Multiples, diviseurs et nombres premiers

(1)

Chapitre

I

Multiples, diviseurs et nombres premiers

Sommaire

I Nombres entiers . . . . 1

I.1 Nombres entiers naturels. . . 1

I.2 Nombres entiers relatifs . . . 2

I.3 Multiples et diviseurs . . . 3

II Division euclidienne . . . . 5

II.1 Plus grand multiple . . . 5

II.2 Multiples et Diviseurs . . . 8

III Nombres premiers . . . . 9

III.1 La théorie . . . 9

III.2 La pratique . . . 11

IV Les nombres rationnels . . . . 12

IV.1 L’ensemble . . . 12

IV.2 Règles opératoires . . . 13

Test n^o1 : G – Fractions . . . . 15

Test n^o1 : D – Fractions . . . . 16

Test n^o2 : G – Divisibilité . . . . 17

Test n^o2 : D – Divisibilité . . . . 18

Devoir en temps libre n^o1 : Construction géométrique des nombres . 19 Devoir surveillé n^o1 : G – Ensemble de Nombres et Vecteurs . . . . . 22

Devoir surveillé n^o1 : D – Ensemble de Nombres et Vecteurs . . . . . 24

Défi n^o1: Trouver la fraction a

b dont l’écriture décimale (périodique) est : 0,123 123 123 123. . .

Cette écriture sous-entend que la partie décimale décimale de ce nombre est composée d’un bloc de chiffres, ici 123, qui se répète une infinité de fois.

(2)

I. Multiples, diviseurs et nombres premiers I. NOMBRES ENTIERS

Indiquez si les calculs suivants sont des sommes ou des produits et évaluez ces quantités : A = −3 + 2

B = −8−7 C = −(−3) + 4 D = −13 + (−11)

E = 4×(−1) F = −1×(−1) G = 3×[−2(3−5)]

H = (3−5×(−2))(−1 + (−4)×2) I = 5 + 2−5×3

J = (3 + 2)×5

K = (3 + 2) + (2−5)(3 + 1) L = (2 + 5)(1−3)

M = −2×(−4 + 2)−[3−2×(5−3)].

N = −3×2−4 + 3−7 + 8.

O = [(−5 + 7) + 6]−5.

P = [(3−2)×(4−1)](5−7).

Q = −3×(−2)×(−1)×4.

R = −4×(2−5)×(3 + 1).

S = 4×(−7) T = −3×(−4) U = 2×[−3(5−7)]

V = −13 + (−5) W = −12−7

X = −3×(2−1)−[2−2×(4−2)]

Questions flash 1

I Nombres entiers

I.1 Nombres entiers naturels

Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif.

L’ensemble des nombres entiers naturels est noté N.

Définition 1

N={0; 1; 2; 3; 4;. . .}. Exemple 1 :

— 4∈N. — −2∈/N.

Exercice 1 : Citer 5 nombres qui ne sont pas des entiers naturels.

(3)

I.2 Nombres entiers relatifs

Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif.

L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté Z.

Définition 2

Z={. . .;−3;−2;−1; 0; 1; 2; 3;. . .}. Si on ne précise pas « naturels », on parle d’entiers relatifs.

Exemple 2 :

— −2∈Z.

— 5∈N. En particulier N⊂Z.

— 0,33∈/ Z.

Exercice 2 : Dire si les nombres suivants sont des entiers ou non : 1 1,2.

2 8×12,5.

3 1 3.

4 √ 2 5 √

7×√ 63.

6 21 3 .

7 √ 5⁴. 8 2× 1

√2

!2

.

Le terme de relatif se réfère à zéro. En effet, les nombres relatifs sont ainsi vus relativement à zéro. On distingue :

— lesigne qui détermine de quel côté on se trouve relativement à zéro,

— et la distance à zéro ouvaleur absolue de ce nombre.

|

O

1| +3^|

|

−5

5

3

ATTENTION

Les distances à zéro sont donc toujours positives.

(4)

— Soita∈Z un nombre relatif.

L’opposé dea, noté−a est l’unique nombre tel que a+ (−a) = 0.

— L’opposé d’une somme est la somme des opposés :

−(a+b−c) = −a−b+c.

— Règle d’addition :

Soit a et b deux nombres relatifs.

— Si aetb sont de même signe alorsa+b est du même signe et sa distance à zéro est la somme des distance à zéro.

— Si a et b sont de signe contraire alors a+b est du signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et sa distance à zéro est la différence des distances à zéro.

— Règle de multiplication :

La distance à zéro et le signe d’un produit sont, respectivement, le produit des distances à zéro et :

— positif si les facteurs sont de même signe.

