Analyse du comportement électromagnétique des jeux de barres basses tensions par schémas électriques équivalents (PEEC)

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’enseignement supérieur

Université de Jijel

Faculté de sciences et de la technologie

Département de l’électrotechnique Département de l’électrotech

Projet de fin d’étude pour l’obtention du diplôme de

Master en Électrotechnique

Option: Électrotechnique Industrielle

Thème

Analyse du comportement

électromagnétique des jeux de barres

basses tensions par schémas

électriques équivalents (PEEC)

Encadré par:

Réalisé par:

Mr : Mahieddine Kechicheb

Heloulou Tarek

Mahrouk Hamza

Sommaire

Introduction générale 1

Chapitre I : Introduction aux jeux de barres basses tensions

I.1 Introduction 3

I.2 Définitions 3

I.2.1 Tableaux de distribution 3

I.2.2 Répartitions 4

I.2.3 Jeux de barres électriques 4

I.3 Types de jeux de barres 5

I.4 Problèmes posés par les jeux de barres 7

I.4.1 Problème électromagnétique 7

I.4.2 Problème thermique 8

I.4.3 Problème électrodynamique 8

I.5 Particularité des jeux de barres basses tensions 9

I.6 Dimensionnement des jeux de barres BT 10

I.6.1 Courant admissible et section des barres 11

I.6.2 Tenue thermique en court-circuit 12

I.6.3 Tenue électrodynamique 14

I.6.3.1 Efforts électrodynamiques entre barres 14

I.6.3.2 Efforts électrodynamiques maximaux 16

I.6.3.3 Efforts sur les supports isolants 19

I.6.4 Considérations électromagnétiques 20

I.7 Constations et méthodes d’analyse 22

I.7.1 Constations générales 22

I.7.2 Méthodes d’analyse 23

I.8 Conclusion 24

Chapitre II : Méthode de circuits équivalents aux éléments partiels

II.1 Introduction 25

II.2 Equations fondamentales 25

II.3 Formulation de méthode PEEC 27

II.3.1 Equation intégrale en potentiels mixtes MPIE 27

II.3.2 Discrétisation géométrique 28

II.3.3 Discrétisation de l’équation MPIE 29

II.3.3.1 Evaluation des inconnus 29

II.3.3.2 Equation MPIE discrétisée 30

II.3.4 Interprétation des termes de l’équation MPIE 31

II.4 Calcul des éléments partiels 33

II.5 Construction du modèle PEEC 34

II.5.1 Exemple 36

II.6 Conclusion 37

Chapitre III : Mise en œuvre de la méthode PEEC pour l’analyse de jeux de barres basses tensions

III.1 Introduction 38

III.2 Démarche 38

III.2.1 Introduction de la géométrie de la configuration 38

III.2.2 Maillage de la configuration 39

III.2.4 Construction de la matrice de connexion 39

III.2.5 Construction du modèle PEEC 39

III.3 Application sur un jeux de barre monophasé 40

III.3.1 Maillage 40

III.3.2 Mise en évidence de phénomènes électromagnétiques 42

III.3.2.1 Evolution des courants totaux et des pertes totales dans une barre 43 III.3.2.2 Evolution de la résistance et de l’inductance de la boucle de barres 44 III.3.2.3 Evolution de la densité des courants dans les barres 45

III.3.2.4 Evolution des forces entre barres 46

III.3.3 Induction électromagnétique 48

III.3.4 Désalignement des barres 50

III.3.4.1 Inductions des barres désalignées 54

III.4 Application sur un jeu de barres triphasé 56

III.5 Conclusion 58

Conclusion générale et perspectives 59

1

Introduction ge ne rale

Dans ce travail on essaye, à travers une analyse électromagnétique, de comprendre et de maitriser les problèmes associés à l’utilisation des jeux de barres basse tension.

Les tableaux électriques sont des points critiques pour les installations électriques industrielles, ils correspondent à l’association de plusieurs fonctions : protection, commande, répartition, signalisation,…). A part la répartition, toutes les autres fonctions ont été suffisamment étudiées par des méthodes évoluées. Alors que la répartition, par jeux de barres, a peu d’études. Ceci est probablement dû à l’apparente simplicité de leurs problèmes. Pourtant les jeux de barres sont avant tout des conducteurs électriques, sujets à tous les phénomènes liés à la conduction, qui représentent des sources de chaleur, d’émission électromagnétique (EM), de forces et vibrations, etc.

Avec l’utilisation des nouvelles technologies, sensibles ou de puissance, dans les tableaux électriques, les jeux de barres ne sont plus considérés comme simples points de passages, ils sont devenus de véritables éléments vertébraux de tout tableau. De leur sécurité dépond la sécurité de l’ensemble de l’installation et de toute activité industrielle.

Les pertes joules entrainent des contraintes d’échauffements et de coût de fonctionnement. Les émissions entrainent des contraintes de compatibilité et d’immunité électromagnétiques. Les courants élevés entrainent des contraintes électrodynamiques. Les harmoniques amplifient toutes ces contraintes …

Ces contraintes, qui peuvent entrainer la destruction de la structure ou du matériel associé, sont les raisons qui incitent à faire des réflexions et à prendre des précautions lors de dimensionnement des jeux de barres. L'ensemble de ces contraintes est principalement lié à la conduction et la répartition des courants dans les barres. Par conséquent, afin de les analyser, la connaissance des courants et de leur répartition dans les barres est indispensable. C’est l’objectif principal de ce travail de master. Une approche, qui nous semble adéquate et habituelle, est de chercher une méthode de représentation, de jeux barres, en circuits électriques équivalents (PEEC) composés de caractéristiques, propres et mutuelles, qui interviennent dans l'évaluation des courants, tensions, pertes, inductions, forces et autres grandeurs de dimensionnement.

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Obtenir cette représentation et ensuite l'utiliser pour l’analyse est un but de ce travail qui regroupe trois chapitres intercalés entre une introduction et une conclusion.

Un premier chapitre présentant des généralités sur les jeux de barres : leurs types, les problèmes associés, les méthodes d’analyse …

Un deuxième chapitre, dédié à la présentation de la méthode choisie pour avoir la représentation en circuits équivalents : la méthode PEEC, (Partiel Element Equivalent Circuit).

Un dernier chapitre, consacré à la mise en œuvre de la méthode PEEC sur des configurations de jeux de barres monophasés et triphasés BT, dans lesquelles on essaye d’analyser et de comprendre leurs comportements et leurs contraintes vis-à-vis les situations extrêmes (court-circuit par exemple).

Chapitre I :

Introduction aux jeux

de barres basses

3

Chapitre I

Introduction aux jeux de barres basses

tensions

I-1. Introduction

Dans les installations électriques industrielles, les courants sont gérés et distribués à partir de systèmes centraux appelés « Tableaux électriques ». La protection et la commande des circuits d’utilisation sont les fonctions de bases d’un tableau de distribution. Mais il existe aussi, en amont de ces deux fonctions, une autre fonction, souvent plus discrète, mais tout aussi essentielle : la répartition.

Plus encore que pour la protection et la commande, le choix et la mise en œuvre de la répartition nécessitent une démarche qui allie à la fois un choix de produit (nombre de départs, sections, type de conducteurs, mode de raccordement) et la vérification de conditions de fonctionnement (intensité admissible, courts-circuits, isolation…) dans des configurations absolument multiples.

La répartition est réalisée, suivant la puissance mise en œuvre, par des répartiteurs (pour faibles intensités) ou par des jeux de barres (pour fortes intensités). Les premiers nécessitent un simple choix selon leurs caractéristiques, tant disque les jeux de barres doivent être calculés et dimensionnés avec plus de soin. Ils assurent la collecte et la répartition de l’énergie entre les circuits qui y sont connectés. Un jeu de barre défaillant entraine la perte d’alimentation de tous ses circuits de départs. Ainsi, il mérite autant d’attentions que celles portées aux autres composants d’un tableau de distribution électrique.

L’objet du présent chapitre concerne la présentation des aspects qui font du jeu de barres le plus important composant d’un tableau électrique.

I-2. Définitions

Tableaux de distribution

Un tableau de distribution est le point d'entrée et de gestion de l'énergie électrique pour une installation (ou pour une de ses parties). Le circuit d'arrivée se divise (se réparti), via un jeu de barres ou un répartiteur, en plusieurs circuits (départs), chacun de ces circuits est associé à différents types d’appareillage (de protection, de commande, de mesure, …). Suivant l’importance de l’installation, ce regroupement peut être un simple coffret (fig.I.1.a), une armoire (fig.I.1.b) ou tout un local (fig.I.1.c).

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Figure I.1 : Exemples de tableaux de distribution électrique

Figure I.2 : Schéma unifilaire élémentaire d’un tableau de distribution

Répartition électrique

Elle peut se définir « comme l’alimentation, à partir d’un seul circuit d’arrivée, de plusieurs circuits de départs séparés physiquement et protégés individuellement » [GP.07].

