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L’enveloppe des sous CE 2 Version formateur
Tâche des élèves
Déterminer mentalement la valeur d’une quantité représentée par un grand nombre d’étiquettes sur chacune desquelles est écrit une puissance de dix (1, 10, 100, 1 000).
Objectifs
• Introduire la règle d’échange dix contre un comme moyen efficace de désigner rapidement la valeur d’une quantité.
• Mettre en évidence les relations qui existent entre les différents ordres de groupement.
• Faire la distinction entre « valeur » et « quantité ».
• Mettre en évidence le fait qu’un nombre a plusieurs désignations possibles.
• Donner du sens au tableau de numération.
Séance 1
Objectifs de l’enseignant
Faire prendre conscience aux élèves de la nécessité d’utiliser les caractéristiques de notre système de numération décimale, le groupement par dix et la règle d’échange dix contre un, pour déterminer la valeur d’une quantité.
Tâche des élèves
Déterminer mentalement la valeur d’une quantité représentée par un grand nombre d’étiquettes sur chacune desquelles est écrit une puissance de dix (1, 10, 100, 1 000).
Matériel
Par groupe de deux élèves, une enveloppe contenant 80 étiquettes :
• 33 étiquettes marquées « 1 ».
• 26 étiquettes marquées « 10 ».
• 19 étiquettes marquées « 100 ».
• 2 étiquettes marquées « 1 000 ».
La valeur du contenu de l’enveloppe est égale à 4 193.
Chaque groupe dispose d’un crayon qui servira uniquement à écrire la valeur du contenu de l’enveloppe, une fois le comptage mental effectué.
Organisation
Alternance entre travail collectif et travail par groupe de deux élèves.
Les groupes sont homogènes.
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1010
1010 10
10 100
0 100 0 100
0 100
0 100
0
1 000 1 000
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Plusieurs mises en œuvre sont possibles : voici un exemple de déroulement.
Séance 1
Objectifs de l’enseignant
• Faire prendre conscience aux élèves de la nécessité d’utiliser les caractéristiques de notre système de numération décimale, le groupement par dix et la règle d’échange dix contre un, pour déterminer la valeur d’une quantité.
Les élèves sont placés en groupe de deux dès le début de la séance.
Phase 1 (collective) : Présentation de la tâche Durée : 15 minutes
Les enveloppes sont distribuées à chaque groupe d’élèves et ces derniers sont engagés à découvrir son contenu.
Consigne 1 : « Je vais vous distribuer une petite enveloppe, une par groupe. Vous pouvez l’ouvrir et me décrire ce que contient cette enveloppe. »
Les nombres écrits sur les étiquettes sont récapitulés.
Les élèves sont informés du fait que le contenu des enveloppes est le même pour chaque groupe.
Explication de la tâche à effectuer.
Consigne 2 : « Je vais vous demander de me dire combien de sous il y a en tout dans l’enveloppe. Avant de commencer, écouter bien ce que vous avez le droit ou pas de faire»
Présentation des contraintes :
• La recherche se fait mentalement :
Consigne 3 : « Vous n’avez pas le droit d’utiliser le cahier d’essais ni la calculette ; tout se fait de tête. »
• Le rôle du crayon à papier :
Consigne 4 : « Quand vous aurez terminé de compter, vous écrirez sur votre enveloppe, au crayon à papier, le résultat.»
Phase 2 (par groupe de deux) : recherche de la valeur du contenu de l’enveloppe Les élèves doivent déterminer la valeur du contenu de l’enveloppe.
Passer de groupe en groupe pour :
• S’assurer que les consignes ont été comprises, que les contraintes sont prises en compte.
• Observer et faire expliciter les procédures sans donner son avis.
• Encourager les élèves à persévérer.
Difficultés prévues : la gestion du grand nombre d’étiquettes.