— négatif si les facteurs sont de signe opposé.

Rappels 1

Exercice 3 : Calculer les expressions ci-dessous : A = 25 + 3 + 5 + 17

B = −7−8

C = −7 + 8 D = 8−7

I.3 Multiples et diviseurs

Soient a et b deux entiers avec b différent de 0.

On dit que a est un multiple deb s’il existe un entier k ∈Z tel que a=kb.

On dit alors que b est un diviseur dea.

Définition 3

Remarque : Si a = kb alors le reste de la division euclidienne de a par b est nul, c’est-à-dire que a

b est un nombre entier.

Exemples 3 :

— 15 est un multiple de 3, car 15 = 3×k avec k = 5.

— −10 est un diviseur de 40, car 40 =−10×k avec k= 4.

— Par contre, 13 n’est pas un multiple de 3 car il n’existe pas d’entier k tel que 13 = 3×k.

(5)

Exercice 4 : Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? . . . 3 divise 72.

. . . 63 est multiple de 7.

. . . 5 divise 1 234 560.

. . . 703 est un multiple de 7.

. . . 1 est un diviseur de tous les entiers.

. . . 0 est un diviseur de tous les entiers.

. . . 0 est un multiple de tous les entiers.

Exercice 5 : Donner tous les diviseurs de 24.

Un entier naturel est divisible par . . .

— 2 si et seulement si son chiffre des unités est divisible par 2.

— 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

— 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

— 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.

— 6 si et seulement s’il est divisible par 2 et par 3.

— 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

— 10ⁿ si et seulement s’il se termine parn chiffres 0. (où n∈N) Proposition 1(Critère de divisibilité)

Exercice 6 : Soit c un entier compris entre 0 et 9. Le nombre 1234567cest divisible par

— 2 si et seulement si . . . .

— 9 si et seulement si . . . . Exercice 7 : Que pensez-vous de l’affirmation :

Un nombre divisible par 2 et 4 est toujours divisible par 8.

La somme de deux multiples d’un entier a est un multiple de a.

Proposition 2

Preuve:

Il suffit simplement de factoriser.

Soit

^ka

et

^k^′^a

deux multiples de

^a

avec

^k

,

^k^′ ∈Z

.

Alors

^ka⁺^k^′^a^{= (k}⁺^k^′^)a

est un multiple de

^a

car

^k⁺^k^′ ∈Z

.

Exercice 8 : Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

(6)

I. Multiples, diviseurs et nombres premiers II. DIVISION EUCLIDIENNE

Preuve:

Soient trois entiers consécutifs qui peuvent donc s’écrire sous la forme :

n, n+ 1

et

ⁿ^{+ 2,}

où

ⁿ

est un entier quelconque

^.

Leur somme s’écrit

^S ⁼ⁿ^{+ (n}^{+ 1) + (n}^{+ 2) = 3n}^{+ 3 = 3(n}^{+ 1)}

qui est bien multiple de

³

.

II Division euclidienne

II.1 Plus grand multiple

Exercice 9 : Les questions sont indépendantes. Un enfant possède 100 billes qu’il souhaite répartir en petits tas de même taille, avec un éventuel reste de billes non réparties.

1 Parmi les écritures suivantes, laquelle permet d’obtenir la répartition optimale en 7 tas, c’est-à-dire celle pour laquelle il lui reste le moins de billes à répartir :

① 100 = 7×10 + 30

② 100 = 7×13 + 9

③ 100 = 7×14 + 2

④ 100 = 7×15−5 Quel nom porte cette expression ?

2 Répartir au mieux les 100 billes :

① en 8 tas. ② en 9 tas. ③ en 11 tas.

3 À quelle condition sur le nombre de tas, ne reste-t-il plus de billes à répartir ?

Pour tous entiers naturels a et b tels que b 6= 0, il existe deux uniques nombres entiers naturels tels que :

a=bq+r ET 06r < b.

a est appelé le dividende, b le diviseur,q le quotient etr le reste.

Théorème 3 (Admis)

On adopte souvent le schéma : a b r q .

La division revient simplement à chercher le plus grand multiple de b inférieur à a.

Exercice 10 :

1 Effectuer la division euclidienne de 3 114 par 15.

2 Compléter l’égalité associer et l’inégalité :

3 114 =. . .×. . .+. . . et . . . < . . .

(7)

Exercice 11 (Interpréter une division) : Répondre aux questions à l’aide de la division ci-contre.

5 2 1 1 2

- 4 8 4 3

4 1 - 3 6 5 1 521 chocolats sont rangés dans des sachets de 12.

① Combien de sachets seront remplis ?

