Nous évaluons maintenant la matrice de diffusion pour un
amplificateur opérationnel
avec contre-réaction dans le cas
général
de contre-réaction mixte(ayant
unepartie
résistiveet une
partie réactive)
etgain
fini(voir figure 15).
Nous branchons l’entrée et la sortie surdeux
lignes d’impédance Re
etRd.
Auxéquations
d’entrée-sortie(183)
il faut doncajouter
FIG. 15 - Schéma de
principe
d’une mesure paramplificateur opérationnel
bouclé encon-tre-réaction.
L’amplificateur
de lafigure
13 est branché sur deuxlignes
e et d. Laligne
rreprésente
la
partie
résistive del’impédance
de contre-réaction.Nous calculons alors la matrice de diffusion s
qui
est une matrice 5 5 décrivant laNous écrivons ci-dessous les
vingt-cinq
coefficients que nous avons obtenus par le programme de calcul formel MathematicaAvec le même programme, nous avons vérifié que cette matrice s obéit aux conditions d’uni-tarité telles
qu’elles
sontexprimées
à la fin de lapartie
III A(équation (172)).
Cettevérifica-tion est d’ailleurs très utile pour éliminer d’éventuelles erreurs dans l’écriture des
équations
caractéristiques.
Nous nous intéressons surtout dans la suite à la limite où le
gain
en boucle ouverte devient infini. Nous avons vu que cette limite est mal définie pourl’amplificateur
fonctionnant enboucle ouverte. Elle ne
présente
par contreplus
aucunepathologie
dans les calculs de laCette matrice s est unitaire comme
celle,
évaluée àgain quelconque,
dont nous l’avons déduite. Parailleurs,
nous pouvons calculer la matrice s àpartir
deséquations
del’ampli-ficateur
opérationnel
évalué pour ungain
infini(185).
Nous avons vérifié que la matrice sobtenue avec ces
équations
estidentique
à celle calculée enprenant
la limite de la matrice s àgain
fini.Cette vérification montre que la limite de
gain
infini ne pose pas deproblème
dans notreapproche.
Cela nous sera utile par la suite puisque nous pourrons donc utiliser la seconde méthode(partir
deséquations (185))
en étant assuré de parvenir à des résultats cohérents(en particuliei,
vérifiant les conditionsd’unitarité).
La matrice s
peut
être écrite sous une forme encoreplus compacte
enremplaçant
les bruitsd’amplification
par leur somme et différence(voir équation (186)).
Enparticulier,
lesNous allons maintenant discuter les
performances
de cetappareil
de mesure. Nous nousplaçons
dans la limite de facteurd’amplification G
infini. Nous nous concentrons sur les deuxlignes
e et d. La discussion nedépendra
doncplus
duparamètre R’a qui
n’intervient que dans leslignes
internes del’amplificateur
bouclé. Parcontre,
leparamètre Ra qui représente
l’impédance
d’entrée del’amplificateur
fonctionnant en boucle ouverte vajouer
un rôle trèsimportant
dans la discussion.Comme
précédemment,
nous introduisons un estimateur in dusignal
d’entrée tel quenous pouvons le déduire de la mesure de
dout
Nous pouvons en déduire
l’expression
du bruitajouté
sur la mesure de einSi on se donne des
températures
de bruitTd, , rT Ta
etTc quelconques,
on voit que le bruitrajouté présente
un minimum pour une certaine valeurRmina
duparamètre Ra qui
nedépend
pas de cestempératures
La valeur atteinte par le bruit minimum est alors
Cette
expression
sesimplifie
encore sil’impédance
de contre-réaction estpurement
résistiveou si elle est
purement
réactiveDans tous les cas, il est
important
de contrôler la valeur duparamètre Ra.
L’idéal estde fixer
Ra
=Rmina
defaçon
àpouvoir
minimiser le bruitajouté (équation (202)). Quand
on
s’éloigne
de cetoptimum,
c’estl’équation (199) qui
détermine le bruitajouté.
Cette discussionpeut
être facilement traduite dans les termes du modèleclassique
discuté à la fin de la section III C1. Leparamètre Ra s’interprète
comme lerapport
des bruits en tensionet en courant de
l’amplificateur. Optimiser Ra
consiste donc à rendreégaux
les effets de cesdeux bruits sur le
signal
en sortie del’amplificateur.
Cetteoptimisation peut
secomprendre
comme une sorte
d’adaptation d’impédance.
le bruit est minimallorsque l’impédance Ra
qui
caractérise les fluctuations estégale
àl’impédance Rminaqui dépend
desparamètres
de branchement del’amplificateur.
Le caractère néfaste du défaut
d’adaptation dépend
bien sûr des autresparamètres.
Enparticulier,
il est évidemment d’autant moinsimportant
que latempérature
effective des bruitsd’amplification
est limitée(Ta
etcT petits).
Le bruitajouté
est aussi diminuéquand
l’impédance
de contre-réaction est élevée(| r| grand)
et que cetteimpédance
estplutôt
denature réactive
(Rr petit).
situation
optimale
est atteintelorsque |r|
est choisiplus grand
queRe
etRd.
