Codages de rotations et phénomènes d'autosimilarité

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

B

ORIS

A

DAMCZEWSKI

Codages de rotations et phénomènes d’autosimilarité

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

14, n

o

_{2 (2002),}

p. 351-386

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2002__14_2_351_0>

© Université Bordeaux 1, 2002, tous droits réservés.

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Codages

de rotations

et

phénomènes

d’autosimilarité

par BORIS ADAMCZEWSKI

RÉSUMÉ. Nous étudions une classe de suites

_symboliques,

les

co-dages

de rotations, intervenant dans des

problèmes

de

_répartition

des suites

_{(n03B1)n~N et}

_{représentant}

une

_{généralisation géométrique}

des suites sturmiennes. Nous montrons _que ces suites peuvent

être obtenues par itération de quatre substitutions définies sur un

alphabet

à trois

lettres,

puis en

_appliquant

un

_morphisme

de

projection.

L’ordre d’itération de ces

_applications

est

_gouverné

par un

développement

bi-dimensionnel de _type "fraction

conti-nue" vérifiant un théorème de

Lagrange.

Nous utilisons ensuite

cette

_propriété

pour caractériser les

_codages

de rotations faisant

intervenir des

_{phénomènes d’autosimilarité, puis}

en déduire une

propriété

de

_{déséquilibre}

du

_langage

de ces

_codages.

ABSTRACT. The paper focus on a class of

_symbolic

sequences

ob-tained

_by

_encoding

rotations and

_offering

a

_geometric

framework

for the

_study

_{of generalizations}

of Sturmian sequences. Those

sym-bolic sequences also appear in

problems

related to the uniform distribution of the _sequences

_(n03B1)n~N.

We show that

they

can be

computed

by iterating

four different substitutions over a

three-letter

_alphabet,

followed

_by

an

_{appropriate projection.}

The

itera-tion schema is

_{governed by}

a two-dimensional continued fraction

algorithm satisfying

a full

_Lagrange

_type theorem. This _property

is used to characterize the subset of sequences

having

a self-similar

structure and then to deduce a _quantitative unbalance _property

for these

_particular

_codings.

1. Introduction

Étant

donné un nombre irrationnel _a, a E

_{[0, 1[,}

nous nous intéressons aux

problèmes

de

répartition

de la suite

(na)nEN

_par

_rapport

à un intervalle

comportement

asymptotique

de la somme :

où

_X[O,,8[

_désigne

la fonction indicatrice de l’intervalle

_{(o, ~3(.}

L’étude de ces sommes est intimement liée à celle de la

discrépance

à

l’origine

des suites

(na)nEN

et constitue donc un

problème

classique

de théorie des nombres.

Nous

_rappelons

que la

discrépance

à

l’origine

de la suite est définie par :

Considérons un

couple

(0:,,8)

E

[0, lp,

a

e Q.

Introduisons alors la suite

U =

(Ull),,Erq

définie sur

l’alphabet

binaire

la, b}

_{par :}

Cette suite

_symbolique

contient exactement l’information nécessaire et suf-fisante _pour évaluer la

_quantité

que nous désirons étudier. En

effet,

l’égalité

suivante est vérifiée :

Remarquons

que le

codage

U de la suite que nous

appelons codage

de rotation de

_paramètres

_(a,,8),

doit être vu comme une

_opération

de

simplification,

en ce sens

_qu’il

_paraît

_plus

aisé d’étudier une suite définie sur un

alphabet

fini

qu’une

suite à valeurs dans l’intervalle

[0, 1 [.

Nous devons

donc à

_{présent comprendre}

l’évolution du nombre de a

_apparaissant

dans un

préfixe

arbitraire de U.

_Lorsque

la suite U fait intervenir des

_phénomènes

d’autosimilarité,

c’est-à-dire si U est liée à un

_point

fixe de

_{substitution,}

nous montrons dans

_[1]

_qu’il

existe un outil

_puissant

_pour mener cette étude.

Ainsi,

notre

_problème

initial de théorie des nombres semble trouver sa

solution à travers une meilleure

_{compréhension}

d’une classe de suites

sym-boliques

définies sur un

alphabet

binaire : les

_codages

de rotations. Dans

cet

_article,

nous traitons les

codages

de rotations de

façon indépendante.

Nous _remarquons en effet _que cette classe de suites intervient de

_façon

naturelle dans

_plusieurs

domaines des

_{mathématiques}

_(voir

_par

_exemple

[8,

9,

23]

pour des

approches

combinatoires).

Nous pensons

qu’il

convient

donc d’étudier dans un

premier

_temps

ces suites en tant que telles. Gardant

à

_l’esprit

les motivations

_initiales,

nous orientons tout de même notre travail de

_façon

à obtenir des résultat utiles _pour les

_problèmes

de

_répartition

des

suites

_Ainsi,

certains résultats démontrés dans la suite serviront de

_point

de

_départ

_pour l’étude menée dans

_[1].

Revenons à

_présent

aux

_codages

de rotations et notons que de telles

suites ont une

_{interprétation}

géométrique simple puisqu’elles

_peuvent

être

obtenues en codant

l’orbite,

sous l’action d’une rotation

_d’angle

irration-nel,

de

_l’origine

du cercle de

_périmètre

unité

_découpé

en deux intervalles.

Lorsque

la

_longueur

de l’un des deux intervalles est

_égale

à

_l’angle

de

rota-tion

_(divisé

par

2~r),

la suite obtenue est une suite

_sturmienne;

cela

signifie

que le nombre de facteurs de

longueur n

de cette suite est exactement

égal

à n + 1. Les

_codages

de rotations constituent donc une

généralisation

géométrique

naturelle des suites sturmiennes. Ces dernières fournissent

cer-tainement

_l’exemple

le

_{plus prolifique}

d’interactions entre la

_dynamique

symbolique,

la

_géométrie

et la théorie des

_nombres,

comme en

témoigne

l’abondante littérature consacrée à ce

sujet

(voir

le survol

[19,

Chap.

2]).

Elles

_peuvent

être caractérisées aussi bien _par des

_propriétés

combinatoires

(par

définition)

que par des

propriétés d’équilibre

de leur

language

[6]

ou en-core

géométriques

[20].

Un résultat

remarquable

montre _que la connaissance

du

_{développement}

en fraction continue de

_l’angle

d’une suite sturmienne

permet

d’engendrer

son

_language,

voir par

exemple

~2~ .

Il est donc naturel

de se demander si les liens des

_codages

de rotations avec les différents

do-maines des

_{mathématiques}

sont aussi clairement établis que pour les suites

sturmiennes.

