Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
Année Univ 2011-12
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz
SMP - SMC
Départment de Mathématiques
Correction du contrôle d’Algèbre M2
Exercice 1
:1)Ý0, 0, 0, 0Þ = Ý0, 0, 0, 5 × 0 ? 13 × 0 ? 0Þ 5 F
-J 5 R -a,b 5 F : 0x,y,z,u,v,w 5 R tq : a = Ýx, y, z, 5y ? 13x ? zÞ
b = Ýu, v, w, 5v ? 13u ? wÞ Ja + b = JÝx, y, z, 5y ? 13x ? zÞ + Ýu, v, w, 5v ? 13u ? wÞ
= ÝJx, Jy, Jz, JÝ5y ? 13x ? zÞÞ + Ýu, v, w, 5v ? 13u ? wÞ = ÝJx, Jy, Jz, 5Jy ? 13Jx ? JzÞ + Ýu, v, w, 5v ? 13u ? wÞ = ÝJx + u, Jy + v, Jz + w, 5Jy ? 13Jx ? Jz + 5v ? 13u ? wÞ = ÝJx + u, Jy + v, Jz + w, 5Jy + 5v ? 13Jx ? 13u ? Jz ? wÞ = ÝJx + u, Jy + v, Jz + w, 5ÝJy + vÞ ? 13ÝJx + uÞ ? ÝJz + wÞÞ 5 F Donc F est un sous espace vectoriel de R4 .
2)-a 5 F : 0x, y, z 5 R tq : a = Ýx,y,z,5y ? 13x ? zÞ
= Ýx, 0, 0, ?13xÞ + Ý0, y, 0, 5yÞ + Ý0, 0, z, ?zÞ = xÝ1, 0, 0, ?13Þ + yÝ0, 1, 0, 5Þ + zÝ0, 0, 1, ?1Þ AlorsÝÝ1, 0, 0, ?13Þ, Ý0, 1, 0, 5Þ, Ý0, 0, 1, ?1ÞÞ est un système générateur de F . -a, K, L 5 R : JÝ1,0,0,?13Þ + KÝ0,1,0,5Þ + LÝ0,0,1,?1Þ = Ý0,0,0,0Þ
é ÝJ, 0, 0, ?13JÞ + Ý0, K, 0, 5KÞ + Ý0, 0, L, ?LÞ = Ý0, 0, 0, 0Þ é ÝJ, K, L, 5K ? 13J ? LÞ = Ý0, 0, 0, 0Þ
ì a = K = L = 0
AlorsÝÝ1, 0, 0, ?13Þ, Ý0, 1, 0, 5Þ, Ý0, 0, 1, ?1ÞÞ est un système libre .
Donc le systèmeÝÝ1, 0, 0, ?13Þ, Ý0, 1, 0, 5Þ, Ý0, 0, 1, ?1ÞÞ est une base de F .
Ce qui montre que dim F = 3
3) 5× 3 ? 13 × 1 ? 0 = 15 ? 13 = 2 ì a1 = Ý1, 3, 0, 2Þ 5 F
5× 7 ? 13 × 2 ? 2 = 35 ? 26 ? 2 = 7 ì a2 = Ý2, 7, 2, 7Þ 5 F
5× 6 ? 13 × 1 ? 6 = 30 ? 13 ? 6 = 11 ì a3 = Ý1, 6, 6, 11Þ 5 F
5× 10 ? 13 × 3 ? 3 = 50 ? 39 ? 3 = 8 ì a4 = Ý3, 10, 3, 8Þ 5 F
4)
-
1ièreméthode:
a1 = Ý1, 3, 0, 2Þ ® Ý0, 0, 0, 0Þ ì Ýa1Þ est un système libre .
-a 5 R : Ja1 = a2 ì JÝ1, 3, 0, 2Þ = ÝJ, 3J, 0, 2JÞ = Ý2, 7, 2, 7Þ ì 2 = 0 ce qui est absurde .
Donc :Ýa1, a2Þ est un système libre .
-a, K 5 R : Ja1+ Ka2 = a3 é JÝ1, 3, 0, 2Þ + KÝ2, 7, 2, 7Þ = Ý1, 6, 6, 11Þ
é ÝJ, 3J, 0, 2JÞ + Ý2K, 7K, 2K, 7KÞ = Ý1, 6, 6, 11Þ é ÝJ + 2K, 3J + 7K, 2K, 2J + 7KÞ = Ý1, 6, 6, 11Þ
é J + 2K = 1 3J + 7K = 6 2K = 6 2J + 7K = 11 é K = 3 J + 6 = 1 3J + 21 = 6 2J + 21 = 11 é J = ?5 K = 3 ?15 + 21 = 6 ?10 + 21 = 11 é J = ?5 K = 3
Donc :Ýa1, a2, a3Þ est un système lié .
