Problèmes d algèbre linéaire

Problèmes d’algèbre linéaire

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« La langue de l’algèbre, mystérieuse et lumineuse, me saisissait. Ce que j’admirais surtout dans cet idiome, c’est qu’il ne consent à exprimer, à articuler que des vérités générales, universelles, et qu’il dédaigne les vérités particulières. Je lui attribuais en cela une fierté que je refusais aux idiomes humains ; à ce point de vue l’algèbre me semblait la langue du Dieu de l’esprit. »

Edgar Quinet, Histoire de mes idées

Sont ici réunis quelques dizaines de problèmes d’algèbre linéaire, mis au point au cours de trente-cinq années d’enseignement, de 1979 à 2014. En somme, pour reprendre la belle expression de Laurent Schwartz, il s’agit de mon « château intérieur » linéaire : tours de guet, donjon, redoutes, murs d’enceinte, machicoulis, pont-levis, douves, j’espère que rien ne manque à ce très pacifique monument d’architecture militaire. Une forteresse de mathématiques est toujours, en quelque manière, une forteresse contre les mathématiques, mais c’est d’abord, et avant tout, une façon efficace de compléter le cours, et d’organiser les savoirs.

Les énoncés ont des sources diverses : cours de taupe, manuels français et étrangers, problèmes et exercices de concours (les références sont indiquées chaque fois que possible), mais ils ont parfois été remaniés à des fins pédagogiques. Il arrive souvent que plusieurs problèmes abordent le même thème : un professeur est obligé de poser régulièrement un problème sur un sujet important, avec de légères variantes selon les idées mises en valeur ou l’état d’avancement du programme. Ainsi, plusieurs énoncés portent sur les pseudo-inverses (thème fort à la mode dans les années 1980), les produits tensoriels, les endomorphismes monogènes, le théorème de Jordan... Enfin, la plupart de ces problèmes sont corrigés.

Pierre-Jean Hormière

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Documents :

Adhérence d’une classe de similitude : RMS novembre 1990, p. 198 (Sifre) Dimension maximale d’un sev de M_n(C) ne rencontrant pas Gl_n(C) : RMS 1988-89 n° 7, 1989-90 n° 2 et 8 (Barani, Exbrayat, Clarisse) Dimension maximale d’une sous-algèbre commutative de M_n(C) :

RMS Octobre 1993, p. 186 ; ENS 1998, Oral n° 294 ; ENS 2005, Oral n° 149, RMS mai 2006.

Dimension maximale d’un sous-espace formé de matrices diagonalisables : RMS mars 1992, Randé Hyperplans de M_n(K) stables par le crochet de Lie : RMS 2001 n° 3, p. 234, Gozard

Sous-espaces vectoriels de matrices nilpotentes : RMS oct 2007, de Seguins Pazzis Sous-espaces vectoriels de matrices de rang au plus p : RMS mai 2008, de Seguins Pazzis Dénombrement de matrices nilpotentes d’indice donné : RMS septembre 2010

0. Résoudre un problème de mathématiques…

1. Algèbre linéaire sur les corps finis.

2. Un groupe fini simple, le groupe linéaire Gl₃(F₂).

3. Restriction du corps des scalaires.

4. Complexification.

5. Factorisation d’applications linéaires.

6. Propriétés des projecteurs.

7. Endomorphismes tripotents.

8. Automorphismes de LLLL(E) ; théorème de Skolem-Noether.

9. Espaces vectoriels en dualité.

10. Dualité en dimension infinie.

11. Idéaux à gauche et à droite de LLLL(E).

12. Dimension maximale de certains sous-espaces de M_n(R).

13. Exemples de groupes multiplicatifs matriciels.

14. Inverses généralisées d’une application linéaire.

15. Matrices pseudo-inversibles.

16. Matrices-blocs.

17. Construction matricielle de corps.

18. Générateurs et groupe dérivé de Sln(K).

19. Nilespace et cœur d’un endomorphisme.

20. Matrices de Hessenberg.

21. Matrices magiques.

22. Matrices de Hadamard.

23. Matrices positives.

24. Discrétisation d’une équation différentielle linéaire.

25. Matrices harmoniques.

26. Températures de plaques.

27. Localisation des valeurs propres.

28. Produits tensoriels de vecteurs et de matrices.

29. Déterminants de Hankel.

30. Déterminants de Casorati.

31. Equations fonctionnelles.

32. Théorème des drapeaux.

33. Matrices 2××××2.

34. Réduction des matrices de rang 1.

35. Réduction des matrices de petit rang.

36, 37. Endomorphismes diagonalisables.

38. Diagonalisation d’une dérivation.

39. Symétries commutantes et anticommutantes.

40. Sous-groupes finis de Gl_n(C).

41. L’algèbre Kⁿ, algèbres diagonales.

42. D’Hamilton à Frobenius.

43. Matrice de Vandermonde des racines de l’unité.

44. Primarité des nombres de Mersenne.

45. Matrices de tournoi.

46. Théorème de l’amitié d’Erdös.

47. Graphes et arbres ; théorème de Borchardt-Cayley.

48. Propriétés du polynôme caractéristique.

49. Un théorème de Kronecker.

50 et 51. Résultant et déterminant d’Hermite.

52 et 53. Endomorphismes monogènes.

54. Equations matricielles du second degré.

55. Racines carrées de matrices.

56. Endomorphismes semi-simples.

57, 58, 59. Endomorphismes nilpotents.

60. Trace.

61. I est-il un commutateur ? 62. Trace et commutateurs.

63. s-triplets.

64. Algèbres de Lie, théorème de Lie.

65. Endomorphismes de LLLL(E), de Mn(K).

66 et 67. Produits kroneckériens.

68. Topologie matricielle.

69. Géométrie matricielle.

70, 71, 72. Matrices stochastiques.

73. Puissances d’une matrice.

74. Contractions larges.

75. Applications semi-linéaires.

76. Fonctions propres d’un noyau.

77. Matrices à éléments polynomiaux.

78. Générateurs de Sl2(Z) et Gl2(Z).

79. Matrices à éléments dans un anneau euclidien.

80. Modules sur les anneaux commutatifs.

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Problème 0 : Résoudre un problème de mathématiques…

Résoudre un problème de mathématiques est une chose, résoudre un problème de mathématiques en temps limité en est une autre.

