Calcul d un modèle enveloppe pour la simulation de panneaux raidis en compression.

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panneaux raidis en compression.

Pascal Areny, Laurent Champaney, Philippe Cresta, Laurent Chambon

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Pascal Areny, Laurent Champaney, Philippe Cresta, Laurent Chambon. Calcul d’un modèle enveloppe pour la simulation de panneaux raidis en compression.. CFM 2009 - 19ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2009, Marseille, France. �hal-03390719�

Calcul d’un mod`ele enveloppe pour la simulation d’essais de structures a´eronautiques en compression

P. ARENY^a,b, L. CHAMBON^a, L.CHAMPANEY^b, PH. CRESTA^a

a.Laboratoire de M´ecanique et Technologie (LMT-Cachan),ENS Cachan/CNRS/UPMC/PRES UniverSud Paris, 61 av. du Pr´esident Wilson, 94230 CACHAN

b.EADS Innovation Works, 18 rue Marius Terce, 31025 TOULOUSE Cedex 03

R´esum´e :

La simulation de structures dans les conditions d’essai r´eelles est un des challenges `a relever pour la comparaison es- sais/calculs. Nous proposons ici une m´ethode de calcul d’un mod`ele enveloppe de la r´ealit´e, `a moindre coˆut, appliqu´ee `a une jonction boulonn´ee. Pour cela, nous introduisons des mod`eles simplifi´es des zones d’introduction d’efforts et propo- sons une extension de la th´eorie des m´econnaissances aux probl`emes de flambage afin de propager les incertitudes

Abstract :

The simulation of structures during actual test conditions is one of the challenges to be raised for the comparison between tests and predictions. We propose here a low cost calculation method of an envelope of the experimental solution, which is applied to a bolted joint assembly specimen in compression. To carry out this task, we introduce simplified models for the load introduction area and propose an extension of the Lack of Knowledge theory for buckling problems in order to propagate uncertainties

Mots clefs :

1 Probl´ematique

Les charges critiques de panneaux ou jonctions en compression sont tr`es sensibles aux dispersions des pro- pri´et´es des mat´eriaux ou des param`etres g´eom´etriques ainsi qu’aux modes d’introduction d’efforts. Ces pa- ram`etres peuvent cependant ˆetre associ´es `a des dispersion intrins`eques, ou bien ˆetre tr`es mal connus. Les r´esultats provenant de calculs d´eterministes sont alors `a consid´erer avec pr´ecaution. Une ´evaluation des charges critiques prenant en compte ces dispersions ou des incertitudes de mod`eles est souvent n´ecessaire mais co ˆuteuse.

Nous proposons dans cet article une m´ethode d’encadrement des charges critiques de flambage, globalisant les incertitudes au niveau de sous-structures `a l’aide d’une extension de la th´eorie des m´econnaissances aux probl`emes d’analyse de stabilit´e. Les blocs d’introduction d’efforts, souvent constitu´es de r´esine, sont source de beaucoup d’incertitudes, c’est pourquoi nous choisissons de les remplacer par un mod`ele simplifi´e, dont les param`etres peuvent ˆetre identifi´es lors de la pr´echarge de l’´eprouvette. Ainsi, grˆace `a un mod`ele peu co ˆuteux en temps de calcul, et `a une premi`ere estimation des m´econnaissances de base, nous d´eterminons une enveloppe des charges critiques.

Dans un premier temps nous ferons un rappel de la th´eorie des m´econnaissances. Apr´es une introduction aux probl`emes de stabilit´e lin´eaire nous ´ecrirons la th´eorie des m´econnaissances pour les probl`emes de stabilit´e.

Une application `a une jonction boulonn´ee illustrera la m´ethode dans la partie 3.