Nous

_rappelons

_que certains

_codages

de

_rotations,

_que nous

_qualifierons

de non

dégénérés,

sont intimement liés à des suites obtenues en codant

l’orbite de

_l’origine

sous l’action d’un

_échange

de trois intervalles. Nous

explicitons

ce lien et nous

_montrons,

en utilisant un

procédé d’induction,

qu’un

codage

de rotation non

_dégénéré

_peut

être obtenu en itérant

_quatre

substitutions définies sur un

alphabet

à trois lettres

_puis

en

appliquant

un

morphisme

de

projection

de cet

_alphabet

vers

l’alphabet

binaire

la, bl.

L’ordre d’itération des substitutions est

_gouverné

_par un

_{développement}

bi-dimensionnel de

_type

"fraction continue" des

_paramètres

de la rotations. Ce résultat est à

_rapprocher

de ceux de

[16,

_17,

18],

de P. Arnoux et G.

_Rauzy

[2],

pour les suites

sturmiennes,

et G. Didier

_[8],

pour les

codages

de

rota-tions. Nous montrons _que notre

_algorithme

vérifie un théorème de

_Lagrange,

en ce sens _que le

développement

d’un

couple

de

paramètres

est ultimement

périodique

si et seulement si ces

_{paramètres appartiennent}

à un même corps

quadratique.

Nous utilisons ensuite cette

_propriété

pour caractériser les

co-dages

de rotations faisant intervenir des

_phénomènes

d’autosimilarité. Nous

en déduisons un résultat _que nous utiliserons dans

[1]

_pour

_répondre

à des

problèmes

de

_répartition

des suites

_(na)nEN.

Nous

_appliquons

finalement

un de nos résultats _pour obtenir une

propriété

de

déséquilibre

du

_langage

2. Définitions et notations

2.1. Suites

_symboliques.

Nous

_rappelons

ici les définitions et les

nota-tions usuelles concernant les suites

_symboliques.

On

appelle alphabet

un

ensemble

.,4,

fini et non vide. Les éléments de .,4, sont

appelés

lettres. Un

mot

_(fini)

sur ,~4 est une suite finie de lettres de A et un mot infini sur ,A

est une suite d’éléments de ,A. indexée _par N. La

longueur

d’un mot fini _w,

notée

_lwl,

est le nombre de lettres le

_composant.

Le mot

_vide,

noté ê, est

l’unique

mot de

_longueur

0. On note

.~4*

l’ensemble des mots de

_longueur

fini sur .~4, et

A’

l’ensemble des suites sur A.

Soit U = une suite

_symbolique

définie sur un

_alphabet

,~4. On

ap-pelle

facteur de U tout mot fini de la forme _Uj, 0 i

_j.

On note

£n(U)

l’ensemble des facteurs de

_{longueur n}

de U et

_~C(U)

l’ensemble de

tous les facteurs de U

_(£C(U)

=

U-EN

,Cn (U)) .

L’ensemble

£(U)

est

appelé

le

langage

de U. Une suite dans

_laquelle

tout facteur admet une infinité d’oc-currences est dite récurrente.

_Lorsque

de

_plus

ces occurrences sont

_séparées

par des lacunes

bornées,

la suite est dite

uniformément

récurrente. Un

fac-teur w de U est

_{appelé facteur spécial}

droit s’il existe deux occurrences de w

dans U suivies par des lettres différentes. Si w est un facteur de U et a une

lettre de

_,A,

alors

_Iwla

_désigne

le nombre d’occurrences de la lettre a dans le

mot w. On définit la

fonction

de

complexzté

de U comme la fonction

qui

à

tout entier strictement

_{positif n}

associe le nombre

_{Pn(U) _}

_#£n(U).

L’ap-plication classique

de

_décalage

_(shift

en

anglais),

notée

s,

associe à une suite

U = la suite

s(U) -

A l’aide de cette

application,

on

as-socie à toute suite U le

_{système dynamique symbolique}

_{(O(U), S),}

où

_O(U)

désigne

la

_fermeture,

dans muni du

_produit

des

_{topologies discrètes,}

de l’orbite de la suite U sous l’action du

_décalage

S. Un

_{système dynamique}

est minimal s’il ne contient _pas de fermé invariant non trivial. Pour un

système dynamique

associé à une suite

_symbolique,

ceci est

_équivalent

au

fait que la suite soit uniformément récurrente.

On définit sur ,~4* une

_opération,

dite de

_{concaténation, qui}

consiste

simplement à juxtaposer

deux mots. Muni de cette

_opération,

l’ensemble

.r4* est un monoïde libre dont l’élément neutre est ê. Une

application

de

r4. vers

,~4* ~ {e},

_appelée

substitution sur

_{l’alphabet ,~4,}

se

_prolonge

_par

concaténation en un

endomorphisme

du monoïde ,~4.*

puis

en une

application

de

A’

dans lui-même.

Étant

donnée une

_{substitution e}

définie sur

,r4.,

on

appelle

matrice d’incidence de

_e,

la matrice

_Me

2.2.

_Codages

de rotations.

Définition 2.1.

Étant

donné un

_couple

(a, 0)

_appartenant

à

[0, If,

on

définie sur

l’alphabet

{a, b}

_{par :}

Dans la suite nous ne considérerons _pas tous les

_codages

de rotations. Le cas où a est rationnel ne

présente

_{que peu}

d’intérêt,

car le

codage

est

alors

_périodique.

Le cas

où p

E Z + aZ ne sera _pas traité

ici,

il relève

plus

de l’étude des suites

_sturmiennes,

comme le mettent en évidence les

paragraphes

4 et

_{8 ;}

il sera donc considéré comme

dégénéré.

Définition 2.2. Un

_codage

de rotation est dit non

dégénéré

si et seulement

si ses

paramètres

(a,

(3)

vérifient : - a est

irrationnel,

0 «

Z +

Un tel

_codage

est dit de

_paramètres

admissibles si de

_plus

a

/3.

2.3.

Échanges

d’intervalles. Les

_échanges

d’intervalles font

_partie

des

exemples

classiques

de

_{systèmes dynamiques.}

Ils ont été notamment étudiés

par M. Keane

[14],

G.

Rauzy

[22]

et W. Veech

[26, 27].

Définition 2.3. Soient s un entier

_supérieur

ou

_égal

à

_{deux, a}

une

permu-tation de l’ensemble

_{~1, 2, ... , s}}

et B =

_{a2, ... ,}

_~s)

un vecteur de e à coordonnées strictement

_positives.

Posons I =

[0, IÀI[,

où

1,B

=

Bi

et,

pour 1 i = _{sorte que}

1 Ii

=

Ài.

L’échange

d’intervalles associé au

_couple

(À, ~)

est la transformation T de I dans

lui-même,

définie comme l’isométrie _par morceaux

qui

consiste à réordonner

les intervalles

_7t

selon la

_permutation

0". De

façon plus précise,

si x E

_{Ii :}

Un

_échange

de s intervalles est donc entièrement déterminé _par la donnée d’un vecteur A =

(al,

Â2,... ,

As)

de à coordonnées strictement

positives

et d’une

_{permutation u}

de

_6s.