② Combien restera-il de chocolats ?

2 Les organisateurs d’une course achètent des paquets de 12 dossards pour distribuer un dossard à chacun des 521 participants.

① Combien de paquets doivent-ils acheter ?

② Combien de dossards restera-t-il ? Exercice 12 (Utiliser une égalité) :

38×23+27

901

À l’aide de cet écran de calculatrice, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

1 901 par 38. 2 900 par 38. 3 901 par 23.

Correction :

1. Le quotient est

²³

et le reste est

²⁷

. 2. Le quotient est

²³

et le reste est

²⁶

.

3. Dans

⁹⁰¹

, il y a

³⁸

fois

²³

et il reste

²⁷

, mais

²⁷^>²³

. Donc il y a une fois de plus

²³

:

^{901 = 23}×39 + 4

. Le quotient est

³⁹

et le reste

⁴

.

Exercice 13 (Retrouver le dividende) : On effectue la division euclidienne d’un nombre par 8, on trouve 6 pour quotient.

Quelles sont la plus grande et la plus petite valeurs possibles pour ce nombre ? Correction :

Dans la division par

⁸

, le plus petit reste est

⁰

et le plus grand est

⁷

. Or,

⁸×6 + 0 = 48

et

⁸×6 + 7 = 55

.

La plus petite valeur est donc

⁴⁸

et la plus grande est

⁵⁵

.

Exercice 14 (Retrouver le diviseur) : Une division euclidienne a pour dividende 46 et pour reste 4.

Quels sont les diviseurs possibles ?

(8)

Correction : 46 =b×q+ 4

donc

^b×q = 42

.

42 = 1×42 = 2×21 = 3×14 = 6×7

.

Les diviseurs possibles sont donc

⁴²

;

²¹

;

¹⁴

;

⁷

;

⁶

(le reste est

⁴

donc le diviseur ne peut pas être

¹

,

2

ou

³

).

Exercice 15 (Convertir des durées) : Thomas Pesquet a passé 283 310 min dans l’espace. Avec la calculatrice, exprimer cette durée en jours, heures et minutes.

Correction : 283 310 = 60×4721 + 50

:

^{4 721}

h et

⁵⁰

min.

4721 = 24×196 + 17

:

¹⁹⁶

j et

¹⁷

h.

Thomas Pesquet est resté

¹⁹⁶

j

¹⁷

h

⁵⁰

min dans l’espace.

Exercice 16 (Résoudre un problème) : Christine fait la queue pour prendre un téléphé- rique. Il y a 135 personnes devant elle.

Une cabine arrive. Chaque cabine prend 28 passagers. Une cabine passe toutes les 6 min.

Combien de temps attendra-t-elle ?

Correction : 135 = 28×4 + 23

donc Christine prendra la

⁵^ème

cabine.

4×6

min =

²⁴

min.

Christine attendra

²⁴

min.

La notion de division euclidienne s’étend aux entiers (relatifs) de la même manière, à ceci près que, si b est négatif, alors on doit avoir 06r < −b.

Exemple 4 : Avec a= 15 etb =−4, la seule possibilité est (q;r) = (−3; 3).

En effet :

15 =−4×(−2) + 7

=−4×(−3) + 3

=−4×(−4)−1

=−4×(−5)−5

Comme on doit avoir 0 6 r < −b = 4, seule la deuxième possibilité est le résultat de la division euclidienne et donc (q; r) = (−3; 3).

(9)

II.2 Multiples et Diviseurs

Soient a et b deux entiers avec b différent de 0.

a est un multiple deb si, et seulement si le reste de la division euclidienne dea par best 0.

Théorème 4

Preuve:

Il suffit d’écrire la division euclidienne de

^a

par

^b

et de conclure :

a=bq+r.

Soit n un nombre entier.

On dit que n est un nombrepair si c’est un multiple de 2, impair dans le cas contraire.

Définition 4

Exemples 5 :

— 34, 68, 9 756 786 et 0 sont des nombres pairs.

— 567, 871 et 1 sont des nombres impairs.

Un nombre pair s’écrit sous la forme 2k, avec k ∈Z. Un nombre impair s’écrit sous la forme 2k+ 1, aveck ∈Z.

Proposition 5

Preuve:

Soit

ⁿ

un entier.

Ici aussi il suffit d’écrire la division euclidienne de

ⁿ

par

²

:

n= 2k+r

avec

⁰⁶^{r <}^1.

Il ne reste donc que deux possibilités à

^r

:

—

^r⁼⁰

:

ⁿ ^{= 2k}

est divisible par

²

.

—

^r⁼¹

:

ⁿ ^{= 2k}^{+ 1}

n’est pas divisible par

²

.