2 La th´eorie des m´econnaissances pour le flambage 2.1 Principe

Consid´erons une famille de structures similaires, puovant ˆetre mod´elis´ees comme un assemblage de sous- structures. Les interfaces pouvant aussi ˆetre consid´er´ees comme des sous structures. Nous choisissons de quantifier les incertitudes `a ce niveau, globalisant ainsi les sources d’erreurs au niveau des matrices de ri- gidit´es. Utilisant le concept de m´econnaissance, nous pouvons facilement comparer le mod`ele `a la r´ealit´e, o `u la r´ealit´e est aussi vue comme une famille de structures r´eelles. La th´eorie est bas´ee sur l’utilisation d’un mod`ele d´eterministe compl´et´e par un mod`ele de m´econnaissances. Il consiste `a associer `a chaque sous structureE d’une structure r´eelle une m´econnaissance de basem_E d´efinie sur un intervalle dont les bornes sont d´efinies par−m⁻_E ≤m_E ≤m⁺_E, soit, pour les rigidit´es :

(1−m⁻_E)K_E ≤K_E ≤(1 +m⁺_E)K_E (1) avec KEet KEles matrices de rigidit´e respectivement de la structure r´eelle et du mod`ele th´eorique d´eterministe.

Dans la pratique, ces in´egalit´es sont exprim´ees au sens des ´energies de d´eformation :

(1−m⁻_E)e_E(U)≤e_E(U)≤(1 +m⁺_E)e_E(U) (2) avece_E(U) = ¹₂UKEU l’´energie de d´eformation de la structure r´eelle, ete_E(U) = ¹₂UKEU l’´energie de d´eformation du mod`ele th´eorique d´eterministe.

Ces in´egalit´es doivent etre v´erifi´ees pour tout champ de d´eplacementU. Les deux quantit´esm⁻_E etm⁺_E sont des variables scalaires internes `a la sous structureE, elles sont appel´ees respectivement, m´econnaissance de base inf´erieure et sup´erieure.

Pour chaque sous-structure, la m´econnaissance de basem_E varie dans un intervale[m⁻_E, m⁺_E]. A chacune de ces bornes est associ´e une loi de probabilit´e.

2.2 Introduction au flambage lin´eaire

En analyse statique lin´eaire, une structure est consid´er´ee en ´etat d’´equilibre. Cependant, sous certaines condi- tions d’effort, la structure peut devenir instable. Lorsque cet effort est atteint, la structure continue de se d´eformer sans que l’effort n’augmente. Dans ce cas, la structure a flamb´e ou est devenue instable. (Nous trouverons plus de d´etail dans [1])

Seule l’analyse de stabilit´e est consid´er´ee. Dans d’autres termes, les modes de flambage ainsi que les charges critiques sont calcul´ees en se basant sur une analyse lin´eaire, nous ne prenons pas en compte les non lin´earit´es mat´eriau...etc.

En analyse elements finis, le probl`eme d’analyse de stabilit´e est obtenu en incluant l’effet de la matrice de rigidit´e g´eom´etrique en plus de la matrice de rigidit´e. La matrice de rigidit´e et la matrice de rigidit´e g´eom´etrique sont not´ees respectivement K et G.

La matrice de rigidit´e g´eom´etrique est fonction de la g´eom´etrie et du chargement, et nous consid´erons qu’elle d´epend lin´eairement des forces appliqu´ees.

La matrice de rigidit´e totale peut ˆetre exprim´ee comme suit :

Ktotal=K+G (3)

Nous pouvons ´ecrire l’´energie potentielle de la forme : [E] = 1

2{U}^TK{U}+1

2{U}^TG{U} (4)

Pour atteindre l’´equilibre, l’´energie potentielle doit ˆetre stationnaire, dans d’autres termes, l’´equation (5) doit ˆetre satisfaite :

∂E

∂U =K{U}+G{U}={0} (5) Il est plus pratique de l’´ecrire sous la forme :

[K+P_aG]{U} (6)

avec G = P_aG et P_a le chargement appliqu´e. Pour avoir une solution non triviale de l’ eq. (6), la relation suivante doit ˆetre satisfaite :

|K+P_aG|= 0 (7)

|.|repr´esente le d´eterminant de la matrice. L’eq. (7) est v´erifi´ee seulement pour certaines valeurs deP_a, ces valeurs sont appel´ees charges critiques.