_L’échange

de s intervalles associé au

couple

(A, u)

sera noté

((al,

A2,

_{... ,}

u).

On code naturellement l’orbite d’un

point

de

_I,

sous l’action d’un

_échange

d’intervalles

((al, a2, ... , ~S); a~),

en

associant à

_chaque

élément de cette orbite le numéro de l’intervalle

_auquel

il

_appartient.

3. Liens entre

_codages

de rotations et

_échanges

de trois intervalles

Étant

donné un

_couple

_appartenant

à

[0, If,

on s’intéresse aux

suites obtenues en codant l’orbite d’un

point

x de l’intervalle unité sous

~0,1(

en

[0,/3[U [,6, 1 [,

_appelée

rotation de

paramètres

(a, {3).

Plus

exacte-ment,

un tel

codage,

C (x,

Ra,

fl),

est défini comme suit :

A tout x de l’intervalle

unité,

on associe ainsi une suite

C (x,

Ra,

~3)

sur

l’alphabet

la, bl.

Dans le cas où x =

_0,

C(x, Ra, ~3)

_{est un}

codage

de

rota-tion au sens de la définition 2.1. Nous montrons dans ce

_paragraphe

_que

l’étude des

_codages

de rotations non

_{dégénérés}

est intimement liée à celle des

_échanges

de trois intervalles.

Si À est un élément de l’intervalle

~0,1 (,

on définit

_{l’application}

de

_premier

retour de Poincaré de sur

[0, À[,

de la

façon

suivante :

Remarque

3.1. Dans le cas où a est un nombre

irrationnel,

la densité de

la suite

_((na))nEN

_permet

de définir

_Pf

_{pour tout} élément B de l’intervalle

]0,1[.

l.

Dans toute la

_suite,

a

désignera

un nombre irrationnel

positif

et

stric-tement inférieur à 1.

_Supposons

_que a

{3,

_Pe

est alors défini comme

l’échange

d’intervalles suivant :

FIG. 3.1 -

_{L’application}

de

_premier

retour sur

[0,/9[.

Remarque

3.2. Le second intervalle est de

_longueur

nulle si et seulement si : 3 k E Pf

_{/ {3}

= 1-ka. Dans ce cas

_P3

est un

_échange

de deux

intervalles,

c’est-à-dire une rotation de

R/Z.

Pour x

_appartenant

à

_{[0, {3[,}

nous

noterons C(z,

_P3,

(Ii , 12 , 13))

la suite

ob-tenue en codant l’orbite de x sous l’action de

_P~

_par

_rapport

à la

_partition

de

_[0,/3[

en

Il

U

12

U

13.

Plus

exactement,

C(~jF~(7i,72,l3))

est définie

par :

Alors :

où,pourkeN:

l’application

~k

étant le

_morphisme

de monoïde libre étendu _par concaté-nation à

_{1,2,3}~.

Supposons

à

_présent

_que a &#x3E;

_{{3, l’application}

_PB

est alors

_plus

com-plexe

à décrire.

_Cependant,

nous allons voir _que le

_codage

de rotation de

paramètres

(a, /3)

est fortement lié à un

codage

de rotation de

paramètres

(a’, ~3’),

avec a’

~3’,

ce

_qui

nous

_permettra

de ne considérer ensuite _que

les

_couples

_{(0:, (3)}

pour

lesquels

a

{3.

Si

_~a,

on note la suite définie _{par :}

Alors :

où S

_désigne

le shift usuel sur

{a, b}*.

Pour

cela,

il suoEt de _{remarquer que}

-(1 - a) -

a mod 1

et -(1 - (3)

-

_Q

mod

_1,

comme l’illustre la

_figure

3.2. On effectue en réalité un

changement d’orientation;

on

_échange

le rôle

de a et de b pour tenir

compte

de cette nouvelle orientation et on

échange

ensuite la

_première

lettre du

_codage

pour tenir

compte

du sens d’ouverture

des intervalles de la

_{partition. Or,}

si a &#x3E;

_~i

alors

_{(1 - a)}

_{(1 2013 /3).}

On

peut

donc obtenir

_{C(0, R(,-,,,), 1 -}

_/3)

à

_partir

du

_codage

d’un

_échange

de trois intervalles si 1 -

_{/3 ~}

1 -

_{k(1 -}

_{a), k}

E

_Z,

ce

_qui

est le cas dès _que

Nous allons à

_présent

montrer une

_propriété,

en

_quelque

sorte

_réciproque,

pour certains

échanges

de trois intervalles.

Définition 3.3.

Étant

donné T =

((ll, l2, l3); or)

et T’ =

((li, l2, l3); ~’),

deux

_échanges

de trois

_intervalles,

on dit _que T et T’ sont

_équivalents

et on

note T ~

_T’,

si les conditions suivantes sont vérifiées :

- _a =

or,

- Les vecteurs

(l1, l2, l3)

et sont

homothétiques.

Remarque

3.4. Deux

_échanges

d’intervalles

_équivalents

_engendrent

la même

_dynamique.

Proposition

3.5. Soit T un

échange

de trois intervalles

((~1,~2~3);~)?

(321).

Il existe alors un

_échange

d’intervalles

T’

_équivalent

à

_T,

tel _que T’ soit

_{l’application}

de

_premier

retour

_P3

sur

[O,,B[

d’une rotation

de

_paramètres

_(a,

_(3).

Preuve. Nous allons utiliser un

_procédé

d’exduction

(procédé

dual de

l’in-duction décrite en

4.1).

Considérons

l’échange

de

_quatre

intervalles

_Tl

-( -( l l , l2 , l3 , l2 ) ; -( 3412 ) ) ,

puis

l’échange

Tl

normalisé,

noté

_{Tl ,}

défini _{par :}

, , , ,

L’application

Tl

n’est autre

_{qu’un échange}

de deux intervalles avec un

_point

marqué

sur

_chacun,

comme on

_peut

le constater sur la

_figure

3.3.

FIG. 3.3 -

_L’échange

_Tl.

paramètres

(a,,8) .

L’application

de

_premier

retour associée à cette

_rotation,

sur l’intervalle

[0, Q[,

_P3,

_est,

comme le montre la

_figure

_3.4,

_l’échange

de trois intervalles suivant :

FIG. 3.4 -

_{L’application}

de

_premier

retour sur

[0,/3[.

Et ainsi : T . Il

Ce résultat

_souligne

donc un _peu

plus

la

grande

interaction existant entre

les

_codages

de rotations et les

_échanges

de trois intervalles.

4.

Échanges

de trois intervalles satisfaisant à la condition I.D.O.C.

Dans ce

paragraphe,

nous étudions l’induction de

_Rauzy

_pour les

échan-ges de trois intervalles satisfaisant à une condition introduite _par M. Keane

[14],

dite condition

_I.D.O.C.,

que nous définissons un _peu

plus

loin. Dans

[22],

G.

