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Fluctuations quantiques et thermiques dans les
transducteurs électromécaniques
Francesca Grassia
To cite this version:
Francesca Grassia. Fluctuations quantiques et thermiques dans les transducteurs électromécaniques. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1998. Français. �tel-00011777�
LABORATOIRE
KASTLER
BROSSEL
Thèse de
doctorat del’Université
Pierre et MarieCurie
Spécialité : Physique
Quantique
présentée
parFrancesca
GRASSIA
pour obtenir le
grade
de Docteur de l’Université Pierre et Marie CurieSujet
dela
Thèse :FLUCTUATIONS
QUANTIQUES
ET
THERMIQUES
DANS LES TRANSDUCTEURS
ELECTROMECANIQUES
Soutenue le 26 juin 1998 devant
le jury composé
de :M Ph TOURRENC Président M. J-M COURTY
M. Ph. GRANGIER
Rapporteur
M. S. REYNAUD Directeur de thèseLABORATOIRE
KASTLER
BROSSEL
Thèse
dedoctorat
del’Université
Pierre et MarieCurie
Spécialité : Physique Quantique
présentée
parFrancesca
GRASSIA
pour obtenir le
grade
de Docteur de l’Université Pierre et Marie CurieSujet
de la Thèse :FLUCTUATIONS
QUANTIQUES
ET
THERMIQUES
DANS
LES TRANSDUCTEURS
ELECTROMECANIQUES
Soutenue le 26 juin 1998 devant
le jury
composé
de : M. Ph. TOURRENC Président M. J-M. COURTYM. Ph GRANGIER
Rapporteur
M. S. REYNAUD Directeur de thèse M. F. RICCIRapporteur
Je considère
qu’un
travail de thèse ne peutjamais
êtresolitaire,
sauf dans des caspathologiques.
Cela a été
particulièrement
vrai etimportant
pour le mien. Pour que les limitesd’espace
nem’obligent
à taire le rôle dequelqu’un
ou les raisons de sonimportance,
j’ai
décidé d’en confier lamémoire à une liste. Si
j’ai
été aussi transparente queje
le désiraispendant
cesannées, je
peux me permettre de croire que chacun saurapourquoi
son nomapparaît
ci-dessous.LaboratoireKastlerBrossel
EcoleNormaleSupérieure
UniversitéPierreetMarieCurie UniversitéDenisDiderot MichèleLeducSergeHaroche
Equiped’OptiqueQuantique
ElisabethGia-cobinoFrançoisBiraben
UniversitédeMilanGouvernementFrançais CommunautéEuropéenne
SergeReynaud
Jean-MichelCourty
LaurentHilico
Universitéd’Evry
Marc-ThierryJaekel
AgnèsMaître
NicolasBilly
LUCILEJULIENBernard-Cagnac YassineHadjar
AntoineHeidmann ASTRIDLAMBRECHTPierre-FrançoisCohadon
BenoîtGrémaud
ThomasCoudreauCatherineSchwob
Al-bertoBramatiFrançoisNez
BéatricedeBeauvoir MichelPinardDominiqueDelande
ClaudeFabre PaulIndelicatoFerdinandoDeTomasi
ArnedeMeijere
Aephraim-Steinberg
FrancescoMarinStephaneBoucard
PascalEl-Khoury
HichemEleuchJean-PierreHermier
ThibaultJonckheere GaetanMessin Laurent Vernac FrancisTrehin Alexis-PoizatBernardRodriguez
GuyFlory BlandineMoutiers
KarineGautier Jean-PierrePlautPHILIPPEPACE
Jean-PierreOkpisz
Marie-ClaireRigolet
PhilippeTourrenc
Philippe-Grangier
FulvioRicci PierreTouboul
AriannaFiloramo
Ferdinan-doDeTomasiYassineHadjar RandaHadjar
ThomasCoudreauSylvieKipfer
AGNÈSMAÎTRE
Pierre-FrançoisCohadon
ValérieCohadon LucaGuidoni LetiziaGuidoni EftihiaJones-GorlinEnricoCeleghini GiuseppeVitiello
AdalbertoGiazottoDimitriBatani
AlbertoZaf-faroni
MichelaPetrini
AlessandraGattiLivioCaputo
ARNEDEMEIJERE
MarinaCaputo
GIULIADEMEIJERE
MoséZippi
AlvianaGras-sia EmmaGrassia Pier-AndreaGrassia
StefaniaDePasquale
MarinaMelandri
Lau-reHeidmann AntoineGautier RémiSoucaze ValentineMoutiers AubinGrémaud SixtinedeBeauvoir
TABLE DES MATIERES
I Introduction 3
A Les motivations ... 3
B Les contextes
expérimentaux
etthéoriques
... 8C Le contenu de ce travail ... 11
II Le bruit
quantique
dans les réseauxpassifs
15 A Les réseaux linéaires ... 161 Le théorème de
Nyquist
... 162 Les
multipôles
linéaires ... 263 La sensibilité de la mesure ... 37
B Les réseaux nonlinéaires ... 39
1 Un
exemple
de transducteur nonlinéaire ... 392 Fonctionnement en
polarisation
constante ... 423 Fonctionnement en
polarisation
oscillante ... 45C Une
application
à la détectionQND
... 521
Couplage
entrequadratures
enoptique
... 522
Couplage
dequadratures
électromécaniques
... 553 Les limites
quantiques
dans une mesureQND
... 59III Le bruit
quantique
dans les réseaux actifs 61 AL’amplificateur
linéairequantique
... 62B
L’amplificateur
opérationnel quantique
... 661
L’amplificateur
en boucle ouverte ... 662
L’amplificateur
branché sur deuxlignes
... 69C
L’amplificateur
avec contre-réaction ... 723 Discussion de la mesure ... 82
IV
Application
aux accéléromètresélectrostatiques
85 A La friction froide ... 871
L’impédance mécanique après
contre-réaction ... 892 La matrice de diffusion ... 90
3 Mesure avec friction froide ... 93
B Le transducteur
capacitif
différentiel ... 961 Le
point
de fonctionnement ... 972 La transformation des fluctuations ... 100
3 La
description
despertes
électriques
... 107C L’accéléromètre
capacitif
à friction froide ... 1071 Modélisation de l’accéléromètre ... 108
2 Les résultats des calculs ... 111
3 Discussion des limites ultimes ... 115
V Conclusion et
perspectives
117 VIAppendices
121 ARéponse
linéaire etsusceptibilités
... 121B Bruit
ajouté
etrapport
signal
sur bruit ... 122C
Equations
du transducteurcapacitif
différentiel ... 124D Fonctionnement du transducteur avec une
polarisation
désaccordée .... 125E Influence des
pertes
... 127I. INTRODUCTION
A. Les motivations
Les fluctuations sont
présentes
dans toute mesure et en limitent la sensibilité ultime.Ceci est vrai non seulement pour les fluctuations de nature instrumentale mais aussi pour les fluctuations fondamentales
qui correspondent
au bruitthermique
et au bruitquantique.