Le carré d’un nombre impair est impair.

Proposition 6

(10)

I. Multiples, diviseurs et nombres premiers III. NOMBRES PREMIERS

Preuve:

Soit

^a^{= 2k}^{+ 1}

un nombre impair où

^k ∈Z

.

D’où

^a² ^{= (2k}^{+ 1)}² ^{= 4k}²^{+ 4k}^{+ 1 = 2(2k}²+ 2k) + 1 = 2k^′ + 1

, avec

^k^′ ^{= 2k}²^{+ 2k}∈ Z

. D’après la

proposition (5)

,

^a²

est donc impair.

Exercice 17 : Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair.

III Nombres premiers

III.1 La théorie

Un nombre entier est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs.

Définition 5

Remarques :

— Les seuls diviseurs d’un nombre premier sont donc 1 et lui-même.

— 1 n’est donc pas premier car il n’a qu’un seul diviseur.

On retrouve alors une autre définition :

Un nombre entier supérieur ou égal à 2 est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Définition 6

Exemple 6 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . Cette liste est infinie.

Un peu d’histoire: Pour déterminer la liste de tous les nombres premiers inférieurs à un entier naturel N donné, ÉRATOSTHÈNE, au II^ème siècle av. J.-C., a proposé l’algorithme suivant, traduit en langage moderne et appelé crible d’ÉRATOSTHÈNE :

1. Écrire la liste L de tous les nombres entiers de 2 à N.

2. Garder le premier entier de la liste L et éliminer tous ses multiples dans L.

3. Passer à l’entier suivant dans L, le garder et éliminer tous ses multiples dans L.

4. Poursuivre ainsi jusqu’à avoir atteint la fin de la liste L.

Pour N = 150, on trouve :

(11)

2 3 ⁴✄ ⁵ ⁶✄ ⁷ ⁸✄ ⁹✄ ✚¹⁰

11 ✚¹² ¹³ ✚¹⁴ ✚¹⁵ ✚¹⁶ ¹⁷ ✚¹⁸ ¹⁹ ✚²⁰

✚²¹ ✚²² ²³ ✚²⁴ ✚²⁵ ✚²⁶ ✚²⁷ ✚²⁸ ²⁹ ✚³⁰

31 ✚³² ✚³³ ✚³⁴ ✚³⁵ ✚³⁶ ³⁷ ✚³⁸ ✚³⁹ ✚⁴⁰

41 ✚⁴² ⁴³ ✚⁴⁴ ✚⁴⁵ ✚⁴⁶ ⁴⁷ ✚⁴⁸ ✚⁴⁹ ✚⁵⁰

✚⁵¹ ✚⁵² ⁵³ ✚⁵⁴ ✚⁵⁵ ✚⁵⁶ ✚⁵⁷ ✚⁵⁸ ⁵⁹ ✚⁶⁰

61 ✚⁶² ✚⁶³ ✚⁶⁴ ✚⁶⁵ ✚⁶⁶ ⁶⁷ ✚⁶⁸ ✚⁶⁹ ✚⁷⁰

71 ✚⁷² ⁷³ ✚⁷⁴ ✚⁷⁵ ✚⁷⁶ ✚⁷⁷ ✚⁷⁸ ⁷⁹ ✚⁸⁰

✚⁸¹ ✚⁸² ⁸³ ✚⁸⁴ ✚⁸⁵ ✚⁸⁶ ✚⁸⁷ ✚⁸⁸ ⁸⁹ ✚⁹⁰

✚⁹¹ ✚⁹² ✚⁹³ ✚⁹⁴ ✚⁹⁵ ✚⁹⁶ ⁹⁷ ✚⁹⁸ ✚⁹⁹ ✟100✟

101 ✟102✟ 103 ✟104✟ ✟105✟ ✟106✟ 107 ✟108✟ 109 ✟110✟

✟111✟ ✟112✟ 113 ✟114✟ ✟115✟ ✟116✟ ✟117✟ ✟118✟ ✟119✟ ✟120✟

✟121✟ ✟122✟ ✟123✟ ✟124✟ ✟125✟ ✟126✟ 127 ✟128✟ ✟129✟ ✟130✟

131 ✟132✟ ✟133✟ ✟134✟ ✟135✟ ✟136✟ 137 ✟138✟ 139 ✟140✟

✟141✟ ✟142✟ ✟143✟ ✟144✟ ✟145✟ ✟146✟ ✟147✟ ✟148✟ 149 ✟150✟

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Si n n’admet pour diviseur aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à √n, alors n est un nombre premier.

