Nous pouvons maintenant discuter les
performances
de cetappareil
de mesure. L’efficacité de la mesuredépend
de l’intensité du coefficient 03BC,qui
est fonction des facteurs dequalité
des oscillateurs et de l’intensité de la pompe. Un
couplage
intenseaugmente
la valeur de cecoefficient mais il
peut
êtrenocif,
car onrisque
detrop
exciter des modes que nous avonsnégligés
etqui pourraient
alorsperturber
lesystème.
La mesure nepourrait plus
dans ce cas être considéréeQND.
Nous n’étudions pas ceproblème plus
en détail ici.puis
unepuissance
de bruitéquivalent
sur la mesure[34]
03C3 m1
et 03C3e2 décrivent les bruits sur les
quadratures 1inm
etein2
etcorrespondent
à destem-pératures Tm
etTe.
En utilisant la définition(138)
desquadratures,
on voit que 03C3m1 et 03C3e2s’écrivent
A noter le facteur 2 de différence avec les
équations (79) qui
décrivent le même bruit pourune
amplitude
m ou e. Parcomparaison
avecl’équation (79),
on voit aussi que le coefficient1 |03BC|
2
aremplacé
lerapport |03C1e|2 ||2des
coefficients de réflexion et transmission.La situation
optimale correspond
donc désormais à uncoefficient 03BC
leplus grand possible,
en
respectant
bien sûr la contrainte de linéaritéévoquée plus
haut. Dans cette situationoptimale,
le bruitéquivalent
estimposé
par latempérature Tm
de l’oscillateurmécanique
(équations (84)-(86)).
Cette conclusion est exactement la même que dans la section II A 3 Par contre, on asupprimé
le bruit en retour de laligne
de mesureélectrique
sur laquadrature mécanique
mesurée: dans leséquations (153), mout1
n’est absolument paspolluée
par les fluctuations entrant par la voie
électrique.
On se trouve bien dans la situation d’unemesme
QND [26,28,35,51,52,54,55].
Dans la
suite,
nous allons considérer dessystèmes
actifsqui permettront
aussi de résoudre leproblème
du bruitthermique
dans l’oscillateurmécanique.
III. LE BRUIT
QUANTIQUE
DANS LESRÉSEAUX
ACTIFSLes
amplificateurs jouent
un rôle essentiel pour la mesurequantique.
Considérons unsignal
défini au sens leplus large, après
avoirspécifié
le processus de détection. Parexemple,
avec une
photodiode
ou unphotomultiplicateur,
on mesure engénéral
uneénergie,
autre-ment dit l’intensité d’un
champ.
Mais onpeut
aussi mesurer unephase
avec undispositif
interférométrique
ou unecomposante
dequadrature
avec un détecteurhétérodyne.
Danstous les cas, le
signal
estproduit
par unsystème quantique
et il se trouvesuperposé
à des fluctuationsquantiques.
Nous nous concentrons sur un cas
particulier particulièrement important
pour la mesuredes
signaux dépendant
dutemps,
à savoir le cas où lapremière étape
du passage du niveauquantique
au niveauclassique
est assurée par unamplificateur.
Lesignal quantique
estporté
par
l’amplificateur
dans le domaineclassique
ainsi que le bruitquantique.
Unequestion
déterminante se pose alors:
quelle
est ladégradation
minimale dusignal apportée
par leprocessus
d’amplification?
Lespremiers
études sur cettequestion,
stimulées par la réalisationd’amplificateurs
"silencieux" tels que les masers[16,24,56],
ont montréqu’un amplificateur
linéaire
ajoute
un bruit ausignal
au moinségal
au bruit dans laligne correspondant
ausignal
entrant.On a ensuite réalisé
qu’il
étaitpossible
de contourner ceproblème
en utilisant desampli-ficateurs
paramétriques
sensibles à laphase
dusignal,
autrement dit en mesurant une seulequadrature
d’unsignal [17-19].
De nouveauxprogrès
ont été réalisésgrâce
aux efforts faitspour rendre de
plus
enplus performants
les résonateursmécaniques
pour la détection des ondesgravitationnelles.
Ceci a conduit à étudier de manièreplus poussée
le bruitquantique
en
particulier
dans lesamplificateurs [57,58].
Dans cette
partie,
nousrappelons
d’abord les résultats de base sur le bruitquantique
dansles
amplificateurs
linéaires. Nous définissons ensuite unamplificateur opérationnel quantique
A.
L’amplificateur
linéairequantique
Nous commençons par étudier le cas
plus simple
d’unamplificateur
linéaire dont le gainest
indépendant
de laphase
dusignal
où ain et aout sont les
opérateurs
associés aux modes dechamp
entrant et sortantrespecti-vement. Le coefficient
d’amplification G
estsupposé plus grand
que 1Bien
sûr,
cegain peut dépendre
de lafréquence
w.Il est nécessaire d’introduire un terme
supplémentaire
B dansl’équation (157)
pour que les relations de commutation soientpréservées
dansl’opération d’amplification.
Lescommutateurs entre les
champs
sortants sont en effet les mêmes que les commutateurs entreles
champs
entrants pourvu queNotons que cette
approche
ne fait pas intervenir de modélisationparticulière
dufonction-nement de
l’amplificateur
et est doncgénérale.
Elle décrit le bruit minimalajouté
parl’am-plification.