Le rôle fondamental des fluctuations a été mis en évidence par Einstein
[1]
etLangevin
[2]
dans leur
analyse
du mouvement Brownien. Les fluctuations observables sur cesystème
sontliées d’une
part
à latempérature,
d’autrepart
à ladissipation.
A tout mécanisme defriction,
qui
aurait pourconséquence
le refroidissement dusystème,
sont associées des fluctuationsqui
conduisent à l’existence d’un étatd’équilibre
thermodynamique
où lesystème
se thermaliseà la
température
du bain aveclequel
il estcouplé.
Cette relation est connue sous le nom dethéorème
fluctuations-dissipation.
Le
spectre
des fluctuations est constitué non seulement par lespectre
de corps noirexprimant
le nombre dephotons thermiques
[3],
mais aussi par un termesupplémentaire
caractérisant les fluctuations du vide
[4,5].
A la limite de latempérature nulle,
desfluctua-tions
persistent
donc: ce sont les fluctuationsquantiques
proprement
dites. Toutsystème
réel est donc soumis non seulement à des fluctuationsthermiques
mais aussi à des fluctuationsquantiques
et leurs effets doivent enprincipe
être décrits dans le même formalisme[6,7].
Si on se limite aux fluctuations
quantiques,
leurs effets sur la mesurequantique
a faitl’objet
de très nombreuses étudesdepuis
les débuts de la théoriequantique.
Ces études ontmontré que la
mécanique quantique impose
des contraintes incontournables à la mesure. Cescontraintes sont bien résumées dans les
inégalités
deHeisenberg
[8].
Cesinégalités
affirmentqu’il
estimpossible
de mesurer simultanément avec uneprécision
arbitraire deux observablesde
position
oud’impulsion
d’uneparticule
libre. Elle concerne non seulement lesobjets
typiquement quantiques
du domainemicroscopique,
mais aussi desobjets macroscopiques
ayant
une masseimportante
tels que les antennesgravitationnelles.
Ellespeuvent
paraîtie
àpremière
vuenégligeables
dans ce second cas, mais ellesjouent
néanmoins un rôle dans les mesures dès que la sensibilité est suffisammentgrande.
La discussion de la
signification
profonde
de ces relations aengendré
de nombreux débats.La
conception
longtemps
dominante,
celle dite deCopenhague,
est que toute mesurequan-tique
perturbe
nécessairement lesystème
observé. C’est vers cette conclusion que pousse la célèbreexpérience
depensée
dumicroscope
deHeisenberg
où laposition
d’un électron estmesurée par son interaction avec un
photon.
Laperturbation
del’impulsion
de l’électronlors de cette mesure affecte nécessairement d’éventuelles mesures ultérieures. Si la
précision
de la
première
mesure, à l’instantt,
est 0394x(t),
alors laprécision
de la seconde mesure, àl’instant t +
T,
est telle queoù M est la masse de
l’objet
observé. La limitesuggérée
par ce raisonnementest
appelée
limitequantique
standard.En
développant
uneapproche
plus
générale
de la théorie de la mesure, von Neumann[9]
propose une nouvelle
expérience
depensée
où il mesure la vitesse de laparticule
libreplutôt
que sa
position.
Cette mesure est soumise aux relationsd’Heisenberg
mais la rétro-action dela mesure, ici une
perturbation
de laposition,
n’a pas d’effet sur une mesure ultérieure dela vitesse
puisque
l’impulsion
est une constante du mouvement pour uneparticule
libreSi on voulait définir ici une limite
quantique
standard,
elle serait nulle. Hormis son intérêtpar la mesure.
Lorsque
l’on mesure au cours dutemps
unequantité physique donnée,
lamécanique
quantique
n’impose
pas forcément dedégradation
Toutefois, la nature
fondamentale, intrinsèque,
des fluctuationsquantiques
reste incon-tournable. Desinégalités
deHeisenberg
s’appliquent
à tous lessystèmes physiques puisqu’ils
sont
toujours
décrits par desgrandeurs
physiques
non commutatives. Pour décrire dema-nière
précise
les limites ultimes de sensibilitéqui
peuvent
être atteintes dans une mesure, il est doncimportant
de s’assurer que ces contraintesquantiques
sont bienprises
encompte
dans le traitement
théorique
des fluctuations.Par
ailleurs,
si l’on veut décrire le bruit dans des mesuresréelles,
il faut aussi tenircompte
decaractéristiques importantes qui
sont habituellementnégligées
dans les discussionshistoriques
sur la mesurequantique.
Tout
d’abord,
laplupart
de ces discussions ne considèrent que dessystèmes
affectés par les fluctuationsquantiques,
et semblent oublier la nature commune de celles-ci avecles fluctuations
thermiques.
Si dans le domaineoptique,
lesfréquences
enjeu
sont tellesque le bruit
thermique
estnégligeable
à latempérature ambiante,
cela n’estplus
vrai auxfréquences
intervenant dans les mesuresmécaniques
ouélectriques.
Enfait,
trèssouvent,
lesfluctuations
quantiques
nepeuvent
pas être observées car elles se situent à un niveau de loininférieur à celui du bruit
thermique.