Je m’étonne qu’aucun de mes professeurs n’ait jamais pris le temps de nous expliquer la différence, et je m’étonne que, devenu à mon tour professeur, j’aie consacré si peu de temps à bien l’expliquer aux élèves. Certes, les élèves sentent bien la différence entre les DM (devoirs à la maison) et les DS (devoirs surveillés), mais prenons le temps de l’expliciter.

Résoudre un problème de mathématiques « à tête reposée », sans aucune contrainte de temps et de lieu, est un exercice purement intellectuel ; il a pour finalité de donner une solution « totale », « complète », du problème posé. Que cet objectif soit atteint ou non, peu importe. L’éléve, l’étudiant, le professeur même, peuvent prendre le temps de « sécher », ils peuvent faire des calculs, des raisonnements, au brouillon, avant de les retranscrire « au propre » au moment choisi, ils peuvent résoudre les questions dans l’ordre qu’ils veulent, et en utilisant différentes méthodes, ils peuvent faire une halte pour se reposer et reprendre leur réflexion plus tard (de telles coupures mettent la réflexion consciente en sommeil pendant que « l’inconscient mathématique » reste éveillé), ils peuvent consulter une documentation (livres, calculatrices, logiciels, ordinateur, internet), ils peuvent même consulter un corrigé du problème s’ils arrivent à en trouver un dans des annales imprimées ou numérisées. Ils peuvent enfin échanger des idées avec un condisciple ou un collègue, etc. etc.

Résoudre un problème en temps limité, cela impose une toute autre discipline : unité de lieu (rester assis à sa table pendant 2 ou 4 heures), unité de temps (composer de 8 h à 12 h, ou de 14 h à 18 h), règles strictes et imposées (absence de contacts, usage autorisé ou non de la calculatrice), tout cela dans une compétition « à armes égales ». L’objectif n’est pas de résoudre intégralement le problème posé, mais de « faire des choses », de faire suffisamment de choses, en quantité et/ou en qualité, pour avoir « une bonne note » à la composition, à l’examen ou au concours. On n’attend pas de l’élève ou de l’étudiant qu’il parvienne à résoudre la dernière question du problème, et il ne doit pas se fixer cet objectif, sauf circonstances très particulières (étudiant brillant, épreuve facile).

Le travail en temps limité impose un arbitrage efficace entre « brouillon » et « propre » : il faut mettre au net la solution au fur et à mesure, afin de ne pas être pris de court en fin d’épreuve. Enfin, un problème de mathématiques est souvent divisé en plusieurs parties, plus ou moins indépendantes, les premières questions de chaque partie étant en général plus faciles que les suivantes. A l’étudiant de savoir s’il doit ou s’il peut consacrer du temps à ces questions plus difficiles, à lui de décider d’abandonner à temps la recherche d’une question qui résiste. Bref, à tout instant se pose la question de la gestion du temps. Résoudre un problème en temps limité, cela impose au candidat de savoir prendre à tout instant des décisions ¹.

1 Certaines décisions peuvent être lourdes de conséquences et n’avoir rien à voir avec les compétences purement mathématiques du candidat. Ainsi, tel sujet d’ENS commençait par une question préliminaire fort difficile. Certains candidats ont perdu beaucoup de temps à essayer de démontrer cette question. D’autres, plus habiles, ont admis cette question préliminaire pour s’attaquer directement au problème, se réservant d’y revenir par la suite.

Ajoutons qu’il y a deux sortes de questions, les questions « fermées », qui demandent de démontrer telle propriété ou telle formule données explicitement dans l’énoncé, et les questions

« ouvertes », qui demandent de faire un calcul ou un raisonnement dont le résultat ne figure pas dans

Au fond, tout problème de maths a un enjeu, un résultat central. La très bonne copie est celle qui parvient à résoudre la question névralgique, question qui n’est pas toujours située à la fin de l’énoncé. Mais on peut faire une bonne copie sans arriver jusque-là, si l’on assure solidement son pas, si la qualité de la réflexion et de la rédaction sont au rendez-vous.

C’est pourquoi le maître devrait donner aux élèves, non pas un, mais deux corrigés de chaque épreuve : un corrigé complet, encyclopédique, utopique, mais froid, et un corrigé incomplet, partiel, mais vivant, qui présenterait en quelque sorte la solution « modèle », la

« bonne copie », la solution qu’on est en droit d’attendre, dans le temps imparti et avec les élèves donnés. Une solution dans laquelle le maître n’hésiterait pas à écrire : on ne peut résoudre cette question dans le temps imparti, admettons-là et passons à la suite. Certains professeurs, de lettres notamment, lisent en classe la copie d’un élève. C’est une excellente pratique pédagogique, car elle prend en compte les contraintes du temps limité. Les professeurs de mathématiques devraient s’en inspirer ².

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l’énoncé. Il est plus facile d’admettre et de sauter les questions fermées, certaines questions ouvertes sont en fait des questions-barrages et infranchissables.

Ce n’est que quand on a fini de résoudre un problème que l’on comprend, après coup, comment il aurait fallu s’y prendre, mais cela, un travail en temps limité ne le permet pas. C’est vrai d’ailleurs de toutes les activités humaines, scientifiques, artistiques, artisanales, collectives ou individuelles.

2 Quant à ceux qui se contentent de ne corriger que des fins de problèmes, considérant que les élèves qui n’arrivent pas jusque là sont des cons, ils n’ont rien compris à leur métier, les cons ce sont eux, et ils sont coresponsables de la chute du niveau mathématique des élèves français. On ne m’ôtera pas de l’idée que cetle baisse de niveau est aussi due à ces imbéciles.

Problème 1 : Algèbre linéaire sur les corps finis Dans ce problème, K désigne un corps fini commutatif ³ ayant q éléments.

1) Soit E un K-espace vectoriel. Montrer que E est de dimension finie sur K si et seulement si E est un ensemble fini. Exprimer alors N = card E en fonction de q et n = dim E.

On suppose cette condition remplie dans toute la suite.

