Correction CCP 2008 PC

PSI Moissan 2012

Correction CCP 2008 PC

Correction CCP 2008 PC partie II

II.1.1

B~v

Bt p~v ÝÝÑgradq~v~g1 ρgradPt

II.1.2 Au repos,~v ÝÑ0 donc

~g 1 ρ

ÝÝÑgradP_t ñ dP ρgdz ñ Ppzq ρgz cste

II.2.1 div~v0.

II.2.2 ÝÑrot~v ÝÑrotpÝÝÑgradΦq ÝÑ0 II.2.3 Φ_u uz doncÝÝÑgradΦ_u u~e_z. II.2.4 Φ_u urcospθqdonc

~ vu

$&

%

ucospθq usinpθq

0 II.2.5

~v_S

$' '' '' ''

&

'' '' '' '%

pu2b

r³qcospθq pu b

r³qsinpθq 0

II.2.6

div~v_S 2

rv_r Bv_r Br

cospθq

rsinpθqv_θ 1 r

Bv_θ Bθ 2

rpu2b

r³qcospθq cospθq6b r⁴

cospθq

rsinpθqppu b

r³qsinpθqq 1

rppu b

r³qqcospθq

cospθq

u

2 r 1

r 1 r

b

r⁴ p4 611q

0

1

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II.2.7 vr 0 implique

u 2b

a³ ñ b ua³ 2 donc

~v_S

$' '' '' '' ''

&

'' '' '' '' '%

pu2^ua₂³

r³ qcospθq ucospθq

1ua³ r³

pu

ua³ 2

r³ qsinpθq usinpθq

1 ua³ 2r³

0

II.2.8

r θ v_r v_θ r θ v_r v_θ

a 0 0 0 2a 0 ⁷₈ 0

a ^π₄ 0 ₂^?3₂ 2a ^π₄ ⁷

8?

2 ₁₆^17?₂ a ^π₂ 0 ³₂ 2a ^π₂ 0 ¹⁷₁₆ a ^3π₄ 0 ₂^?3₂ 2a ^3π_{4 8}^?7_{2 16}^17?₂

a π 0 0 2a π ⁷₈ 0

II.2.9

II.2.10 En r´egime stationnaire, les d´eriv´ees par rapport au temps sont nulles, donc ÝÝÑgrad~v²

2 1 ρgradP On peut donc ´ecrire

ÝÝÑgrad ~v²

2 P

ρ

ÝÑ0 et donc

~ v²

2 P

ρ C qui est le th´eor`eme de Bernoulli.

Quand rÑ 8,~vsÑ~vu soit

~v_S

$&

%

ucospθq usinpθq

0 et doncv²u². Par ailleurs, Pp8q 0, doncCu²{2.

II.2.11 En ra,v_r0 et v_θ usinpθq

1 ^ua_2a³3 3

2usinpθq doncv^{2 9}₄u²sin²pθq donc 9

8u²sin²pθq P ρ u²

2 ce qui donne

P ρu² 2

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4sin²pθq

Par sym´etrie, la pression est la mˆeme au dessus et en dessous de la sph`ere, donc il n’y a pas de train´ee.

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II.3.1 On applique le PFD 4 3πa³ρb

du dt

4 3πa³ρbg looooomooooon

Poids

4 3πa³ρg looomooon

Archimede

6πηauloomoon

frottements

donc du

dt

9η 2ρ_ba²u

1 ρ

ρ_b

g

qui a pour solution (upt0q 0) uptq 2g

9ηpρ_bρqa²

1exp

t τ

avec τ 2gρ_ba² 9η La vitesse limite vaut

u_lim 2g

9ηpρ_bρqa²

II.3.2 Num´eriquement pour le brouillard|u_lim| 1,2310⁴ms¹ et pour la pluie|u_lim| 123ms¹. La vitesse de chute pour la goutte de pluie semble bien trop grande et donc, probablement hors du cadre d’application de la formule de Stokes.

II.3.3 Re ^ρrv_η , num´eriquement pour le brouillardRe10⁶ donc inf´erieur `a 1 et la formule de Stokes est bien valide. Pour la pluie, Re900 et donc la formule de Stokes n’est effectivement plus valide.

A grande vitesse, on peut mod´` eliser la loi de frottement par une loi f αu². II.4.1

θ v_r v_θ

0 2 0

π

4 ?

2 ^?1₂

π

2 0 1

3π 4

?2 ?¹ 2

π 2 0

II.4.2 Le fluide s’´ecoulant `a la vitesse ~v autour des billes, la force donn´ee par la formule de Stokes exerc´ee sur les billes est de mˆeme sens que la vitesse ~v. La direction et la norme sont donn´ees par le tableau pr´ec´edent.

II.4.3 En r´egime permanent, l’acc´el´eration est nulle, soit

m~g6πηap~u~vq ÝÑ0 ñ 6πηa~um~g 6πηa~v Dans cette situation,~v ^3au_4d donc

u 3au

4d mg 6πηa et donc, en norme

|u| mg 6πηa

1 1^3a_4d Deux billes s´edimentent donc plus vite qu’une seule (|u| _6πηa^mg ).

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