Le nombre de charge critique est ´egal au nombre de degr´es de libert´es du mod`ele. Nous les notons :

P_cr =λ_iP_a (8)

Les valeurs λ_i sont les facteurs critiques par lesquels la force appliqu´ee P_a est multipli´ee pour obtenir les charges critiquesP_cri.

L’eq. (7) peut aussi ˆetre ´ecrite de la forme :

|K+λ_iG|= 0 (9)

L’eq. (9) correspond `a un probl`eme aux valeurs propres g´en´eralis´e.

En g´en´eral, seules les premi`eres charges critiques sont int´eressantes. Elles correspondent aux ph´enom`enes de

2.3 Propagation des m´econnaissances de base sur la charge critique de flambage

Consid´erons une quantit´e d’int´eretαassoci´ee `a une structureΩd’une famille de structures similaires. Nous d´efinissons∆α =α−α, o `uαest la quantit´e d’int´eret associ´ee au mod`ele avec m´econaissances etαla valeur associ´ee au mod`ele th´eorique d´eterministe.

Dans le mod`ele avec m´econaissances, on cherche `a associer `a chaque couple de m´econaissances(m⁻_E, m⁺_E)E∈Ω

`a deux bornes∆α⁺ et∆α⁻ de la quantit´e∆α. Si on connait les lois de probabilit´e des m´econaissances de base, nous pouvons d´eterminer les distributions des bornes∆α⁺et∆α⁻.

Pour chaque borne, nous pouvons associer les probabilit´es de r´ealisation P⁺(m⁺_E) et P⁻(m⁻_E) d´efinies ci dessous :

P⁺(m⁺_E) =P(0≤m_E ≤m⁺_E) (10) P⁺(m⁻_E) =P(−m⁻_E ≤m_E ≤0) (11) Il est pratique de d´efinir une seule quantit´e pour remplacer les deux probabilit´es pr´ec´edemment d´efinies.

Consid´erant une famille d’intervalles de m´econaissances de base[m⁻_E, m⁺_E]de mˆeme longueurL=m⁺_E+m⁻_E, l’intervalle standardI(L)est d´efini ci dessous :

I(L) = arg max [−m⁻_E, m⁺_E]

m⁺_E+m⁻_E =L

P⁺(m⁺_E) +P⁻(m⁻_E) (12)

soit l’intervalle tel que la probabilit´e de trouverm dans[−m⁻_E, m⁺_E]est maximum sur tous les intervalles de longueurLdonn´ee.

Nous introduisons la probabilit´e d’intervale P(L), la probabilit´e de trouver m_E dans l’intervalle standard I(L):

P(L) =P(m_E ∈I(L)) = max [−m⁻_E, m⁺_E]

m⁺_E+m⁻_E =L

P⁺(m⁺_E) +P⁻(m⁻_E) (13)

L’intervalle standard peut aussi ˆetre d´efini, pour une probabilit´e P donn´ee : I(LP) = arg min

[−m⁻_E, m⁺_E]

P⁺(m⁺_E) +P⁻(m⁻_E) =P

(m⁺_E+m⁻_E) (14)

C’est le plus petit intervalle[−m⁻_E, m⁺_E]pour une probabilit´eP donn´ee. Ces d´efinitions peuvent aussi ˆetre appliqu´ees sur la quantit´e d’int´erˆet α. Nous calculons par la suite l’intervalle standard pour une probabilit´e donn´ee de99%.