2) Soit L_k(E) l’ensemble des familles libres (x₁, x₂, ..., x_k) formées de k vecteurs de E.

Montrer par récurrence : card L_k(E) = ( qⁿ− 1 )( qⁿ− q ) ... ( qⁿ− q^k−1 ) .

3) Combien E possède-t-il de bases ? Montrer que le cardinal du groupe linéaire de E est : card Gl(E) = ( qⁿ − 1 )( qⁿ − q ) ... ( qⁿ − qⁿ⁻¹ ) = q^n²

∏

= n −

i

qi 1

1) 1

( .

4) Soit G_k(E) l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de E ( « grassmannienne d’indice k » ). On note card G_k(E) =

[

_kⁿ

]

q . Montrer que

[

_kⁿ

]

q =

∏

^k_i=⁻₀¹ _q^qkn₋⁻_q^{qii .}

5) a) Montrer que

[

_kⁿ

]

q =

[

_n−ⁿ_k

]

q pour 0 ≤ k ≤ n.

b) Montrer que

[

^{n 1}_k⁺

]

q =

[

_kⁿ₋₁

]

q + q^k

[

_kⁿ

]

q = q^n+1−k

[

_kⁿ₋₁

]

q +

[

_kⁿ

]

q pour 1 ≤ k ≤ n.

c) Montrer que

[

_kⁿ

]

q est une fonction polynomiale de q, de degré k(n−k) à coefficients dans N.

d) Que deviennent les

[

_kⁿ

]

q lorsque l’on fait q = 1 ? 6) Soit G_n =

∑

= n

k 0

[

_kⁿ

]

q le nombre total de sous-espaces vectoriels de E (n-ième nombre de Galois).

Montrer que G₀ = 1 , G₁ = 2 , G_n+1 = 2 G_n + ( qⁿ − 1 ).G_n−1 pour tout n ≥ 1.

Calculer G_n pour tout n ≤ 5.

7) Soit F un sous-espace vectoriel fixé de dimension k de E.

a) Démontrer que F admet q^k(n−k) supplémentaires dans E.

[ On pourra montrer que, si G₀ est un supplémentaire de F, f → { x − f(x) ; x ∈ G0 } est une bijec- tion de LLLL_(G0, F) sur l’ensemble des supplémentaires de F dans E ; cette méthode n’est pas imposée.] b) Combien y a-t-il de sous-espaces affines de E de direction F ?

8) Soit A_k(E) l’ensemble des sous-espaces affines de E de dimension k. Exprimer card A_k(E) . 9) a) Combien y a-t-il d’applications de E dans E ? Parmi elles, combien sont bijectives ? b) Combien y a-t-il d’endomorphismes de E ? Parmi eux combien sont bijectifs ? de dét 1 ? c) Combien y a-t-il de projecteurs dans E, resp. de symétries si K est de caractéristique ≠ 2 ? d) Combien y a-t-il d’applications affines de E dans E ? de bijections affines ?

10) Soient E un K-ev de dimension p, F un K-ev de dimension n.

a) Combien y a-t-il d’applications linéaires de E dans F ? b) Si p ≤ n, combien y a-t-il d’injections linéaires de E dans F ? c) Si n ≤ p, combien y a-t-il de surjections linéaires de E dans F ?

d) Si 1 ≤ r ≤ min(n, p), combien y a-t-il d’applications linéaires de rang r de E dans F ? 11) Soit u un endomorphisme de E. Montrer qu’il est diagonalisable ssi u^q = u.

3 On peut montrer que tout corps fini est commutatif (théorème de Wedderburn-Dickson, 1905).

12) Dans cette question, on se place dans M₂(K).

a) Montrer que, si A =







 d c

b

a est de la forme a.I₂, A n’est semblable qu’à elle-même, et que, sinon, elle est semblable à







 +−

d a

ad bc 1

0 . Conclure que A est semblable à une, et une seule, des matrices







 a a 0

0 _,







 −

T D 1

0 , où (a, T, D) ∈ K³. Combien M₂(K) a-t-elle de classes de similitudes ? b) Combien y a-t-il de matrices diagonalisables, resp. nilpotentes, resp. trigonalisables, dans M₂(K) ? Combien d’éléments ont leurs classes de similitude ?

13) Dans cette question, on se place dans Gl₂(K).

Combien ce groupe admet-il de classes de conjugaison ? Discuter le nombre d’éléments de chacune d’elles.

14) Exemple 1 : K = Z/2Z, n = 2. On pose E = {0, x, y, z}. Reconnaître le groupe additif (E , +).

À quel groupe connu est isomorphe (Gl(E) , o) ?

15) Exemple 2 : K = Z/3Z, n = 2. Montrer que E contient 4 droites. Combien Gl(E) a-t-il d’élé- ments ? En observant que tout élément de Gl(E) permute les droites de E, construire un morphisme de groupes ϕ : Gl(E) → SSSS₄ (groupe symétrique). Quel est son noyau ? En déduire que ϕ est surjectif, et induit un isomorphisme de Sl(E) = { f ∈ Gl(E) ; det f = 1 } sur le groupe alterné AAAA_4. 16) Exemple 3 : Soit G un groupe multiplicatif tel que (∀x ∈ G) x² = e.

a) Montrer que G est commutatif. On le note désormais additivement.

b) Munir G d’une structure de Z/2Z-espace vectoriel. En déduire que si G est fini, il a pour cardinal une puissance de 2 et est isomorphe à (Z/2Z)ⁿ.

17) Exemple 4 : Soient K un corps fini à q éléments, p la caractéristique de K.

Montrer que p est un nombre premier. Munir K d’une structure de Z/pZ-espace vectoriel.

En déduire que q est une puissance de p : q = pⁿ. Montrer que tout sous-corps de K a pour cardinal p^d, où d divise n.

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Solution

1) Dénombrement des vecteurs.

Si E est de dimension finie n sur le corps K, il admet une base (e₁, …, e_n).

L’application (λ1, …, λn) →

∑ ^λ

^iei est une bijection de Kⁿ sur E, donc E est fini de cardinal N = qⁿ. Réciproquement, si E est fini, il admet une famille génératrice finie : E lui-même ! C’est donc un espace de type fini.