Proposition 7 (Test de primalité)

Exercice 18 : Parmi les nombres suivants, lesquels sont des nombres premiers : 1 157

2 231

3 311 4 468

5 821 6 861

7 762 8 83

9 1 023

Exercice 19 : Donner un algorithme permettant de démontrer qu’un nombre est premier ou non.

On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.

Définition 7

Un nombre premier est donc premier avec tout nombre qui n’est pas un multiple de lui-même.

Tout nombre peut se décomposer de manière unique en produits de facteurs premiers.

Théorème 8 (Théorème fondamental de l’arithmétique)

(12)

Exemple 7 :

300 = 2×2×3×5×5 = 2²×3×5². Cela peut se présenter sous forme verticale : 300 2

150 2 75 3 25 5 5 5 1

Exercice 20 : Décomposer chaque nombre en produit de nombres premiers.

1 2835 ² 1 323 ³ 1 001 ⁴ 45 600

III.2 La pratique

La décomposition en produit de facteurs premiers est particulièrement utile dans les calculs sur les nombres entiers impliquant des puissances, des racines carrées et des fractions.

On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Définition 8

Il suffit le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.

60 2 30 2 15 3 5 5 1

60 = 2²×3×5.

126 2 63 3 21 3 7 7 1

126 = 2×3²×7.

D’où 60

126 = 2^✁²×^✁3×5

2✁×3^✁²×7 = 2×5 3×7 = 10

21.

Méthode 1 (Donner la fraction irréductible associée à 60 16)

Exercice 21 : Décomposer 800 et 650 en produits de facteurs premiers puis simplifier la fraction 650

800.

(13)

I. Multiples, diviseurs et nombres premiers IV. LES NOMBRES RATIONNELS

Exercice 22 : Simplifier chaque fraction pour obtenir une fraction irréductible.

1 48 56. 2 56

63.

3 63 48. 4 650 800.

5 540 506. 6 45600

7650 .

7 12789 5481 .

Avant d’aller plus loin, il est important de s’intéresser aux fractions, leurs propriétés et donner une structure à leur ensemble.

IV Les nombres rationnels

IV.1 L’ensemble

Une fraction est le quotient (résultat d’une division) d’un entier a par un entier non nul b que nous notons a

b.

Souvent, la meilleure utilisation d’une fraction est de se rappeler sa définition première : Le quotient a

b est l’unique nombre qui, multiplié par b, donnea.

a

✁✁b ×^✁✁b =a.

Les fractions sont donc des nombres. L’écriture décimale d’une fraction peut être finie ou infinie.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut se mettre sous la forme : p

q où p∈Z et q∈Z^∗. On noteQ leur ensemble.

Définition 9

Le terme « rationnel » vient du latin ratio qui signifie « calcul ».

Exemples 8 : 1. Comme 5 = 5

1 et−7 = −7

1 , les entiers naturels et relatifs sont des rationnels.

N⊂Z⊂Q.

2. Les nombres décimaux sont des rationnels, par exemple, 12,234 = 12234 1000 . 3. À l’instar de 1

3 = 0,333. . . les nombres rationnels ont, en général, une écriture décimale infinie. On ne l’écrira donc jamais.

(14)

4. Nous verrons plus tard qu’il existe des rationnels particuliers appelés décimaux qui, comme 1

2 = 0,5 ou 2

5 = 0,4, ont une écriture décimale finie.

5. Il existe des nombres, comme √

2, qui ne sont pas rationnels. Les nombres qui ne sont pas rationnels sont dits irrationnels.

ATTENTION

Pour tout nombrec non nul, a

b = a×c b×c .

Les nombres rationnels ont donc plusieurs écritures. Pour éviter des calculs trop com- pliqués, on cherchera toujours sa forme irréductible.

Exercice 23 : Déterminez la forme irréductible des fractions suivantes.

A = 180 108. B = 13650

1785 . C = 143

52 .

D = 420 2520. E = 76

24. F = 225 135.

G = 140 189. H = 168

180. I = 110

225.

J = 306 450.

IV.2 Règles opératoires

Soient a

b ∈Q et x

y ∈Q deux rationnels.

— Somme :

a b ±x

y = ay±xb by

— Produit :

a b × x

y = a×x b×y

— Quotient :

a xb y

= a b × y

x. Rappels 2

En particulier, il sera parfois utile de se rappeler que a= a 1 et a

b = 1 b ×a.

(15)

Exercice 24 : Effectuer les sommes suivantes.

Remarque : On rappelle qu’une expression est appelée une somme lorsque la dernière opéra- tion effectuée est une addition. Ici, il n’y a bien que des sommes. . .

