Alors, puisque l’on peut paver le plan avec des carreaux ayant la forme d’un parallélogramme…

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Malices 2000 Collèges 10

Alors, puisque l’on peut paver le plan avec des carreaux ayant la forme d’un parallélogramme…

on doit pouvoir paver le plan avec des carreaux ayant la forme d’un quadrilatère quelconque ! chaque quadrilatère n’étant qu’une enveloppe en forme de parallélogramme déplié…

Pour cela, faisons tourner le quadrilatère d’un demi-tour autour de chacun des milieux de ses côtés.

Dans tout quadrilatère, aussi bizarre soit-il, se cache un parallélogramme :

Les égalités d’angles marqués sur la figure sui- vante se déduisent des propriétés de la symétrie centrale, en partant des angles du quadrilatère initial.

C’est l’un des trois premiers beaux théorèmes que l’on ren- contre en géomé- trie. La démons- tration est une assez jolie

“construction”

que nous vous avons rappelée à la page 8.

Paver

avec des carreaux

de 4 côtés, 5 côtés, de 6 côtés…

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Et on peut

continuer ainsi à l’infini…

Mais attention, c’est extraordinaire ! La somme des angles d’un quadrilatère valant 360°, on peut donc, dans les quatre “coins” qui restent, juste glisser un quadrilatère (qui est d’ailleurs symé- trique des deux qu’il côtoie par rapport au milieu de leurs côtés).

Tous les quadrilatères sont paveurs

Aussi biscornus soient-ils

Même croisé, il lui arrive de paver encore !

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Et nous les hexagones réguliers, nous pavons aussi…

Quant à moi, je suis sûrement trop tourmenté !

Moi, qui ai mes côtés opposés deux à deux parallèles et de même longueur, je suis comme le bel hexagone régulier : je pave…

et moi, je pave aussi peut-être ?!?!

Aussi étonnant que cela paraisse au premier abord, l’hexagone représenté ci-contre pave le plan en vertu du théorème suivant :

Théorème des paveurs hexagonaux : Si un hexagone a, deux à deux, ses côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un car- reau qui pave le plan.

Démonstration : Si un hexagone a, deux à deux, ses côtés parallèles et de même longueur, alors ses diagonales (qui sont aussi celles de parallélogrammes) se coupent en leur milieu (voir la figure).

Et chacune de ces diagonales découpe cet hexagone en deux quadrilatères symétriques.

Comme ce quadrilatère pave le plan par des symé- tries successives, l’hexagone (qui n’est qu’un couple accolé de deux tels quadrilatères symétriques) pave aussi le plan (voir aussi, en page 30, une idée qui explique beaucoup de choses…)..

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Quand à nous, nous n’avons rien de commun avec ces paveurs de plan ! Nous sommes d’honnêtes pentagones, sans beaucoup de régularités, ni de parallélogrammes tellement honteux qu’ils se cachent entre les milieux des côtés d’un quadrilatère !

Pourtant, il me semble apercevoir deux de vos côtés non adjacents, parallèles et de même longueur.

Tournez-vous un peu pour voir ! Oui… autour du milieu du côté qui les touche, autour de votre “base”.

Damnation ! Par symétrie autour du milieu de ma base,

chacun des côtés non-adjacents parallèles a doublé de longueur et les deux derniers côtés ce sont reproduits parallèlement par symétrie.

Je suis aussi devenu un hexagone paveur (à côtés opposés parallèles et de même longueur) !

Au secours, je me perds dans une multitude de clones…

À vos crayons de couleur pour réali- ser de jolis et biscornus pavages avec des carreaux de quatre, de cinq ou de six côtés !