_Rauzy

utilise le terme

_{d’échanges}

_réguliers.

4.1. Induction de

_Rauzy

_pour les

_échanges

de trois intervalles.

Commençons

par

rappeler

les définitions utiles pour étudier l’induction

de

_Rauzy.

Nous donnons ces définitions dans le cas

_{d’échanges}

_{de trois}

intervalles ;

le lecteur _pourra se

_reporter

à

[22]

_pour le cas

_général.

Définition 4.1. Une

_permutation

de

_{58, s}

E

_N*,

est dite irréductible si elle ne laisse invariant aucun ensemble de la forme

11, ..., t},

avec t s.

Remarque

4.2. Si Q E

₆₃

n’est pas

irréductible,

alors on

_peut

décomposer

= (ll, l2, l3) E

+)3 en

(au

moins)

deux transformations

_(échanges

d’intervalles avec moins

d’intervalles),

l’une sur

[0, a[

et l’autre sur

[a, 11 [

avec a E

_{+ l2}.}

Les

_permutations

irréductibles de trois éléments sont

_{(321), (312)}

et

(231).

Nous noterons

_6g

l’ensemble des

_permutations

irréductibles de trois éléments.

Définition 4.3. Si

_{(u, l)}

E

5g

x

(r +)3@

_posons 0 = _{ai a2} =

Il

_a3 =

11 +l2

a4 =

Il

+l2+l3. L’application

satisfait à la condition I.D.O.C.

si les deux ensembles

_{Tk(a2),

k E

_Z}

et k E

_Z}

sont infinis et

disjoints.

Ce

_qui

s’écrit de manière

_{équivalente :}

Remarque

4.4. Si satisfait à la condition I.D.O.C. alors est

minimal

_(voir

_[14]).

Définition 4.5. Soit un

_échange

d’intervalle satisfaisant à la

condi-tion I.D.O.C. Un intervalle de la forme

_[0,

_{r ~,}

où 0 r

Ill,

est dit admis-sible _pour s’il existe k E Z et i

_{e ( 1, 2, 3) ,}

tels _{que :}

_ . _

pour tout k tel que pour tout I~ tel que

Nous allons maintenant

_présenter

les

_principaux

résultats concernant l’in-duction de

_Rauzy

dans le cas des

_échanges

de trois intervalles. Les énoncés

et les démonstrations sont

_donnés,

dans le cas

_général,

dans

~22~ .

Proposition

4.6. Avec les notations de la

_{définition précédente,}

l’inter-valle est admissible et l’intervalle est le

_plus

grand

intervalle admissible _pour

_T(q,l).

Le

_principal

résultat de

_[22]

est le suivant :

Théorème 4.7

_(Rauzy

_[22]).

Étant

donné

_T(q,l)

un

échange

de trois

in-tervalles

_satisfaisant

à la condition

_{LD.O. C.,}

si I =

[0, r[

est un intervalle

admissible pour alors la

transformations

,S’ induite par sur I est

définie

partout.

Il existe T E

C~3

et _JL E

(1R+)3

tels _que S =

T(T,p) ;

de

_plus

Définition 4.8. L’induction de

_Rauzy

_pour les

_échanges

de trois inter-valles satisfaisant à la condition I.D.O.C. est

_{l’application}

suivante :

où

_T(a’

_~1~~ est

_{l’application}

induite _par sur le

plus grand

intervalle

admissible,

à savoir

_{[O,max(a3,T(,,,,)(a,(.3»)[}

_[

et

_IET3

_désigne

l’ensemble des

_échanges

de trois intervalles

_satisfaisant

à la conditions LD. 0. C.

Étudions,

pour

chaque

élément de

60,

l’induction de

Rauzy.

- - ¿--- 3

Alors,

le

_plus

_grand

intervalle admissible _pour

_T(u,l)

est

_{[0, 12}

+

_{13 [.}

L’é-change

d’intervalles induit est

_représenté

sur la

_figure

4.1.

FIG. 4.1 -

_Échange

d’intervalle induit.

On notera : . . Si U est la suite obtenue en codant l’orbite

du

_point

0 sous

l’action

de et V la suite obtenue en codant l’orbite

où ai est la substitution définie sur

{1,2,3}*

_{par :} La matrice

~1

est la matrice d’incidence de 7i.

.

Si Il

&#x3E;l3,

on a :

La substitution associée à

_l’échange

induit _par est a’ =

(231).

Et il

vient ou encore On notera alors :

. On obtient avec les notations

précédentes :

où or4 est la substitution définie sur

{1,2,3}*

_{par :} La matrice

A4

est la matrice d’incidence de a4. e Cas 2 : ~ _

(312).

Alors

_max(a3,

_{T(u,l) (au(3»))}

= _a3 si et seulement si

Il

₊

12

Il

_-f-

l3

_et

donc si et seulement si

₁₂

_l3.

De même

_max(a3,

_{(a~(3) ))}

=

T(a3)

est

équivalent

à

_l2

&#x3E;

_l3.

Si

12

l3,

la substitution associée à

_l’échange

induit _par

_T(u,l)

est a’ =

, -. - 1 - - - 1

ou encore On notera :

. On obtient avec les notations

précédentes :

où a3 est la substitution définie sur

{1,2,3}*

_{par :}

A3

est la matrice d’incidence de or3.

Si

_l2

&#x3E;

_l3,

la substitution associée à

_l’échange

induit par est a’ =

ou encore i On notera :

On obtient avec les notations

précédentes :

où Or2 est la substitution définie sur

{1,2,3}*

_{par :} . La matrice

A2

est la matrice d’incidence de (72-e Cas 3 : r =

(231).

Alors = _a3 si et seulement si

Il

₊

l2

l2

₊

l3

_et

donc si et seulement si

_li

_{l3 .}

De même =

T(a3 )

est

équivalent

à

li

&#x3E;

_l3.

’

Si

_li

_l3,

la substitution associée à

_l’échange

induit _par est ~’ _

/ ,r 1 i ..

ou encore On obtient avec

les

notations

_{précédentes :}

’ ’

où ai est la substitution définie

précédemment.

Si

li

&#x3E;

_l3,

la substitution associée à

_l’échange

induit par

_T(q,l)

est

., .. , -."

ou encore On obtient avec

les

notations

_{précédentes :}

où ~4 est la substitution définie

précédemment.

Nous pouvons résumer l’étude

précédente

à l’aide du

graphe

G suivant :

Ainsi,

l’orbite

_positive

d’un

_échange

de trois intervalles satisfaisant à la condition I.D.O.C. sous l’action

_{de W,}

l’induction de

_Rauzy,

_peut

se

représenter

par un chemin infini sur le

graphe

G.

4.2.