A = 1 3+ 2

7 B = 1

7− 4 11 C = −5

3 +2 7

D = 3

−7 − −2 3

E = −12 7 + 5

14.

F = 8 35+ 6

15. G = 23

26− 12 39.

Exercice 25 : Effectuer les produits suivants :

Remarque :De même que précédemment, une expression est appeléeun produit ouun quotient lorsque la dernière opération effectuée est une multiplication ou une division respectivement.

A = − −4 7−3 B = 2

3× 6 7 C = −2

4 ×

− 3

−6

D = 4 56 7

E = 3 5 4 F =

1 2 × 3

1 5 7

× 1 2

G = −63 30 × 60

−4

H = 10 15× 7

20 I = − 5

12 × 18 13

Exercice 26 : Effectuer les quotients suivantes :

A = 21

−24 14

−32

B = 45

1812 C =

1 21 6 Exercice 27 : Après avoir déterminé le type effectuer les calculs suivants :

A = 2 3−

7 3×8

21

B =

3 4 − 5

6

×3 2

C = A= −3 2 +1

5. D = 2

6× 3 7. E = 35

49+56 37.

F = 256

47 × 245 650.

G = 4 6+ 17

563 + 9 13.

H =

24 15+ 35

25

×20 33

I = 5 6 −5 1 4 2 +2

3

(16)

Thème:

G – Fractions 2nde L - Test n^o1 Nom: . . . Prénom: . . . .

G Fractions

1. Calculer les expressions suivantes :

(a) Écrire la fraction dont le dénominateur est égal à 7 et son numérateur à 3 : . . . 3

7

(b) A=−7 5 + 1

10 = . . . . A =−7

5 + 1

10 = −14 + 1

10 =−13 10.

(c) B = 14 15 ×25

7 = . . . . B = 14

15× 25

7 = 7^✁×2×^✁5×5 3×5^✁×7^✁ = 10

3 .

2. Entourer les fractions égales à −3 5 :

• 6

−10 • −30

50 • −3

2 • −3

8 • −−21

−35

•

✎

✍

☞

✌

6

−10 •

✎

✍

☞

−30 ✌

50 • −3

2 • −3

8 •

✎

✍

☞

−−21 ✌

−35

(17)

Thème:

D – Fractions 2nde L - Test n^o1 Nom: . . . Prénom: . . . .

D Fractions

1. Calculer les expressions suivantes :

(a) Écrire la fraction dont le dénominateur est égal à 8 et son numérateur à 1 : . . . 1

8

(b) A=−3 4 +1

8 = . . . . A=−3

4 +1

8 = −6 + 1 8 =−5

8.

(c) B = 25 14 × 7

15 = . . . . B = 25

14× 7

15 = 5^✁×5×7^✁

2×7^✁×5^✁×3 = 5 6.

2. Entourer les fractions égales à 2

−7 :

• 3

−6 • 2

7 • −20

70 • 10

−35 • − −4

−14

• 3

−6 • 2

7 •

✎

✍

☞

−20 ✌

70 •

✎

✍

☞

✌

10

−35 •

✎

✍

☞

− −4 ✌

−14

(18)

Thème:

G – Divisibilité 2nde L - Test n^o2 Nom: . . . Prénom: . . . .

G Divisibilité

1. Compléter les phrases ci dessous : Un entier naturel est divisible par . . .

(a) 2 si et seulement si son chiffre des unités est divisible par 2.

(b) 6 si et seulement si il est divisible par 2et par 3.

(c) 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

2. Entourer les expressions qui représentent une divisions euclidienne :

• 89 = 12×7 + 5 • 89 = 12×6+17 • 123 = 3×41 • 142 = 136×1+6

• ^✞_✝89 = 12×7 + 5^☎_✆ • 89 = 12×6+17 • ^✞_✝123 = 3×41^☎_✆ • ^✞_✝142 = 136×1 + 6^☎_✆

3 × 8 4 × 9 5 × 7 4 × 8 2 × 8

24 36 35 32 16

(19)

Thème:

D – Divisibilité 2nde L - Test n^o2 Nom: . . . Prénom: . . . .

D Divisibilité

1. Compléter les phrases ci dessous : Un entier naturel est divisible par . . .

(a) 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

(b) 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

(c) 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.