On obtientalors des résultats très
simples
qui signifient
que le bruit est limité defaçon
ultime par latempérature
de bruit deIV. APPLICATION AUX
ACCÉLÉROMÈTRES ÉLECTROSTATIQUES
Nous
présentons
maintenantl’application
du traitement des fluctuationsquantiques
dé-veloppé
dans lesparties précédentes
à unsystème
réel. Ils’agit
d’un accéléromètreélectrosta-tique
asservi conçu par l’Office National d’Etudes et de RecherchesAérospatiales (ONERA)
pour des missionsspatiales
dephysique
fondamentale[41,42].
Sur la
figure
16 estreprésenté
le schémasimplifié
del’appareil.
La masse se trouve entredeux électrodes
qui
servent à mesurer son mouvement par unetechnique capacitive
dutype
de celles
qui
ont été discutées dans lapartie
II.FIG. 16 - Schéma de base d’un accéléromètre
électrostatique
asservi.La
suspension
de la masse entre les électrodes de mesure est assurée par des forcesélec-trostatiques.
Comme il n’est paspossible
de réaliser unéquilibre
stable pour unesuspension
électrostatique
passive, il a été choisi de maintenir la massegrâce
à un asservissement. Lamesure de la
position
de la massegrâce
au senseurcapacitif
sert ainsi non seulement à la mesureaccélérométrique
mais aussi à maintenir laposition
de la masse au centre dudispositif.
Pour éviter des oscillations
trop importantes
autour de laposition d’équilibre
et pourassurer une bande
passante
suffisante audispositif,
il est nécessaire d’amortir le mouvementCette
technique
de friction activepermet
d’obtenir un amortissement efficace endimi-nuant considérablement les fluctuations
qui accompagneraient
nécessairement unamortis-sement
mécanique.
Cettetechnique appelée friction froide (cold damping)
va fairel’objet
d’une étude détaillée dans ce
chapitre.
Notre but est d’évaluer les limites de sensibilité de cet accéléromètre causées par les fluctuations
thermiques
etquantiques.
Un traitementcomplet
de cesystème
nécessite deprendre
encompte
lesspécificités
suivantes:- la détection du mouvement de la masse se fait à l’aide d’un
système actif;
- la
suspension
de la masse est unesuspension électrostatique active;
- les oscillations de la masse sont amorties par une boucle de contre-réaction
électrique
qui
simule une force defriction;
-
le circuit
électrique
travaille à desfréquences
différentes desfréquences mécaniques
mesurées.
Ces
spécificités
font de l’accéléromètre unsystème particulièrement adapté
àl’applica-tion de la méthode
présentée
dans leschapitres précédents.
Cette méthodeprésuppose
eneffet
qu’un
traitement linéaire des fluctuations estpossible,
alors que les bruits affectant lessystèmes électromécaniques présentent
souvent un caractère non linéaire. Grâce àl’asservis-sement,
les fluctuations de laposition
de la massed’épreuve
sont suffisamment faibles pourque leur
comportement
soit linéaire ou linéarisable[59].
Deplus,
le schéma detransposition
de
fréquence permet
de travailler aux hautesfréquences,
de sorte que le bruit en1/f,
trèsimportant
aux bassesfréquences,
est aussinégligeable.
L’étude
générale
de cesystème
est extrêmementcomplexe,
c’estpourquoi
nous allons d’abord étudierséparément
différentsaspects
duproblème.
Dans unpremier temps,
nousallons étudier la
technique
de friction froide en faisant deshypothèses simplificatrices
pourdu
chapitre
III.Puis,
nous étudierons en détail la mesurecapacitive
pourdégager
unmo-dèle
simplifié
contenant néanmoins les élements essentiels nécessaires au fonctionnement del’accéléromètre.
Enfin,
nous rassemblerons ces résultats pouranalyser
laperformance
del’appareil global.
A. La friction froide
Dans un
premier temps,
nous discutons l’intérêt de l’utilisation d’unsystème
de suspen-sionélectrostatique
active simulant unedissipation mécanique.
Pourcela,
nousprésentons
un
premier
modèle d’accéléromètre danslequel
la mesurecapacitive
estsimplifiée
tandisque le rôle des éléments actifs est
parfaitement pris
encompte.
Cela nouspermet
surtoutde discuter dans le détail les fluctuations minimales
rajoutées
dans undispositif
à friction froide(cold damping).
Cela nouspermet également
depréparer
le traitementcomplet
de l’accéléromètre actifqui
seraprésenté plus
loin.FIG. 17 - Schéma de
principe
d’un modèle d’accéléromètre actif. La massed’épreuve correspond
à la
ligne mécanique
m. Elle estcouplée
à deux transducteurscapacitifs polarisés
en continu. Lepremier,
caractérisé par uneimpédance Ze
et un coefficient decouplage 03BBe,
est utilisé pour la lecture du mouvement de la masse et est branché sur l’entrée d’unamplificateur.