2) Dénombrement des familles libres.

Montrons la propriété par récurrence sur k.

L₁(E) est l’ensemble des vecteurs non nuls ; il y en a qⁿ− 1.

Supposons la propriété vraie au rang k. Alors (x₁, …, x_k, x_k+1) est une famille libre ssi (x₁, …, x_k) est libre et x_k+1 ∉ Vect(x₁, …, x_k). Il y a donc (qⁿ− 1)(qⁿ− q) ... (qⁿ− q^k−1)×(qⁿ− q^k) possibilités.

Remarque : Cela revient à appliquer le principe des bergers à la surjection (x₁, …, x_k, x_k+1) ∈ L_k+1(E) → (x₁, …, x_k) ∈ L_k(E) .

3) Dénombrement des bases et du groupe linéaire.

Soit B(E) l’ensemble des bases de E. B(E) = L_n(E), donc :

card B(E) = ( qⁿ− 1 )( qⁿ− q ) ... ( qⁿ− qⁿ⁻¹ ).

Choisissons une base B₀ = (e₁, …, e_n) de E. Pour tout f ∈ Gl(E), f(B0) = (f(e₁), …, f(e_n)) est une base de E, et l’application f ∈ Gl(E) → f(B₀) ∈ B(E) ainsi définie est une bijection.

Par conséquent, card Gl(E) = card B(E) = ( qⁿ − 1 )( qⁿ − q ) ... ( qⁿ − qⁿ⁻¹ ) = q^n²

∏

_i=ⁿ₁⁽¹⁻_q^1i).

Remarques : 1) Plus généralement, si un groupe G agit de manière simplement transitive sur un ensemble E, les ensembles G et E sont équipotents.

2) Notons Q_n = card Gl_n(K), il vient Q₁ = q − 1 ,

n n

Q

Q+1 = qⁿ ( qⁿ⁺¹− 1 ) : (Q_n) croit strictement.

Ceci montre au passage que si K est corps fini, Gl_m(K) et Gl_n(K) sont isomorphes ssi m = n.

3) Notons θn =

) (

) (

K cardM

K cardGl

n

n =

∏

_i=ⁿ₁⁽¹⁻_q¹ⁱ⁾ la probabilité qu’une matrice d’ordre n soit inversible.

Lorsque n →∞, la suite (θn) tend en décroissant vers φ( q

1_{), où φ(x) =}

∏

^+∞₌ ⁻

1

) 1 (

k

xk .

4) Pour q = 2, la suite (card Gl_n(K)) est répértoriée A002884 dans l’OEIS. Elle a pour premières valeurs : 1 , 1 , 6 , 168 , 20160 , 9999360 , …

5) Le fameux groupe Gl₃(F₂) sera étudié en détail dans le problème suivant.

4) Dénombrement des grassmanniennes.

A toute famille libre L = (x₁, …, x_k) ∈ L_k(E) associons le sous-espace F = Vect(x₁, …, x_k) qu’elle engendre. F est un sous-espace de dimension k, et l’application u : L → F est surjective.

Mais un même sous-espace F de dimension k peut provenir de plusieurs familles libres L : en fait, autant que de bases de F. Or F admet ( q^k − 1 )( q^k − q ) ... ( q^k − q^k−1 ) bases.

Il reste à appliquer le principe des bergers : card G_k(E) ≡

[

_kⁿ

]

q =

∏

₌⁻¹

0 k

i

i k

i n

q q

q q

−

− .

En particulier, E a

[

₁ⁿ

]

q = 1

1

−− q qⁿ

= qⁿ⁻¹ + … + q + 1 droites vectorielles, et autant d’hyperplans.

5) Triangle de Gauss-Pascal.

a) On peut montrer la symétrie

[

_kⁿ

]

q =

[

_n−ⁿ_k

]

q , pour 0 ≤ k ≤ n , de deux façons :

• Si l’on introduit les q-entiers n_q = 1 + q + … + qⁿ⁻¹ = 1

1

−− q qⁿ

et les q-factorielles n!_q = 1_q.2_q….n_q , il vient, après simplification,

[

_kⁿ

]

q =

q q

q

k n k

n )!

(

!

!− , forme symétrique.

• Par dualité, l’orthogonalité externe F ∈ Gk(E) → F° ∈ G_n−k(E*) met en bjiection les sev de dimen- sion k de E et ceux de dimension n−k du dual. Il reste à passer aux cardinaux.

On pourrait aussi munir E d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B, par exemple le

« produit scalaire standard » B(x, y) =

∑

^xiyi relativement à une base, et considérer l’orthogonalité interne F ∈ Gk(E) → F^⊥∈ Gn−k(E).

b) Il est facile de s’assurer que

[

_kⁿ₋₁

]

q + q^k

[

_kⁿ

]

q = q^n+1−k

[

_kⁿ₋₁

]

q +

[

_kⁿ

]

q . Il reste une seule formule à montrer, qui est facile en se plaçant dans C(q) ou Q(q).

Voici une preuve combinatoire de :

[

^{n 1}_k⁺

]

q = q^n+1−k

[

_kⁿ₋₁

]

q +

[

_kⁿ

]

q . Soit E un K-espace de dimension n + 1. Choisissons un hyperplan H de E.

Dénombrons les sous-espaces F de dimension k de E.

• Soit F ⊂ H :

[

_kⁿ

]

q possibilités.

• Soit F ⊄ H. Alors dim(F ∩ H) = k − 1 par Grassmann, car F + H = E.

Il faut donc se donner une famille libre (x₁, …, x_k−1) de k − 1 vecteurs de H, complétée en une base (x₁, …, x_k) au moyen d’un vecteur x_k de E − H, puis diviser par le nombre de bases de l’espace ainsi construit :

) )...(

)(

1 (

) )(

)...(

)(

1 (

1 1 2

− +

−

−

−

−− − −

−

k k k

k

n n k n n

n

q q q q q

q q q q q q

q = q^n+1−k

[

_kⁿ₋₁

]

q . Cqfd ! Vive moi !