Gestion du temps : si certains groupes ont terminé avant les autres, les réunir et confronter les résultats obtenus qui seront certainement différents afin qu’ils réfléchissent à une façon possible d’améliorer leur procédure pour trouver le résultat du contenu de l’enveloppe.
A la fin du temps imparti, engager les élèves à écrire le résultat du contenu de leur enveloppe sur cette dernière et à ranger les étiquettes à l’intérieur.
3 Mise en commun :
À l’issue de la phase d’action, une phase de formulation est nécessaire pour faire émerger les difficultés survenues.
Consigne 1: « Est-ce que l’exercice vous a paru difficile ou au contraire facile ? » Les élèves doivent argumenter leur réponse.
Réponses attendues : il y a beaucoup d’étiquettes ; il y a beaucoup de calculs à retenir dans la tête.
Consigne 2 : « Comment avez-vous procédé ? »
Les différentes procédures utilisées par les groupes sont explicitées et mises en évidence.
À l’issue de la synthèse de ces procédures, faire prendre conscience aux élèves qu’elles ne sont pas suffisamment efficaces pour que tous les groupes arrivent au même résultat (l’évocation de tous les résultats n’est pas utile, seul le fait qu’ils sont différents importe).
Consigne 3 : « Qu’est-ce qui vous faciliterait le comptage ? »
Dans le cas où les élèves ne proposent pas d’eux-mêmes la procédure d’échange, les mettre sur la voie en leur demandant de trouver un moyen pour avoir moins d’étiquettes dans l’enveloppe et éventuellement leur évoquer des situations dans lesquelles ils utilisent une procédure d’échange.
Conclusion
Introduire la règle d’échange dix contre un et demander aux élèves de quelle manière elle pourrait être utilisée pour déterminer de manière efficace la valeur du contenu de l’enveloppe.
Annoncer le but de la séance suivante : utiliser les échanges pour déterminer la valeur du contenu.
Séance 2
Objectifs de l’enseignant
• Rendre opératoire la règle d’échange dix contre un.
• Faire la distinction entre « valeur » et « quantité ».
• Donner du sens au tableau de numération.
Matériel
Par groupe de trois élèves.
• Une des enveloppes de la séance précédente (certaines enveloppes ne seront donc pas redistribuées puisque les élèves sont par trois et non plus par deux comme à la première séance).
• Une boîte « échanges » à quatre compartiments : un compartiment sans étiquette, un compartiment contenant 4 étiquettes marquées « 10 », un compartiment contenant 4 étiquettes marquées « 100 » un compartiment contenant 3 étiquettes marquées « 1000 ».
• Un crayon qui servira uniquement à écrire la valeur du contenu dans l’enveloppe, une fois le comptage mental effectué.
Pour l’affichage au tableau lors de la mise en commun.
• Des étiquettes cartonnées représentant le contenu de l’enveloppe ;
• Des étiquettes cartonnées représentant le contenu de la boîte « échanges ».
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Pour la comparaison entre le contenu initial de l’enveloppe et son contenu après échange.
• Une affiche représentant le contenu initial de l’enveloppe et de la boîte « échanges ».
• Une calculatrice par groupe.
Les groupes de trois élèves sont constitués dès le début de la séance et de la manière suivante : les élèves responsables de la boîte « échanges » sont des élèves qui ne sont pas en difficulté, les deux autres sont choisis de manière à retrouver les binômes de la première séance.
Rappel de la séance précédente
Consigne 1 : « Qui peut rappeler ce qui s’est passé lors de la séance précédente ? » Évocation des enveloppes et de leur contenu et de la tâche à effectuer.
Évocation du fait que les résultats obtenus concernant la valeur du contenu de l’enveloppe sont différents.
Évocation du fait que le comptage était difficile et qu’il a fallu trouver un moyen pour le faciliter :
Consigne 2 : « Qu’est-ce qui pourrait faciliter le comptage ? » Évocation de la possibilité de pratiquer des échanges.
