• Aucun résultat trouvé

Sur l'interaction de Coulomb de deux atomes neutres

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Sur l'interaction de Coulomb de deux atomes neutres"

Copied!
4
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: jpa-00233454

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233454

Submitted on 1 Jan 1936

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Sur l’interaction de Coulomb de deux atomes neutres

L. Goldstein

To cite this version:

(2)

SUR

L’INTERACTION

DE

COULOMB

DE DEUX ATOMES NEUTRES

Par L. GOLDSTEIN Institut Henri Poincaré

Sommaire. 2014 Utilisant des formes analytiques approchées pour les fonctions de distribution stalistique de potentiel et de charge atomique 2014 atome de Thomas-Fermi 2014 on évalue l’énergie d’interaction de Coulomb de deux atomes neutres à l’approximation de ces formes analytiques, négligeant la polarisation mutuelle des deux atomes. Si dans le cas de deux atomes différents l’énergie d’interaction se présente sous

une forme reiativement compliquée, dans le cas de deux atomes identiques, le rapport de l’énergie d’inte-raction à la puissance 7/3 du numéro ato nique est une fonction universelle simple de la variable statistique habituelle, proportionnelle ici à la distance des deux noyaux atomiques.

§

1. - Dans un travail

récent {’)

nous avons utilisé dans l’étude de divers

phénomènes

de diffusion

ato-mique

une fonction de

potentiel

analytique

représen-tan t avec une bonne

approximation

la fonction de

potentiel statistique rigoureuse

des atomes

Zétatit le numéro

atomique,

h,

e et m les constantes universelles

haèitue1l2s, r

la distance du

point

consi-déré au centre de l’atome la fonction univer-selle de Thomas-Fermi. Cette

fonction

dont on

ignore

la forme

analytique

a été

approchée

à l’aide de la fonction

simple

suivante

(1) :

W

les ai

(1

~= 1,

~, 3)

désignent

des constantes

numériques.

Si la fonction

précédente

représente

avec une bonne

approximation

la fonction

rigoureuse

dans un intervalle étendu de la

variable,

par

contre elle ne vérifie pas aussi bien

l’équation

différen-Lie He ’

et en

particulier

pour les

petites

valeurs de la variable. Il en résulte que pour les

grandeurs qui

s’expriment

à l’aide des dérivées de la fonction

statis-l’approximation

obtenue à l’aide de

peut

perdre beaucoup

de sa valeur. Il er~ serait ainsi dans le

cas où l’on utilise les densités de

charge

associées à

(1)

avec

9 (.r)

représenté

par la forme

approcllée

90 (x).

B 1).1. Physique, 1936, [ î~, 7, 25?i.

(~ S. Z. PhYSlk, 19:~6, 98, î42.

L’équation

de Poisson donne pour la densité des

élec-trons associée au

potentiel sphérique

(1),

avec

c5(x)

rem placé

par

yo (1» ,

On cloit

s’attenire, d’après

ce

qui précède,

à ce que la densité calculée

n p (r)

ne

représente

qu’une

approxi-mation mé liocce à la densité

statistique rigoureuse.

Celle-ci

correspond

à la

fonction ?(x)

exacte dont la forme

analytique

inconnue exclut son utilisation dans

l’équation

de Poisson. L’allure de cette densité

peut

être obtenue

cependant,

si l’on tient

compte

de la relation fondamentale du modèle

statistique

P (J’)

étant

1 impulsion

maximum des électrons du gaz décrivant l’atome au

point

situé à la distance r du noyau. Comme on admet

également

dans la théorie du

modèle,

que

on a pour la densité

rigoureuse

-- ...-..

et l’on voit que l’allure

analytique

de la densité

statis-tique

exacte est tout à fait différente de celle de la den-sité

JI p (1’)

obtenue à l’aide de la forme

analytique

approchée

jo

(.r).

Une forme

analytique

approchée de îîs (r)

s’obtient

eu y

remplaçant

9 (.x)

par

cpo (.1:);

on trouve ainsi

(3)

467

et cette densité doit

représenter

une bien meil-leure

approximation

de la densités exacte que ne l’est donné par

(~). Cependant

la forme

compliquée

de

l1s"(r)

rend très difficile son

application.

Il aurait pu sembler

qu’une

forme

analytique

plus simple

et

équi-valente à

(8) pût

être trouvée en

évaluant,

par

exemple,

indirectement une

grandeur

dérivant de la densité mais en faisant usage

uniquement

de la fonc-tion 10

(a) approchée.

C’est le cas du facteur de struc-ture

atomique.

Sans passer par la densité

(8),

ce

qui

n’aurait pas donné une forme fermée à cette

grandeur

définie par

--- . r.

K étant la

longueur

du vecteur

impulsion perdue,

mesurée en unité

h/21t,

des ondes diffusées d’une manière cohérente par l’atome

numéro Z,

nous avons obtenu pour

une expression analytique

fermée en se servant

uniquement

de la fonction

approchée

La forme trouvée

(1)

pour le facteur de structure est

Il résulte de

(9), d’après

le théorème de Fourier avec

(10),

après

un calcul élémentaire

a

on

retrouve,

par

conséquent,

la densité

np (r)

obtenue directement à l’aide de

l’équation

de Poisson et la fonction

approchée

c5o(x).

Il résulterait donc de ce

qui

précède

que tout t on

ayant

une bonne

approximation

analytique

de la fonction si elle con-duit à une densité

ayant

une allure

analytique

diffé-rente de celle de la densité

exacte,

la valeur de

l’ap-proximation

se trouve être considérablement réduite.