> #introduction au q-calcul

> ent:=proc(n,q)

> local k;sum(q^k,k=0..n-1);end;

> fact:=proc(n,q)

> local k;if n=0 then 1;else

expand(simplify(product(ent(k,q),k=1..n)));fi;end;

> binom:=proc(n,k,q)

> if k>=0 and n>=k then expand(simplify(fact(n,q)/(fact(k,q)*fact(n- k,q))));else 0;fi;end;

> ent(0,q);ent(1,q);ent(3,q);

0 1 + + 1 q q²

> fact(4,q);

+ + + + + + 5 q⁴ 6 q³ 5 q² 3 q 3 q⁵ q⁶ 1

> for k from 0 to 4 do binom(4,k,q);od;

1 + + + q³ q² q 1 + + + + q⁴ q³ 2 q² q 1

+ + + q³ q² q 1

1

> with(linalg):A:=matrix(5,5,(n,k)->binom(n-1,k-1,q));

:=

A





























1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

1 q + 1 1 0 0

1 q² + + q 1 q² + + q 1 1 0

1 q³ + + + q² q 1 q⁴ + + q³ 2 q² + + q 1 q³ + + + q² q 1 1 Remarque : La suite des

[

_kⁿ

]

2 est répertoriée A022166 dans l’OEIS de Neil Sloane : 1

1 1 1 3 1 1 7 7 1 1 15 35 15 1 1 31 155 155 31 1 1 63 651 1395 651 63 1

c) On peut montrer par récurrence sur n, que, pour tout k :

[

_kⁿ

]

q =

∑

⁻

= ) (

0 , , .

k n k

a

a a k

n q

c , polynôme unitaire de degré k(n − k), où les c_n,k,a sont des entiers naturels

Remarque : Les coefficients c(n, k, a) ont une interprétation combinatoire tout à fait remarquable : c(n, k, a) est le nombre de chemins croissants joignant dans N×N le point O au point (k, n − k), et délimitant avec Ox une aire égale à a. Cela est laissé en exercice.

d) Lorsque « q = 1 », les

[

_kⁿ

]

q deviennent les binomiaux usuels

(

_kⁿ

)

. En effet, le triangle de Gauss de 5.b) devient le triangle de Pascal.

Cela se voit aussi si l’on fait tendre q vers 1 dans

[

_kⁿ

]

q =

∏

^k_i=⁻₀¹ _q^qkn₋⁻_q^{qii .}

Cela découle de ce que qⁿ – qⁱ∼ qⁿ⁻ⁱ – 1 ∼ (n − i)(q − 1) quand q → 1.

6) Nombres « de Galois ».

Pour montrer G_n+1 = 2 G_n + (qⁿ− 1) G_n−1 , nous allons utiliser les deux formules trouvées en 5.b).

G_n+1 =

∑

k

[

^{n 1}_k⁺

]

q =

∑

k

[

_kⁿ₋₁

]

q +

∑

k

qk

[

_kⁿ

]

q = G_n +

∑

k

qk

[

_kⁿ

]

q = G_n +

∑

k

qk

(

q^n−k

[

_kⁿ₋⁻₁¹

]

q +

[

^{n 1}_k⁻

]

q

)

= G_n + qⁿ

∑

k

[

_kⁿ⁻₋₁¹

]

q +

∑

k

qk

[

^{n 1}_k⁻

]

q = G_n + qⁿ G_n−1 +

∑

k

(

[

_kⁿ

]

q −

[

_kⁿ⁻₋₁¹

]

q) = 2 G_n + (qⁿ − 1) G_n−1 . Ces formules, jointes à G₀ = 1 et G₁ = 2, permettent un calcul récurrent des G_n.

> # nombres de Galois

> g:=proc(n);if n=0 then 1

> elif n=1 then 2

> else expand(2*g(n-1)+(q^(n-1)-1)*g(n-2));fi;end;

> for n from 0 to 8 do g(n);od;

1 2 + 3 q + + 4 2 q 2 q² + + + + 5 3 q 4 q² 3 q³ q⁴ + + + + + + 6 4 q 6 q² 6 q³ 6 q⁴ 2 q⁵ 2 q⁶

+ + + + + + + + +

7 5 q 8 q² 9 q³ 11 q⁴ 9 q⁵ 7 q⁶ 4 q⁷ 3 q⁸ q⁹

+ + + + + + + + + + + +

8 6 q 10 q² 12 q³ 16 q⁴ 16 q⁵ 18 q⁶ 12 q⁷ 12 q⁸ 8 q⁹ 6 q¹⁰ 2 q¹¹ 2 q¹² Remarques :

1) Lorsque q = 2, la suite des nombres dits de Galois est répertoriéeA006116 dans l’OEIS : 1 , 2 , 5 , 16 , 67 , 374 , 2825 , 29212 , …

2) On observe que G_n est un polynôme en q, à coefficients dans N, de coefficient dominant q^m² si n

= 2m, et 2q^m(m+1) si n = 2m+1. Cela se montre par récurrence sur n.

7) Dénombrement des supplémentaires.

a) Soient F un sous-espace de dimension k, (a₁, …, a_k) une base de F.

Il y a ( qⁿ− q^k )( qⁿ− q^k−1 ) ... ( qⁿ− qⁿ⁻¹ ) façons de compléter (a₁, …, a_k) en une base de E.

Chaque (a_k+1, …, a_n) engendre un supplémentaire G de F. Mais plusieurs (n−k)-uplets engendrent le même supplémentaire G, à savoir autant que de bases de G. En vertu du principe des bergers, il y a donc

) )...(

)(

1 (

) )...(

)(

(

1 1 1

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−− − −

k n k n k

n k n

n n k n k n

q q q q q

q q q q q

q = q^k(n−k) supplémentaires de F.

Si l’on utilise le lemme suggéré par l’énoncé, et que nous admettrons (cf. mes exercices d’algèbre linéaire), alors il y a autant de supplémentaires de F que d’éléments de L_{(G0, F). Or} L_(G0, F) est un sous-espace de dimension (n − k)k. Je renvoie aussi au problème sur les projecteurs.

Conséquence : Il y a q^k(n−k) projecteurs d’image F, et autant de symétries par rapport à F (si K est de caractéristique ≠ 2).

b) Il y a q^n−k sous-espaces affines de E de direction F.