2. Entourer les expressions qui représentent une divisions euclidienne :

• 89 = 12×7 + 5 • 89 = 12×6+17 • 123 = 3×41 • 142 = 136×1+6

• ^✞_✝89 = 12×7 + 5^☎_✆ • 89 = 12×6+17 • ^✞_✝123 = 3×41^☎_✆ • ^✞_✝142 = 136×1 + 6^☎_✆

3 × 6 4 × 7 5 × 9 4 × 4 2 × 7

18 28 45 16 14

(20)

Thème:

Construction géométrique des nombres 2nde - L - Devoir en temps libre n^o1

Construction géométrique des nombres

Les figures de ce devoir devront être faites sur une feuille blanche non quadrillée (du moins n’utilisez pas le quadrillage) en laissant apparents et en pointillés les traits de construction.

Un peu d’histoire: Depuis l’antiquité grecque, et jusque récemment, les mathématiciens étaient appelés des géomètres. Pour devenir ingénieur ou peintre il fallait être d’abord géo- mètre. Le frontispice de l’école de philosophie de Platon portait l’inscription : « que nul, s’il n’est géomètre, n’entre ici ».

Les grecs raisonnaient de façon géométrique : souvenez-vous de la démonstration géométrique du théorème de Pythagore.

Nous allons voir comment dessiner les nombres à la façon des grecs. Une première façon consiste à associer un nombre à une longueur.

Rappelons d’abord une règle essentielle du géomètre il n’existe que deux instruments :

— la règle non graduée, c.-à-d. on ne mesure pas ou on n’utilise pas les graduations de la règle.

— le compas pour reporter des longueurs.

Commençons par revoir quelques techniques élémentaires de dessin en construisant divers polygones. Il s’agit d’un problème classique : quels sont les polygones que l’on peut dessiner uniquement avec la règle et le compas ?

Problème 1 (Triangle) : Nous allons construire différents triangles avec uniquement la règle non graduée et le compas.

1. Choisir une unité de longueur.

Placez deux points distinctsOetI sur votre feuille. La distance les séparant représentera une longueur de 1 (donc ne les éloignez pas trop, en gros un centimètre).

2. Triangles équilatéral et isocèle.

(a) Construire un segment [AB] de longueur 5.

(b) Construire un triangle équilatéral ABC.

(c) Construire un triangle ABD isocèle en D avec AD = 4.

3. Un triangle rectangle.

(a) Construire deux points E et F distants de 5.

(b) Construire le point Gmilieu de [EF].

(21)

Thème:

Construction géométrique des nombres 2nde - L - Devoir en temps libre n^o1 Problème 2 (Quadrilatère) : Après avoir choisir une unité de longueur en dessinant deux points distincts O et I, Construire un rectangle NP QR avec NP = 3 et P Q = 5 à la règle non graduée et au compas.

Nous venons de voir certains polygones constructibles. Plus généralement se pose la question des points qui sont constructibles : quels sont les points de ma feuille que je peux obtenir en faisant des constructions à la règle et au compas en se donnant deux points distincts de référence O et I?

Exercice 3 (À savoir faire pour le problème suivant) : Étant donnéA,B etC trois points distincts non-alignés du plan, en utilisant la règle non graduée et le compas, Construire la parallèle à (AB) passant par C.

Problème 4 (Repère) : Soit OIJ un triangle isocèle-rectangle en O (vous choisirez de l’ordre de 1 cm).

Vos constructions doivent toujours être faites à la règle non-graduée et au compas.

1. Construire des points O,I et J.

2. Tracer les droites (OI) et (OJ).

3. Placez des graduations de 1 en 1 sur (OI) et (OJ) en partant de O.

D’une manière générale nous dirons que (O, I, J)est un repère orthonormé si et seulement si OIJ est un triangle isocèle-rectangle en O.

5. Construire à la règle et au compas en expliquant la démarche dans le repère précédent, les points de coordonnées (3; 4), puis (−2; 4), puis (−3;−3) et enfin (4;−3).

Aide:On emploira les termes « parallèle à . . . passant par . . . »

Nous venons de voir que non seulement nous pouvons dessiner certaines figures géométriques classiques mais aussi tous les points à coordonnées entières dans un repère orthonormé(O, I, J).

La suite du devoir s’intéresse aux nombres rationnels.

Un peu d’histoire: Avant de les considérer comme des nombres les Grecs manipulaient les rationnels en tant que rapport de grandeurs : 3est par rapport à 6ce que 1 est par rapport à 2.

Nous parlerions, nous, du nombre 1 2.

De même 6 est à 3 ce que 2 est à 1. Dans ce cas nous parlons nous de 2. Le nombre associé à un rapport est en fait le coefficient multiplicateur qui permet de passer de l’un à l’autre. Or si vous fûtes attentifs au collège qui dit coefficient multiplicateur dit en géométrie . . .

Nous allons construire à la règle non graduée et au compas la longueur 3 5.