Jeu de barres électrique

Le terme officiel est la barre omnibus, mais ce terme n'est guère employé. Selon la CEI « commission électrotechnique internationale », il s'agit d'« un conducteur de faible impédance auquel peuvent être reliés plusieurs circuits électriques en des points séparés » [Web.1].

(a) (b) (c) Protection amont Protection avale Commande Mesure Départs Arrivée Répartition Jeu de barres Tableau de distribution

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Selon [Web.2], « il s'agit d'un type de jonction électrique dans lequel tout le courant électrique entrant et sortant se rencontre ».

Selon [KIL.88], « terme générique désignant l’ensemble, des conducteurs rigides destiné à assurer la collecte et la répartition de l’énergie électrique entre les circuits que regroupe un tableau ou un poste électrique, à l’exception des conducteurs placés en aval des divers appareils de protection et/ou de commande.

Ainsi, le jeu de barres forme le composant le plus critique d’un tableau, car un défaut affectant une barre entraine la mise hors tension du tableau ou du pote complet.

I-3. Types de jeux de barres

Les jeux de barres électriques sont disponibles en plusieurs profilés et arrangements dictés par différentes considérations :

 Type d’application (niveau de tension) et courant maximal véhiculé

 Montage externe/interne, espace occupé, poids et nature du métal

 Contraintes : thermiques (échauffements) et mécaniques (efforts), … Selon la nature du matériau les jeux de barre se trouvent en cuivre, en aluminium ou en alliage d’aluminium. Selon la forme transversale, Il existe différents types de profilés : en I, en U, en O, en L, et selon les applications, il existe trois grandes familles :

 Jeux de barres hautes tensions

 Jeux de barre basses tensions

 Jeux de barres d’électronique de puissance

Les profilés U, L et O sont particulièrement réservés pour les applications en haute et moyenne tension (HT, MT). Les jeux de barres de profilés U et L, généralement en aluminium, sont employés dans les applications de fortes intensités en moyennes tensions (plusieurs kA, de 6 à 20 kV).

Figure I.3 : Exemples de jeux de barre MT installes dans leurs canalisations

Jeu de barres de profilé en double U

Jeu de barres de profilé en O

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Les tubes en O et les câbles ronds sont utilisés comme jeux de barres HT, posés ou tendus (fig.I.3), dans les postes d’interconnexion extérieurs sous des tensions atteignant des centaines de kilovolts [AUB.65].

Figure I.4 : Exemples de jeux de barres HT installés dans des postes extérieurs (HT)

En basses tensions (BT), les plus fréquemment utilisés sont les barres en cuivre, rectangulaires ou méplats laminées. Les premières nécessitent un façonnage et des raccordements plus ou moins couteux, tandis que les dernières, plus flexibles, facilement façonnables par pliage et facilement raccordable par recouvrement et peuvent associer plusieurs barres par phase.

Figure I.5 : Exemples de jeux de barres BT installés dans des ensembles de distribution BT

En électronique de puissance (EP), au-dessus d'un niveau de courant où les moyens classiques (circuits imprimés et fils, câbles cylindriques) deviennent problématiques, les jeux de barres méplats laminées sont utilisés pour le câblage (raccordements, mises en parallèle) des composants de puissance : semi-conducteurs de type : thyristor, thyristor GTO, IGBT, MOSFET, diode, etc., mais aussi de leurs circuits associés : résistances et condensateurs de puissance, bobines d'inductance, transformateurs et auxiliaires (contacteurs, fusibles, etc. ) [Web.3].

Jeux de barres HT en Tubes posés Jeux de barres HT en Câbles tendus

Jeux de barres principaux Jeux de barres dérivés Barres méplats flexibles, isolées

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Figure I.6 : Exemples de jeux de barres installés dans des dispositifs d’électronique de puissance

I-4. Problèmes posés par l’emploi de jeu de barres

Destinés à la collecte, le transport et la répartition d’énergie entre circuits, des intensités considérables sont alors mises en jeu dans les jeux de barres. Ces intensités, conjuguées avec les conditions de service, font des jeux de barres des acteurs/victimes de divers problèmes, liés les uns aux autres, dont les effets peuvent varier de simples perturbations à la mise en danger des ensembles.

Problème électromagnétique

Une forte intensité, véhiculée par une barre, est source de diverses perturbations électromagnétiques, qui ont pour effet de perturber le bon fonctionnement des récepteurs et de l’appareillage.

 chutes de tension : perturbation électrique capable d’entrainer le disfonctionnements de certains récepteurs et appareillage.

 pertes d’énergie : cumulées à long terme, peuvent représenter un coût de fonctionnement important.

 émission électromagnétique : perturbation ayant des conséquences diverses : augmentation des impédances, distorsions des courants et de leurs distributions, échauffement dû aux saturations de certains matériaux, perturbations des appareils sensibles placés à proximité des barres.

Figure I.7 : Exemples de conséquences électromagnétiques d’une intensité alternative, a) densité non uniforme de courant et des pertes, b) induction magnétique partout autour des barres, c) courants induits dans les enveloppes

Raccordement de certains composants de puissance par barres en cuivre ou en aluminium

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Problème thermique

D’une part, une barre parcourue par un courant produit une énergie calorifique, proportionnelle à sa résistance et au carré de l’intensité du courant. Cette énergie fait augmenter la température de la barre. D’autre part, en fonction de la température atteinte et des conditions de service, la barre dissipe de la chaleur dans sa masse et dans son environnement. L’équilibre thermique, stabilisation de la température, se produit lorsque l’énergie calorifique produite est égale à celle qui est dissipée pendant le même temps.

Une température d’équilibre qui dépasse certaine valeur, (90°C pour le cuivre [dim]), entraine plusieurs conséquences à craindre :

 Oxydation accélérée du matériau des barres, entrainant de dangereux échauffements locaux aux niveaux des jonctions et des joints.

 Efforts mécaniques importants sur les supports de barres dus aux dilatations et contractions des barres.

 Ramollissement des barres et dégradations des matériaux isolants

 Risques d’incendies

Figure I.8 : Exemples de conséquences thermiques d’une forte intensité, a) echauffement de barres, b et c) avalanches thermiques entrainant des incendies et la fusion du métal.

Problème électrodynamique

Toute barre parcourue par un courant alternatif et placée dans le champ d’action magnétique des autres barres, subit une force électromagnétique (force de Laplace), proportionnelle aux intensités du courant et des inductions magnétiques. Cette force tend à déformer la barre pour la faire traverser par le flux maximum.

En service normal, ces forces sont suffisamment faibles pour pouvoir être négligées. Mais en cas de court-circuit, ces forces, de nature pulsatoire, deviennent brusquement considérables. Les conséquences que peuvent subir les barres ou leurs supports sont :

 Attraction/répulsion des barres, qui peuvent entrainer des contacts entre elles (court-circuit) et des déformations.

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 Vibrations de barres, qui peuvent se développer à des résonnances, pouvant causer la fatigue ou la rupture des supports.

 Moments de torsions, dus aux flexions transversales de barres, pouvant entrainer la rupture des supports.

Figure I.9 : Exemples de conséquences mécaniques d’un court-circuit, a) flexions entrainant la rupture des supports, b) déformation irréversible des barres, c) vibrations des barres.

Il est à remarquer que tous ces problèmes ont pour origine principale et commune : l’intensité du courant véhiculé. Eviter leurs conséquences fâcheuses revient à limiter le courant maximal véhiculé à une valeur acceptable dite « courant admissible » qui teint compte l’ensemble des conditions de service.

La maitrise de ces problèmes passe nécessairement par la maitrise de leurs sources communes, en l’occurrence, la connaissance des intensités véhiculées et de leurs distributions pour des configurations de barres et environnements donnés.

I-5. Particularités des jeux de barres basse tension

Les jeux de barres BT sont aussi disponibles en plusieurs profilés et agencements (fig.I.10), cependant la pratique, [AUB.65], [CHA.14], fait souvent référence aux barres rectangulaires rigides ou méplates, simples ou multiples, souvent en cuivre, disposées à chant, en côte à côte près et placées à l’intérieure des enveloppes métalliques fermées (fig.10). De ce fait, les contraintes suivantes sont à souligner.

 Pour une même puissance distribuée, les intensités mises en jeu dans une barre BT sont plus importantes que celles des barres MT ou HT ; les effets électromagnétiques et thermiques sont alors plus posés.

 L’agencement en côte à côte des barres à l’intérieure des enveloppes

métalliques défavorise la dissipation de chaleur vers le milieu ambiant

et augmente la température des barres et à l’intérieure des enveloppes.

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 En cas de défaut de court-circuit, les faibles distances entre barres augmentent amplement les efforts électrodynamiques sur les barres et sur leurs supports.

Figure I.10 : Exemples de profilés de barres BT et de leurs agencements sous une enveloppe.