§

2. - Nous voudrions néanmoins utiliser les

fonc-tions de 90

(.1’)

et np

(r)

pour évaluer

l’énergie

de Cou-lomb de deux atomes

neutres,

laissant de côté leur

polarisation

mutuelle. Nous avons montré

(1)

qu’à

l’approximation

du modèle d’atome

statistique

et

négligeant

la

polarisation

mutuelle des deux atomes on

(e) r. 1 9 ~1 0, 191, 60G.

peut

évaluer facilement

l’énergie

d’interaction

électro-statique

de deux atolnes

neutres ;

une

expression

expli-cite ne

pouvait

être donnée ne

disposant

pas d’une forme

analytique

de la fonction 7’

(x).

Il est clair que,

d’après

la discussion

précédente,

la forme d’interac-tion résultante ne

pourrait

représenter qu’une

approxi-mation très modeste à la loi d’interaction de Coulomb

rigoureuse

de deux atomes neutres.

Supposons

qu’un système

de coordonnées dont

l’origine

coïncide avec le noyau de l’atome

Z,

a son axe

polaire

placé

suivant l’axe nucléaire des deux

atomes,

le second atome

immobile 7,2 ayant

son noyau à la distance de l~ de

l’origine.

Pour obtenir

l’énergie

d’interaction

électrostatique

des deux atomes on doit évaluer

l’énergie électrostatique

de l’atome

Z,

placé

dans le

champ

de l’atome

Z2

ainsi que

l’énergie

de

’/,2

dans le

champ

et

prendre

la demi-somme de ces deux

quantités.

Si

(R)

et

(R) désignent

ces deux

énergies

respectives,

on a, pour

l’expression

cherchée,

Les

quantités

Jl’ se

composent

chacune de deux termes

correspondant

à

l’énergie

du noyau et à celle des élec-trons. Il est clair que

l’énergie

électrostatique

du noyau

de Z,

dans le

champ

de

Z2

est, d’après ~9 ),

Pour calculer

l’énergie

électrostatique

des électrons de

ZI

dans le

champ

de

Z,,

rappelons

que la

quantité

de

charge

élémentaire - de cet atome

placée

au

point

(1°,b)

y

possède

l’énergie

potentielle

j

compte

tenu de ce que les distributions de

potentiel

et

de

charge

sont

sphériques

en vertu de

(1)

et

(1) .

Et,

par

conséquent,

l’énergie

potentielle

des électrons de

Zi

~ sera

tenant

compte

des

expressions explicites

de et

nP(x)

données par

(2)

et

(-4) après l’intégration

sur

l’angle

équatorial.

Les

intégrales

sont élémentaires et

l’on

trouve,

tous calculs

faits,

(4)

468

Il est évident maintenant que

(R)

et sz,z,

(R)

s’obtiennent de

(R)

et

(R)

en y

permutant

Z,

et

Z2.

On trouvera

finalement,

tenant

compte

de

(12)

et de ce que

et

explicitant

P avec

(2)

les

fonctions

( a.Zl/3.

ô) ,

la

a

forme suivante pour

l’énergie

d’interaction de Cou-lomb de deux atomes de

Thomas-Fermi,

Rappelons

que les constantes

numériques ai

et a

(i

=

1,

2, 3)

sont

respectivement :

0,255 ; 0,581 ;

0,~6~;

0,246 ; 0,947

et

4,356.

La formule

précédente

se

simplifie

dans le cas de deux atomes

identiques.

Si l’on tient

compte

de ce que l’on a, pour les termes carrés dans la somme double

en (i 7),

on trouve

ou, encore,

posant

les bj

et

c

0.

1,

2,

3)

étant des constantes

numé-riques s’exprimant

à l’aide

des a et

fJ.j; on obtient

ce

qui

montre que le

rapport

Cz

(R)jZ7j3

est la fonction universelle

simple y (x)

de la variable

statistique

sans

dimension

proportionnelle

à Les formules

(1 ~)

et

(20) pourraient

être utilisées éventuellement pour estimer

l’énergie

de Coulomb de deux atomes neutres.

Références

Documents relatifs

- Dans de nombreux cas, dont le problème de l'identification détaillée des satellites Ka (attribués à des transitions du type K-' L-l + L - 2 ) constitue un

Notre travail a pour but de récapituler les résultats essentiels obtenus lors de l'étude théorique de la photo- ionisation des atomes neutres dans un modèle à poten- tiel

Les seules pertes de radon à considérer dans les cristaux d'un minéral naturel sont donc les pertes par recul, dont l'importance relative est d'autant plus

Nous rappellerons seulement que les calculs des niveaux d’énergie sont effectués, pour chaque atome, à partir d’une seule fréquence du spectre d’absorption, à

- Dans une molécule de dihydrogène H 2 , les 2 atomes d'hydrogène mettent en commun leur électron pour former un doublet d'électrons.. - Dans une molécule de dioxygène

configuration de la dislocation vis au voisinage de l’impureté et nous en déduisons l’énergie de liaison.. Nous comparons dans la deuxième partie les

est donc le plus fortement instable; il interagira le premier avec les 6tats du continuum.. La forme choisie pour 1’hamiltonien montre que, dans cette approximation,

On admet que cette perte d’énergie reste suffisamment faible sur une période pour pouvoir utiliser les différentes relations étables dans la partie en