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VIII. Réduction suivant les sous-espaces caractéristiques Conséquence : Pour tout

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Academic year: 2022

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(1)

VIII. Réduction suivant les sous-espaces caractéristiques

Conséquence : Pour touti2{1, . . . ,p}, soit Bi une base deN i et soit B:={B1, . . . ,Bp}, alors

MatB(f) = 0 B@

A 1 0

...

0 A p

1 CA

oùA i =MatBi⇣ f|N

i

⌘,i 2{1, . . . ,p}.

Nous allons réduire chacun des blocsA i en une forme particulière : Théorème 20

Soiti2{1, . . . ,p}. Il existe une baseBi0 deN i et des entiers m1i, . . . ,mik

i 2N\ {0}tels que MatBi0⇣

f|N

i

⌘= 0 B@

Jmi

1( i) 0

...

0 Jmi

ki( i) 1 CA

(2)

VIII. Réduction suivant les sous-espaces caractéristiques

Conséquence : Pour touti2{1, . . . ,p}, soit Bi une base deN i et soit B:={B1, . . . ,Bp}, alors

MatB(f) = 0 B@

A 1 0

...

0 A p

1 CA

oùA i =MatBi⇣ f|N

i

⌘,i 2{1, . . . ,p}.

Nous allons réduire chacun des blocsA i en une forme particulière :

Théorème 20

Soiti2{1, . . . ,p}. Il existe une baseBi0 deN i et des entiers m1i, . . . ,mik

i 2N\ {0}tels que MatBi0⇣

f|N

i

⌘= 0 B@

Jmi

1( i) 0

...

0 Jmi

ki( i) 1 CA

(3)

VIII. Réduction suivant les sous-espaces caractéristiques

Conséquence : Pour touti2{1, . . . ,p}, soit Bi une base deN i et soit B:={B1, . . . ,Bp}, alors

MatB(f) = 0 B@

A 1 0

...

0 A p

1 CA

oùA i =MatBi⇣ f|N

i

⌘,i 2{1, . . . ,p}.

Nous allons réduire chacun des blocsA i en une forme particulière : Théorème 20

Soiti2{1, . . . ,p}. Il existe une baseBi0 deN i et des entiers m1i, . . . ,mik

i 2N\ {0}tels que

MatBi0⇣ f|N

i

⌘= 0 B@

Jmi

1( i) 0

...

0 Jmi

ki( i) 1 CA

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VIII. Réduction suivant les sous-espaces caractéristiques

Conséquence : Pour touti2{1, . . . ,p}, soit Bi une base deN i et soit B:={B1, . . . ,Bp}, alors

MatB(f) = 0 B@

A 1 0

...

0 A p

1 CA

oùA i =MatBi⇣ f|N

i

⌘,i 2{1, . . . ,p}.

Nous allons réduire chacun des blocsA i en une forme particulière : Théorème 20

Soiti2{1, . . . ,p}. Il existe une baseBi0 deN i et des entiers m1i, . . . ,mik

i 2N\ {0}tels que MatBi0⇣

f|N

i

⌘= 0 B@

Jmi

1( i) 0

...

0 Jmi

ki( i) 1 CA

(5)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Soient 2Ketm2N\ {0}.

On note

Jm( ) := 0 BB BB

@

1 0

... ... ... 1 0

1 CC CC

A2Mm(K)

( -bloc de Jordan de taillem).

Preuve du théorème 20 : Supposons que 2Sp(f). NotonsN:=N et posonsu:=f|N IdN2L(N).

Théorème 21

uest nilpotent et il existe alors une baseB0 deN et des entiers m1, . . . ,mk 2N\ {0} tels que

MatB0(u) = 0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA.

(6)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Soient 2Ketm2N\ {0}. On note

Jm( ) :=

0 BB BB

@

1 0

... ...

... 1 0

1 CC CC

A2Mm(K) ( -bloc de Jordan de taillem).

Preuve du théorème 20 : Supposons que 2Sp(f). NotonsN:=N et posonsu:=f|N IdN2L(N).

Théorème 21

uest nilpotent et il existe alors une baseB0 deN et des entiers m1, . . . ,mk 2N\ {0} tels que

MatB0(u) = 0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA.

(7)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Soient 2Ketm2N\ {0}. On note

Jm( ) :=

0 BB BB

@

1 0

... ...

... 1 0

1 CC CC

A2Mm(K)

( -bloc de Jordan de taillem).

Preuve du théorème 20 :

Supposons que 2Sp(f). NotonsN:=N et posonsu:=f|N IdN2L(N).

Théorème 21

uest nilpotent et il existe alors une baseB0 deN et des entiers m1, . . . ,mk 2N\ {0} tels que

MatB0(u) = 0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA.

(8)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Soient 2Ketm2N\ {0}. On note

Jm( ) :=

0 BB BB

@

1 0

... ...

... 1 0

1 CC CC

A2Mm(K)

( -bloc de Jordan de taillem).

Preuve du théorème 20 : Supposons que 2Sp(f). NotonsN:=N et posonsu:=f|N IdN2L(N).

Théorème 21

uest nilpotent et il existe alors une baseB0 deN et des entiers m1, . . . ,mk 2N\ {0} tels que

MatB0(u) = 0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA.

(9)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Soient 2Ketm2N\ {0}. On note

Jm( ) :=

0 BB BB

@

1 0

... ...

