G285 – L’énigme à double face
Q₁ On considère la séquence des entiers a₁, a₂ ... an telle que an est le nombre de paires d’entiers inférieurs ou égaux à n qui, joints à n, forment autant de triplets de nombres premiers entre eux (i.e. ils ont 1 pour seul diviseur commun). Calculer a₂₀₁₄.
Q₂ On considère la séquence des entiers b₁, b₂ ... bn telle que pour tout entier n la somme des termes bi dont les indices i sont les diviseurs de n, est égale à n². Par exemple pour n = 6, la condition est b₁ + b₂ + b₃ + b₆ = 6² = 36. Calculer b₂₀₁₄.
Solution proposée par Patrick Gordon Question 1
Comme 2014 n'a que trois facteurs premiers : 2, 19, 53, il est commode de tracer un
diagramme de Venn donnant la répartition (chiffres en noir) du nombre d’entiers ≤ 2014 et possédant tels et/ou tels facteurs (chiffres en couleurs).
On les calcule de proche en proche en partant du 1 central (il n'y a en effet pas d'autre multiple de 2, 19 et 53 ≤ 2014, que 2014), puis : il y a 53 multiples communs à 2 et 19, dont 2014 déjà compté, etc.
On dresse ensuite un tableau carré croisé des 8 ensembles (celui des nombres qui possèdent seulement le facteur 2… celui des nombres qui possèdent seulement les facteurs 2 et 19, etc.) formant une partition de l'ensemble des entiers ≤ 2014 et, dans chaque case correspondant à une partie appariable avec une autre, on calcule le nombre de paires par multiplication des cardinaux des parties.
Par exemple, les nombres qui possèdent seulement le facteur 2 sont appariables avec ceux qui possèdent seulement le facteur 19, ou seulement le facteur 53 ou seulement ces deux-là, ou aucun des facteurs 2, 19, 53. À noter que le cas "aucun" × "aucun" demande une précision car les paires "jumelles" (ex. 75 × 75) sont comptées 2 fois dans une simple multiplication de 936 par 936.
On aboutit au tableau suivant :
2 19 53 2 et
19 2 et
53 19 et
53 2, 19 et
53 aucun sommes
936 52 18 52 18 1 1 936 2 014
2 seulement 936 48 672 16 848 936 876 096 942 552
19 seulement 52 48 672 936 936 48 672 99 216
53 seulement 18 16 848 936 936 16 848 35 568
2 et 19 seulement 52 936 48 672 49 608
2 et 53 seulement 18 936 16 848 17 784
19 et 53 seulement 1 936 936 1 872
2, 19 et 53 1 936 936
aucun 936 876 096 48 672 16 848 48 672 16 848 936 936 876 096 1 885 104 3 032 640
Ce total de 3 032 640 correspond à des paires "orientées", c’est-à-dire où l'on considère que (i,j) et (j,i) sont deux paires différentes et les paires "jumelles" (i,i), rappelons-le, sont comptées deux fois.
Nota : si l'on raisonne en paires "orientées" jumelles comprises, pour fixer les idées, il est intéressant de relever que ce chiffre de 3 032 640 représente près de 75% des 2014 ×2014 = 4 056 196 paires a priori possibles. Ainsi, si l'on tirait au sort avec équiprobabilité et avec remise deux nombres ≤ 2014, on aurait environ 3 chances sur 4 de constituer avec 2014 un triplet de nombres premiers entre eux
Question 2
On remarque que b1 = 1 et que, pour tout p premier, bp = p² – 1.
Comme 2014 a 8 diviseurs, on a :
b1 + b2 + b19 + b38 + b53 + b106 + b1007 + b2014 = 2014² = 4 056 196.
Les termes b2 b19 b53 se calculent par la formule ci-dessus et l'on a donc : b1 = 1
b2 = 3
b19 = 19² – 1 = 360 b53 = 53² – 1 = 2 808.
Le terme b38 se calcule par :
b1 + b2 + b19 + b38 = 38² = 1 444, d'où :
b38 = 1 444 – 360 – 3 – 1 = 1 080.
Le terme b106 se calcule par :
b1 + b2 + b53 + b106 = 106² = 11 236,
d'où :
b106 = 11 236 – 2 808 – 3 – 1 = 8 424.
Le terme b1007 se calcule par :
b1 + b19 + b53 + b1007 = 1007² = 1 014 049, d'où :
b1007 = 1 014 049 – 2 808 – 360 – 1 = 1 010 880.
On peut dès lors calculer b2014. On a :
b2014 = 4 056 196 – 1 010 880 – 8 424 – 2 808 – 1 080 – 360 – 3 – 1 = 3 032 640 Il est remarquable que ce résultat est le même qu'à la question 1.