(22)

Thème:

Construction géométrique des nombres 2nde - L - Devoir en temps libre n^o1 Problème 5 :

1. Soient deux points distincts O etI (pas trop éloignés). Nous appellerons désormais 1 la longueur OI.

2. Construire le point A sur la demi-droite [OI) tel queOA= 3.

3. Construire le point J tel que OIJ soit isocèle rectangle enO. 4. Construire le point B sur la demi-droite [OJ) tel que OJ = 5.

5. Soit M le point d’intersection de la parallèle à (AB) passant J et (OI).

Construire M.

6. Mettre en évidence la longueur 3

5 sur la figure puis démontrer ce résultat à l’aide de votre théorème préféré de troisième.

En conclusion : Nous somme désormais capable de dessiner à la règle et au compas tous les points à coordonnées rationnelles.

Ajouter le fait que les Grecs pensaient savoir ainsi dessiner tous les nombres. Jusqu’à ce qu’ils découvre √

2. Nous saurons mais vous pouvez déjà y réfléchir.

(23)

Thème:

G – Ensemble de Nombres et Vecteurs 2nde - L - Devoir surveillé n^o1 Nom: . . . Prénom: . . . .

G Ensemble de Nombres et Vecteurs

Exercice 1 : Sur la figure ci-dessous : 1 ① Tracer le vecteur −→AB.

② Que peut-on dire des vecteurs −→v et−→

AB? Justifier.

2 Construire les points M etN tels que :

① −−→AM =−→u − −→v ② −−→BN =−→u + 2−→v

×

A

×

B

−→u

−

→v

Exercice 2 (Cours) :

1 Donner la définition de l’ensemble Z.

2 Donner la différence entre une fraction décimale et une fraction non décimale.

3 Donner la définition du nombre a b. 4 Énoncer le critère de divisibilité par 3.

Exercice 3 :

1 Soit a un nombre entier, donner la définition d’un diviseur de a.

2 Écrire la décomposition en facteurs premiers des nombres 525 et 140 3 Donner le plus grand diviseur commun à 525 et 140.

4 Déterminer la forme irréductible de 525 140.

(24)

Thème:

G – Ensemble de Nombres et Vecteurs 2nde - L - Devoir surveillé n^o1 Exercice 4 : Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

1 3 12− 7

8. ² 10

21× −14

5 . ³ 5

−4+ −3

5 . ⁴

7 25 14

.

Exercice 5 :

1 Effectuer la division euclidienne de 660 par 12.

2 Quel est le reste dans la division de 660 par 12 ? Que peut-on en déduire ? 3 Quels sont les diviseurs premiers de 660 ?

Exercice 6 : Démontrer que la somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7.

(25)

Thème:

D – Ensemble de Nombres et Vecteurs 2nde - L - Devoir surveillé n^o1 Nom: . . . Prénom: . . . .

D Ensemble de Nombres et Vecteurs

Exercice 1 : Sur la figure ci-dessous : 1 ① Tracer le vecteur −→AB.

② Que peut-on dire des vecteurs −→v et−→AB? Justifier.

2 Construire les points M etN tels que :

① −−→AM =−→u +−→v ② −−→BN =−→u −2−→v

×

B

×

A

−→u

−

→v

Exercice 2 (Cours) :

1 Donner la définition de l’ensemble N.

2 Donner la définition de l’ensemble Q.

3 Donner la définition d’un nombre premier.

4 Énoncer le critère de divisibilité par 4.

Exercice 3 :

1 Soit a un nombre entier, donner la définition d’un multiple de a.

2 Écrire la décomposition en facteurs premiers des nombres 105 et 75.

3 Donner le plus petit multiple commun à 105 et 75.

4 Donner la forme irréductible de 105 75 .

(26)

Thème:

D – Ensemble de Nombres et Vecteurs 2nde - L - Devoir surveillé n^o1 Exercice 4 : Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

1 3 12− 7

9. ² 6

21× −14

3 . ³ 4

−5+ −3

4 . ⁴

3 25 6 .

Exercice 5 :

1 Effectuer la division euclidienne de 561 par 11.

2 Quel est le reste dans la division de 561 par 11 ? Que peut-on en déduire ? 3 Quels sont les diviseurs premiers de 561 ?

Exercice 6 : Démontrer que le produit d’un multiple de 7 et d’un multiple de 3 est un multiple de 21.

(27)

Index

Diviseur,3 Entier

naturel,1 relatif,2 Ératosthène, 9 Multiple, 3,8 Nombre

irrationnel, 13 premier, 9,10 rationnel, 12 Premier

nombre,9 Produit,14 Somme, 14 Valeur absolue, 2

(28)

I. INDEX INDEX