Ensuite,
les raisonnements sur la mesurequantique
présupposent
souvent lapossibilité
d’effectuer une mesurequantique
idéale. Par mesureidéale,
nous entendons enparticulier
une mesure instantanée et infinimentprécise.
Mais cettehypothèse
ne se rencontrejamais
dans les situations
expérimentales
réelles. Toute mesure réelle se déroule dans letemps.
Autrement
dit,
ellecorrespond
à une bandepassante
limitée et non infinie. Ceciimpose
de tenircompte
de ladynamique temporelle
dusystème
en introduisant uneanalyse spectrale.
De
plus,
toute mesure résulte ducouplage
entre lesystème
et unappareil
de mesure et cetappareil
de mesureajoute
du bruit sur lesignal
mesuré tout en exerçant une rétro-action sur lesystème.
C’est le caségalement
de tout élémentdissipatif
intervenant dans la mesure.Neumann.
Nous pouvons maintenant définir une
problématique
de la mesurequantique
qui réponde
auxquestions posées
ci-dessus. Nous voulons d’abordprendre
encompte
les fluctuationsquantiques
etthermiques
dans un même formalisme. Ce formalisme doitgarantir
que letraitement des fluctuations soit
toujours
consistent avec les contraintesimposées
par lathéorie
quantique.
Il doitégalement
se baser sur une idée de mesure non-instantanée sedéroulant avec une certaine bande
passante.
Enfin,
la mesure doit êtreinterprétée
comme lerésultat du
couplage
entre lesystème
et unappareil
de mesure et rendrecompte
des sourcesde bruit associées à tous les mécanismes de
dissipation.
Un cadre
approprié
pourrépondre
à cesquestions
est celui de la théorie des réseaux. Cetype
d’approche
a étédéveloppé
de manière extensive pour traiterprécisément
l’effet desfluctuations
thermodynamiques
dans dessystèmes dissipatifs complexes
àl’équilibre
[10,11]
Il apermis d’approfondir
lacompréhension
du théorèmefluctuations-dissipation
enparticu-lier par l’établissement des relations de
réciprocité
[12,13].
Né dans le contexte del’analyse
du bruitNyquist-Johnson
dans les réseauxélectriques
[14,15],
il a en réalité uneportée
bienplus
vaste[6,7].
Une autre limite des discussions sur le
problème
de la mesurequantique
estqu’elle
ne traite
généralement
que des élémentspassifs. Or,
les composants actifsjouent
un rôleessentiel dans de nombreux
exemples
de mesures ultra-sensibles. Enparticulier,
unefaçon
simple
de poser leproblème
de la mesurequantique
est de considérer que laquantité
àmesurer dans le
système
est directement branchée à l’entrée d’unpréamplificateur. L’étape
depréamplification
a pour but d’amener lesignal
quantique
à un niveauclassique
en yajoutant
le moins de bruitpossible.
Biensûr,
comme pour ladissipation,
il y a nécessairementdes fluctuations
ajoutées qui
sont leprix
à payer pour lephénomène d’amplification
et cesfluctuations doivent
respecter
les contraintesimposées
par la théoriequantique
[16-19].
Lessystèmes
modernes de mesure ultra-sensible utilisent souvent aussi desasservisse-ments
permettant
une stabilisation active dusystème.
Ces stabilisations activespermettent
zones
trop
grandes
del’espace
desparamètres.
Mais ellespermettent
aussi d’en modifier lecomportement
dynamique
et,donc,
laréponse
aux fluctuations. Unexemple
particulière-ment intéressant pour nous est celui d’une stabilisation active
qui
simule un mécanisme defriction par une contre-réaction
électrique
[20-22].
Les relationsthermodynamiques
usuelles entre les fluctuations et ladissipation
sont alors contournées et il estpossible
de réduire latempérature
équivalente
de bruitcorrespondant
à cettedissipation
très en dessous de latempérature
ambiante. Ceci a valu à cettetechnique
le nom de friction froide. Unproblème
reste toutefoisposé
vis à vis des fluctuationsquantiques.
Le mécanisme de friction froide nepeut
en effet pas contourner lesinégalités
deHeisenberg.
Il faut doncanalyser
defaçon plus
précise
comment la réduction des fluctuationsthermiques
estcompatible
avec lerespect
descontraintes
quantiques.
Ces réflexions nous amènent donc à poser les
questions
suivantesqui
serontl’objet
prin-cipal
de ce travail de thèse.Une
première question,
générale,
concerne la mise enplace
d’une méthode de traitementdes fluctuations
quantiques
etthermiques
dans unsystème
de mesure réel: comment lestraiter,
quel
que soit le niveau decomplexité
dusystème, quelle
que soit la naturepassive
ou active de ses
composantes?
Ce traitement doits’appliquer
aux fluctuationsthermiques
tout engarantissant
la consistence du traitement avec lamécanique quantique.
Une deuxième
question, plus
spécifique,
concerne lessystèmes
électromécaniques.
Eneffet,
le bruit de cessystèmes,
habituellement dominé par les fluctuationsthermiques,
a étérepoussé
deplus
enplus près
du niveau du bruitquantique,
sous lapression
desexpériences
nécessitant de très hautes
sensibilités,
etgrâce
auxdéveloppements technologiques
dans ledomaine
cryogénique
enparticulier.
Le rôle des fluctuationsquantiques
dans la déterminationdes limites de sensibilité de telles
expériences
est ainsi devenu deplus
enplus important.
Il devient donc nécessaire d’évaluer les effets des fluctuations
quantiques
etthermiques
surla sensibilité des mesures
électromécaniques.
Enparticulier,
il fautanalyser précisément
laB. Les contextes
expérimentaux
etthéoriques
L’étude des fluctuations
quantiques
est motivée non seulement par le rôlefondamen-tal
qu’elles
jouent
dans la théorie de la mesurequantique,
mais aussi par le rôlequ’elles
jouent
dans certainesexpériences
de trèsgrande
sensibilité[23].
Enparticulier,
ces études ont souvent été stimulées par lesperspectives
de détection des ondesgravitationnelles.
