BCPST 1 11 juin 2021
Devoir surveillé 9
On attachera un soin tout particulier à la rédaction, toutes les réponses devront être justifiées. N’hésitez surtout pas à faire des phrases ; par contre, hésitez suffisam- ment longtemps avant d’écrire des choses qui n’auraient pas de sens.
L’utilisation de tout matériel électronique est interdite.
Ce sujet contient deux pages, quatre exercices et un problème indépendants.
Durée : 2h30.
Exercice 1 — Tentative de triche
Soient n et pdeux entiers naturels non nuls tels que p+n 632.
Romulus distribue à Rémus n cartes au hasard d’un jeu de 32 cartes.
Rémus gagne s’il reçoit le sept de pique, Romulus gagne sinon.
1. Quelle est la probabilité que Rémus gagne ?
2. Romulus tente de tricher : avant de distribuern cartes à Rémus, il retirepcartes du jeu, sans regarder lesquelles.
Romulus a-t-il intérêt à tricher ainsi ? Exercice 2 — Pile ou face mutuel urbain
Messieurs Tigrenzique et Antoine Loup jouent à pile ou face avec une pièce équilibrée.
La pièce sera lancée au plus trois fois. Les règles de victoire sont les suivantes :
• dès que la séquence face-face sort (c’est-à-dire dès que l’on a fait deuxface consé- cutifs), le jeu s’arrête et monsieur Tigrenzique gagne ;
• dès que la séquencepile-facesort, le jeu s’arrête et monsieur Antoine Loup gagne ;
• si aucune de ces deux séquences ne sort, le match est déclaré nul.
Le public — nombreux, vous imaginez bien — lance des paris.
Sur qui madame Hokuchaï, qui est une fine probabiliste, va-t-elle parier ? Exercice 3 — Un petit écart
Soit n un entier naturel non nul. On dispose d’une urne contenant 2n boules indiscer- nables au toucher, dont n sont numérotées 0 et les n autres sont numérotées de 1à n. On effectue deux tirages successifs et sans remise d’une boule dans cette urne.
On note alorsX le plus grand numéro obtenu et Y le plus petit numéro obtenu lors de ces deux tirages.
1. Déterminer les valeurs prises par X et par Y. 2. Calculer la probabilité de l’évènementX =Y + 1.
Lycée Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Kaïchouh
BCPST 1 11 juin 2021 Exercice 4 — Noyau dur
Considérons l’ensemble E suivant :
E =
x y z t
∈R4
x+ 2y+z =x+ 3y−t = 0
.
Appelons par ailleurs (u1, u2, u3, u4) la base canonique deR4. 1. (a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel deR4.
(b) Donner la dimension et une base de E.
2. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme f de R4 tel que
• f(u1) = u1−u2+u3;
• f(2u1+ 3u4) =u2;
• Ker(f) =E.
Problème — La petite boule rouge (d’après un oral d’Agro-Véto 2015) Une urne contient initialement une boule blanche et une boule rouge.
On réalise l’expérience suivante : on tire une boule dans l’urne. Si on tire une boule blanche, on la remet dans l’urne puis on double le nombre de boules blanches de l’urne avant le tirage suivant. On recommence alors le tirage sur le même principe et on s’ar- rête lorsqu’on tire pour la première fois une boule rouge.
SoitX la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule rouge, avec pour convention que X= 0 si on n’obtient jamais de boule rouge.
L’objectif de ce problème est d’évaluer la probabilité de ne jamais tirer de boule rouge et de déterminer en particulier si cette probabilité est nulle.
Pour toutn ∈N∗, on note En l’évènement suivant :
En:«On n’a tiré que des boules blanches jusqu’au n-ième tirage.», et on appelleun la probabilité deEn.
1. Montrer que pour tout n∈N∗, on a un=
n−1
Y
k=0
2k 2k+ 1.
2. Montrer que la suite (un)n∈N∗ converge. On note l sa limite.
3. Montrer que pour tout x∈R∗+, 06ln(1 +x)6x.
Pour toutn ∈N∗, on posevn=−ln(un). 4. Montrer que la suite (vn)n∈N∗ converge.
5. Montrer que pour tout n∈N∗,
n
X
k=1
P(X =k) = 1−P(En), puis conclure.
Lycée Pierre-Gilles de Gennes 2 Adriane Kaïchouh