Pour avoirplus
d’information sur le bruit d’unamplificateur donné,
il serait nécessaire deprendre
encompte
une modélisationprécise
du processusd’amplification.
Onpourrait
alors déterminercomplètement
lespectre
du bruitajouté.
Nous savonsdéjà
quece
spectre
estsupérieur
à la valeur que nous venons de déterminer. Dans lasuite,
nousconsidérons des
amplificateurs
pourlesquels
le bruit estégal
au bruit minimalNotons
l’analogie
avec les résultats du théorèmefluctuations-dissipation.
Le bruitajouté
B est un bruit
intrinsèquement
associé au processusd’amplification,
de la mêmefaçon qu’il
bruit est d’ailleurs la même dans les deux cas: il faut assurer l’unitarité de la transformation
des
champs quantiques impliqués.
Remarquons
enfinqu’on
a obtenu ainsi la densitéspectrale
de bruitcoirespondant
au commutateur deschamps.
Onpeut
calculer lespectre
de bruitcorrespondant
aux anti-commutateurs de la mêmefaçon
queprécédemment
si on suppose que le bruitrajouté
parl’amplification
est caractérisé par un étatd’équilibre thermodynamique (voir équation (25)
dans la section IIA 1).
Nous considérons maintenant le cas d’un
amplificateur paramétrique, précisément
unamplificateur
linéairedépendant
de laphase.
Nous écrivons les relationscaractéristiques
sous une forme
simple
où a1, a2,
B1,
etB2
sont lesquadratures
Un
exemple particulièrement simple
estl’amplificateur paramétrique dégénéré
pourlequel
les
gains
sont inverses l’un de l’autre sur les deuxquadratures
Cet
amplificateur particulier peut
fonctionner sans bruitajouté
En
effet,
les commutateurs entre les deuxcomposantes
dequadrature
sontpréservés
dans ce cas. Dans le casgénéral,
où lesgains
ne sont pas l’inverse l’un del’autre,
il faut nécessairementAprès
cerappel
despropriétés générales
desamplificateurs lméaires,
nous nous concen-trons surl’amplificateur
linéairequi préserve
laphase, qui
sera utilisé dans la suite.Nous réécrivons alors le bruit
ajouté
où bin et
(bin)~ représentent
unchamp supplémentaire
obéissant auxrègles
de commutationcanoniques.
Le bruit dusignal
del’amplificateur
est donc décrit par leséquations
linéairesNous avons
supposé G
réel poursimplifier.
Le bruit estindépendant
dusignal
entrant.L’amplificateur
linéaire est alorsreprésenté
par lafigure
11.FIG. 11 - Schéma de
principe
d’unamplificateur
linéairequi préserve
laphase.
Le bruit entranta
in est
amplifié
à la sortie del’amplificateur
d’un facteur G. Le processusd’amplification
introduitun bruit
ajouté
cqui
peut êtreinterprété
commeconjugué
enphase
du bruit entrant dans un autremode (c
= bt).
C’est une
équation classique
degain. L’équation
d’entrée-sortie pour les bruits est par contrenon
classique.
Onpeut
comme on l’adéjà
fait introduire un estimateur âin dusignal
d’entréetel
qu’on peut
le déduire de la mesure dusignal
de sortie aoutOn voit alors que le bruit
rajouté
parl’amplificateur
dans la mesure dusignal
estA la limite de
grand gain (G
»1),
le bruitajouté
minimal estsimplement
donné par 03C3b~. Si leslignes
a et b sont à la mêmetempérature,
le bruitajouté
est doncégal
au bruit entrant.Autrement
dit,
laperte
est de 3 dB. Defaçon équivalente,
onpeut
dire que lerapport signal
sur bruit est
dégradé
lors d’uneamplification
d’unsignal
et au moins divisé par deuxpuisque
la discussion ci-dessus
correspondait
au bruit minimal . Cette limitation avait été observée dès le début des communications par ondes Hertziennes . Elle fixe aussi le nombre maximal derépéteurs
utilisables dans la communication par fibreoptique .
Pour
simplifier
les discussionsqui
vontsuivre,
nous faisons encore unchangement
denotation en introduisant le
champ conjugué
auchamp
bLes
équations (165)
del’amplificateur
linéaire s’écrivent alorsoù les coefficients
apparaissent
comme desamplitudes
de diffusion.Ces relations
préservent
les commutateurs deschamps
etcorrespondent
donc à unema-trice de diffusion unitaire. Il faut toutefois faire attention au fait que c est un
champ conjugué
avec
Les coefficients ~
correspondent
en fait ausigne
de lafréquence
du mode considéré. Nous continuerons àappeler
les relationscorrespondantes
relationsd’unitarité,
engardant
àl’es-prit
la remarque ci-dessus.B.
L’amplificateur opérationnel quantique
L’amplificateur opérationnel
est uncomposant
utilisé dans lessystèmes électriques
pouramplifier
une tension. Comme dans lapartie précédente,
cetteamplification
estnécessaire-ment
accompagnée
d’un bruitajouté.
Pour obtenir un modèle
quantique d’amplificateur opérationnel,
nous allons utiliser des éléments que nous avons discutésprécédemment.
Grâce àcela,
nous obtiendrons deséqua-tions
caractéristiques
assurant l’unitarité des relations d’entrée-sortie.
Dans le document
Fluctuations quantiques et thermiques dans les transducteurs électromécaniques
(Page 64-71)