Les détecteurs utilisent destechniques
de mesure extrêmement sensiblesqui approchent
le ni-veau du bruitquantique.
La maîtrise du traitement des fluctuationsquantiques
dans cessystèmes
est donc nécessaire d’abord pourpouvoir
contrôler leur effet sur la sensibilité dela mesure et ensuite pour proposer des
techniques
nouvellesqui
permettent
de repousser leslimites de sensibilité au dessous de la limite
quantique
standard.La recherche
expérimentale
des ondesgravitationnelles
est née au début des années 60.J. Weber a
proposé
des antennescapables
de résonner au passage d’une ondegravitation-nelle
[24,25].
Ces antennes sont engénéral
des barresd’aluminium, qui
ont unpoids typique
de
quelques
tonnes,
unelongueur
dequelques
mètres,
et dont lafréquence
dupremier
modelongitudinal
est de l’ordre du kHz. Lerapport
signal
sur bruit d’une barre de Weberpeut
être fortement amélioré en
couplant
l’antenne à un second oscillateurmécanique,
de masseplus petite,
accordé enfréquence.
La lecture dusignal
est assurée par un transducteurélec-tromécanique, typiquement
un transducteurcapacitif.
Ledéplacement
de la masse entraîne une variation decapacité qui
se traduit en unsignal
électrique.
Pour essayer de réduirele
plus
possible
les effets néfastes du bruitthermique,
une nouvellegénération
d’antennesgravitationnelles ultra-cryogéniques
est en cours dedéveloppement
en Italie(NAUTILUS
àRome et AURIGA à
Legnaro).
Ces mesures
utilisent,
sous une formedifférente,
l’argument,
introduit pour lapremière
fois par von Neumann et
rappelé
plus haut,
d’une mesure sans contre-réaction del’appareil
de mesure sur l’évolution de l’observable mesurée. Cette idée a été de nouveau discutée au
début des années 70 par
Braginsky
[26],
puis
Thorne[27]
et Caves[28]
après
la stimulationou des interféromètres. Elle a
depuis
faitl’objet
de nombreuses étudesthéoriques
et de vérificationsexpérimentales
concluantes. Dans une telle mesure, le bruitquantique
amenépar l’interaction avec
l’appareil
de mesure n’affecte pas laquantité
mesurée lors de sonévolution au cours du
temps.
Plusieurs noms ont étéforgés
pour décrire cettepropriété,
celui de mesure
quantique
non-démolissante(QND
pourQuantum
NonDemolition)
[30]
ou celui de mesureséchappant
à la rétro-action(BAE
pour Back ActionEvading).
Nousutiliserons ici
l’acronyme QND
en choisissant donc de nous conformer à la dénominationutilisée pour ces mesures en
optique quantique.
L’idée initiale de
Braginsky
était de mesurerl’énergie
d’un oscillateurharmonique qui
est,
commel’impulsion
d’uneparticule libre,
unequantité
conservée dans l’évolution. Une autrestratégie
s’est dessinée ensuite. Elle est basée sur la mesure des variables dequadrature
d’un oscillateur
harmonique.
Un oscillateur oscillant à lafréquence
03C9mpeut
être décrit en termes de variables lentes x1 et x2 ainsi définiesCes variables sont
appelées
lesquadratures
et ce sont aussi desquantités
conservées dans lemouvement libre de l’oscillateur. En
fait,
le référentiel desquadratures
(x
1
,
x
2
)
représente
une
simple
rotation del’espace
desphases
(x,p)
qui
estjustement
conçue pour suivre le mouvement naturel dupoint
représentatif
du mouvement.L’inégalité
deHeisenberg
prend
la forme suivante pour lesdispersions
sur lesquadratures
A la différence de ce
qui
se passe pour x et p, lesquadratures
x1 et x2 sont desgrandeurs
de même dimension. Aucune référence de
phase
n’existe enprincipe
pour lesdistinguer,
et on s’attend engénéral
à ce que leursdispersions
soientégales
Mais on
peut
fort bien définir une référence dephase
parexemple
enexploitant
desphénomènes nonlinéaires,
et faire en sorte que les deuxquadratures
secomportent
defaçon
non-symétrique.
L’une desquadratures
peut
alors êtreprivilégiée
parrapport
àl’autre,
avecmoins de bruit. Ce
phénomène
peut
être considérée comme unecompression
du bruit sur une desquadratures
(squeezing)
[31].
En créant unedissymétrie
entre lescomportements
des deuxquadratures,
onpeut
aussi réaliser une mesureQND
dans le domaineoptique
enexploitant
lecouplage
par effet Kerrcroisé,
c’est-à-dire l’interactionparamétrique
entre deuxchamps
dans un milieu nonlinéairepurement
dispersif
[32,33].
Les nécessités
expérimentales
ontpoussé
à définir des critères deperformance
pour desmesures
QND
non-idéales[34].
Ces critèresadaptent
à unedescription
réaliste desexpé-riences les critères
originaux
définisuniquement
pour des mesures idéales[27].
Ils décrivent non seulement lafidélité
de la mesure mais aussi son caractère effectivementQND.
Le même
type
d’interactionparamétrique
peut
être réalisé sur des transducteursélec-tromécaniques
utilisés pour lire le mouvement des barresgravitationnelles
[35].
Leprincipe
des mesures BAE sur les transducteursélectromécaniques
et leur réalisation sont décrits defaçon
trèscomplète
dans la référence[36].
Les ondes
gravitationnelles
peuvent
aussi être détectées par une mesureinterféromé-trique,
l’interféromètre étant formé de miroirs en chute libre vis à vis de la théoiie de lagravitation.
Pour que la sensibilité de cette mesure soitsuffisante,
il faut que les bras del’interféromètre soient
kilométriques.
Cetype
de détecteurprésente
l’avantage d’analyser
lesignal
sur une bandespectrale
relativementlarge.
Parmi les antennesinterférométriques,
se trouve leprojet italo-français
VIRGO avec uneantenne, ayant
deux bras de 3Km,
enconstruction dans les environs de Pise
[37].