-a, K 5 R : Ja1+ Ka2 = a4 é JÝ1, 3, 0, 2Þ + KÝ2, 7, 2, 7Þ = Ý3, 10, 3, 8Þ é ÝJ, 3J, 0, 2JÞ + Ý2K, 7K, 2K, 7KÞ = Ý3, 10, 3, 8Þ é ÝJ + 2K, 3J + 7K, 2K, 2J + 7KÞ = Ý3, 10, 3, 8Þ é J + 2K = 2 3J + 7K = 10 2K = 3 2J + 7K = 8 é K = 3 2 3J + 7K = 10 2J + 7K = 8 J + 2K = 2 ì J = 2 K = 3 2 4+ 21 2 = 8 ì 29
2 = 8 ce qui est absurde . Donc :Ýa1, a2, a4Þ est un système libre .
Ce qui montre que : rgÝSÞ = 3
-
2ièmeméthode:
1 2 1 3 3 7 6 10 0 2 6 3 2 7 11 8 L2,1Ý?3Þ L4,1Ý?2Þ 1 2 1 3 0 1 3 1 0 2 6 3 0 3 9 2 L3,2Ý?2Þ L4,2Ý?3Þ 1 2 1 3 0 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 ?1 L4,3Ý1Þ 1 2 1 3 0 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 0Ce qui montre que : rgÝSÞ = 3
5) a1, a2, a3, a4 5 F ì vectÝSÞ = vectÝa1, a2, a3, a4Þ Ð F
6) Soit a est un vecteur quelcoque de R4 tel que a 6 F .
-u 5 F V vectÝaÞ : u 5 F et u 5 vectÝaÞ
u 5 vectÝaÞ ì 0J 5 R tq : u = Ja
Supposons queJ ® 0 .
Alors : a = 1J u 5 F ( car u 5 F ) . Donc : a 5 F . Ce qui est absurde . Donc :J = 0 ì u = 0a = Ý0, 0, 0, 0Þ
Alors : FV vectÝaÞ = áÝ0, 0, 0, 0Þâ . Donc la somme de F et vectÝaÞ est directe .
a 6 F ì a ® Ý0, 0, 0, 0Þ ì dimßvectÝaÞà = 1
dimßF ã vectÝaÞà = dimF + dimßvectÝaÞà = 3 + 1 = 4 = dimR4 Alors : Fã vectÝaÞ = R4.
Donc vectÝaÞ est un supplémentaire de F dans R4.
Exercice 2
: 1) A x y z = 1 ?3 2 2 ?4 2 5 ?9 4 x y z = x? 3y + 2z 2x? 4y + 2z 5x? 9y + 4z Alors :-Ýx, y, zÞ 5 R3 : fÝx, y, zÞ = Ýx ? 3y + 2z, 2x ? 4y + 2z, 5x ? 9y + 4zÞ 2) A = 1 ?3 2 2 ?4 2 5 ?9 4 L2,1Ý?2Þ L4,1Ý?5Þ 1 ?3 2 0 2 ?2 0 6 ?6 L3,2Ý?3Þ 1 ?3 2 0 2 ?2 0 0 0 Donc : rgÝfÞ = rgA = 23) 3 = dimR3 = rgÝfÞ + dim ker f = 2 + dim ker f ì dim ker f = 3 ? 2 = 1 4)
-
1ièreméthode:
-Ýx, y, zÞ 5 R3 : Ýx, y, zÞ 5 ker f é f Ýx, y, zÞ = Ý0, 0, 0Þ é Ýx ? 3y + 2z, 2x ? 4y + 2z, 5x ? 9y + 4zÞ = Ý0, 0, 0Þ é x? 3y + 2z = 0 2x? 4y + 2z = 0 5x? 9y + 4z = 0 é x? 3y + 2z = 0 x? 2y + z = 0 5x? 9y + 4z = 0 é z = 2y ? x x? 3y + 4y ? 2x = 0 5x? 9y + 4 + 8y ? 4x = 0 é z = 2y ? x y? x = 0 x? y = 0 é y = x z = 2x ? x = x é x = y = z Donc : ker f= Ýx, x, xÞ tq : x 5 R-
2ièmeméthode:
A i 1 ?3 2 0 2 ?2 0 0 0 L2 1 2 1 ?3 2 0 1 ?1 0 0 0 L1,2Ý3Þ 1 0 ?1 0 1 ?1 0 0 0 -Ýx, y, zÞ 5 R3 : Ýx, y, zÞ 5 ker f é x? z = 0 y? z = 0 é x = z y = z é x = y = z Donc : ker f= Ýx, x, xÞ tq : x 5 R 5) fÝe1vÞ = fÝ1, 1, 1Þ = Ý1 ? 3 + 2, 2 ? 4 + 2, 5 ? 9 + 4Þ = Ý0, 0, 0Þ = 0e1v fÝe2vÞ = fÝ1, 0, ?1Þ = Ý1 ? 0 ? 2, 2 ? 0 ? 2, 5 ? 0 ? 4Þ = Ý?1, 0, 1Þ = ?1Ý1, 0, ?1Þ = ?e2v fÝe3vÞ = fÝ1, 1, 2Þ = Ý1 ? 3 + 4, 2 ? 4 + 4, 5 ? 9 + 8Þ = Ý2, 2, 4Þ = 2Ý1, 1, 2Þ = 2e3v Donc :e1v est vecteur propre de f associé à 0
e2v est vecteur propre de f associé à ? 1
e3v est vecteur propre de f associé à 2
6) a) Puisque e1v , e2v et e3v sont des vecteurs propres de f associés.à des valeurs
propres 0 ,?1 et 2 ( qui sont des valeurs propres de f distinctes 2 à 2 ) alors
Bv = Ýe1v, e2v, e3vÞ est un système libre de R3
Donc Bv = Ýe1v, e2v, e3vÞ est une base de R3 ( car dim R3 = 3 )
b) Av = 0 0 0 0 ?1 0 0 0 2 c) P= 1 1 1 1 0 1 1 ?1 2 7)ÝAvÞ3 = 0 0 0 0 ?1 0 0 0 2 3 = 03 0 0 0 Ý?1Þ3 0 0 0 23 = 0 0 0 0 ?1 0 0 0 8
-
1ièreméthode pour calculer P?1:
det P= 1 1 1 1 0 1 1 ?1 2 = 1 1 1 0 ?1 0 0 ?2 1 = ?1 0 ?2 1 = ?1 A1,1 = 0 1 ?1 2 = 1 , A1,2 = ? 1 1 1 2 = ?1 , A1,3 = 1 0 1 ?1 = ?1 A2,1 = ? 1 1 ?1 2 = ?3 , A2,2 = 1 1 1 2 = 1 , A2,3 = ? 1 1 1 ?1 = 2 A3,1 = 1 1 0 1 = 1 , A3,2 = ? 1 1 1 1 = 0 , A3,3 = 1 1 1 0 = ?1
P?1 = 1 det P t ßcomPà = 1?1 t 1 ?1 ?1 ?3 1 2 1 0 ?1 = ? 1 ?3 1 ?1 1 0 ?1 2 ?1 = ?1 3 ?1 1 ?1 0 1 ?2 1
-
2ièrmeméthode pour calculer P?1:
ÝP|I3Þ = 1 1 1 1 0 1 1 ?1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L2,1Ý?1Þ L4,1Ý?1Þ 1 1 1 0 ?1 0 0 ?2 1 1 0 0 ?1 1 0 ?1 0 1 L2Ý?1Þ 1 1 1 0 1 0 0 ?2 1 1 0 0 1 ?1 0 ?1 0 1 L3,2Ý2Þ 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ?1 0 1 ?2 1 L1,3Ý?1Þ 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 ?1 1 ?1 0 1 ?2 1 L1,2Ý?1Þ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ?1 3 ?1 1 ?1 0 1 ?2 1 Donc : P?1 = ?1 3 ?1 1 ?1 0 1 ?2 1 8) P?1AP = Av ì A = PAvP?1
Alorrs : A3 = ÝPAvP?1Þ3 = PÝAvÞ3P?1 =
1 1 1 1 0 1 1 ?1 2 0 0 0 0 ?1 0 0 0 8 P?1 = 0 ?1 8 0 0 8 0 1 16 ?1 3 ?1 1 ?1 0 1 ?2 1 = 7 ?15 8 8 ?16 8 17 ?33 16