Phase 3 (collective) : Introduction de la boîte « échanges »
Présentation de la boîte « échanges » : montrer le contenu de la boîte et faire anticiper son fonctionnement par les élèves.
Consigne 3 : « Qui a une idée de la manière dont on va l’utiliser ? »
Écouter les propositions des élèves et en tenir compte pour expliquer le fonctionnement de la boîte « échanges ».
• Bien mettre en évidence la matérialisation des échanges entre les étiquettes de l’enveloppe et celles contenues dans les compartiments de la boîte, le rôle du compartiment vide.
• Faire préciser aux élèves ce que veut dire « échanger ».
• Matérialiser les échanges entre les étiquettes de l’enveloppe et celles de la boîte
«échanges» par un ou plusieurs exemples : si on prend 10 étiquettes marquées « 1 » dans l’enveloppe, on peut les échanger contre une étiquette marquée « 10 » de la boîte
«échanges».
• Mettre en évidence qu’il ne faut pas mélanger les étiquettes contenues dans l’enveloppe avec celles contenues dans la boîte « échanges » en rappelant le but de la tâche : trouver la valeur du contenu de l’enveloppe.
• Introduire alors la présence dans chaque groupe d’un responsable des échanges en donnant le prénom de chacun et expliciter la tâche des deux autres membres du groupe qui seront responsables de l’enveloppe et devront trouver la valeur de son contenu.
Phase 4 (groupe de trois) : recherche de la valeur du contenu de l’enveloppe
La tâche est précisée : trouver de tête la valeur du contenu de l’enveloppe en pratiquant des échanges.
Distribution des boîtes « échanges » dans chaque groupe de trois élèves.
Précision de la durée de la recherche : 10 minutes.
Passer de groupe en groupe pour :
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• S’assurer que les consignes ont été comprises, que les élèves effectuent plusieurs échanges, que la tâche de chacun est respectée.
• Observer et faire expliciter les procédures sans donner son avis.
• Encourager les élèves à persévérer, à effectuer tous les échanges possibles de manière à avoir un nombre d’étiquettes de chaque sorte, inférieur à dix.
Lorsqu’un groupe a terminé d’effectuer tous les échanges, engager les élèves à expliciter ce qu’il y a dans l’enveloppe et ce qu’il y a dans la boîte « échanges », leur demander de trouver un moyen pour vérifier si les échanges ont été bien faits.
À la fin de cette phase, engager les élèves à écrire le résultat trouvé pour la valeur du contenu de l’enveloppe.
Annoncer le temps collectif suivant : « gardez la boîte « échanges » devant vous et rangez les étiquettes restantes dans l’enveloppe. Vous allez passer au tableau pour expliquer comment vous avez procédé. »
Phase 5 (collective) : Mise en commun
Prévoir du matériel pour l’affichage au tableau ou au TBI :
• Des étiquettes cartonnées représentant le contenu de l’enveloppe ;
• Des étiquettes cartonnées représentant le contenu de la boîte « échanges ».
• deux tableaux dessinés comme celui ci-dessous : un pour représenter l’enveloppe, un pour représenter « la boite d’échange »
Étiquettes « 1 » Étiquettes « 10 » Étiquettes « 100 » Étiquettes « 1000 »
Reprise du problème
Un élève est chargé de venir placer dans le tableau « enveloppe » les étiquettes d’une même valeur correspondant au contenu initial de l’enveloppe avant les échanges, les 33 étiquettes marquées « 1 », les 26 étiquettes marquées « 10 », les 19 étiquettes marquées « 100 » et les 2 étiquettes marquées « 1000 ». Les autres doivent vérifier que les étiquettes sont affichées au bon endroit.
Un autre élève vient afficher des étiquettes correspondant au contenu initial de la boîte
« échanges ».
Préciser que ce qui est affiché au tableau correspond au contenu de l’enveloppe et à celui de la boîte « échanges » avant que les échanges soient effectués.