Ces
projets
ont motivé une évaluationprécise
des limites ultimes dans les mesures delongueurs interférométriques.
Les limitesimposées
par lamécanique quantique
enoptique
ont étéanalysées
de manière très détaillée. Une revuecomplète
sur les méthodes de réductiondu bruit en
optique quantique
se trouve dans les références[31,38].
Grâce à l’utilisation desLa véritable limite
quantique
ultime est en fait fixée par les mécanismes fondamentauxde
dissipation,
en accord avec la relationgénérale évoquée
plus
haut entre fluctuations etdissipation
[39,40]
D’autres
types
de détecteurs ultra-sensibles utilisent destechniques
analogues.
C’est lecas en
particulier
pour les accéléromètres utilisés pour mesurer et compenser la variation detrajectoire
d’un satellite due aux forces de traînée. Nous nous intéresserons enparticulier
auxaccéléromètres
développés
à l’Office National d’Etudes et de RecherchesAérospatiales
[41,42]
qui
sont basés sur des transducteurscapacitifs
de trèsgrande
sensibilité. Ces transducteursfonctionnent en fait en mode BAE. Ils utilisent aussi
pleinement
lespotentialités
ouvertespar l’utilisation de
systèmes
actifs à la fois pour lire le mouvement de la masse et pourasservir sa
position.
Ces accéléromètresqui jouent
un rôleimportant
dans lesprojets
de test duprincipe d’équivalence
dansl’espace
(famille
desprojets
STEP)
sont donc aussi dessystèmes
très intéressants pour notre schémagénéral
d’étude des fluctuations. Une étude détaillée en adéjà
été faite au niveauclassique
[41,42]
cequi
faciliteragrandement
notreétude
quantique.
Par
contre,
nous n’étudierons pas dans cette thèse les accéléromètres basés sur destrans-ducteurs inductifs
[60].
Enfin,
pour terminer ce tour d’horizon des méthodes existantdéjà
dans cedomaine,
il faut
signaler
les méthodesquantiques
développées
pour traiter l’effet de ladissipation
sur les
systèmes macroscopiques
[43],
l’étude des fluctuations dans les circuitsélectriques
comportant
des élementsdissipatifs
[44,45]
ainsi que la théorie d’entrée-sortiequi
décrit laréponse
linéaire dans unsystème
dissipatif
quantique
[46].
Ces études nous ont aidé à poserles bases de notre traitement des fluctuations
quantiques
dans les réseaux.C. Le contenu de ce travail
tement doit
s’appliquer
aux fluctuationsthermiques
etquantiques
tout engarantissant
laconsistence avec les contraintes de la théorie
quantique.
Ce traitement sera
appliqué
enpriorité
auxsystèmes électromécaniques
tout ens’ap-puyant
fortement sur lesprofondes analogies qui
existent entre mesuresélectromécaniques
et mesuresoptiques
deposition
et en réutilisant les méthodes d’étude bien maîtrisées dansle domaine de
l’optique
[31].
Evidemment,
lessystèmes électromécaniques
travaillent souvent à destempératures
aux-quelles
le bruitthermique
est dominant. Ilsprofiteront cependant
des outilsgénéraux
puisque
lespropriétés
de consistence seront valables aussi à cette limite. Ceci nouspermettra
parexemple
de démontrer que latechnique
de friction froide est biencompatible
avec lescontraintes
quantiques.
Les fluctuations
quantiques
seront décrites dans le cadre d’une théoriesemi-classique
d’entrée-sortie linéaire. Autrementdit,
les fluctuationsquantiques
seront linéarisées autourd’une valeur moyenne et ensuite traitées linéairement. Les fluctuations sortantes seront
en-suite calculées en fonction des fluctuations
entrantes,
comme le résultat d’une interaction avec l’ensemble constitué parl’appareil
de mesure et lesystème
mesuré. Ces fluctuationssortantes décrivent à la fois le bruit
ajouté
sur lesignal
lors de la mesure et le bruit derétro-action
perturbant
l’évolution dusystème.
La transformation linéaire des fluctuations lors de l’interaction est décrite par le formalisme de la matrice S. Cette matrice S contienten fait toutes les informations
susceptibles
de nous intéresser. Deplus,
ellepermet
dedéfi-nir les
règles
de consistence du traitementquantique
d’une manièresimple.
Cesrègles
sontéquivalentes
à la conservation des commutateurs dans la transformation c’est à dire aussi àl’unitarité de la matrice S. Tous ces
arguments
seront bien sûrdéveloppés
de manièreplus
détaillée dans la suite.On
peut
insister sur le fait que cetteapproche, qui
généralise
la théorie de laréponse
linéaire
[6,7]
s’applique
en fait avec une trèsgrande
généralité.
Enparticulier,
elle décrit trèsbien les mécanismes d’interaction nonlinéaire et n’est pas limitée au
régime
d’approximation
Dans le
chapitre
II nous posons les bases du traitement des fluctuationsquantiques
enconsidérant le cas
simple
des réseauxpassifs.
Nous réécrivons le théorème deNyquist
pourétablir sa relation avec la
description
des fluctuationsquantiques.
Nousadaptons
ensuitela théorie des réseaux linéaires
[11]
enséparant
lapartie
réactive dusystème,
décrit par uneimpédance réactive,
et lesparties dissipatives,
décrites par deslignes
dissipatives
Nousdérivons alors la matrice de
diffusion,
la matrice derépartition
en théorie desréseaux,
de la matriceimpédance.
Ceci est en fait un résultat bien connu en théorie des réseaux linéaires.Nous étudions ensuite les
systèmes
mécaniques puis
lessystèmes
électromécaniques.
Cette
approche
estgénéralisable
à dessystèmes nonlinéaires,
pourvu que ceux-ci soientlinéarisés au
voisinage
dupoint
de fonctionnement. Nous effectuons ce travail pour lestrans-ducteurs
capacitifs
passifs
endistinguant
diversrégimes
depolarisation
de lacapacité.