Ainsi, l’étude des barres BT amène à l’étude de problèmes de divers ordres (électromagnétique, thermique et électrodynamique), tous bâtis sur la maitrise de l’intensité véhiculée, et, dont les conséquences (contraintes) résultantes dépendent en majorité des considérations fonctionnelles et dimensionnelles (intensités, dimensions des barres, espacements, …) Lorsque on veut établir un projet de jeux de barres BT, on se trouve alors confronter de répondre à plusieurs questions liées les unes aux autres, d’ordre électriques en apparence, mais qui contiennent implicitement les aspects dimensionnels thermiques et mécaniques.

 Quelle intensité peut-on faire passer dans un jeu de barres donné sans que sa température d’équilibre ne soit inadmissible ?

 Quelle section faut-il donner à une barre pour que celle-ci puisse véhiculer une intensité donnée dans des conditions données ?

 Quelles dimensions faut-il donner aux barres pour que celles-ci présentent des tenues mécanique et thermique compatibles avec leurs conditions d’emploi ?

Ces questions appartiennent au domaine de dimensionnement des barres et dont les réponses décrivent les problèmes cités précédemment et quantifient leurs conséquences.

I-6. Dimensionnement des jeux de barres BT

Il s’agit de répondre aux questions ci-dessus tout en garantissant, tant en service normal qu’en cas de défauts, des conséquences tolérables par les barres et par leur voisinage. Il s’agit donc de :

Barres rectangulaires rigides Profilés, en O, en L, en C et en H Barres méplates flexibles

Barres disposées à chant horizontalement

Barres disposées à chant verticalement

Barres disposées à plat verticalement

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 déterminer les dimensions convenables des barres en fonction des courants qui y circulent et des conditions d’installation.

 vérifier l’adéquation des tenues thermiques et électrodynamiques résultants avec les conditions d’emploi.

Courant admissible et section des barres

Il s’agit d’exprimer le courant admissible qu’une barre puisse véhiculer en fonction de sa section et de ses conditions thermiques d’emploi.

Le courant admissible est le maximal qu’une barre puisse véhiculer, en service normal, sans craindre des effets thermiques fâcheux. C’est celui pour lequel, à l’équilibre thermique, la température atteinte par la barre est à la limite acceptée par les conditions d’emploi. Ce courant est limité par les mêmes facteurs limitant l’équilibre thermique [Web.4] :

 Chaleur produite ou dégagée (pertes Joule)

 Température atteinte par la barre

Ces deux facteurs, d’ailleurs liés l’un à l’autre, eux-mêmes dépendent de plusieurs autres paramètres : caractéristiques physiques, thermiques et dimensionnelles des barres, nature et intensité du courant, etc. Pour une barre supposée dans une situation de base définie par :

 Barre nue, ni peinte ni oxydée et disposée sur chant,

 Seule dans un espace très calme, loin de toute autre influence.

L’expression reliant le courant admissible à la section transversale et à ses conditions d’emploi, est donnée par Melson et Booth [MEL.24] et [Web.4]. 𝐼_𝑧0 = (24.9 ∙ 𝑆0.5∙ 𝑃0.39∙ (𝑇−𝑇0)0.61 √𝜌∙[1+𝛼∙(𝑇−20)]) ∙ (√ 𝑅_𝑐 𝑅𝑎) ∙ ( 1 √1− 0.015∙(𝑇−20)₁₀ ) (I.1) (√𝑅𝑐 𝑅𝑎) ∙ ( 1

√1− 0.015∙(𝑇−20)₁₀ ) ≤ 1; sinon on se limite au premier terme seul. S : section en cm², P : périmètre en cm

T : température atteinte par la barre (d’équilibre thermique) en °C T0 : température ambiante > 20°C.

 : résistivité du métal à 20°C, en (.cm) ; 1.75 pour Cu et 2.8 pour Al.

 : coefficient de température en (°C-1_{) ; 0.00393 pour Cu, 0.0036 pour Al} Rc et Rc : respectivement, résistance en courant continu et en alternatif 50Hz

Dans l’expression (1), le premier terme traduit les conditions d’équilibre thermique en courant continu, le deuxième terme,𝑅_𝑐/𝑅_𝑎, correspond aux effets dus aux courants alternatifs et le troisième terme est une correction liée aux émissions thermiques.

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L’équilibre thermique réel dépend de plus de facteurs que ceux considérés pour la situation de base.

 environnement de barres : influences de l’emplacement, de la température ambiante, de l’attitude, de l’echauffement admis, …

 nature et état de barres : influences de la résistivité (Cu ou Al), de l’état de surface (polie, mate, peinte),…

 Nombre et disposition de barres : influences de la forme, du nombre par phase, de la disposition (sur chant, à plat), des actions réciproques entre barres, …

 nature du courant : influences des fréquences (harmoniques), … Chacun de ces facteurs intervient par un coefficient, ki, qu’il convient

d’appliquer à l’expression de base (1.1), pour corriger le courant admissible.

𝐼𝑧 = (𝑘1 × 𝑘2× 𝑘3× ⋯ 𝑘𝑛) ∙ 𝐼𝑧0 (I.2)

Les coefficients 𝑘_𝑖 sont donnés, pour chacun des facteurs, sous forme de tableaux ou de courbes, dans [AUB.65], [CHA.14].

Tenue thermique en court-circuit

Lors de court-circuit, les courants durant les premières secondes sont décisifs. En effet, la chaleur produite lors des premiers instants n’a pas encore le temps de se dégager vers l’extérieur, elle reste dans la masse de la barre en faisant augmenter rapidement sa température au-delà des valeurs acceptables par le régime de service normal.

Figure I.11 : Données nécessaires pour évaluer la tenue thermique d’une barre en court-circuit

Aux premiers instants, on admet que toute la chaleur 𝑑𝑊 produite par effet Joule sert, seulement, à remplir le réservoir calorifique massique (M.c) de la barre, ce qui entraine une augmentation dT de la température de la barre selon l’équation : 𝑑𝑊 = 𝑅 ∙ 𝐼_𝑐𝑐2 _{∙ 𝑑𝑡 ≈ 𝑀 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑇 (I.3)} L(m) Icc S = ab (m²), section 𝑅 = 𝜌∙𝐿 𝑆×𝑘 ()

k : facteur de forme (1 à 2.2), [CHA.14] M : masse (kg) = 𝐷 × 𝑆 × 𝐿

Dv : densité volumique (kg/m3) c : capacité calorifique (J.kg-1_.°C-1₎ Icc : courant de court-circuit (A) T0 : température ambiante (°C) T : température du métal (°C) (T-T0) echauffement

(Tadm-T0) echauffement admissible a

b T °C T0°C

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En intégrant et en arrangeant les termes, on obtient l’expression de l’effort thermique en (A²s) en fonction de l’échauffement (T=T-T0).

𝐼_𝑐𝑐2 ∙ 𝑡 ≈ 𝑀∙𝑐∙(𝑇−𝑇0)

𝑅 (I.4)

La contrainte thermique maximale (tenue thermique), qu’une barre puisse laisser passer, exprime l’effort thermique maximal en (A²s) que la barre puisse supporter durant les premiers instants. Cet effort thermique maximal correspond, à son tour, à l’echauffement maximal admissible par la barre et/ou par son voisinage (Tadm=Tadm-T0), ce qui donne :

𝐼_𝑐𝑐2 _{∙ 𝑡 ≈} 𝑀∙𝑐∙(𝑇𝑎𝑑𝑚−𝑇0) 𝑅 = 𝐷𝑣∙𝑆∙𝐿∙𝑐∙(𝑇𝑎𝑑𝑚−𝑇0) 𝜌∙𝐿 𝑘∙𝑆 =𝑘𝐷𝑣∙𝑐∙(𝑇𝑎𝑑𝑚−𝑇0)∙𝑆2 𝜌 (I.5)

Pour une barre et un echauffement maximal donnés, la tenue thermique maximale est constante (𝐼_𝑐𝑐2 _{∙ 𝑡 ≈} 𝑘𝐷𝑣∙𝑐∙(𝑇𝑎𝑑𝑚−𝑇0)∙𝑆2

𝜌 = Cste).