En effet, si l’on choisit un supplémentaire G de F, tout sous-espace affine de direction F s’écrit de façon unique x + F, où x ∈ G.

Variante : les sous-espaces affines de direction F sont exactement les éléments de l’espace quotient E/F, qui est de dimension n − k.

8) Dénombrement des sous-espaces affines de dimension k.

Il découle de ce qui précède que ce nombre est card A_k(E) = q^n−k

[

_kⁿ

]

q . 9) Dénombrements d’applications de E dans E.

a) Il y a q^nqnapplications de E dans E. Parmi elles, il y en a (qⁿ)! Bijectives.

b) Il y a q^n²applications linéaires de E dans E, car LLLL(E) est un K-espace vectoriel de dimension n², ou car LLLL(E) est isomorphe à M_n(K). Parmi elles, card Gl(E) = (qⁿ − 1)(qⁿ − q) ... (qⁿ − qⁿ⁻¹) sont bijectives. Enfin, le sous-groupe Sl(E) = {u ; det u = 1} a

*) (

) ( K card

E cardGl

= 1

)

− ( q

E cardGl

éléments, en vertu du lemme suivant, conséquence du principe des bergers :

Lemme : Si G est un groupe fini et f : G → H un homomorphisme de groupes, alors : card G = card ( Ker f ) × card ( Im f ).

Or u → det u est un morphisme surjectif de Gl(E) dans K*.

c) Se donner un projecteur, ou une symétrie en caractéristique ≠ 2, équivaut à se donner un couple (F, G) de sous-espaces supplémentaires. Il y a

∑

= n − k

k n

qk 0

)

(

[

_kⁿ

]

q tels couples.

Autre solution, matricielle : Les projecteurs de rang k sont les matrices semblables à 

 O O

O I^r _. Il suffit d’appliquer le principe de bergers à l’application Φ : P ∈ Gln(K) → P⁻¹. 

 O O

O I^r _{.P .} Cela revient à dénombrer les matrices inversibles qui commutent à



 O O

O

I^r _{, car Φ(P) = Φ(Q) ⇔} Q⁻¹.P commute à



 O O

O Ir

. Or ces matrices sont de la forme



 B O

O

A , où (A, B)∈Gl_r(K)×Gl_n−r(K)…

d) Une application affine est de la forme f(x) = f(0) + u(x), où u est linéaire, une bijection affine de la forme f(x) = f(0) + u(x), où u est linéaire bijective. La correspondance f ↔ (f(0), u) est bijective, donc il y a : • qⁿ.q^n² applications affines de E dans E ;

• qⁿ.( qⁿ− 1 )( qⁿ− q ) ... ( qⁿ− qⁿ⁻¹ ) bijections affines de E dans E.

10) Dénombrements d’applications linéaires.

a) LLLL(E, F) est un K-espace vectoriel de dimension np, donc card LLLL_{(E, F) = q}^np_. b) Nombre d’injections linéaires de E dans F (si p ≤ n).

Soit (e₁, …, e_p) une base de E. Si f est une injection linéaire de E dans F, ( f(e₁), …, f(e_p) ) est une famille libre à p éléments de F, et la correspondance f → ( f(e1), …, f(e_p) ) est bijective.

Il y a donc card L_p(F) = ( qⁿ− 1 )( qⁿ− q ) ... ( qⁿ− q^p−1 ) injections linéaires de E dans F.

On peut aussi se donner un sev G de dimension p de F, et un isomorphisme de E sur G.

c) Nombre de surjections linéaires de E dans F (si p ≥ n).

Sortons notre joker : la dualité ! f ∈LLLL(E, F) est surjective ssi ^tf ∈LLLL(F*, E*) est injective.

Donc le nombre de surjections linéaires est : ( q^p− 1 )( q^p− q ) ... ( q^p− qⁿ⁻¹ ).

Remarque : C’est aussi le nombre de famille génératrices de p vecteurs dans un K-espace vectoriel de dimension n, mais je ne vois pas de justification directe à ce constat.

d) Nombre d’applications linéaires de rang r ( 1 ≤ r ≤ min(n, p) ).

Pour se donner une application linéaire de rang r de E dans F, il faut se donner un sous-espace G de dimension r de F et une surjection linéaire de E sur G.

En tout :

[

ⁿ_r

]

q × ( q^p− 1 )( q^p− q ) ... ( q^p− q^r−1 ) =

∏

₌^{−1 −} ₋ ⁻

0 ( )

) )(

(

r

i

i r

p i i n

q q

q q q

q applications.

Autre méthode : L’application Φ : (Q, P) ∈ Gl_n(K)×Gl_p(K) → Q.J_r.P ∈ M_K(n, p) est une surjection sur l’ensemble des matrices de rang r. Or cette surjection obéit au principe des bergers…

Remarque : Si l’on tient compte de l’application nulle, il vient : q^np = 1 +

∑

= ) , min(

1 p n

r

[

_rⁿ

]

q×( q^p− 1 )( q^p− q ) ... ( q^p− q^r−1 ) . Cette formule implique, et découle de celle-ci, rencontrée en q-calcul : Xⁿ = 1 +

∑

= n

r 1

[

ⁿ_r

]

q × ( X − 1 )( X − q ) ... ( X − q^r−1 ) . 11) Cns de diagonalisabilité.

• Si u est diagonalisable, il existe une base BBBB telle que Mat(u, BBBB) = diag(λ1, λ2, …, λn). Alors Mat(u^q, BBBB_{) = In}, en vertu du petit théorème de Fermat dans le corps K.

• Si u^q = u, u annule le polynôme P(X) = X^q – X qui est scindé sans facteurs carrés dans K[X]. En effet P’ = −1 est premier à P. Du reste, P(X) =

∏

∈

−

K

X

α ⁽

α

⁾. On conclut via le théorème de Schreier.

12) Dénombrements de matrices 2××××2.

a) Confondons une matrice et l’endomorphisme canoniquement associé.

Si A est scalaire, c’est une homothétie, et A n’est semblable qu’à elle-même.