Desmécanismes de transfert de
fréquences
apparaissent
pour despolarisations
oscillantes. Enparticulier,
pour despolarisations
à deuxfréquences,
nous discutons des mécanismespri-vilégiant
unequadrature
et faisant ainsiapparaître
un schéma de détectionQND.
C’est leschéma utilisé dans la lecture des barres de Weber.
Dans le
chapitre III,
nous abordons l’étude des réseaux actifs en considérant des schémasélémentaires
d’amplificateurs.
Nous commençons parrappeler
le cas bien connu desampli-ficateurs linéaires en traitant les fluctuations
quantiques
de la mêmefaçon
que pour cellesprovenant
de ladissipation.
Nous nous concentrons ensuite surl’amplificateur opérationnel
considéré comme l’élément de base de la
plupart
dessystèmes
électroniques
actifs Nousétudions avec soin les
propriétés
d’unitarité de la matrice S pour cet élément ainsi que lesproblèmes
posés
par la limite degain
infini. Nous montrons que cesproblèmes
se résolventdans
l’amplificateur opérationnel
en boucle fermée.Ceci nous
permet
d’étudier des réseauxactifs,
enparticulier
ceuxqui
sontimpliqués
dansles
techniques
de frictionfroide,
dans lechapitre
IV.Ce
quatrième
et dernierchapitre
estorganisé
autour d’une modélisation de l’accéléro-mètreélectrostatique
asservi de l’ONERA[41,42].
Cetteapplication représente
une occasionformelle, rigoureuse
et consistente avec lamécanique quantique
d’unsystème
relativementcomplexe.
Enparticulier, grâce
à ladescription
par la théorie desréseaux,
nous bénéficionsde la
possibilité
de traiter lesystème
parmodules,
chacun étant consistent avec lamécanique
quantique,
et de les rassembler ensuite sans avoir à considérer à nouveau laquestion
de leurconsistence.
Nous étudions d’abord un modèle d’accéléromètre à friction froide fonctionnant sans
transfert de
fréquence.
Nous considérons ensuite un modèlepassif
mais fonctionnant avec un transducteur différentiel à transfert defréquence. L’expérience acquise
lors de ces deuxcalculs
préliminaires
nouspermet
ensuite de traiter un modèlecomplet,
avec friction froide et transfert defréquence.
Dans les deuxpremiers
cas, nous prenons encompte
toutes lessources de bruit et discutons les
performances optimales
de l’instrument de mesure. Ceci nouspermet
de définir lesapproximations
amenant au calcul de l’accéléromètrecomplet
etde discuter ses limites ultimes de sensibilité.
Nous montrons ainsi que la
friction froide
permet
de créer un amortissement actif d’unoscillateur
mécanique
sansajouter
les fluctuationsqui
seraient nécessairement associées à unedissipation passive.
Ce résultatdéjà
connuclassiquement
est donc tout à fait confirmédans un formalisme entièrement
compatible
avec les contraintes de la théoriequantique.
Ilpermet
aussi de définir une limite ultime de bruitcorrespondant
au cas, idéal. où tous lesII. LE BRUIT
QUANTIQUE
DANS LESRÉSEAUX
PASSIFSDans cette
partie
nous posons les bases du traitement des fluctuationsquantiques
dans lessystèmes électriques
et/ou
mécaniques
Notrepoint
dedépart
est le théorèmefluctuations-dissipation qui
établit une relation tout à faitgénérale
entre le bruit observable dans unsystème
àl’équilibre thermodynamique
et ladissipation.
Cette idée est apparue pour la
première
fois au début dusiècle,
avec Einstein[1]
puis
Langevin
[2]
qui
ont mis en évidence la relation entre le mouvementirrégulier
desparti-cules Browniennes dans un fluide et le frottement
visqueux apparaissant
dans les mêmesconditions. Ces deux
phénomènes
sont desconséquences
d’un seul et mêmecouplage
de laparticule
Brownienne avec les molécules du fluide Pour uneparticule
colloïdaleimmergée
dans un
liquide,
ou pour un miroirsuspendu
dans un gaz, on observe uncomportement
aléatoire
qui
est dû à l’interaction dusystème
avec un environnement caractérisé par un trèsgrand
nombre dedegrés
de liberté. Les collisions des molécules du fluide avec la moléculecolloïdale,
ou des molécules du gaz avec la surface du miroir sont àl’origine
de deux forces:l’une provoque le mouvement
irrégulier
et incessant dusystème
(fluctuations)
et l’autre amortit le mouvement dusystème
(dissipation).
L’effet aléatoire et l’effetsystématique
sontdonc liés par des ielations entre fluctuations et
dissipation.
De manière
plus formelle,
les fluctuations de la force aléatoire exercée sur lesystème
sontdécrites par un
spectre
de bruit alors que la force de frictionvisqueuse
est décrite par unesusceptibilité
ou uneimpédance
dans le cadre de la théorie de laréponse
linéaire. Le théorèmefluctuation-dissipation
est en fait l’ensemble des relations entre ces différentesquantités.
Cesrelations. d’abord établies dans le domaine
classique,
ont étédepuis
généralisées
pour tenircompte
des fluctuationsquantiques
[6,7,48].
Nous lesrappelons
dansl’appendice
VIA. Dans cechapitre,
nous nous concentrons sur lessystèmes
électriques
ouélectromé-caniques
Nousrappelons
d’abord le théorème deNyquist
[14],
c’est-à-dire le théorèmeélec-plus complexes
en utilisant la théorie desréseaux,
bien connue en électricité[10,44,11].
Nous montrerons
qu’il
estpossible
de décrire l’interaction des fluctuationsquantiques
avec le
système
d’unefaçon rigoureuse
par une matrice de diffusion s. Lesystème
étantmodélisé comme un
multipôle couplé
à travers un certain nombre d’accès aux sources dedissipation,
la matrice s fournit un outil de calcul commode etrapide.
Parexemple,
ellepermet
d’évaluer les limitesimposées
à la sensibilité d’une mesure par toutes les sources debruit.
