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Sur l’interaction de Coulomb de deux atomes neutres
L. Goldstein
To cite this version:
SUR
L’INTERACTION
DECOULOMB
DE DEUX ATOMES NEUTRESPar L. GOLDSTEIN Institut Henri Poincaré
Sommaire. 2014 Utilisant des formes analytiques approchées pour les fonctions de distribution stalistique de potentiel et de charge atomique 2014 atome de Thomas-Fermi 2014 on évalue l’énergie d’interaction de Coulomb de deux atomes neutres à l’approximation de ces formes analytiques, négligeant la polarisation mutuelle des deux atomes. Si dans le cas de deux atomes différents l’énergie d’interaction se présente sous
une forme reiativement compliquée, dans le cas de deux atomes identiques, le rapport de l’énergie d’inte-raction à la puissance 7/3 du numéro ato nique est une fonction universelle simple de la variable statistique habituelle, proportionnelle ici à la distance des deux noyaux atomiques.
§
1. - Dans un travailrécent {’)
nous avons utilisé dans l’étude de diversphénomènes
de diffusionato-mique
une fonction depotentiel
analytique
représen-tan t avec une bonne
approximation
la fonction depotentiel statistique rigoureuse
des atomesZétatit le numéro
atomique,
h,
e et m les constantes universelleshaèitue1l2s, r
la distance dupoint
consi-déré au centre de l’atome la fonction univer-selle de Thomas-Fermi. Cettefonction
dont onignore
la formeanalytique
a étéapprochée
à l’aide de la fonctionsimple
suivante(1) :
W
où
les ai
(1
~= 1,~, 3)
désignent
des constantesnumériques.
Si la fonctionprécédente
représente
avec une bonne
approximation
la fonctionrigoureuse
dans un intervalle étendu de lavariable,
parcontre elle ne vérifie pas aussi bien
l’équation
différen-Lie He ’
et en
particulier
pour lespetites
valeurs de la variable. Il en résulte que pour lesgrandeurs qui
s’expriment
à l’aide des dérivées de la fonctionstatis-l’approximation
obtenue à l’aide depeut
perdre beaucoup
de sa valeur. Il er~ serait ainsi dans lecas où l’on utilise les densités de
charge
associées à(1)
avec9 (.r)
représenté
par la formeapprocllée
90 (x).
B 1).1. Physique, 1936, [ î~, 7, 25?i.
(~ S. Z. PhYSlk, 19:~6, 98, î42.
L’équation
de Poisson donne pour la densité desélec-trons associée au
potentiel sphérique
(1),
avecc5(x)
rem placé
paryo (1» ,
On cloit
s’attenire, d’après
cequi précède,
à ce que la densité calculéen p (r)
nereprésente
qu’une
approxi-mation mé liocce à la densité
statistique rigoureuse.
Celle-cicorrespond
à lafonction ?(x)
exacte dont la formeanalytique
inconnue exclut son utilisation dansl’équation
de Poisson. L’allure de cette densitépeut
être obtenuecependant,
si l’on tientcompte
de la relation fondamentale du modèlestatistique
P (J’)
étant1 impulsion
maximum des électrons du gaz décrivant l’atome aupoint
situé à la distance r du noyau. Comme on admetégalement
dans la théorie dumodèle,
queon a pour la densité
rigoureuse
-- ...-..
et l’on voit que l’allure
analytique
de la densitéstatis-tique
exacte est tout à fait différente de celle de la den-sitéJI p (1’)
obtenue à l’aide de la formeanalytique
approchée
jo(.r).
Une forme
analytique
approchée de îîs (r)
s’obtienteu y
remplaçant
9 (.x)
parcpo (.1:);
on trouve ainsi467
et cette densité doit
représenter
une bien meil-leureapproximation
de la densités exacte que ne l’est donné par(~). Cependant
la formecompliquée
del1s"(r)
rend très difficile sonapplication.
Il aurait pu semblerqu’une
formeanalytique
plus simple
etéqui-valente à
(8) pût
être trouvée enévaluant,
parexemple,
indirectement unegrandeur
dérivant de la densité mais en faisant usageuniquement
de la fonc-tion 10(a) approchée.
C’est le cas du facteur de struc-tureatomique.
Sans passer par la densité(8),
cequi
n’aurait pas donné une forme fermée à cette
grandeur
définie par--- . r.
