Troisième partie: Schémas équivalents de transformateurs

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III - 330

Troisième partie:

Schémas équivalents de transformateurs

(2)

III - 331

Contenu de la troisième partie

Cette troisième partie est consacrée à l'étude des schémas équivalents de transformateurs tels qu'on peut les utiliser dans des simulations électriques du convertisseur. Au contraire de la seconde partie, le travail revêt ici un caractère plus bibliographique, partant d'une recherche des schémas équivalents existants pour dégager les plus intéressants d'entre eux.

Le chapitre X constitue une introduction aux schémas équivalents. Dans une première étape, on y cerne les spécificités des schémas à utiliser pour la simulation des transformateurs au sein des convertisseurs de puissance. La plus grande partie du chapitre est ensuite consacrée à l'examen des éléments constitutifs de base modélisant les différents effets magnétiques, dissipatifs et électrostatiques. On y étudie également les schémas les plus usuels.

Le chapitre XI étudie un schéma particulier: le schéma CCS. On en analyse la constitution, qui est discutée, et on présente les résultats de l'implémentation qui en a été faite et testée au moyen d'un transformateur réel.

Le chapitre XII examine deux schémas supplémentaires: les schémas LEG. L'un est un schéma inductif multisorties tandis que l'autre est un schéma complet (modélisant l'ensemble des effets inductifs, dissipatifs et capacitifs) limité à deux enroulements.

Enfin le chapitre XIII examine de manière complémentaire d'autres approches menant à des schémas divers.

Les conclusions de cette troisième partie sont rassemblées dans la synthèse du chapitre XIV.

(3)

X - Eléments constitutifs III - 332

X. Eléments constitutifs

Dans ce premier chapitre, qui tient lieu d'introduction aux schémas équivalents, nous passons en revue les trois types de phénomènes à modéliser: les effets magnétiques (modélisés par des coupleurs et des inductances), dissipatifs (résistances) et électrostatiques (capacités). Nous détaillons les principales options disponibles pour traduire ces effets et introduisons les notions qui seront utiles pour l'étude de schémas équivalents particuliers dans les chapitres suivants. L'étape d'identification des éléments est également abordée.

Plan du chapitre

X.1 Introduction ... 333

X.2 Phénomènes magnétiques... 336

X.3 Phénomènes dissipatifs ... 348

X.4 Phénomènes électrostatiques... 352

X.5 Conclusion... 356

(4)

X.1 - Eléments constitutifs: Introduction III - 333

X.1 Introduction

Dans ce premier point, nous précisons quelque peu la notion de schéma équivalent telle qu'examinée dans le contexte de notre recherche. Le schéma équivalent étant un modèle, une comparaison peut être faite avec les modèles en éléments finis utilisés dans la seconde partie de cette thèse. Nous cernons ensuite les particularités des schémas équivalents à utiliser dans le cadre de la simulation de convertisseurs de puissance.

X.1.1 Le schéma équivalent en tant que modèle

Le but d'un schéma équivalent, dans le cadre de notre travail, est de reproduire certains comportements d'une pièce magnétique. Cette définition insiste par elle-même sur le fait qu'on ne peut reproduire tous les aspects d'une pièce réelle. Une première tâche est donc de cerner les effets à modéliser en fonction de l'application à laquelle on destine le schéma.

Insistons sur le fait que le schéma équivalent idéal n'existe pas. Nous présenterons dans cette troisième partie de nombreux exemples de schémas: certains sont très complets mais lourds à utiliser, d'autres, plus basiques, s'avèrent adéquats dans des applications plus ciblées. On peut également recourir à différents schémas pour une même pièce magnétique suivant le degré de précision souhaité. De ce fait, un schéma équivalent se caractérise tout autant par les éléments qu'il comporte que par les effets dont il tient ou ne tient pas compte et par le domaine sur lequel il est valable.

Un parallèle peut d'ailleurs être fait avec la deuxième partie de ce travail: un schéma équivalent est un modèle, au même titre que les modèles utilisés en éléments finis. Nous ne ferons donc rien d'autre, une fois de plus, que des simulations. Cette fois cependant, nous nous efforcerons de remplacer une pièce magnétique réelle par un schéma équivalent en éléments localisés utilisable dans un simulateur de circuit tel Spice ou Saber.

Ce faisant, nous simplifions le dispositif réel de manière bien plus drastique que par une simulation par éléments finis puisque nous passons de plusieurs dizaines de milliers d'équations à quelques équations seulement. La réduction du modèle dans de telles proportions n'est évidemment possible que parce que nous nous limitons maintenant au comportement "extérieur" du transformateur, c'est-à-dire aux courants et tensions vus par celui-ci en interaction avec les autres éléments du convertisseur. Nous abandonnons tout ce qui concerne la compréhension des champs électromagnétiques à "l'intérieur" de la pièce. L'utilisation conjointe des deux types de modèles – élements finis et schéma équivalent– est d'ailleurs une illustration supplémentaire du principe consistant à toujours utiliser le modèle le plus approprié pour étudier un effet donné

⁶¹

.