Sinon, il existe un vecteur x tel que Ax ne soit pas colinéaire à x. (x, Ax) est alors une base de K², et A est semblable à







 −

T D 1

0 , où T est la trace, et D le déterminant de A.

En résumé A est semblable à une, et une seule, des matrices 

 a a 0

0 , 

 − T

D 1

0 , où (a, T, D)∈K³. Conclusion : M₂(K) a q⁴ éléments qui se groupent en q + q² classes de similitude.

b) Commençons par résoudre le problème suivant : étant donnée une matrice A ∈ Mn(K), combien y-a-t-il de matrices semblables à A ?

Notons S(A) la classe de similitude de A, C(A) = { P ∈ Gln(K) ; PA = AP }. Je dis que : card S(A) =

) (

) ( A cardC

K cardGlⁿ

.

Indeed, l’application f : P ∈ Gl_n(K) → P⁻¹AP ∈ S(A) est surjective, et f(P) = f(Q) ⇔ P⁻¹.Q ∈ C(A).

Chaque élément de S(A) a donc card C(A) antécédants. On conclut via les bergers.

Notons DDDD_n(K) l’ensemble des matrices diagonalisables d’ordre n, D_n(K) son cardinal.

Si A =









λ λ

0

0 , sa classe de similitude est réduite à A : il y a q matrices de ce type.

Si A =









λ µ

0

0 ( λ≠µ ), C(A) =

{

_^

^α

₀

_β

⁰_^ ; α.β≠ 0

}

a (q − 1)² éléments.

Il y a donc

)² 1 (

)

² )(

1

²

( − − − q

q q

q = q ( q + 1 ) matrices semblables à A.

Mais attention, diag(λ, µ) est semblable à diag(µ, λ). Il faut donc compter les paires {λ, µ}.

Conclusion : D₂(K) = q + 2

) 1 (q−

q q(q + 1) = 2 q4

− 2 q2

+ q .

Notons NNNN_n(K) l’ensemble des matrices nilpotentes d’ordre n, N_n(K) son cardinal.

Le principe est le même : toute matrice nilpotente d’ordre 2 est semblable à O ou à 

 0 0

1 0 . Si N = 

 0 0

1

0 , C(N) =

{

_^

^α

₀

_α ^β

_^ ; α ≠ 0

}

a q(q − 1) éléments.

Conclusion : N₂(K) = 1 +

) 1 (

)

² )(

1

²

( − − − q q

q q

q = q² . On peut aussi faire un comptage direct.

Notons TTTT_n(K) l’ensemble des matrices trigonalisables d’ordre n, T_n(K) son cardinal.

Toute matrice trigonalisable non diagonalisable d’ordre 2 est semblable à





λ λ

0

1 _. Une matrice commute à cette matrice ssi elle commute à N =



 0 0

1 0 _. Donc chaque classe de similitude a q² – 1 éléments.

Conclusion : T₂(K) − D2(K) = q

) 1 (

)

² )(

1

²

( − − − q q

q q

q = q ( q² − 1 ) , T2(K) = 2

²

q ( q² + 2q – 1 ) .

Il reste donc 2

)² 1

²(q−

q matrices non trigonalisables.

Remarques : 1) Sur les q + q² classes de similitude trouvées en a), 2

) 1 (q+

q correspondent aux matrices diagonalisables, 2 aux matrices nilpotentes (dont une commune aux deux familles).

2) Supposons K de car. ≠ 2. Le groupe Γ = { x² ; x ∈ K* } des carrés non nuls a 2

−1

q éléments.

Choisissons un ω ∉ Γ ∪ {0}, par exemple un générateur du groupe cyclique K*.

Toute matrice de M₂(K) est semblable à une, et une seule, des matrices suivantes : 



λ λ

0

0 , 



λ µ

0

0 , 



λ λ

0

1 , 



α β ωβ

α

( λ ≠ µ , β ≠ 0 ).

Les premières forment q classes, les secondes 2

) 1 (q−

q (on compte les paires {λ, µ}), les troisièmes q classes, et les quatrièmes

2 ) 1 (q−

q ( β peut être changé en −β ). Le compte est bon !

C( 



α β ωβ

α

_{) = C(}



 0 1

0

ω

_{) = {}



 x y

y

x

ω

_{; x}² _{− ω.y}² _{≠ 0 } a q}² – 1 éléments.

Donc la classe de similitude de 



α β ωβ

α

_{a q}² – q éléments. Le compte est bon ! La situation est analogue à celle de M₂(R).

3) On peut démontrer que, pour tout n, N_n(K) = q^n²−n. J’ai calculé D₃K) et D₄(K) (RMS mai 2006), mais n’ai pas trouvé de formule générale.

13) Classes de conjugaison de Gl₂(K).

La conjugaison dans ce groupe n’est autre que la restriction de la similitude.

Toute matrice inversible est semblable à une, et une seule, des matrices







 a a 0

0 _,







 −

T D 1

0 , où a et D sont non nuls : q – 1 + q ( q – 1 ) = q² – 1 possibilités.

Conclusion : Gl₂(K) a ( q² – 1 )( q² – q ) éléments, qui forment q² – 1 classes de conjugaison.

Retrouvons ce résultat si la caractéristique de K est différente de 2.

Toute matrice de Gl₂(K) est conjuguée de l’une des matrices suivantes :





λ λ

0

0 _,





λ µ

0

0 _,





λ λ

0

1 _,





α β ωβ

α

_{( λ & µ≠ 0 , λ≠µ , β≠ 0 , α}²_−ω.β²_{≠ 0 ).}

Les premières forment q − 1 classes, les secondes 2

) 2 )(

1 (q− q−

(on compte les paires {λ, µ}), les troisièmes q − 1 classes, et les quatrièmes

2 ) 1 (q−

q ( β peut être changé en −β ).

En tout, q² – 1 classes de conjugaison derechef.

Elles sont resp. 1 élément, q² + q éléments, q² – 1 éléments, q² – q éléments.

Quand on fait le compte des éléments, on retombe sur ( q² – 1 )( q² – q ).

14) Plans sur Z/2Z.

Si K = Z/2Z et n = 2, posons E = {0, x, y, z}, où (x, y) est une base de E.