Consigne 1 : « Ce qui est affiché au tableau correspond à ce que vous aviez dans l’enveloppe à la séance précédente et au début de celle-ci. Maintenant on va voir comment vous avez effectué au fur et à mesure les échanges. »
Explication du fonctionnement des échanges en relation avec l’affichage du tableau.
Un élève est envoyé au tableau pour effectuer les échanges correspondant à chacun des ordres.
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• L’inciter à expliquer clairement ce qu’il fait afin que tous puissent l’entendre. Inciter les autres élèves à émettre leur avis, ou à aider leur camarade en cas de besoin.
• Faire préciser le moment où on ne peut plus faire d’échange. « Quand est-ce qu’on ne pourra plus échanger ? »
Valeur du contenu de l’enveloppe
Une fois tous les échanges réalisés, faire expliciter la valeur du nouveau contenu de l’enveloppe et l’écrire au tableau.
• Inciter les élèves à faire le lien entre la désignation écrite chiffrée de la valeur du contenu de l’enveloppe après échange et le nombre d’étiquettes de chaque valeur affichées dans chaque colonne du tableau : 4193 correspond à l’affichage de 4 étiquettes marquées « 1000 », 1 étiquette marquée « 100 », 9 étiquettes marquées
« 10 » et 3 étiquettes marquées « 1 ».
• Faire le lien entre le tableau de numération et la signification de la position de chacun des chiffres de l’écriture d’un nombre en termes de groupement : le chiffre 1 écrit dans la colonne des centaines signifie 100….
Demander aux élèves de comparer ce résultat avec celui qu’ils ont écrit sur leur enveloppe.
« Quels sont les groupes qui ont trouvé 4 193 ? »
Phase 6 (collective, puis individuelle) : comparaison entre le contenu initial de l’enveloppe et le contenu après échange.
Afficher le contenu initial de l’enveloppe et le contenu final de l’enveloppe après échange sous forme de deux tableaux avec l’écriture du nombre d’étiquettes de la même valeur dans la colonne correspondante puis éventuellement distribuer une calculette par groupe.
Consigne : « Comparez les résultats correspondants au contenu initial de l’enveloppe et au contenu de l’enveloppe après échange. Quel est le plus grand ? »
Recueillir les propositions des élèves et les mettre en débat.
Difficulté prévue : confusion entre la valeur du contenu et la quantité d’étiquettes.
Au cours du débat :
• Revenir sur la signification des nombres écrits dans chacune des colonnes du tableau.
• Faire distinguer « valeur » et « quantité ».
Conclusion
• Comparaison des deux résultats. Mise en évidence du fait qu’ils sont identiques.
• Revenir sur la fonction des échanges : « À quoi ça sert de faire des échanges ? ». Ils ont permis de réduire le nombre d’étiquettes dans l’enveloppe et donc de trouver plus facilement la valeur du contenu de l’enveloppe
• Quand tous les échanges possibles ont été faits, le nombre d’étiquettes de chaque valeur (de 1, de 10, ou de 100, ou de 1000) est toujours plus petit que 10. Cela permet d’écrire directement le nombre correspondant au total de l’enveloppe.
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7 Annexe CE2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1 000 1 000 100 100 100 100 100 100
• 33 étiquettes marquées « 1 ».
• 26 étiquettes marquées « 10 ».
• 19 étiquettes marquées « 100 ».
• 2 étiquettes marquées « 1 000 ».
8 Pour adapter la situation en CM1
• 32 étiquettes marquées « 1 ».
• 28 étiquettes marquées « 10 ».
• 19 étiquettes marquées « 100 ».
• 16 étiquettes marquées « 1 000 ».
• 3 étiquettes marquées « 10 000 ».
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10
10 000 10 000
10 000
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1010
10 10 10
10 100
0 100 0 100
0 100
0 100
0
1 000 1 000
1 000
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