Pour laisser une marge de sécurité, on utilise habituellement cette expression sous forme d’inégalité qui relie la contrainte thermique maximale en (A²s) à la section de la barre en (mm²) :

𝐼_𝑐𝑐2 _{∙ 𝑡 ≤ 𝐾}2 _{× 𝑆}2 _(I.6)

On note que 𝐾2_{× 𝑆}2 _{= Cste.}

Avec 𝐾 =𝑘∙𝑐∙(𝑇𝑎𝑑𝑚−𝑇0)

𝜌

 K : coefficient thermique, en (A.s0.5 _{/mm), dépendant des propriétés thermiques,} électriques et de l’échauffement admissible de la barre [GP.07]

 Icc : courant de court-circuit en A

 t : les premiers instants de court-circuit, habituellement ⩽ 5s

 S : section de la barre en mm²

Tableau I.1 : Valeurs usuelles du coefficient K pour barres en cuivre [GP.07]

K=115 Barres souples, température maxi 160°C

K=135 Barres rigides de fortes sections Larg. >50mm, Tmaxi 200°C K=143 Barres rigides de petite section (Larg. < 50 mm) ; Tmaxi 220°C

La contrainte thermique maximale permet de vérifier :

 La convenance de la section de la barre face à un courant de court-circuit. Une barre, ayant la section S, supporte-elle la contrainte thermique résultante d’un courant de court-circuit Icc pendant les

premiers instants t : → 𝐼_𝑐𝑐2 _{∙ 𝑡 ≤ 𝐾}2_{× 𝑆}2 _{? Si non, il faut augmenter la}

section S de la barre et/ou augmenter le coefficient K (en ventilant les barres, le coefficient K augmente).

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 La convenance de la protection : la contrainte thermique admissible par la barre (𝐾2_{× 𝑆}2_{) doit être supérieure à celle limitée par l’appareil}

de protection associé, Fig.I.12, habituellement cette dernière est donnée par le constructeur sous forme de courbes.

Figure I.12 : Courbe de limitation d’un appareil de protection. L’appareil convient à la protection de la barre 1, mais pas pour la barre 2.

Tenue électrodynamique

Le problème des efforts électrodynamiques est lié à l’intensité du courant et aux dimensions des barres, il n’a pas de répercussions importantes en service normal. Par contre, en cas de court-circuit, les intensités très élevées qui peuvent apparaître engendrent des efforts considérables dans les barres (plusieurs kN/m) pouvant être préjudiciables à la sécurité et à la bonne conservation des barres et de leurs accessoires. Leur détermination est donc nécessaire afin de dimensionner les barres elles-mêmes et les structures qui les supportent pour qu’elles résistent à de tels efforts quelles que soient les protections placées en amont et en aval.

6.3.1 Efforts électrodynamiques dans une barre

Les efforts électrodynamiques qui s’exercent entre conducteurs résultent, de l’interaction des champs magnétiques produits par le passage des courants, selon les lois de « Biot et Savart » et de « Laplace, (fig.I.13) :

𝑑𝐵⃗ =𝜇0 4𝜋∙ 𝑖 ∙ 𝑑𝑙 ⃗⃗⃗⃗ ×𝑑 𝑑3 (I.7) 𝑑𝐹 = 𝑖 ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗ × 𝐵⃗ (I.8)

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Figure I.13 : Interactions champ-courant dans les conducteurs filiformes

Pour la situation de base : deux longs conducteurs filiformes, parallèles, distant de d(m) et parcourus par des courants instantanés i1(A) et i2(A),

(fig.I.13), l’application des lois de Biot et Savart et de Laplace conduit à la formule classique de l’effort électrodynamique par unité de longueur agissant entre deux lignes de courant :

𝐹 = 𝐹₁ = 𝐹₂ = 𝜇0

2𝜋𝑑∙ 𝑖1∙ 𝑖2 [N/m] (I.9)

F(N/m) est un effort d’attraction si les conducteurs sont parcourus par des courants de même sens, et de répulsion dans le cas contraire.

Figure I.14 : Effort entre deux barres massives (situation en mono ou biphasé)

Dans le cas de barres BT massives de sections rectangulaires ou autres (fig. I.14), l’hypothèse filiforme n’est pas tout à fait vérifiée. Il convient alors de corriger cette formule en l’appliquant un coefficient correcteur « K », dit

coefficient de Dwight, traduisant l’influence de la forme de la section.

𝐹 =𝜇0∙𝐾

2𝜋𝑑∙ 𝑖1 ∙ 𝑖2 [N/m] (I.10)

Le coefficient de Dwight (coefficient de forme) peut être déterminé par calcul en considérant la section de la barre comme une superposition de filaments de courant qui interagissent entre eux. Cependant son expression étant assez complexe sa valeur est le plus souvent déterminée sur des courbes appelées abaque de Dwight (Fig.I.17).

𝑑𝑙 ⃗⃗ 𝐵 ⃗ 𝑑𝐹 ⃗⃗⃗⃗ i  𝑑𝑙 ⃗⃗⃗ 𝑑 ⃗ 𝑑𝐵 ⃗⃗⃗⃗ i M d i1 i 2 F₁ F₂ Biot-Savart : la règle du tire-bouchon Laplace : la règle

de la main droite Cas de conducteurs // filiformes

b i1 i2 d a ℓ F l l

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Figure I.15 : efforts dans un système de barres triphasé

Dans le cas des barres triphasées, chacune subit à chaque instant un effort qui résulte de l’addition algébrique des interactions qu’elle a avec les deux autres (fig.I.15). En régime symétrique, seules trois barres de phases, mises habituellement côte à côte, sont à considérées.

Dans une telle situation, une barre ne peut avoir que deux situations : soit une barre extérieure, soit une barre centrale. L’effort subit par une barre en position extérieure (phase1 par exemple) ou en position centrale (phase2 par exemple) est respectivement :

𝐹₁ = 𝐹₁₂+ 𝐹₁₃ =𝜇0 2𝜋∙ 𝐾 𝑑(𝑖1∙ 𝑖2 + 𝑖1∙ 𝑖3 2) [N/m] (I.11) 𝐹₂ = 𝐹₁₂− 𝐹₂₃= 𝜇0 2𝜋∙ 𝐾 𝑑(𝑖1∙ 𝑖2− 𝑖2∙ 𝑖3) [N/m] (I.12)

Dans toutes ces expressions, les courants sont alternatifs dépendant des caractéristiques (R, L) des circuits et des déphasages entre eux (±120° en triphasé, 180° en mono et biphasé). Alors, les valeurs et les sens des efforts résultants changent constamment avec ceux des courants.

On note que pour le dimensionnement mécanique des jeux de barre BT, seule la valeur des efforts maximaux est nécessaire, elle correspond au courant le plus élevé qui se produit lors de défauts de court-circuit.

6.3.2 Efforts électrodynamiques maximaux

Les efforts maximaux se produisent lors de défauts de court-circuit. En négligeant, à l’instant initial d’un défaut, les courants de service devant ceux de défauts, et pour une tension 𝑒(𝑡) = √2𝐸 sin(𝜔𝑡 + 𝛼), l’expression générique des courants de court-circuit est de la forme :

𝑖𝑐𝑐(𝑡) = √2 ∙ 𝐼𝑐𝑐∙ [sin(𝜔𝑡 − 𝜑 + 𝛼) + sin(𝜑 − 𝛼) ∙ 𝑒−𝑡/𝜏] (I.13)

 𝐼_𝑐𝑐= 𝐸

√𝑅2_+𝑋2 ; valeur efficace du courant de court-circuit symétrique

 𝑋 = 𝜔𝐿 ; réactance inductive de la boucle de court-circuit

 𝜑 = atan𝑋

𝑅 ; déphasage courant/tension

 𝜏 =𝐿

𝑅 ; constante de temps du régime asymétrique

  : angle de déclenchement de défaut, correspondant à l’instant initial de défaut par rapport au zéro de la tension appliquée.

17

Figure I.16 : Défauts de court-circuit, schéma équivalent et allure du courant résultant pour =0°.

Les courants de court-circuit étant variables avec le temps, seule la valeur crête Ipk conduit au maximum de l’effort. Cette valeur correspond au

maximum de la composante asymétrique du courant. Elle s’exprime en fonction de la valeur efficace de la composante symétrique « Icc » par :

𝐼_𝑝𝑘 = 𝒦 ∙ √2 ∙ 𝐼𝑐𝑐 (I.14)

Où 𝒦 est un coefficient qui tient compte des caractéristiques du circuit (R, L). Il varie entre 1 (asymétrique nulle) et 2 (asymétrique maximale). Il souvent donné en fonction de (R/X) sur des courbes (Fig.I.17). Il peut être aussi calculé à l’aide de la formule approchée définie par la CEI 909 [THI.93]:

𝒦 = 1.02 + 0.98 ∙ 𝑒−3𝑅𝑋 (I.15)

Dans le cas d’un court-circuit entre deux barres (mono ou biphasé), il circule dans les deux barres un même courant de court-circuit icc. Les

courants i1 et i2 dans l’expression (I.10), sont donc égaux mais opposés.

𝐹 =𝜇0∙𝐾

2𝜋𝑑∙ 𝑖1 ∙ 𝑖2 = 𝜇_0∙𝐾

2𝜋𝑑∙ (−𝑖𝑐𝑐

2 _{) [N/m] (I.16)}

L’effort maximal susceptible d’affecter une barre correspond à la valeur crête Ipk du courant de court-circuit icc.