Le groupe additif (E , +) est isomorphe à Z/2Z×Z/2Z : on reconnaît le groupe de Klein.

En vertu de ce qui précède, E admet 3 droites vectorielles, 6 droites affines, 6 bases : (x, y), (y, x), (x, z), (z, x), (y, z) et (z, y), et le groupe (Gl(E) , o) a 6 éléments. Comme il permute {x, y, z}, on en déduit que les 6 permutations de {0, x, y, z} laissant fixe le point 0 sont Z/2Z-linéaires. Matricielle- ment : Gl₂(Z/2Z) =

{

_^₀¹ ₁⁰_^ , 

 0 1

1

0 , 

 1 0

1

1 , 

 1 1

0

1 , 

 0 1

1

1 , 

 1 1

1 0

}

. Il y a 4×6 = 24 bijections affines, ce qui signifie que toute permutation de E est une bijection affine.

Remarque : Géométriquement, E est un curieux parallélogramme ! Ses diagonales ne se coupent pas, donc sont parallèles, car x + y = x – y.

15) Plans sur Z/3Z.

Rapportons le plan E sur Z/3Z à une base (e₁, e₂). E a 4 droites vectorielles D₁, D₂, D₃ et D₄, Gl(E) a 48 éléments, et Sl(E) a 24 éléments. Gl(E) agit naturellement sur l’ensemble DDDD _{des 4} droites, via (u, D) → u(D). On en déduit un morphisme de groupes ϕ de Gl(E) dans SSSS_4.

Ce morphisme a pour noyau les deux homothéties ± Id_E. Comme card(Im ϕ)×card(Ker ϕ) = card Gl(E), ϕ est surjectif.

Il reste à montrer que u ∈ Sl(E) ssi ϕ(u) est une permutation paire.

Pour cela, il suffit de montrer que ε(ϕ(u)) = det u pour toute u ∈ Gl(E), ou même pour u décrivant une famille génératrice de Gl(E). Or 

 1 0

1 1 ,



− 1 0

0 1 ,



 0 1

1

0 en est une (voir chap. Calcul matriciel).

Notons D_i = K.e_i, avec K = Z/3Z et e₃ = e₁ + e₂ , e₄ = e₁− e₂ .

Or



 1 0

1

1 donne la permutation 

 2 4 3 1

4 3 2

1 , et ε(ϕ(u)) = det u = 1 ;



− 1 0

0

1 donne 

 3 4 2 1

4 3 2

1 , ε(ϕ(u)) = det u = − 1 ; 

 0 1

1

0 donne 



4 3 1 2

4 3 2

1 . ε(ϕ(u)) = det u = − 1.

16) Groupes finis involutifs.

a) Pour tout x ∈ G, x⁻¹ = x, d’où yx = (yx)⁻¹ = x⁻¹y⁻¹ = xy : G est commutatif.

b) Si on note G additivement, il vient (∀x ∈ G) x + x = 0.

De plus G est un Z-module pour les lois (x, y) ∈ G×G → x + y ∈ G et (n, x) ∈ Z×G → n.x ∈ G.

Comme nx ne dépend que de la classe de n modulo 2, posons n.x = n.x, i.e. 1.x = x et 0.x = 0.

On munit G d’une structure de Z/2Z-espace vectoriel, les axiomes (EVI à EVIV) étant automatique- ment vérifiés. Dès lors G est isomorphe à (Z/2Z)ⁿ en tant que Z/2Z-espace vectoriel, et a fortiori en tant que groupe additif.

16) Corps finis.

a) Si K était de caractéristique nulle, n → n.1K serait une injection de Z dans K ; or K est fini.

Si K était de caractéristique c = ab (a, b > 1), on aurait ab1_K = 0, donc (a1_K)(b1_K) = 0. Par intégrité, on aurait a1_K = 0 ou b1_K = 0, contredisant la minimalité de c.

En résumé, K est de caractéristique p, premier.

b) K est un Z-module pour les lois (x, y) ∈ K×K → x + y ∈ K et (n, x) ∈ Z×K → n.x ∈ K.

Comme nx ne dépend que de la classe de n modulo p, posons n.x = n.x. On munit K d’une structure de Z/pZ-espace vectoriel, les axiomes (EVI à EVIV) étant automatiquement vérifiés. Dès lors K est isomorphe à (Z/pZ)ⁿ en tant que Z/pZ-espace vectoriel, donc q = pⁿ .

c) Si L est un sous-corps de K, K est un L-espace vectoriel, et dim_Z/pZ K = dim_L K×dimZ/pZ L.

Passant aux effectifs, card L = p^d , où d divise n.

Remarque : On peut démontrer que, pour tout premier p et tout n ≥ 1, il existe un corps commutatif à pⁿ éléments, unique à isomorphisme près (voir mon chapitre d’introduction à la théorie de Galois).

Annexe : et s’il existait un corps à un élément ?

Que faire ? Il faut rêver.

Lénine

Il n’y a pas de corps à un élément, disent les livres, et donc les professeurs de maths. Passons outre, inventons un tel corps, et notons-le F₁ ! Nous appellerons F₁–espace vectoriel de dimension n tout ensemble E à n éléments, application linéaire de E dans E toute application de E dans E, bijection linéaire de E dans E toute permutation de E, et sous-espace vectoriel de dimension k de E toute partie de E à k éléments. Alors les résultats précédents restent vrais avec q = 1.

Références :

K. F. Gauss : Summatio quarundam serierum singularium, Opera, vol. 2, p. 16-17 N. Bourbaki : Algèbre II 202, ex. 9

P.-J. H. : Etude sur les corps finis (août 1971)

G. Polya & G. Szegö : Problems and theorems in analysis, t. 1, p. 11 à 13 (Springer) Agrégation d’analyse, 1994

Victor Kac & Pokman Cheung : Quantum calculus (Springer, 2001) C. de Seguins Pazzis : Dénombrements matriciels (RMS, mai 2006) N. Tosel : Quelques dénombrements (RMS, octobre 2006)

X. Caruso : Le rêve du corps à un élément (RMS, octobre 2006) Oral ENS 1994, Oral Centrale 2006, etc.

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