K étant la
longueur
du vecteurimpulsion perdue,
mesurée en unitéh/21t,
des ondes diffusées d’une manière cohérente par l’atomenuméro Z,
nous avons obtenu pourune expression analytique
fermée en se servantuniquement
de la fonctionapprochée
La forme trouvée(1)
pour le facteur de structure estIl résulte de
(9), d’après
le théorème de Fourier avec(10),
après
un calcul élémentairea
on
retrouve,
parconséquent,
la densiténp (r)
obtenue directement à l’aide del’équation
de Poisson et la fonctionapprochée
c5o(x).
Il résulterait donc de cequi
précède
que tout t onayant
une bonneapproximation
analytique
de la fonction si elle con-duit à une densitéayant
une allureanalytique
diffé-rente de celle de la densitéexacte,
la valeur del’ap-proximation
se trouve être considérablement réduite.§
2. - Nous voudrions néanmoins utiliser lesfonc-tions de 90
(.1’)
et np(r)
pour évaluerl’énergie
de Cou-lomb de deux atomesneutres,
laissant de côté leurpolarisation
mutuelle. Nous avons montré(1)
qu’à
l’approximation
du modèle d’atomestatistique
etnégligeant
lapolarisation
mutuelle des deux atomes on(e) r. 1 9 ~1 0, 191, 60G.
peut
évaluer facilementl’énergie
d’interactionélectro-statique
de deux atolnesneutres ;
uneexpression
expli-cite ne
pouvait
être donnée nedisposant
pas d’une formeanalytique
de la fonction 7’(x).
Il est clair que,d’après
la discussionprécédente,
la forme d’interac-tion résultante nepourrait
représenter qu’une
approxi-mation très modeste à la loi d’interaction de Coulomb
rigoureuse
de deux atomes neutres.Supposons
qu’un système
de coordonnées dontl’origine
coïncide avec le noyau de l’atomeZ,
a son axepolaire
placé
suivant l’axe nucléaire des deuxatomes,
le second atomeimmobile 7,2 ayant
son noyau à la distance de l~ del’origine.
Pour obtenirl’énergie
d’interactionélectrostatique
des deux atomes on doit évaluerl’énergie électrostatique
de l’atomeZ,
placé
dans le
champ
de l’atomeZ2
ainsi quel’énergie
de’/,2
dans le
champ
etprendre
la demi-somme de ces deuxquantités.
Si(R)
et(R) désignent
ces deux
énergies
respectives,
on a, pourl’expression
cherchée,
Les
quantités
Jl’ secomposent
chacune de deux termescorrespondant
àl’énergie
du noyau et à celle des élec-trons. Il est clair quel’énergie
électrostatique
du noyaude Z,
dans lechamp
deZ2
est, d’après ~9 ),
Pour calculer
l’énergie
électrostatique
des électrons deZI
dans lechamp
deZ,,
rappelons
que laquantité
decharge
élémentaire - de cet atomeplacée
au
point
(1°,b)
ypossède
l’énergie
potentielle
j
compte
tenu de ce que les distributions depotentiel
etde
charge
sontsphériques
en vertu de(1)
et(1) .
Et,
parconséquent,
l’énergie
potentielle
des électrons deZi
~ sera
tenant
compte
desexpressions explicites
de etnP(x)
données par(2)
et(-4) après l’intégration
surl’angle
équatorial.
Lesintégrales
sont élémentaires etl’on
trouve,
tous calculsfaits,
468
Il est évident maintenant que
(R)
et sz,z,(R)
s’obtiennent de
(R)
et(R)
en ypermutant
Z,
etZ2.
On trouverafinalement,
tenantcompte
de(12)
et de ce queet
explicitant
P avec(2)
lesfonctions
( a.Zl/3.
ô) ,
la
a
forme suivante pour
l’énergie
d’interaction de Cou-lomb de deux atomes deThomas-Fermi,
Rappelons
que les constantesnumériques ai
et a(i
=1,
2, 3)
sontrespectivement :
0,255 ; 0,581 ;
0,~6~;
0,246 ; 0,947
et4,356.
La formule
précédente
sesimplifie
dans le cas de deux atomesidentiques.
Si l’on tientcompte
de ce que l’on a, pour les termes carrés dans la somme doubleen (i 7),
on trouve
ou, encore,
posant
les bj
etc
0.
1,
2,
3)
étant des constantesnumé-riques s’exprimant
à l’aidedes a et
fJ.j; on obtientce
qui
montre que lerapport
Cz
(R)jZ7j3
est la fonction universellesimple y (x)
de la variablestatistique
sansdimension
proportionnelle
à Les formules(1 ~)
et
(20) pourraient
être utilisées éventuellement pour estimerl’énergie
de Coulomb de deux atomes neutres.’