𝐹_𝑚𝑎𝑥 =𝜇0∙𝐾

2𝜋𝑑∙ 𝐼𝑝𝑘 2 ₌ 𝜇0∙𝐾

𝜋𝑑 ∙ (𝒦 ∙ 𝐼𝑐𝑐)

2 _{[N/m] (I.17)}

Dans le cas de défaut triphasé, trois courants équilibrés (même amplitude √2𝐼𝑐𝑐 et même décalage cyclique 120°), circulent dans les trois barres.

18 𝑖1 = 𝑖𝑐𝑐 = √2 ∙ 𝐼𝑐𝑐∙ [sin(𝜔𝑡 − 𝜑) + sin(𝜑) ∙ 𝑒− 𝑡 𝜏] 𝑖2 = 𝑖𝑐𝑐∠120° = √2 ∙ 𝐼𝑐𝑐∙ [sin (𝜔𝑡 − 𝜑 + 2𝜋 3) + sin(𝜑 + 120°) ∙ 𝑒 −𝑡_𝜏 ] 𝑖₃ = 𝑖_𝑐𝑐∠ − 120° = √2 ∙ 𝐼𝑐𝑐∙ [sin(𝜔𝑡 − 𝜑 − 120°) + sin(𝜑 − 120°) ∙ 𝑒−𝑡/𝜏] (I.18)

Les valeurs crêtes des trois courants ne se produisent pas en même temps. L’effort maximal sur une barre, extérieure ou centrale, correspond à la valeur du temps qui annule la dérivée temporelle des efforts donnés par les expressions (I.11 et I.12) :

𝐹_𝑚𝑎𝑥𝑒𝑥𝑡 →𝑑𝐹1

𝑑𝑡 = 0

𝐹_𝑚𝑎𝑥𝑐𝑡𝑟 →𝑑𝐹2

𝑑𝑡 = 0

(I.19)

Après calcul on obtient l’effort maximal susceptible d’affecter une barre quel que soit sa position « 𝐹_𝑚𝑎𝑥𝑒𝑥𝑡 _{extérieure ou 𝐹}

𝑚𝑎𝑥𝑐𝑡𝑟 centrale ». 𝐹_𝑚𝑎𝑥𝑒𝑥𝑡 ₌𝜇0∙𝐾 2𝜋𝑑∙ 0.808𝐼𝑝𝑘 2 _{= 0.808 ∙}𝜇0∙𝐾 𝜋𝑑 ∙ (𝒦 ∙ 𝐼𝑐𝑐) 2 _[N/m] 𝐹𝑚𝑎𝑥𝑐𝑡𝑟 = 𝜇_0∙𝐾 2𝜋𝑑 ∙ √3 2 𝐼𝑝𝑘 2 _{= 0.866 ∙}𝜇0∙𝐾 𝜋𝑑 ∙ (𝒦 ∙ 𝐼𝑐𝑐) 2 _[N/m] (I.20)

L’effort maximal se produit alors sur la barre de position centrale (sur la phase centrale d’un système triphasé).

Figure I.17 : Courbes pour coefficients du courant crêt [AUB.65] et de Dwight [THI.93]

Dans toutes les expressions des efforts maximaux, les valeurs crêtes 𝐼_𝑝𝑘 et par conséquence les valeurs efficaces 𝐼𝑐𝑐 des courants sont différentes d’un

court-circuit à l’autre, car les tensions appliquées, les impédances de

a b d a b d a/b0 a/b 0.1 0.2 5 0.5 1 2 5 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 K 𝒅−𝒂 𝒂+𝒃 Coefficient de forme (de Dwight)

19

boucles et les coefficients "𝒦" se diffèrent d’un défaut à l’autre. De ce fait, les efforts maximaux se diffèrent aussi d’un défaut à l’autre.

Le tableau suivant (Tab.I.2) regroupe les efforts maximaux, les courants efficaces et les impédances de boucles pour les trois défauts usuels.

Tableau I.2 : Différences des efforts maximaux d’un court-circuit à l’autre

Défaut Fmax [N/m] Icc (A) X=wL []

Monophasé 𝜇0∙𝐾 𝜋𝑑 ∙ (𝒦 ∙ 𝐼𝑐𝑐) 2 _𝐼 𝑐𝑐= 𝑉 √(𝑅𝑝ℎ+𝑅𝑁)2+𝑋2 Réactance de la boucle (phase en défaut-Neutre) Biphasé 𝜇0∙𝐾 𝜋𝑑 ∙ (𝒦 ∙ 𝐼𝑐𝑐) 2 _𝐼 𝑐𝑐= 𝑈 √(2𝑅𝑝ℎ)2+𝑋2 Réactance de la boucle (phase-phase) en défaut Triphasé 0.866 ∙𝜇0∙𝐾 𝜋𝑑 ∙ (𝒦 ∙ 𝐼𝑐𝑐) 2 _𝐼 𝑐𝑐= 𝑉 √𝑅𝑝ℎ2 +𝑋2 Réactance cyclique (de court-circuit)

6.3.3 Efforts sur les supports isolants

Au point de vu résistance des jeux de barres aux efforts maximaux, on admet qu’ils travaillent en flexions transversales entre deux supports consécutifs (Fig.I.18).

Figure I.18 : Efforts d’attraction et de cisaillement sur les supports isolants

Le moment de flexion résultant d’un force, Fmax(N), appliquée au centre de

gravité d’une barre est [Web.5] 𝑀 =𝐹𝑚𝑎𝑥∙𝐿2

𝑘𝑓 [N.m²] (I.21)

 Fmax : est la force maximale en (N) correspondant à l’effort maximal calculé

par l’une des expressions précédentes (I.17 ou I.20).

 L : la distance entre supports en m

 kf : facteur dépendant du mode de fixation (8 pour appui simple, 12 pour

encastrement) Fmax L Fs Fs M

20

Cet effort de flexion (moment de flexion) ne doit pas dépasser la limite élastique du métal (généralement donnée en kg.cm²).

Pour les supports isolateurs, ce sont les boulons de fixation qui ont à subir des efforts de traction ou de cisaillement. L’effort en tête (Fs) est l’effort maximum qu’ils doivent supporter en flexion, sa valeur ne doit pas dépasser celle indiquée dans les catalogues de fabricants : (Fn), qui correspond à la force appliquée au ras de la calotte supérieure du support.

Considérations électromagnétiques

La circulation de courants élevés dans les jeux de barres crée des champs magnétiques, partout dans les barres et dans leur environnement, et dont l’intensité est proportionnelle au courant et inversement proportionnelle à la distance aux barres (décroissance en 1/r), Fig.I.19.

𝑑𝐻 = 𝑑𝑖

2𝜋𝑟 (I.22)

Figure I.19 : Lignes indicatives de champs magnétique crées une barre et couplage avec une boucle à proximité.

En régimes variables (courants alternatifs), l’intérieur des barres et leur environnement se trouvent alors perturbés par ces champs variables. Des phénomènes induits (f.é.m. courants, champs, …) peuvent donc se créer dans toute boucle ou pièce conductrice qui intercepterait ces champs. D’abord, les perturbations éventuelles des appareils sensibles, Fig.I.19, et pour lesquels il est recommandé de respecter des distances minimales de cohabitation [GP.07]. di dH F.é.m. r Lignes de champs

Boucle d’un appareil à proximité

21

Figure I.20 : Phénomènes induits, effet de peau et effet de proximité

Ensuite, les effets de peau et de proximité résultants respectivement des phénomènes d’auto-induction dans une barre elle-même, et d’induction mutuelle entre barres, Fig.I.20. Ils ont pour effets, d’altérer la répartition des courants à l’intérieur des barres en repoussant (ou attirant) les lignes de de courant à circuler dans des bandes confinées aux surfaces de barres. Ces effets, se manifestent d’autant plus avec les variations très rapides de courants (fréquences des courants). L’épaisseur de peau, épaisseur de la bande dans laquelle la majorité du courant est confinée, est donnée par : 𝛿 = √2𝜌

𝜔𝜇 (m) (I.23)

  et  : respectivement résistivité et perméabilité du métal de la barre.

  : pulsation des courants (=2f ; f étant la fréquence).

Les conséquences de ces effets sont :

 Distorsion de la densité des courants sur les sections des barres

 Augmentation des impédances, propre et mutuelle, des barres

 Augmentation des pertes joule et d’échauffements associés

 Diminution du courant admissible.

Figure I.21 : Courants induits dans les cadres et la masses environnantes aux barres

Lignes de champs Distributions des courants

Effet de peau _{Effet de proximité}



Cadre en matériaux métallique Masse métallique environnante Lignes de champs

22

Et en fin, la circulation de courants élevés dans les barres entraîne l'induction de champs magnétiques et la circulation de courants induits dans les cadres formées autour des barres et dans les masses métalliques environnantes (panneaux et châssis d'armoires…), Fig.I.21. Cela a pour effets :

 Echauffements supplémentaires aux masses dus à la circulation de

courants induits.

 Echauffement dû à la saturation magnétique des bâtis et cadres formés autour des conducteurs.