Le deuxièmetransducteur, d’impédance Zs
etcouplage
03BBs, est utilisé pourréagir
sur la massed’épreuve
et estbranché en sortie de
l’amplificateur.
Le dessin del’amplificateur
avec contre-réactioncorrespond
à celui de lafigure
15. La détection se fait àpartir
de laligne d’impédance Rd.
Précisément,
nous étudions le schéma de lafigure
17. La massed’épreuve
M est liéeélastiquement
par un ressort de raideur K à la cage l’accéléromètre etcouplée
à un réservoirmécanique responsable
d’une frictionvisqueuse Hm.
Nous définissons commeprécédemment
son
impédance
réactiveZm
et sonimpédance
totalem
Par
ailleurs,
cette masse estcouplée
au circuitélectrique
de détection par l’intermédiaire de deux transducteurscapacitifs polarisés
par une tension continue dutype
de ceux que nous avonsprésentés
dans lapartie
II. Lepremier
transducteurd’impédance Ze
et decouplage
03BB
e
est utilisé pour la détection du mouvement de la masse et il fonctionne conformément auschéma de
polarisation
constante de lapartie
II A. Ce transducteur est lui-même branchésur l’entrée d’un
l’amplificateur.
Le second transducteurd’impédance Zs
et decouplage 03BBs
est utilisé pour
réagir
sur la massed’épreuve
et il est branché en sortie del’amplificateur.
L’expression
de la force totaleagissant
sur la masse estoù V est la vitesse de la masse
d’épreuve
et Fext la force extérieure.Ue
etUs
sont les tensionstransducteur
capacitif
et de la contre-réaction. Deséquations analogues peuvent
être écritespour les courants à l’entrée et à la sortie de
l’amplificateur
où
Id
est le courant à l’entrée de laligne
de détection.L’amplificateur
est décrit comme dans lapartie
III. Il fonctionne ensystème
d’asser-vissement avec une boucle de contre-réaction dont
l’impédance r
se compose d’unepartie
réactive
Zr
et d’unepartie
résistiveRr
Les résultats que nous
présentons
dans la suite ont été obtenus enpartie
par le programme de calcul formel Mathematica.1.
L’impédance mécanique après
contre-réactionPour discuter la modification de
l’impédance mécanique
enprésence
de contre-réaction,nous avons calculé la
réponse
de la vitesse à une force extérieureCette
équation
montre quel’impédance mécanique
enprésence
de contre-réaction estégale
H
me
est lapartie dissipative
de cetteimpédance.
Cettedissipation supplémentaire
est commela
dissipation mécanique
ordinaire àl’origine
d’une force fluctuante. Mais les fluctuationscorrespondantes pourront
êtrebeaucoup plus petites
que les fluctuationsmécaniques
ordi-nairespuisqu’elles
sont issues d’unsystème
actif.Par
ailleurs,
tous les termes de bruitapparaissant
dans(211)
constituent une force deLangevin
due aux fluctuationsmécaniques
etélectriques
dans les diverses voies d’entrée.La
partie mécanique
vérifie le théorèmefluctuations-dissipation.
Lapartie électrique
dela
dissipation
est ainsi àl’origine
d’une force fluctuantequi
doit être étudiée de manièrebeaucoup plus précise puisqu’elle provient
d’unsystème
actif.2. La matrice de
diffusion
Le réseau
correspondant
à cesystème comprend
ainsi 5 voies d’entrée-sortie(voir
fi-gure
18):
une voie dedissipation mécanique
m, une voie de détectiond,
une voie correspon-dant à lapartie dissipative
de la contre-réaction r et les deux voies de bruit del’amplificateur
FIG. 18 - Schéma de
principe
d’un accéléromètre danslequel
le rôle des éléments actifs(am-plificateur
etasservissement)
estpris
en compte.Le
dénominateur
D estl’impédance mécanique
totale enprésence
de l’asservissement. Commed’habitude,
nous avons introduit la force réduitefext
avec les fluctuations entrantdans la voie
mécanique.
Pour discuter les
performances
de cetappareil
de mesure, nous introduisons un estimateurext
de la force Fext tellequ’on peut
la déduire d’une mesure dusignal
dout sortant par la voie de détectionIncidemment,
nous pouvons nous intéresser au cassimple
où lesystème
actif estuti-lisé
uniquement
pouramplifier
lesignal électrique.
Ce cascorrespond
exactement au casdu transducteur étudié
précédemment
dans lapartie
II B 2 en tenant enplus compte
du bruitrajouté
parl’amplificateur
pour faire passer lesignal
du niveauquantique
au niveauclassique.
Ce cas est décrit en faisants03BB
= 0 etRr
= 0 dansl’équation précédente
Comme dans la
partie
III C3,
nous pouvons utiliser cette formule pouroptimiser
la valeur duparamètre Ra qui
détermine le bruitrajouté
parl’amplification
Comme
précédemment,
cette valeuroptimale
nedépend
pas des diversestempératures.
Dans le document
Fluctuations quantiques et thermiques dans les transducteurs électromécaniques
(Page 81-98)