Ce traitement
s’applique
aussi bien au casplus
complexe
d’unsystème nonlinéaire,
pourvu que celui-ci soit linéarisé au
voisinage
de sonpoint
de fonctionnement. Dans ce casaussi,
la matrice de diffusionpermet
d’étudier la sensibilité des mesures et de caractériser lessystèmes quantiques
non-démolissants(QND).
A. Les réseaux linéaires
1. Le théorème de
Nyquist
L’idée que la
dissipation
soit liée aurayonnement,
et parconséquent
au bruit étaitdéjà
connue en électricité avantNyquist, depuis
que Hertz avait étudiéexpérimentalement
des résultats fondamentaux de la théorie del’électromagnétisme
de Maxwell.L’oscilla-teur/résonateur
de Hertz est constitué par un circuitélectrique
résonantcapable
d’émettre et d’absorber durayonnement.
C’est unexemple simple
d’antennequi
couple
l’émission oul’absorption
derayonnement
au passage d’un courant.Par conservation de
l’énergie,
la sourcequi
maintient le courant oscillant doit aussi fournir lapuissance
dissipée
par l’antenne. Lapuissance
durayonnement
et le courantparcourant
le circuit
permettent
de définir une résistance derayonnement
qui
caractérise l’antenneL’antenne est donc vue par le circuit résonnant comme une résistance
R,
c’est-à-dire comme un élémentdissipatif.
Dans le mêmetemps,
l’antenne introduit des fluctuations de courantdans le circuit
électrique
parcequ’elle
détecte les fluctuations duchamp
électromagnétique
présentes
dansl’espace libre,
c’est-à-dire lerayonnement
du corps noir. On retrouve doncnaturellement ici la relation entre fluctuations et
dissipation.
De manière
plus
générale,
lorsque
l’on mesure la tension U aux bornes d’une résistanceà
l’équilibre
thermique,
on détecte un bruit quidépend
de satempérature.
Ce bruit a étéobservé pour la
première
fois par Johnson[15]
qui
l’a attribué àl’agitation
thermique
desporteurs
decharge
dans le conducteur.Nyquist
l’a ensuite évaluéthéoriquement
en se servantd’arguments
provenant
de lathermodynamique
et de lamécanique statistique
[14].
Il aainsi montré que le bruit dans un conducteur
dépend
uniquement
de sa résistance et de satempérature.
Parconséquent,
dans un réseauélectrique
les résistances sont non seulementresponsables
de ladissipation
d’énergie,
mais aussi des sources de bruit.La
façon
habituelle de rendrecompte
de cet effet est de modéliser une résistance R parla mise en série d’une résistance idéale sans bruit et d’un
générateur
de tensionU
N
jouant
le rôle d’une source de bruit
(voir
figure
1)
FIG. 1 - Une résistance R est souvent modélisée par une résistance idéale sans bruit et un
générateur
de tension en sériereprésentant
la source de bruitNyquist.
Pour caractériser ce bruit on utilise aussi la transformée de Fourier
C
UNUN
[03C9]
deC
UNUN
(t),
c’est-à-dire le
spectre
de bruit de la variable aléatoireU
N
.
Nous utilisons dans toute la thèse la définition suivante pour la transformée de Fourierf[03C9]
d’une fonctionf(t)
Il faut noter que cette convention utilisée en
physique quantique
n’est pas tout à fait celledes électroniciens. En
particulier,
lesimpédances
électriques
que nous obtiendrons ont uneexpression
différente de celle habituelle en électricité. Ellecorrespond
à unchangement
denotation j =
-i.Le théorème de
Nyquist
fixe la relation suivante entre lespectre
de bruit et la résistance R du conducteurT est la
température
etk
B
la constante de Boltzmann. Les électroniciens utilisent uneconvention différente où le
spectre
de bruit necorrespond
qu’aux fréquences positives
et a pour valeur4Rk
B
T.
Nouspréférons
utiliser la définitiongénérale
duspectre
de bruitoù
apparaissent
lesfréquences
positives
etnégatives.
Cette définition sera de toutefaçon
nécessaire pour étudier le bruit
quantique.
Pour
présenter
notre traitement desfluctuations,
nous ne pouvons pas nous contenterde
représenter
la résistance comme une résistance sans bruit en série avec ungénérateur
de bruit. Nous devons
plutôt
modéliser une résistance par uneligne
coaxialed’impédance
caractéristique
R. Nous retrouvons ainsil’image
du résonateur de Hertzqui
peut
à la fois émettre ou absorber durayonnement.
Uneligne
coaxiale est caractérisée par une inductancelinéique 03BB
et unecapacité
linéique
03B3(figure
2).
L’évolution de la tension U et du courant ICes deux
équations
nouspermettent
de déduire uneéquation
depropagation
dans laligne
où c est la célérité de
propagation
des ondesLes solutions de cette
équation
sont de la formeEn
reportant
dansl’équation
(13),
on obtientoù R est
l’impédance caractéristique
de laligne
FIG. 2 - Schéma
équivalent
d’un élement delongueur
dx d’uneligne
coaxiale idéale sansdissipation.
03BB et 03B3désignent
l’inductance et lacapacité
par unité delongueur.
Considérons la
ligne
semi-infiniereprésentée
sur lafigure
3. Les solutions(16-17)
donnentFIG. 3 - Modélisation d’une résistance par une
ligne
semi-infinied’impédance
R. Tension et courant sont liés auxsignaux
se propageant dans laligne.
Laligne
est unréservoir,
aveclequel
le
système
échange
del’énergie.
Elle peutdissiper
del’énergie,
qui
quitte
lesystème
à travers l’onde sortanteI
out
,
mais en retour elle introduit aussi des fluctuationsqui correspondent
à l’ondeentrante Iin.
La
puissance
absorbée par laligne
estIl
s’agit
en fait de la différence entrel’énergie qui
part
dans laligne
(RI
out
2
)
et celle qui arrive(RI
in 2
).
A la différence de la modélisation habituelle desrésistances,
le modèle de laligne
que nous avons introduit ici est donc unsystème
conservatif. Laligne
peut
dissiper
del’énergie
qui quitte
lesystème
à travers l’onde sortanteI
out
mais elle fait aussi entrer des fluctuationsqui correspondent
à l’onde entrante Iin arrivant sur lesystème.