Les quantit´es d’int´erˆet choisies ici sont les charges critiques de flambage, ou, plus pr´ecis´ement, les facteurs critiquesλ_i, d´efinis par le probl`eme aux valeurs propres g´en´eralis´e :

(K+λ_iG){U}= 0 (15)

pouvant ˆetre ´ecrit de la forme :

G⁻¹KX =λ^′_iX (16)

avecλ^′_i=−λiet sous l’hypoth`ese que G est inversible.

Les modes de flambement sont obtenus par calcul des modes propres de la matrice G⁻¹K. Pour simplifier, nous choisirons un chargement initial P_a tel que λ^′_i ≥ 0. Seul le calcul du premier mode de flambement sera consid´er´e par la suite, ainsi nous consid´ereronsλ^′_i=1 = λ^′. Les quantit´es associ´ees au mod`ele th´eorique d´eterministe seront not´eesλetX. Celles de la structure r´eelle seront not´eesλetX.

Nous consid´erons ici des modes normalis´es par rapport `a la matrice de rigidit´e g´eom´etrique, c’est `a dire, v´erifiant l’´equation :

X^TGX = 1 (17)

Utilisant les ´equations (15) et (17), nous avons :

λ=X^TKX

λ=X^TKX (18)

La diff´erence∆λentre le facteur critiqueλde la structure r´eelle et du mod`ele th´eorique d´eterministe∆λ = λ−λpeut ˆetre ´ecrite :

∆λ=X^TKX−X^TKX

≈X^T(K−K)X = 2X

E∈Ω

(e_E(X)−e_E(X)) (19)

Ce qui am`ene en utilisant l’equation (2) aux expressions des bornes sup´erieures et inf´erieures suivantes pour la quantit´e d’int´erˆet :

∆λ⁻(θ) = 2X

E∈Ω

m⁻_E(θ)e_E(X) (20)

∆λ⁺(θ) = 2X

E∈Ω

m⁺_E(θ)eE(X) (21) Ainsi, les bornes sup´erieure et inf´erieure de la quantit´e d’int´erˆet sont exprim´ees par une simple ´equation lin´eaire exprim´ee en fonction des m´econaissances de base et des ´energies de d´eformation de chaque sous structure.

Nous avons not´e X le champ de d´eplacement relatif au premier mode de flambement, c’est `a dire X = X_λ=λ1 =X1.

La propagation des m´econnaissances de base peut ˆetre facilement obtenue pour les autres modes de flambement en remplacant le champ de d´eplacementX1 par le champ de d´eplacement relatif au mode de flambement consid´er´eX_i.

3 Application `a une jonction a´eronautique

Nous consid´erons ici une jonction boulonn´ee sollicit´ee en compression. La jonction (voir figure 1) est constitu´ee de 2 panneaux reli´es par un renfort, et un t´e. L’ensemble est maintenu en position par 16 boulons. Les blocs d’introduction d’effort, de part et d’autre, sont constitu´es d’un cerclage en aluminium (´epaisseur 10mm), et d’une r´esine ´epoxy.

Le tout est positionn´e dans une presse. Les blocs sont pos´es sur les plateaux de la presse. Une liaison lin´eaire annulaire d’axezest positionn´ee sur le T´e de la jonction afin d’´eviter un mode de flambement global.

FIG. 1 – Eprouvette de jonction boulonn´ee soumise `a un chargement de compression

Le mod`ele utilis´e est un mod`ele ´el´ements finis constitu´e de plaques. (voir figure 2). Il s’agit d’un mod`ele id´ealis´e, `a titre illustratif. Nous consid´erons que tous les efforts passent par frottement entre chaque partie, et donc que les plaques sont coll´ees les unes aux autres.

Les blocs d’introduction d’efforts sont source de beaucoup d’incertitudes. Premi`erement le comportement de la r´esine n’est pas parfaitement connu et varie en fonction des conditions environnantes. De plus, des bulles d’air peuvent se trouver dans cette r´esine, ce qui modifie son comportement global.