_Codages

de rotations et condition I.D.O.C.. Nous avons vu _que

l’induction de

_Rauzy

était bien définie _pour les

_échanges

de trois intervalles satisfaisant à la condition I.D.O.C. Il est donc naturel de se demander à

FIG. 4.2 -

_Graphe

d’induction de

_Rauzy

pour les

échanges

de trois

inter-valles.

comme au

paragraphe

3,

à une rotation de

_paramètres

(a, ~3)

satisfait à la

condition I.D.O.C. C’est cette

_question

_que nous allons traiter à

présent.

Lemme 4.9. Soit U une suite obtenue en codant l’orbite du

point

0 sous

l’action d’un

_échange

de trois intervalles. Si

_{l’échange satisfait}

à la condi-tion

_{I. D. O. C.,}

alors :

sinon,

La suite

_désigne

ici la

_fonction

de

_complexité

de la suite U

définie

au

paragraphe

2.

Preuve. Notons T

_l’échange

de trois intervalles

_{((ll, l2, l3); ~),}

al =o,

a2=ll,

a3=ll -f- l2

et

_a4=ll

_{+12 +13.}

Notons

_également,

comme au

paragraphe

3, Il, 12

et

13

les trois intervalles de

l’échange

T. Si

l’échange

satisfait à la condition

I.D.O.C.,

alors

_d’après

_[14]

l’orbite du

_point

0 sous

l’action de T est dense dans

_{[0, 1[.}

Nous pouvons donc affirmer que pour

tout apal ... an E

{ 1, 2, 3}n+1 :

-Remarquons

à

_présent

que si

[a, b(C [0, 1 alors

b[)

est une union

dis-jointe

d’intervalles semi-ouverts à droite dont les extrémités

_{appartiennent}

à l’ensemble En

_appliquant

_{cette remarque}

aux intervalles

1~, j E {1, 2, 3},

on en déduit _{que pour} tout entier N et tout

j

E

_{{1, 2, 3},}

est une union

_disjointe

d’intervalles semi-ouverts à

droite dont les extrémités

_{appartiennent}

à l’ensemble

Un raisonnement _par récurrence sur la

longueur

des mots conduit alors à

_montrer,

en utilisant

_{l’équation}

(4.1),

_{que pour} tout entier _n,

_{Pn(U) =}

#(On) -

1. Comme T satisfait à la condition

_I.D.O.C.,

on est assuré _que

pour tout entier N

Ainsi,

Pl(U)

= 3

implique :

Lorsque

T ne satisfait _pas à la condition

I.D.O.C., l’équation

(4.1)

n’est

plus

nécessairement

vérifiée,

mais on est tout de même assuré que pour tout

On en déduit alors _{que pour} tout entier _n,

#(On) -

1. Or le fait

que T ne satisfait _pas à la condition I.D.O.C.

implique

Ceci

_entraîne,

comme est soit strictement croissante soit

ulti-mement constante, que

Et ainsi : o o

Proposition

4.10. SoitT un

échange

de trois intervalles

((~i~2?~3)!(321))

cassocié,

par

induction,

à une rotation de

_paramètres

(0:, (3).

Si

_{et fi. Q}

et si

,8 ~

Z +

_a7G,

alors T

_satisfait

à la condition I.D. 0. C.

Pour démontrer cette

_proposition,

nous avons besoin d’établir le lemme

suivant :

Lemme 4.11. Soit une suite sur

_l’adphabet

~4={1,2,3}

et

vérifiant:

Alors étant donné un

alphabet fini

B et un

morphisme

de monoïde libre 0,

de A* vers

_B*,

étendu _par concaténation de vers

Preuve du lemme

_4.11.

Considérons donc _a~, ,~4.* --~

_B*,

avec B =

(b1, b2, ... ,

bp)

et _posons V =

a(U),

V = _{V¡V2...Vi...,} avec _{vi E} B. Nous

devons alors montrer

_qu’il

existe k’ E ~1* tel que dn E

_{N’‘ ,}

n + k’.

La substitution ? est ainsi

_parfaitement

définie sur _par concaténation.

Posons V

_{= ?(!7)}

et considérons le

_{morphisme :}

’

= V et P étant une

_projection

"lettre à lettre" :

Il nous suffit ainsi de montrer _{que :}

Notons V = ...

Vi

... et considérons

Vi+l

E tel que ...

Vi+l

admette deux

prolongements

à droite dans V

(il

ne

peut

évidemment pas en avoir

plus pour 1

assez

_grand

_compte

tenu de

l’hy-pothèse

faite sur U et de la définition de

_?).

Ceci revient à dire que :

Par construction de ? :

où W et W’ sont

_{respectivement}

suffixe strict et

_préfixe

strict

_d’images

de letrres _par u. Donc

W’T

etW’s sont

_préfixes

_d’images

de lettres _par u. Or

_{r ~}

s

implique

W’ = é

(car

les

images

de lettres distinctes

par ?

n’ont aucune lettre

commune).

Ainsi

Uh),

où _{uh est} un facteur

spécial

droit de U.

-Considérons alors deux facteurs

_spéciaux

droits de

_V,

_Vl

et

_V2,

de même

longueur

suffisamment

_grande.

_D’après

ce

qui

précède :

où

_Ul

est un facteur

_spécial

droit de U

et

Wl

est suffixe strict

_d’image

de lettre _par

_,

où

U2

est un facteur

spécial

droit de U

De

_plus,

pour tout i dans

{1, 2, 3}, a(1) (

E

{1, 2}.

Si

IV11

est

assez

_grande

alors

IUII

et

JU21

sont assez

_grandes

_pour affirmer _que

Ul

est

suffixe de

_U2

_{(ou inversement).}

En

_effet,

3k E N* tel que + k et

donc

_Pn(U))

_1,

si n est assez

_grand.

Supposons,

par

exemple

que

Ul

soit suflixe de

U2.

Alors,

si

U2

3i e

_{{1, 2, 3}}

tel que

Q(i)

E

_£(W1),

ce

_qui

est

_impossible

car

WI

est suffixe

strict

_d’image

de lettre par u. Donc

Ul

=

U2.

En notant U =

Ul

=

U2,

_on

1

,

Par construction de

_u,

3! i E

_{{l, 2, 3}}

tel que

Wl

E et

_{3! j}

E

{1,2,3}

tel _que

_W2

E

_G(Q(j)).

Donc

_Q(iU)

et

_Q(jU)

sont deux facteurs

spéciaux

droits de V et ainsi iU et

_jU

sont deux facteurs

_spéciaux

droits de U. Mais alors iU est suffixe de

_jU

_{(ou inversement),}

ce

qui implique

i

_{= j puis Wl}

=

W2

et finalement

71

=

V2.

Ceci montre l’existence de

Preuve de la

_proposition

_4.10.

Soit T =

((ll,12, l3);

(321))

_un

échange

de

trois intervalles associé à une rotation de

_paramètres

(a,

Q),

avec Z +aZ .

Notons U la suite obtenue sur

l’alphabet

{1, 2, 3}

en codant l’orbite du

point

0 sous l’action de

l’échange

T et V le

codage

de rotation de

paramètres

(a, (3).