Leséquations
d’entrée-sortie
(19)
conduisent à la relation suivante entre tension et courantce
qui correspond
à la mise en série d’une résistance idéale sans bruit et d’une source deOn retrouve donc
l’image
habituelle des fluctuations de tension mais on a maintenantinter-prété
ces fluctuations àpartir
des ondes Iin arrivant par laligne
Dans une
ligne
coaxiale,
nous sommes enprésence
de deuxchamps.
Lechamp
entrantI
in que nous venons
d’interpréter
comme la source des fluctuations arrivant sur lesystème
et unchamp
sortant Iout. Ce derniercorrespond
à unchamp
quirepart
dans laligne après
avoir
interagi
avec lesystème.
Ilpeut
ainsi servir à faire une mesure sur cesystème
Dans le cas d’une "vraie"
résistance,
lasignification
physique
de ces fluctuations sortantespeut
paraître
moins claire que dans le cas d’uneligne
coaxiale ou d’une antenne. Nousverrons
cependant
dans la suitequ’il
estindispensable
de les considérer pourpouvoir
traiterle
système
de manière cohérente au niveauquantique.
Le résultat de
Nyquist correspond
à uneapproche classique
dessystèmes électriques
et n’est valablequ’à
hautetempérature
(k
B
T ~
03C9).
Contrairement à cequ’indique
laformule
(12),
les fluctuations ne s’annulent pas àtempérature
nulle. Il reste lesfluctuations
quantiques,
fluctuationsprésentes
dans l’état fondamental de toutsystème quantique.
Pour faire une théorie des fluctuations valable au niveau
quantique,
nous utiliserons lestechniques
bien connues enoptique quantique
[31].
Enparticulier,
nous traiterons leschamps
sepropageant
dans laligne
comme deschamps
libres scalaires que nousdécomposerons
àl’aide
d’opérateurs
création et annihilationa
~
03C9
et a03C9qui
satisfont les relations de commutationoù 03B4 est la distribution de Dirac. Nous introduisons un
champ
réduit ainqui
décrit lechamp
libre entrant dans la
ligne
etqui correspond
ainsi àl’opérateur
annihilation a03C9, pourl’évo-lution aux
fréquences
positives
et àl’opérateur
créationa
~
-03C9
pour lesfréquences
wnégatives
où 03B8
(03C9)
est la fonction de Heaviside. Lechamp
libre sortant aoutpeut
êtredécomposé
de la mêmemanière,
en fonctiond’opérateurs
création et annihilation différents. Leschamps
Ces
champs
réduitscorrespondent
à une fonction de corrélationayant
une formeuniver-selle
La
fonction 03BE
est lapartie
impaire
de la fonction C etreprésente
donc le commutateur deschamps.
Elle estindépendante
de l’état duchamp
puisque
~(03C9)
est lesigne
de lafréquence
w. La fonction 03C3 est la
partie
paire
de la fonction C et ellereprésente
l’anticommutateur deschamps.
C’est en fait cette fonction 03C3qui
caractérise les fluctuations. Onpeut
l’écrire aussi comme la somme de deux termesLe terme n03C9
représente
le nombre dephotons thermiques
par mode selon la loi écrite par Planck en 1900[3].
Leterme 1 2 a
étéajouté
par Planck en 1911[4]
pourpouvoir
obtenir lalimite
thermodynamique
Le caractère
quantique
des fluctuationsn’apparaît
quelorsque
l’on traiteséparément
lesfréquences positives
etnégatives.
Eneffet,
la fonction de corrélation C a desexpressions
différentes aux
fréquences
positives
et auxfréquences négatives
et c’est exactement la différence de ces deux valeurs
qui
correspond
au commutateur desLe nombre de
photons
n03C9 tend vers zéro àtempérature
nulle et les fluctuations(26)
seiéduisent alors à la fonction de corrélation du vide
Dans toute mesure
physique
dubruit,
on feraapparaître
la somme des fonctions decorrélation évaluées aux
fréquences opposées 03C9
et -03C9On utilisera donc
l’expression
(26)
de 03C3 quicorrespond
àl’expression
(4 9)
de Callen etWelton
[6]
Le courant Iin circulant dans la
ligne
est ensuite donné parl’expression
suivanteEn utilisant
l’expression
(22),
onpeut
écrirel’expression générale
du bruitNyquist
Le bruit
Nyquist
ne s’annule donc pas àtempérature
nulle. Il tend vers une limite finiequi représente
le bruitNyquist quantique.
Le courant Iout décrivant le bruit
qui
repart
dans laligne après
l’interaction avec leDe même que ain
[03C9],
lechamp
outa[03C9]
est unchamp
libre. Il doit donc vérifier les mêmesrelations de commutation
Cette relation de consistence est très
importante.
Elle nous servira dans la suite pour établir despropriétés
générales
sur la transformation deschamps
par unsystème.
Elle est en effetéquivalente
à lapropriété
d’unitarité de la matrices qui
décrit cette transformation.Les
grandeurs électriques
I etU,
combinaisons linéaires dechamps
libresquantiques,
sont des observables
conjuguées,
qui
ne commutent pas. Nous pouvons aussi lesréexprimer
en termes de nouvelles variables réduitesLes relations réduites d’entrée-sortie de la
ligne
(19)
s’écriventalors,
simplement
Nous décrirons dans la suite des
systèmes
électromécaniques.
Pourpréparer
cetteétude,
nousprésentons
d’abord unedescription
dessystèmes mécaniques analogue
à celle que nous venons derappeler
pour lessystèmes électriques.
Le mouvement Brownien d’une grosse
particule
dans un fluide est le résultat de sescollisions avec les molécules du fluide. Ces collisions sont à
l’origine
de deux forces. Unepremière
force d’amortissementvisqueux
estproportionnelle
à la vitesse de laparticule
et uneseconde, fluctuante,
est due au caractère aléatoire des collisions. Sur la base de cesconsidérations,
la force Fagissant
sur uneparticule
peut
s’écrireoù V est la vitesse de la