... 1 0

1 CC CC

A2Mm(K)

( -bloc de Jordan de taillem).

Preuve du théorème 20 : Supposons que 2Sp(f). NotonsN:=N et posonsu:=f|N IdN2L(N).

Théorème 21

uest nilpotent et il existe alors une baseB0 deN et des entiers m1, . . . ,mk 2N\ {0} tels que

MatB0(u) = 0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA.

(10)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Soient 2Ketm2N\ {0}. On note

Jm( ) :=

0 BB BB

@

1 0

... ...

... 1 0

1 CC CC

A2Mm(K)

( -bloc de Jordan de taillem).

Preuve du théorème 20 : Supposons que 2Sp(f). NotonsN:=N et posonsu:=f|N IdN2L(N).

Théorème 21

uest nilpotent et il existe alors une baseB0 deN et des entiers m1, . . . ,mk 2N\ {0} tels que

MatB0(u) = 0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA.

(11)

On a alors

MatB0 f|N =

MatB0( IdN) +MatB0(u)

= 0 B@

... 0 0

1 CA+

0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA

= 0 B@

Jm1( ) 0 ...

0 Jmk( )

1

CA=:Jm1,...,mk( )

Au total, on obtient le théorème de réduction sous forme de Jordan :

(12)

On a alors

MatB0 f|N = MatB0( IdN) +MatB0(u)

= 0 B@

... 0 0

1 CA+

0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA

= 0 B@

Jm1( ) 0 ...

0 Jmk( )

1

CA=:Jm1,...,mk( )

Au total, on obtient le théorème de réduction sous forme de Jordan :

(13)

On a alors

MatB0 f|N = MatB0( IdN) +MatB0(u)

= 0 B@

... 0 0

1 CA+

0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA

= 0 B@

Jm1( ) 0 ...

0 Jmk( )

1

CA=:Jm1,...,mk( )

Au total, on obtient le théorème de réduction sous forme de Jordan :

(14)

On a alors

MatB0 f|N = MatB0( IdN) +MatB0(u)

= 0 B@

... 0 0

1 CA+

0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA

= 0 B@

Jm1( ) 0 ...

0 Jmk( )

1

CA=:Jm1,...,mk( )

Au total, on obtient le théorème de réduction sous forme de Jordan :

(15)

On a alors

MatB0 f|N = MatB0( IdN) +MatB0(u)

= 0 B@

... 0 0

1 CA+

0 B@

Jm1(0) 0 ...

0 Jmk(0)

1 CA

= 0 B@

Jm1( ) 0 ...

0 Jmk( )

1

CA=:Jm1,...,mk( )

Au total, on obtient le théorème de réduction sous forme de Jordan :

(16)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Théorème 22

Pour touti2{1, . . . ,p},

il existe une base Bi0 deN i et des entiers m1i, . . . ,miki 2N\ {0}tels que, siB0 :={B01, . . . ,Bp0},

MatB0(f) = 0 BB

@

Jm11,...,m1

k1( 1) 0

...

0 Jmp1,...,mp

kp( p) 1 CC A. La matrice de droite est “unique” et est appelée forme de Jordan def.

(17)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Théorème 22

Pour touti2{1, . . . ,p}, il existe une baseBi0 deN i

et des entiers m1i, . . . ,miki 2N\ {0}tels que, siB0 :={B01, . . . ,Bp0},

MatB0(f) = 0 BB

@

Jm11,...,m1

k1( 1) 0

...

0 Jmp1,...,mp

kp( p) 1 CC A. La matrice de droite est “unique” et est appelée forme de Jordan def.

(18)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Théorème 22

Pour touti2{1, . . . ,p}, il existe une baseBi0 deN i et des entiers m1i, . . . ,miki 2N\ {0}tels que,

siB0 :={B01, . . . ,Bp0},

MatB0(f) = 0 BB

@

Jm11,...,m1

k1( 1) 0

...

0 Jmp1,...,mp

kp( p) 1 CC A. La matrice de droite est “unique” et est appelée forme de Jordan def.

(19)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Théorème 22

Pour touti2{1, . . . ,p}, il existe une baseBi0 deN i et des entiers m1i, . . . ,miki 2N\ {0}tels que, siB0 :={B01, . . . ,Bp0},

MatB0(f) = 0 BB

@

Jm11,...,m1

k1( 1) 0

...

0 Jmp1,...,mp

kp( p) 1 CC A. La matrice de droite est “unique” et est appelée forme de Jordan def.

(20)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Théorème 22

Pour touti2{1, . . . ,p}, il existe une baseBi0 deN i et des entiers m1i, . . . ,miki 2N\ {0}tels que, siB0 :={B01, . . . ,Bp0},

MatB0(f) = 0 BB

@

Jm11,...,m1

k1( 1) 0

...

0 Jmp1,...,mp

kp( p) 1 CC A.

La matrice de droite est “unique” et est appelée forme de Jordan def.

(21)

IX. Blocs et réduction de Jordan

Théorème 22

Pour touti2{1, . . . ,p}, il existe une baseBi0 deN i et des entiers m1i, . . . ,miki 2N\ {0}tels que, siB0 :={B01, . . . ,Bp0},

MatB0(f) = 0 BB

@

Jm11,...,m1

k1( 1) 0

...

0 Jmp1,...,mp

kp( p) 1 CC A. La matrice de droite est “unique” et est appelée forme de Jordan def.

Références

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