 Diminution du courant admissible

La connaissance de ces phénomènes d'induction générés par les barres permet de stipuler des conditions de montage et de cohabitation adaptées.

 empêcher la formation de cadres magnétiques en utilisant des supports sur traverses et des vis amagnétiques (en aluminium, en inox ou autre matériau amagnétique)

 conserver des distances minimales entre barres elles-mêmes et entre barres et parois d’enveloppes.

 prévoir des volumes d’enveloppes surdimensionnées à fin de maintenir et de conserver ces distances.

I-7. Constatations et méthode d’analyse

Constatations générales

En examinant l’ensemble des problèmes associés au dimensionnement de jeux de barres BT, on peut aisément constater que la grandeur commune à toute analyse est l’intensité des courants dans les barres. Car, elle intervient en dominante dans l’évaluation de toutes les grandeurs de dimensionnement : pertes, échauffements, inductions, forces, etc.

Toute solution prévue se doit alors être principalement bâtie sur la connaissance des intensités de courant dans les barres, tant en régime normal qu’en cas de défauts, ce qui permettra par la suite de déterminer, de vérifier et de corriger toute contrainte d’emploi :

 l’adéquation de la section des barres,

 les tenues thermique et électrodynamique

 le niveau des perturbations électromagnétiques.

Cependant, toutes les expressions considérées, jusqu’ici, correspondent à des configurations d’école (simples) essentiellement monodimensionnelles. Elles ne seront plus précises voire plus applicables dans de nombreuses situations réelles, telles que :

23

 les configurations ayant l’aspect bi ou tridimensionnel : barres qui ne sont pas dans un même plan.

 les configurations proches de parois métalliques : les phénomènes induits dans les parois sont susceptibles de modifier la répartition du champ magnétique autour des barres.

 la proximité de barres entre elles : les effets de peau et de proximité peuvent modifier considérablement la distribution des courants dans les sections des barres, etc.

Dans de telles situations, et afin de concevoir et d’analyser judicieusement un jeu de barre, non seulement la connaissance l’intensité est nécessaire mais aussi de sa répartition à l’intérieur des barres, répartition qui reflète les aspects des configurations réelles.

Méthodes d’analyses

Afin de déterminer la répartition des courants, qui est une grandeur électromagnétique, on considère les jeux de barres comme étant des structures électromagnétiques. Alors, leur analyse peut s’effectuer en résolvant les équations de Maxwell, analytiquement ou numériquement.

Figure I.22 : Chevauchement des approches d’analyse en électromagnétisme

Les méthodes purement analytiques [PAU.08], de type circuits ou de type champ utilisant soit des courants et tensions soit des densités et potentiels, reposent toutes sur des hypothèses simplificatrices trop contraignantes pour des configurations réelles (uniformité, homogénéité, symétrie, etc.). Ces méthodes sont assez simples, faciles à mettre en œuvre, mais ne sont pas précises dans de nombreuses situations.

Les méthodes purement numériques, différentielles [SPI.1-4] ou intégrales [GIB.08], utilisant des formulations rigoureuses, nécessitent une discrétisation du système étudié afin de le transformer en un système discret souvent de grande taille. Ces méthodes sont plus fiables, mais plus lourdes et nécessitent de la compétence pour les mettre en œuvre.

En pratique, on ne peut pas distinguer des frontières nettes entre les deux approches, Fig.22. Pour un même problème, on peut employer à la fois des

Outils numériques Outils analytiques

Approches numériques Approches semi analytiques Approches analytiques

24

outils analytiques et d’autres numériques : on parle alors d’approches semi analytiques, [RUE.74], regroupant les avantages des deux autres mais qui sont limitées aux situations de difficultés intermédiaires.

Dans ce travail, afin analyser le comportement électromagnétique de jeux de barres BT et ainsi évaluer les contraintes associées, nous allons utiliser une approche semi analytique basée sur une méthode intégrale dite « Méthode PEEC » : Circuits Equivalents aux Eléments Partiels [RUE.74]. Le choix de cette méthode est stipulé par les interprétations, en circuits électriques équivalents, sur lesquels débouche l’approche. Le chapitre suivant y sera consacré.

I-8. Conclusion

Dans ce chapitre, nous nous sommes introduits aux jeux de barres BT, nous avons mis en évidence l’importance qu’un jeu de barre occupe dans un système de distribution ainsi que les problèmes associés à leur emploi et à leur dimensionnement.

Il a été constaté que le dénominateur commun, à tous ces problèmes, est la connaissance de l’intensité des courants dans les barres, intensité susceptible souvent d’être affectée par les arrangements de barres et les différents effets induits.

Alors pour dimensionner ou analyser le comportement électromagnétique d’un jeu de barres, nous avons conclu que toute solution prévue se devra principalement être bâtie sur la connaissance détaillée de cette intensité : c’est-à-dire, la connaissance de la distribution des courants partout dans les sections des barres.

Pour ce faire, nous avons choisi, parmi les méthodes d’électromagnétisme, la méthode semi analytique « PEEC ». Cette méthode est de formulation assez rigoureuse et s’interprète par de circuits électriques équivalents habituels. C’est ce que nous allons présenter dans le chapitre suivant.

Chapitre II :

Méthode de circuits

équivalents aux

éléments partiels :

PEEC

25

Chapitre 2

Me thode de circuits e quivalents aux

e le ments partiels : PEEC

II-1. Introduction

La méthode de circuits équivalents aux éléments partiels, (PEEC : Partial Element Equivalent Circuit), a été introduite par Albert E. Ruehli [RUE.72] au centre de recherches d’IBM T.J. Watson. C’est une méthode intégrale destinée à la modélisation de structures électromagnétiques ne contenant pas de matériaux magnétiques.

De formulation numérique mais d’interprétation analytique, la méthode PEEC est une technique qui transforme une structure tridimensionnelle en un circuit équivalent passif formé de résistances, d’inductances et de mutuelles partielles (RLM), qui peut être complété par les modèles d’éventuels composants externes connectés à la structure et être analysé successivement, soit en temporel soit en fréquentiel, à l’aide des méthodes et outils de type circuit électrique.

À partir des équations de Maxwell en milieu réel, une équation intégrale de champ électrique à potentiel mixte (MPIE : Mixed Potential electric field Integral Equation) est développée. Après discrétisation de la structure, introduction des fonctions d'évaluation pour les variables (densités de courant et de charge) et en appliquant la méthode de calcul Galerkin, [JUR.09], le système d'équations PEEC dans le domaine fréquentiel est dérivé sous une forme générale. Avec l'introduction d’éléments partiels, l'interprétation du circuit résulte directement des modèles PEEC. Les différentes discrétisations géométriques, 1D, 2D, 3D, orthogonales ou non, aboutissent uniquement à des formules différentes pour les éléments partiels, mais ne changent pas la structure des modèles.

II-2. Equations fondamentales

Les structures à modéliser sont supposées être non magnétiques, composées à la fois de régions conductrices et diélectriques, linéaires, homogènes, isotropes, finies et situées dans un espace libre ou dans un demi-espace. Les paramètres constitutifs caractérisant les milieux sont la conductivité électrique 𝜎, la permittivité diélectrique 𝜖 et la perméabilité magnétique 𝜇₀.

26 𝛁 ∙ 𝑫 = 𝜌 𝛁 ∙ 𝑩 = 0 𝛁 × 𝑬 = −𝑗𝜔𝑩 𝛁 × 𝑯 = 𝑱 + 𝑗𝜔𝑫 (II.1)

Les relations constitutives qui caractérisent un milieu linéaire, homogène et isotrope sont :

𝑫 = 𝜖𝑬 𝑩 = 𝜇₀𝑯 𝑱 = 𝜎𝑬

(II.2)

En utilisant les propriétés de l’opérateur différentiel (), on peut exprimer la deuxième et la troisième équation du système (II.1) en terme de potentiels vecteur magnétique (A) et scalaire électrique (𝜙) :

𝑩 = 𝛁 × 𝑨

𝑬 = −𝑗𝜔𝑨 − 𝛁𝜙 (II.3)

Par remplacements de (II.3) et (II.2) dans, la première et la dernière, équations de (II.1), on obtient les équations dynamiques des potentiels :

∆𝜙 − 𝜔𝛁 ∙ 𝑨 = −𝜌 𝜖 ∆𝑨 +𝜔2 𝑐2 𝑨 − 𝛁 (𝛁 ∙ 𝑨 + 𝜔 𝑐2𝜙) = −𝜇0𝑱 (II.4)

Pour garantir l’unicité des potentiels, on impose la gauge de Lorentz : 𝛁. 𝑨 +𝜔

𝑐2∙ 𝜙 = 0 (II.5)

Les équations dynamiques des potentiels (II.4) se découplent en équations d’ondes appelées équations de Helmholtz.