Alors,

il existe un

_morphisme

u de

11, 2, 3}*

vers

la, b}*

vérifiant

Q(U)

= V. Or si

6 e

Z +

aZ,

d’après

[23]

Donc,

d’après

le lemme

_précédent

il ne

_peut

exister d’entier k _pour

lequel

Vn E N*

_{Pn (U) n}

+ k. Le lemme 4.9 entraîne alors _que

_l’échange

T doit

satisfaire la condition I.D.O.C. C7

Lorsque {3

E

Z + aZ,

l’échange

d’intervalles obtenu par induction à

partir

de la rotation de

_paramètres

_(a,

_/3)

est en fait un

échange

de deux intervalles ou un

échange

de trois intervalles ne satisfaisant _pas à la condition

LD.O.C. ;

c’est-à-dire

_qu’après

un nombre fini

d’étapes

d’induction,

l’échange

obtenu sera un

échange

de deux intervalles. C’est une des raisons

_expliquant

_que le cas

_~3

E relève

_davantage

des suites sturmiennes. Dans

_[23],

G. Rote

montre

_également

que la nature de la fonction de

complexité

d’un

codage

de rotation de

_paramètres

_(a,,8)

_dépend

du fait _que

₍₃

_appartienne

à

ou non.

5.

_Algorithmes

d’induction _pour les rotations de

_paramètres

admissibles

Nous avons

précédemment

défini une

_{application T}

de

_{I ET3}

dans

lui-même,

appelée

induction de

_Rauzy.

Nous pouvons, à

présent,

donner une

expression

précise

de

_{l’application}

_’11,

similaire à celle donnée par F. Schwei-ger

[24,

pp.

93-101],

sous la forme suivante :

Considérons alors

G1,

G2

et

_G3,

les trois

_{sous-graphes,}

du

_graphe

G introduit au

paragraphe

4,

_que nous définissons à l’aide de la

_figure

5.1. On

_peut

aisément vérifier à l’aide de la définition

_précédente

de _que si l’orbite

_positive

d’un

_échange

de trois intervalles

_T,

sous l’action de

’11,

était ultimement contenue dans l’un des

_sous-graphes

i

_{E ~ 1, 2, 3~,}

alors

une des

_longueurs

des intervalles d’un des

_échanges

wn(T), n

E

_N,

serait

nulle,

ce

qui

est

_{impossible puisque}

les

_échanges

_BIfn(T)

satisfont la condition

I.D.O.C.

_Ainsi,

si l’on considère la suite des

_permutations

données

par l’orbite de T sous l’action de

B11,

cette suite contient une infinité de fois

chacune des trois

_permutations

irréductibles

_possibles.

FIG. 5.1 - Les

_{graphes Gi ,}

_G2

et

_G3.

Notamment,

lorsque 7 =

(321),

on

_peut

être assuré

qu’il

existe un entier

positif

n tel _que un =

(321).

Ceci nous

_permet

d’établir une version

mul-tiplicative

de

_{l’algorithme}

d’induction de

_Rauzy

_pour les

_échanges

dont la

Si

_{A1, A2,}

_A3

et

_A4

_désignent

les matrices introduites au

paragaphe

4,

alors

en _{notant pour} tout entier

k,

=

2 )et

Bk=

il vient :

La matrice

At

_désignant,

dans

_{l’expression ci-dessus,}

la

_transposée

de la

matrice A.

On obtient

_alors,

en

_posant

=

min {n

_E N* tel _{que an =}

(321)},

l’éga-lité suivante :

Remarque

5.1. Cette version

_{multiplicative}

de l’induction de

_Rauzy

est propre aux

_échanges

de trois intervalles. En

particulier,

il ne

s’agit

_pas de

l’algorithme proposé

par A. Zorich dans

[28].

Nous utilisons la

symétrie

du

_graphe

_G,

introduit au

paragraphe

_4,

_pour

_privilégier

d’une certaine

façon

la

_permutation

_{(321). L’algorithme}

étudié dans

_[28]

ne

_distingue

au-cune

permutation,

mais

prend plutôt

en

_compte

la nature des transitions

intervenant entre les différentes

_{permutations.}

Soit T =

( (ll , l2, l3 ); (321 ) )

_un

échange

de trois

intervalles,

satisfaisant à

la condition I.D.O.C. Notons U la suite obtenue en codant l’orbite du

_point

0 sous l’action de T et V la suite obtenue en codant l’orbite du

point

0 sous

l’action de

_wk(T),

où k =

min{n

e ? tel _{que an} =

(321)}.

Il vient alors :

Nous proposons maintenant de

généraliser

cette remarque. Considérons

un

_échange

de trois

intervalles,

T =

((l°,12,13);

(321)),

satisfaisant à la

condition I.D.O.C. Pour tout entier _{n, notons}

Ainsi, in -

1 si la

_permutation

de

_l’échange

de trois intervalles

_induit,

~~M((l°, l2, l3));

(321))

est la

_permutation

₍₂₃₁₎

et

_in

= 0 si cette

permu-tation est

_(312).

Le coefficients an nous

renseigne

lui sur le nombre

d’étapes

d’induction additive de

_Rauzy

nécessaires _pour obtenir à

_partir

de

_l’échange

d’intervalles

_{~~M((l°, l2, l3)); (321))}

un

échange

d’intervalles dont la

per-mutation est à nouveau

_(321).

Ces coefficients ont ainsi une

interprétation

géométrique simple

dans le

_graphe

G de la

_figure

4.2.

Notons

_également

U(’)

la suite obtenue en codant l’orbite du

point

0 sous l’action de

l’échange

de trois intervalles

((li , l2, l3 );

(321)).

Alors :

Ce résultat est

_simplement

obtenu en itérant la _remarque

_{précédente.}

Le

fait _que

_in

E

_{~0,1 ~}

_implique

que soit

in

= 0 soit

_{1 - in = 0.}

Proposition

5.2. Avec les notations

_{précédentes,}

il vient :

Preuve. Le fait _{que, pour} tout entier _n, commence _par la lettre 1 nous

permet

d’a,Wrmer que

est

_préfixe

de

U~°~ .

Il nous suffit donc à

présent

de montrer _que

_{l’expression}

(1)

a un sens _pour la

topologie

produit

des

_topologies

discrètes sur

{1,2,_3}N

et définit bien une

suite infinie. Ainsi :

est un

_préfixe

du mot

sens à

l’expression

De plus

et

_{l’inégalité}

est stricte si 1 ou _an+1 &#x3E; 0. Ceci ce

produit

infiniment

souvent

_d’après

l’étude menée au début de ce

_paragaphe

sur les

_graphes

i E

_{1,2,3}.

