux moyennes.
(b) Comment se manifestent les similarit´es et les diff´erences entre moyenne et m´ediane dans les calculs que vous venez d’effectuer en (a) ?
(c) Y a-t-il une relation entre la m´ediane des donn´ees non transform´ees et celle des donn´ees transform´ees ? Que devient cette propri´et´e si on remet la plus petite observation dans l’´echantillon?
(d) Consid´erez `a nouveau les donn´ees sans la plus petite observation. Y a-t-il une rela- tion entre le premier quartile des donn´ees non transform´ees et le pemier quartile des donn´ees transform´ees ? Si oui, pouvez-vous ´etendre la propri´et´e que vous venez de d´ecouvrir `a d’autres quantiles ?
(e) Pouvez-vous ´etendre cette propri´et´e des quantiles `a d’autres transformations, par ex- emple le carr´e et le sinus ?
(f) Est-ce que la moyenne `a la mˆeme propri´et´e ?
2.3 Construire les boxplots des deux ensembles de valeurs de l’exercice 1.1. Quels change- ments remarque-t-on apr`es la transformation logarithmique ?
2.4 Soient X et Y deux variables observ´ees sur les mˆemes unit´es, a, b et c des nombres fixes (constantes). Soitm(X) la moyenne de x1, . . . , xn etm(Y) la moyenne de y1, . . . , yn. D´emontrer les propri´et´es suivantes de la moyenne.
(a) Si x1 ≥0, x2 ≥0, . . . , xn ≥0 alors m(X)≥0.
(b) m(aX) =a m(X).
(c) m(X+a) =m(X) +a.
(d) m(X+Y) =m(X) +m(Y). Donc m(aX +bY +c) =a m(X) +b m(Y) +c.
(e) En g´en´eral m(XY)6=m(X)m(Y).
2.5 Soient X, Y deux variables observ´ees sur les mˆemes unit´es, a, b et c des constantes.
Soit s2(X) la variance de de x1, . . . , xn et s2(Y) la variance de de y1, . . . , yn. D´emontrer les propri´et´es suivantes.
(a) s2(c) = 0.
(b) s2(aX +b) =a2s2(X).
(c) s(aX +b) =a s(X).
(d) En g´en´eral s2(X +Y)6=s2(X) +s2(Y).
(e) La somme des ´ecarts xi−m(X) est toujours nulle.
(f) s2(X) =m(X2)−m(X)2.