C’est pourquoi nous choisissons de remplacer le comportement du talon (r´esine + cerclage aluminium) par une r´epartition uniforme de ressorts dont nous identifierons la raideur pendant l’essai (notamment `a l’aide du d´eplacement hors plan en sortie de bloc).

FIG. 2 – Mod`ele ´el´ements finis (gauche) et premier mode de flambage (droite)

Consid´erant les diff´erentes sources d’incertitudes ainsi que la position et la fonction de chaque pi`ece, la sous- structuration choisie (illustr´ee figure 2) est d´ecrite ci-dessous :

– Sous-structure 1 : Panneau 1, panneau 2 – Sous-structure 2 : T´e, renfort

– Sous-structure 3 : Talons (CL)

Consid´erant les sources d’incertitudes sur les mat´eriaux et sur les param`etres g´eom´etriques de chaque pi`ece, nous avons choisi pour m´econaissance de base sur chaque sous-structure les valeurs donn´ees dans le tableau 1, en se basant pour une premi`ere ´evaluation sur une estimation d’experts plutˆot surestim´ees.

S.Struct.i Loi m⁻_E, m⁺_E

1 Uniforme ±18%

2 Normale ±15%

3 Uniforme ±40%

TAB. 1 – Description des m´econnaissances de base

Apr`es essais, elles seront r´eduites, par une technique de r´eduction des m´econnaissances de base ([2]). Cela permettra, pour les essais `a suivre, d’avoir une description des m´econnaissances sur chaque sous-structure repr´esentative de la r´ealit´e.

La contribution ´energ´etique au calcul du premier mode de flambement, de chaque sous structure est illustr´e sur la figure 3. Nous constatons que la sous structure qui travaille le plus pour le premier mode de flambement est la sous structure 1 compos´ee des deux panneaux. La sous structure repr´esentant les conditions aux limites n’intervient qu’`a hauteur d’environ 3%. N´eanmoins les m´econnaissances associ´ees `a ce type de sous-structure peuvent ˆetre relativement ´elev´ees et contribuer non n´egligeablement `a la variabilit´e de la charge critique.

FIG. 3 – Contribution ´energ´etique de chaque sous-structure pour le calcul du premier mode de flambement

La propagation des m´econnaissances de base sur la charge critique donne l’encadrement :0.801mm≤λ ≤ 1.119mm. Soitλ=λ±16.5%

4 Conclusion

Nous avons pr´esent´e dans cet article une m´ethode de cr´eation d’un mod`ele enveloppe pour la pr´ediction des charges critiques de flambage de structures en compression. Cette m´ethode a ´et´e appliqu´ee `a un essai de jonc- tion composite avec des dispersions ou des incertitudes de mod´elisation concernant les diff´erentes parties de la structure ainsi que les conditions aux limites appliqu´ees. Un encadrement de la charge critique de flambage a pu ˆetre obtenu `a moindre c ˆout pour des estimations des m´econnaissances associ´ees `a chaque sous-structures, `a partir d’une estimation d’expert par exemple.

Des mod`eles simplifi´es des blocs d’introduction d’effort ont ´et´e propos´es. Une identification des param`etres associ´es pourrait ˆetre envisag´ee. Le d´eplacement hors plan en sortie de bloc d’introduction d’effort pendant la pr´echarge de la structure est par exemple une quantit´e d’int´erˆet pertinente pour cette identification.

Enfin, il est aussi envisageable de mettre en oeuvre dans ce contexte une proc´edure de r´eduction des m´econ- naissances, a priori d´efinies de fac¸on grossi`ere, pour mieux d´eterminer, `a partir de r´esultats d’essai, les m´econ- naissances de bases associ´ees `a chaque constituant. Ainsi nous aurons une caract´erisation r´ealiste de la dis- persion r´eelle sur chaque sous-structure et pourrons pr´edire une enveloppe plus fine des charges critiques de flambage pour la famille de structures consid´er´ees.

R´ef´erences

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