Nous _pouvons alors aflirmer _que le mot

est infini et ainsi conclure. 0

Remarque

5.3. Nous avons

proposé

un

algorithme

linéaire

dépendant

de

trois variables _pour obtenir les coefficients _aj et

_ij.

Ceci

_peut

sembler naturel

_{puisqu’il s’agit}

d’un

_algorithme

de

_{décomposition}

des

_longueurs

d’échanges

de trois intervalles.

_Cependant,

la

_{décomposition}

est la même

pour deux

échanges équivalents.

C’est

pourquoi,

nous _proposons dans la

suite un

algorithme

de deux variables fournissant ces mêmes coefficients.

Considérons la transformation

_{projectivisée}

suivante :

Si T =

( (ll, l2, l3 ); (321 ) )

_{est un}

échange

de trois intervalles satisfaisant à

la condition

_I.D.O.C.,

_posons xo = =

11+12

(xo

E~O,1~

et _{yo E}

_{Ri )}

et =

yo)

_{pour n E} I~. Le fait _que

l’échange

T vérifie la

condition I.D.O.C. assure _pour tout entier n et nous

_permet

ainsi de _poser

Proposition

5.4. La suite de

_{coe£ficients}

_{(an, in)nEN}

est la même _que celle

Preuve. La _preuve se fait _par récurrence sur n. D

Définition 5.5. Considérons un

couple

de

paramètres

admissibles

(a,,8)

et

l’échange

de trois intervalles T

_qui

lui est associé. Nous

_appellerons

dévelop-pement

D associé au

_couple

_{(a, (3)}

la suite

(an,

in)nEN

obtenue comme nous

l’avons décrit

_{précédemment}

à

_partir

de

_l’échange

T.

Si

_{(a, (3)}

E

[0, lp,

a

ft Q

et

_{3

_«

Z + aZ mais a &#x3E;

_{3,

nous

appellerons

développement

D associé au

couple

(a,

(3)

le

développement

D associé au

couple

de

_paramètres

admissibles

_{(1 -}

_{a, 1 -,8).}

Théorème 5.6. Si U

_désigne

un

codage

de rotation non

dégénérés

de

pa-ramètres et

_{développement}

D associé au

couple

(a,,6),

alors :

où les

_{applications S, ~k}

et - sont celles

définies

dans le

paragraphe

3.

Preuve. La _preuve est immédiate

_d’après

les

_propositions

5.4 et 5.2 et

l’équation

(3.4).

D

Corollaire 5.7. Avec les notations du théorème

_précédent,

le

_système

dy-namique

symbolique

associé à un

codage

de rotation non

_dégénéré

de

pa-ramètres

_{(cx, ~3),}

est

_engendré

_par la suite :

et

Preuve. La _preuve est immédiate

_d’après

le théorème

_précédent

car le

Corollaire 5.8. Pour E

_{[0, I[}

et tout

_couple

de

_paramètres

non

dégé-nérés

_{(a, ~i),}

le

_langage

de la suite

_définie

par

l’équation

(3.1)

est le même que celui de la suite :

et

Preuve. Il suffit

_d’invoquer

la densité de la suite pour a

irration-nel,

et le corollaire 5.7. D

Les deux corollaires

_précédents

sont très

_proches

du résultat de

_[8].

Ce-pendant

le travail de G. Didier

_présente

deux inconvénients

_majeurs

_pour

notre étude. Tout

_d’abord,

les

_paramètres

_{(a, ~3)}

des

_codages

de rotations

considérés dans

_[8]

vérifient a Cette condition n’est _pas

du tout

_adaptée

au

problème

de théorie des nombres

qui

a motivé notre

étude,

contrairement à la

_condition,

_{arithmétiquement}

et combinatoirement

plus naturelle, (3 fi.

Z + aZ.

_Ensuite,

le théorème

_principal

de

_[8]

donne la

constuction,

pour tout

couple

(a, fl)

vérifiant a

min{/3,12013/3},

d’une suite

du

_{système dynamique engendré}

par le

codage

de rotation de

paramètres

(0:,,8);

mais ne construit _pas le

_codage

de rotation de

_paramètres

(a, (3),

comme nous le faisons dans le théorème 5.6. Là _{encore, pour}

répondre

aux

problèmes

de

_répartition

des suites il est nécessaire de construire

explicitement

ce

codage.

C’est

pourquoi

nous n’avons _pu utiliser le résultat

de

_[8].

6. Caractérisation des

_couples

_{(a, fl)}

dont le

_{développement}

V

est ultimement

_périodique

Nous cherchons à caractériser les

_couples

_pour

_lesquels

le

_{développement}

D

_associé,

introduit au

paragraphe

précédent,

est ultimement

_périodique.

Ceci revient à déterminer les

_couples

_(a,,8)

pour

lesquels l’orbite,

sous

l’ac-tion de l’induction de

_{Rauzy ~,}

de

_l’échange

de trois intervalles associé à la rotation de

_paramètres

_{(a, (3)}

_peut

se

représenter

_par un chemin ultimement

périodique

dans le

_graphe

G introduit au

_paragraphe

4.

Proposition

6.1.

Étant

donné un

_couple

(a,,6)

E

[0,1[~

_{vérifiant a £ Q}

et

_{{3 fi.}

Z +

_aZ,

_{appartiennent}

à un même _corps

quadratique

alors

Pour démontrer cette

_proposition,

nous avons besoin du résultat de M.

D. Boshernitzan et C. R. Carrol

_[4],

dont une version aoEaiblie et

adaptée

aux

échanges

de trois intervalles

_peut

être donnée sous la forme suivante :

Théorème 6.2

_{(Boshernitzan}

et Carrol

_[4]).

Soit

_T,

T =

((~2~3);~

un

échange

de trois intervalles

satisfaisant à la

condition LD. O. C. Sz les

longueurs ll, l2

et

_{l3 appartiennent}

à un même _corps

_quadratique,

alors

l’orbite de

_l’échange

_T,

sous l’action de

T,

est

_{représentée}

par un chemin

ultimement

_périodique

dans le

_graphe

G du

_{paragraphe 4.}

Preuve de la

_proposition

6.1. Si

_{(a, (3)}

est un

couple

de

paramètres

admis-sibles au sens de la définition

_2.2,

alors

l’échange

de trois intervalles

as-socié,

par

induction,

à la rotation de

paramètres

est

donné, d’après

l’équation

(3.2),

par :

Si de

plus

a et

_fl

_{appartiennent}

à un même _corps

quadratique,

il en est alors clairement de _{même pour} les

_longueurs

des trois intervalles de

_l’échange

T.

Ainsi,

l’orbite de

_T,

sous l’action de

B11,

est

_{représentée}

par un chemin

ultimement

_périodique

dans le

_graphe

G. C’est-

_à-dire,

le

_{développement}

D associé au

_couple

(a,

/3)

est ultimement

_périodique.