∆𝜙 + 𝑘2𝜙 = −𝜌 𝜖 ∆𝑨 + 𝑘2_{𝑨 = −𝜇} 0𝑱 (II.6) Où :  𝑐 = 1

√𝜇0𝜖 : vitesse de l’onde dans le milieu (2.8810

8 _{m/s dans le vide)}

 𝑘 =𝜔

𝑐 = 2𝜋

𝜆: nombre d’onde,  étant la longueur d’onde

 𝜆 =𝑐

𝑓 : longueur d’onde, f étant la fréquence en Hz.

Dans l'espace libre, la solution générale des équations de Helmholtz est représentée en termes de fonctions de Green par les équations suivantes :

𝜙(𝑟) =1

𝜖∫ 𝑔(𝑟, 𝑟

′_{) ∙ 𝜌(𝑟′) ∙ 𝑑𝑣} 𝑣

27

Ce sont les solutions sur lesquelles s’appuie la méthode PEEC. Avec la fonction de Green pour l’espace libre est donnée par :

𝑔(𝑟, 𝑟′_{) =} 1 4𝜋∙

𝑒−𝑗𝑘|𝑟−𝑟′|

|𝑟−𝑟′| (II.8)

Figure II- 1 : Référentiel des solutions aux équations de Maxwell-Helmholtz

II-3. Formulation de la méthode PEEC

La formulation de la méthode repose sur, [JUR.09] :

 dérivation d’une équation intégrale du champ électrique, d’abord en potentiels mixtes MPIE (A et ), puis, en densités (J, ). Equation qui

régit le comportement électromagnétique de la structure à modéliser.

 discrétisation de la stucture à modéliser en un nombre N fini d’éléments géométriques, appélées par la suite « éléments partiels ».

 discrétisation de l’équation MPIE en N équations correspondantes aux N éléments géométriques.

 évaluation et pondération des inconnus à l’aide de fonctions de base constantes.

Pour chaque élément, les termes de l’équation discrétisée obtenue sont interprétés d’un point de vue circuit électrique.

II-3.1 Equation intégrale en potentiels mixtes MPIE

Le champ électrique total 𝑬, en un point 𝒓 de l’espace, est égal à la somme du champ appliqué (incident) 𝑬𝒆𝒙𝒕 et du champ auto-induit 𝑬𝒊𝒏𝒅

𝑬(𝑟) = 𝑬𝒆𝒙𝒕(𝑟) + 𝑬𝒊𝒏𝒅_{(𝑟) (II.9)}

Le champ auto-induit vérifier la relation (II.3) et alors (II.9) peut s’écrire :

𝑬𝒆𝒙𝒕_{(𝑟) = 𝑬(𝑟) + 𝑗𝜔𝑨(𝑟) + 𝛁𝜙(𝑟) (II.10)}

Cette équation est l’équation intégrale en potentiels mixtes « MPIE » dont l’excitation est un champ incident Eext _{et les inconnus sont A et .}

r r’ |𝑟 − 𝑟′| 0 J ou  𝑑𝑣 𝑣 A(r) (r)

28

En remplaçant dans (II.10). les inconnus par leurs expressions, dans (II.7), on obtient l’équation intégrale équivalente en termes de densités : 𝑬𝒆𝒙𝒕_{(𝑟) = 𝑬(𝑟) + 𝑗𝜔𝜇} 0∫ 𝑔(𝑟, 𝑟_𝑣 ′) ∙ 𝑱(𝑟′) ∙ 𝑑𝑣+ 𝛁 1 𝜖∫ 𝑔(𝑟, 𝑟 ′_{) ∙ 𝜌(𝑟′) ∙ 𝑑𝑣} 𝑣 (II.11)

Dans le cas de jeux de barres BT travaillant à 50 Hz :

 On n’applique pas des champs incidents 𝑬𝒆𝒙𝒕 _{= 0}

 On applique des tensions 𝜙₀ aux entrées de barres

 On s’intéresse seulement aux courants et tensions résultants (non pas aux densités de charges )

De ce fait, les équations (II.10) ou (II.11) se réduisent à :

𝑬(𝑟) + 𝑗𝜔𝜇₀∫ 𝑔(𝑟, 𝑟_𝑣 ′) ∙ 𝑱(𝑟′) ∙ 𝑑𝑣+ 𝛁𝜙(𝑟) = 0 (II.12) C’est l’équation intégrale (MPIE) qui est utilisée pour formuler la méthode et construire le modèle PEEC.

II-3.2 Discrétisation géométrique

Les inconnues dans l’équation MPIE (II.12) sont la densité de courant et le potentiel électrique, (E étant lié à la densité de courant par la loi d’Ohm : J=E). Pour pouvoir les évaluer en tout point de la structure, la technique de discrétisation géométrique (maillage) de la structure est utilisée.

La structure à modéliser est morcelée en un nombre fini d’éléments ou de cellules 1D (pour objets de longueur), 2D (pour objets de surface) ou 3D (pour objets de volume), appelés par la suite : éléments partiels.

Sur un élément, la densité du courant doit être dirigée orthogonalement à la section transversale de l’élément. Les sections d’éléments peuvent être de formes arbitraires, cependant, les formes les plus répondues dans la littérature PEEC sont les cellules rectangulaires conformes aux coordonnées cartésiennes, Fig.II.2. La raison pour cette forme va être indiquée dans les sections qui suivent.

Les dimensions des éléments ne sont pas arbitraires, elles doivent respecter certaines conditions exigées par les conditions d’emploi de la structure (effets des fréquences : peau, proximité et propagation).

 l’épaisseur  d’un élément doit être de l’ordre de l’épaisseur de peau à la plus grande fréquence d’emploi (Δ ≤ 𝛿 = √_𝜇𝜋𝑓𝜌

𝑚𝑎𝑥).

 la longueur l d’un élément ne doit pas dépasser le dixième de la longueur d’onde à la plus grande fréquence d’emploi (𝑙 ≤ 𝜆

10= 𝑐 10𝑓).

29

Figure II- 2 : Discrétisations géométriques (1D et 2D), N-élément de courant et M-nœud de potentiel

II-3.3 Discrétisation de l’équation MPIE

La discrétisation géométrique de la structure, en N éléments de courant et M nœud de potentiel, implique la discrétisation de l’équation MPIE (II.12) en N équations, chacune correspond à un élément géométrique.

La discrétisation de l’équation MPIE passe nécessairement par l’évaluation des inconnus sur chaque élément géométrique.

3.3.1 Evaluation des inconnues

Bien que les deux densités dans (II.12) aillent être évaluées, nous nous intéressons qu’à la densité du courant définie dans un élément, et qui interagit par effets inductifs avec celles des autres éléments. Quant aux potentiels, définis dans des nœuds où, à 50 Hz, l’effet capacitif est négligeable, ils n’interagissent entre eux que par des chutes de tensions elles-mêmes dépendant de courants, et par les composants externes éventuellement connectés aux nœuds de la structure.

Pour faciliter l’intégration des expressions (II.7), (II.11) et (II.12) sur le volume 𝑣_𝑛 d’un élément 𝑛, ou sur la surface latérale 𝑠_𝑚 d’un élément m, il est judicieux de faire sortir les densités, J et , des intégrales dans ces expressions. Pour ce faire, il faut que ces densités soient constantes dans le volume 𝑣_𝑛 et sur la surface 𝑠_𝑚 des éléments considérés.

Autrement dit, dès lors de la discrétisation géométrique, la section 𝑎𝑛 d’un

l’élément 𝑛 et la surface 𝑠_𝑚 d’un élément 𝑚 doivent être choisies d’une façon que les densités sur elles soient quasiment constantes. Ce qui veut

Discrétisation 1D (de longueur)

Discrétisation 2D (de surface)

Distribution de nœuds Eléments suivant X Elément suivant Y 𝑱𝛼 𝑜𝑢 𝐼𝛼 𝑱𝛽 𝑜𝑢 𝐼𝛽 Nœuds 𝜙𝑖 Eléments de courant 𝑱𝛼 𝑜𝑢 𝐼𝛼 Nœuds 𝜙𝑖

30

dire un maillage suffisamment fin les zones où les phénomènes de peau et de proximité son assez prévus.

Figure II- 3 : Expression de la densité de courant dans un volume d’un élément 𝒏 ∈ 𝑵

En une telle situation les densités de courant et de charge peuvent être développées sous les formes d’escaliers :

𝑱(𝑟) = ∑ 𝒃_{𝑛 𝒏}(𝑟) ∙ 𝐼_𝑛; 𝑛 ∈ 𝑁 𝜌(𝑟) = ∑ 𝑑𝑚 𝑚(𝑟) ∙ 𝑞𝑚; 𝑚 ∈ 𝑀

(II.13)

Avec 𝒃_𝒏(𝑟) une fonction vectorielle de base, choisie constante, 𝑑_𝑚(𝑟) et de forme : 𝒃𝒏(𝑟) = { 𝒆_𝒏 𝑎𝑛 si 𝑟 ∈ 𝑣𝑛 0 si non 𝑑_𝑚(𝑟) = { 𝟏 𝑠𝑚 si 𝑟 ∈ 𝑠𝑚 0 si non (II.14)

3.3.2 Equation MPIE discrétisée

En remplaçant seulement la densité de courant (II.13) dans l’équation MPIE (II.12), on obtient une première forme de l’équation intégrale discrétisée.