Dans le cas où a et

~3

appartiennent

à un même _corps

quadratique,

mais

que a &#x3E;

_#,

alors le

_couple

_{(1 -}

_{a,1 -}

_~3)

vérifie les conditions suivantes :

1 - a et

1 - (3 appartiennent

à un même _corps

quadratique

et 1 - a

1 - Q.

D’après

la définition

_5.5,

le

_{développement}

D associé au

_couple

(a, ~i)

est 1 à encore ultimement

_périodique.

0

Nous allons à

_présent

démontrer la

_propriété

_réciproque,

à savoir :

Proposition

6.3.

Etant

donné un

_couple

(et, (3)

E

~0,1 ~

_{véri, fiant}

a

¢ ~

et

_{~3 ¢}

Z + si le

_{d éveloppement}

D associé à ce

coupl e

d e

paramètres

est ultimement

_périodique,

alors a et

_~3

_{appartiennent}

à un même _corps

quadratique.

Pour établir cette

_proposition,

nous utilisons le résultat suivant démontré

dans

_{[4] :}

Proposition

6.4. Soit

_T,

T =

( (l1,

12,13);

a),

_un

échange

de trois

inter-valles

_satisfaisant

à la condition LD. O. C. et dont le Z-module

_engendré

par les

longueurs

et

13

est de rang 2. Si l’orbite de

l’échange T,

sous

l’action de

_BIf,

est

_{représentée}

_par un chemin ultzmement

périodique

dans

le

_graphe

G du

_paragraphe

_.~,

alors

_l’échange

T est

_équivalent

à un

échange

dont les

_longueurs

et

₁₃

_{appartiennent}

à un même _corps

quadratique.

Preuve de la

_proposition

6. ~. Soit

_{(0:, (3)}

un

_couple

dont le

_{développement}

l’échange

de trois intervalles associé par induction à la rotation de

pa-ramètres

_{(a, (3).}

_{Ainsi, d’après l’équation}

_{(3.2) :}

L’ultime

_{périodicité}

du

_{développement}

D associé au

couple

(a, Q)

implique

que l’orbite de T sous l’action est

_{représentée}

_par un chemin

ulti-mement

_périodique

dans le

_graphe

G. L’irrationalité de a entraîne _que le

Z-module

_engendré

par les

longueurs

ll, l2

et

_l3

est de _rang

_supérieur

à 2.

En normalisant

_l’échange

_T,

on obtient

l’échange

T défini _{par :}

Le Z-module

_engendré

par les

longueurs

de

l’échange

T est encore _{de rang}

supérieur

à

_2,

mais le fait d’être normalisé lui interdit évidemment d’être de

rang

maximum,

à savoir 3.

Ainsi,

le Z-module

engendré

par les

longueurs

de

_l’échange

T est _{de rang} 2. De

_plus

T est

_équivalent

à T et donc l’orbite de T sous l’action

de y

est elle aussi

_{représentée}

_par un chemin ultimement

périodique

dans le

_graphe

G.

_D’après

la

_proposition

_6.4,

il existe donc un

échange

de trois intervalles T’ _

_{((1[ , ~3);}

_{(321 ) ),}

_équivalent

à

_T,

dont les

longueurs appartiennent

à un même _corps

_quadratique.

Mais le fait _que T

soit normalisé et

_qu’il

soit

_équivalent

à T’

_{implique l’égalité}

suivante :

Les

_longueurs

des intervalles de

_l’échange

T

_{appartiennent}

donc aussi au

même corps

quadratique. D’après l’équation

(6.1),

il en est de même _pour

les

_quantités

ce

_qui

entraîne que a et

_{# appartiennent}

également

au même _corps

quadratique.

Si le

_couple

_(a,

_~3)

vérifie a &#x3E;

_~3

et que le

développement

D associé à ce

couple

est ultimement

_périodique,

alors le raisonnement

_précédent

conduit à montrer _que

_{(1-a) et (1-/3)}

_{appartiennent}

à un même _corps

_quadratique.

On en déduit immédiatement

qu’il

en est de même _pour a et

_Q.

D Nous _pouvons, à

_présent

réunir les deux

_{propositions précédentes}

_pour obtenir le théorème suivant :

Théorème 6.5. Soit

_(a,,8)

E

[0, 1 [2,

@

a £ Q et ,8 fi.

Z + aZ. Le

développe-ment D associé au

couples

(a"~)

est ultimement

_périodique

si et seulement

7. Caractérisation des suites

_primitives

substitutives obtenues

comme

_codages

de rotations

Dans ce

paragraphe,

nous cherchons à déterminer _pour

quels paramètres,

(cx, ~3),

le

_codage

de rotation de

_paramètres

_(a,

_fi)

définit une suite

substi-tutive

_primitive.

Nous _pourrons alors déterminer les

_codages

de rotations faisant intervenir des

_phénomènes

d’autosimilarité.

?.1. Le cas des

couples

de

paramètres

admissibles dont le

dévelop-pement

D est ultimement

_{périodique. Lorsqu’une}

famille de suites

symboliques

peut

être

_engendrée

_par un

_{système adique,}

les suites obtenues

par un

développement

ultimement

périodique

dans ce

système

sont liées à

un

point

fixe de substitution. Nous allons à

présent

exploiter

cette _remarque

dans le cas des

codages

de rotations.

Commençons

_par

rappeler quelques

définitions liées à la notion de substitution.

Définition 7.1. Une substitution

_e,

définie sur un

alphabet ,~4.,

est dite

primitive

s’il existe un entier k tel _{que pour tout} élément

~3

de .~4. et tout

élément -y

de

_{4, -y}

soit facteur de

_{~k (~3) .}

Remarque

?.2. Le fait

_{qu’une substitution e}

soit

_primitive

est

_équivalent

au fait _que sa matrice

_Me

d’incidence soit

_primitive,

c’est-à-dire admette une

_puissance

dont tous les coefficients soient strictement

_positifs.

Définition 7.3. Une suite U définie sur un

_alphabet

.A est dite

_primitive

substitutive s’il existe une substitution

_{primitive e}

sur un

alphabet

~i et un

morphisme 0 :

B* - ,~4* tels _que U où

_XC

est

_point

fixe de la substitution

_e.

Proposition

7.4. Soit

_(a,,8)

un

couple

de

_paramètres

admissibles au sens

de la

_définztion

2.2. Si a

_{appartiennent}

à un même _corps

quadratique,

alors le

_codage

de rotation de

_paramètres

_{(0:, (3)}

_définit

une suite substitutive

primitive.

Preuve. Si a et

_,8

_{appartiennent}

à un même _corps

_quadratique,

alors

_d’après

le théorème

_6.5,

le

_{développement D,}

_(an,in)nEN,

associé au

couple

(a, ~3)

est ultimement

_périodique.

Il vient tels _que

k

_{(an+T, in+T) =}

Or le théorème 5.6

_entraîne,

en notant U le

_codage

de rotation de

_paramètres

_{(a, ~3),}

_{que :}