𝑬(𝑟) + 𝑗𝜔𝜇₀∑ ∫ 𝑔(𝑟, 𝑟′_{) ∙ 𝒃}

𝒏(𝑟) ∙ 𝐼𝑛∙ 𝑑𝑣𝑛 𝑣𝑛

𝑛 + 𝛁𝜙(𝑟) = 0 (II.15)

Pour déterminer les N inconnues, la méthode de Galerkin (méthode des résidus pondérés) est appliquée. Pour chaque cellule ( ∈ N), le produit

𝑣𝑛: volume 𝑙_𝑛: longueur 𝑎_𝑛: section 𝑠𝑛: surface latérale

𝐼_𝑛: courant constant et inconnu 𝐽𝑛 : densité constante et inconnue 𝑒_𝑛 : vecteur unitaire (𝜎, 𝜖, 𝜇0) : constantes dans 𝑣𝑛 𝐼_𝑛 𝑙_𝑛 𝑟 ∉ 𝑣𝑛 𝑟′ 𝑟 ∈ 𝑣_𝑛 𝑱(𝑟) = 𝟎 𝑱_𝒏 𝒆_𝒏 𝑎_𝑛 𝑣_𝑛 𝑱(𝑟) =𝑱_𝒏 𝑠_𝑛

31

interne avec la fonction de pondération 𝑤𝛼 = 𝒃𝜶est construit pour tous les

termes de l'équation MPIE discrétisée (2.15), [JUR.09]. ∫ 𝒃𝜶. 𝑬(𝑟)𝑑𝑣𝛼 𝑣𝛼 + 𝑗𝜔𝜇0∑ ∫ ∫ 𝑔(𝑟, 𝑟′)𝒃𝜶𝒃𝒏𝐼𝑛𝑑𝑣𝑛𝑑𝑣𝛼 𝑣𝑛 𝑣𝛼 𝑛 + ∫ 𝒃𝜶𝛁𝜙(𝑟)𝑑𝑣𝛼 𝑣𝛼 = 0 C’est la version discrétisée de l’équation MPIE régissant le comportement électromagnétique d’un élément 𝛼 ∈ 𝑁 et dont les inconnus sont :

 le courant dans l’élément

 le potentiel le long de l’élément.

II-3.4 Interprétation des termes de l’équation MPIE

Chacun des termes de l’équation MPIE discrétisée peut être interprété comme un élément d’un circuit électrique.

3.4.1 Premier terme ∫ 𝒃_𝑣𝛼 𝜶. 𝑬(𝑟)𝑑𝑣𝛼= 𝒆𝜶∙𝑬(𝑟).𝑣𝛼 𝑎_𝛼 = 𝒆𝜶∙𝑱𝜶.𝑙𝛼 𝜎_𝛼 = 𝐼𝛼.𝑙𝛼 𝑎_𝛼𝜎_𝛼= 𝐼𝛼( 𝑙𝛼 𝑎_𝛼𝜎_𝛼) = 𝐼𝛼∙ 𝑅𝛼= 𝑈𝛼 𝑅 _(II.17)

Le premier terme présente une contribution résistive, il est équivalent à une chute de tension résistive aux bornes d’un élément partiel , la résistance de l’élément partiel  est :

𝑅_𝛼= 𝑙𝛼 𝑎_𝛼𝜎_𝛼 ; ∀𝛼 ∈ 𝑁 (II.18) 3.4.2 Deuxième terme 𝑗𝜔𝜇₀∑ ∫ ∫ 𝑔(𝑟, 𝑟′_)𝒃 𝜶𝒃𝒏𝐼𝑛𝑑𝑣𝑛𝑑𝑣𝛼 𝑣_𝑛 𝑣_𝛼 𝑛 = 𝑗𝜔 ∑ (𝜇0 cos 𝜃_𝛼𝑛 𝑎𝛼𝑎𝑛 ∫ ∫ 𝑔(𝑟, 𝑟 ′_)𝑑𝑣 𝑛𝑑𝑣𝛼 𝑣_𝑛 𝑣_𝛼 ) 𝐼𝑛 𝑛 = 𝑗𝜔 ∑ 𝐿_{𝑛 𝛼𝑛}. 𝐼_𝑛 = 𝑗𝜔𝐿_𝛼𝛼. 𝐼_𝛼+ 𝑗𝜔 ∑_𝑛≠𝛼𝐿_𝛼𝑛. 𝐼_𝑛 = (𝑗𝜔𝐿_𝛼𝛼. 𝐼_𝛼) + ∑ 𝐿𝛼𝑛 𝐿𝑛𝑛. (𝑗𝜔𝐿𝑛𝑛𝐼𝑛) 𝑛≠𝛼 = 𝑈𝛼𝐿+ ∑ 𝐿_𝛼𝑛 𝐿𝑛𝑛. 𝑈𝑛 𝐿 𝑛≠𝛼 (II.19)

Le deuxième terme présente une contribution inductive, il est équivalent à une chute de tension inductive aux bornes d’un élément partiel . les inductances propre et mutuelle de l’élément partiel  sont :

𝐿_𝛼𝛼 = 𝜇0 𝑎𝛼2∫ ∫ 𝑔(𝑟, 𝑟 ′_)𝑑𝑣 𝛼𝑑𝑣𝛼 𝑣𝛼 𝑣𝛼 ; ∀𝛼 ∈ 𝑁 𝐿_𝛼𝑛= 𝜇₀cos 𝜃𝛼𝑛 𝑎𝛼𝑎𝑛 ∫ ∫ 𝑔(𝑟, 𝑟 ′_)𝑑𝑣 𝑛𝑑𝑣𝛼 𝑣_𝑛 𝑣_𝛼 ; ∀(𝛼 ≠ 𝑛) ∈ 𝑁 (II.20) 3.4.3 Troisième terme

Dans ce troisième terme, le gradient suivant la direction de la longueur est approché par une dérivée centrée.

32 ∫ 𝒃_𝑣𝛼 𝜶𝛁𝜙(𝑟)𝑑𝑣𝛼= ∫ 𝒆_𝑙𝛼 𝜶𝛁𝜙(𝑟)𝑑𝑙𝛼 = 𝜙 (𝑟 + 𝑙_𝛼 2) − 𝜙 (𝑟 − 𝑙_𝛼 2) = 𝜙𝛼 −_{− 𝜙} 𝛼+ (II.21) Avec :

 𝜙𝛼− = 𝜙𝑗: le potentiel de la fin de l’élément 

 𝜙_𝛼+ _{= 𝜙}

𝑖: le potentiel de début de l’élément 

Ce terme, présente donc, les contributions des extrémités, il est équivalent à différence des potentiels entre les extrémités de l’élément partiel  : c’est-à-dire la chute de tension totale aux bornes de l’élément.

3.4.4 Synthèse des termes

La combinaison des termes donne une équation équivalente à une maille d’un circuit électrique qui se referme via une référence à l’infini.

𝑅_𝛼𝐼_𝛼+ 𝑗𝜔𝐿_𝛼𝛼𝐼_𝛼+ 𝑗𝜔 ∑ 𝐿_𝛼𝑛𝐼_𝑛+ 𝜙_𝑗− 𝜙_𝑖 = 0 (II.22) Pour un élément  dans un maillage de trois élément (N=3) et de cinq nœuds (M=5), le schéma électrique équivalent de l’ensemble et celui de l’élément  sont représentés sur cette figure.

Figure II- 4 : Circuits équivalents d’un l’élément partiel

Pour chacun des éléments du maillage de la structure à modéliser, une équation du type (II.22) et un schéma du type (Fig.II.4) sont faits. Ce qui conduit à l’obtention d’un système de N équations à (N+M) inconnus. Pour pouvoir profiter de la représentation (II.22), il faut pouvoir évaluer avec suffisamment de précision les constantes des éléments partiels, en l’occurrence, R, L et L et ce quelque soient (, ) N.

𝐼_𝛼 𝑅_𝛼 𝐿𝛼𝛼 𝑗𝜔 ∑ 𝐿𝛼𝑛. 𝐼𝑛 𝑛≠𝛼 𝜙_𝑗 maille 𝜙_𝑖 i j 𝜙_{𝑖 𝜙} 𝑗 𝐼𝛼 𝑅𝛼 𝐿𝛼𝛼 𝐼𝛾 𝐿_{𝛽𝛽 𝑅} 𝛽 𝐿𝛼𝛽 𝐿𝛼𝛾 𝐿𝛽𝛾 𝜙_𝑝 𝜙_𝑞 𝜙_𝑘 k p q i j