61

On assiste cependant à une évolution vers des simulations couplant le modèle en éléments finis de la pièce

magnétique aux équations de circuit du convertisseur. Le module Saber MMP ainsi que la méthode du schéma

équivalent électromagnétique des §IV.3 et §XIII.2 en sont des exemples.

(5)

Compte tenu de la réduction du nombre d'équations, le modèle simplifié que constitue un schéma équivalent oblige à accepter certaines approximations ou hypothèses. Des phénomènes ayant une certaine extension dans l'espace, comme on l'a vu dans la première partie, sont en effet traduits par un ensemble d'éléments localisés, dont le nombre et la répartition varient d'un schéma à l'autre et influencent le domaine de validité du schéma.

Enfin, il ne suffit pas d'imaginer un schéma équivalent et de connaître son champ d'application: il faut encore lui associer une méthode pour identifier ses différents éléments à partir de la pièce réelle ou d'une simulation par éléments finis. Cette étape constitue souvent en elle-même un problème spécifique.

En résumé, on peut donc dire qu'un schéma équivalent se caractérise par sa structure et les éléments qu'il comporte, mais aussi:

- par les phénomènes qu'il prend ou ne prend pas en compte, - par les approximations et hypothèses sur lequel il est basé, - par l'application concernée et le domaine dans lequel il est valable, - et par la méthode d'identification qui l'accompagne.

X.1.2 Spécificité des schémas équivalents pour les convertisseurs de puissance La plupart des schémas équivalents sont organisés autour d'un transformateur parfait modélisant le couplage entre un primaire et un ou plusieurs secondaires, ce qui reflète la fonction première d'un transformateur. Ce transformateur parfait est complété d'éléments supplémentaires (inductances, résistances, capacités) visant à modéliser les "imperfections" de la pièce réelle.

Ces imperfections doivent être modélisées avec soin car elles ont un impact important sur le fonctionnement du convertisseur: chute de tension sur les inductances de fuite, pertes abaissant le rendement, résonances entre inductances et capacités parasites, etc. Si elles peuvent être gênantes, elles sont cependant également souvent mises à profit. C'est ainsi que les chutes de tension permettent de limiter les gradients de courant, que certaines topologies utilisent les résonances pour commuter les semi-conducteurs en dissipant moins de pertes, que les pertes du transformateur permettent d'adoucir les formes d'ondes en amortissant les résonances, etc. On comprend donc facilement dans ce contexte la nécessité de disposer de schémas équivalents fiables et détaillés.

En ce qui concerne les convertisseurs de puissance, trois spécificités orientent le choix du type de schéma:

- la grande majorité des transformateurs possèdent plusieurs secondaires délivrant des tensions différentes,

- les formes d'ondes sont fortement chargées en harmoniques,

- en fonctionnement normal, le noyau n'entre pas en saturation.

(6)

La présence de plusieurs sorties, entre lesquelles existent des couplages, demande évidemment de considérer des schémas admettant plus de deux enroulements. On trouve couramment des transformateurs comportant quatre enroulements de puissance ou davantage.

Compte tenu de la présence d'un grand nombre d'harmoniques, ces schémas doivent également être valables sur une large gamme de fréquence, spécialement si le convertisseur fait appel à une topologie résonante. Deux origines peuvent être distinguées dans la variation des impédances en fonction de la fréquence: les effets quasi-statiques d'une part, déjà étudiés dans la seconde partie, et les résonances entre inductances et capacités parasites du transformateur d'autre part. Rappelons que les courbes d'impédance typiques d'un transformateur réel ont été présentées au §II.3.3 (p. 59).

Enfin, l'absence de saturation en fonctionnement normal permet en général d'ignorer la non- linéarité de l'inductance de magnétisation, ce qui simplifie fort heureusement le schéma. On doit par contre prendre en compte ce phénomène dans certains cas spécifiques, comme par exemple celui des inductances saturables parfois utilisées dans les secondaires des convertisseurs multisorties.

X.1.3 Conclusion

Après avoir, dans la seconde partie, étudié les champs à l'intérieur du transformateur, nous nous attachons maintenant à le caractériser "de l'extérieur" pour insérer son modèle en éléments localisés dans la simulation d'un convertisseur. Parmi les nombreux schémas disponibles, nous devons cerner celui ou ceux qui conviennent bien à notre application tant par leur structure que par les phénomènes pris en compte, les hypothèses considérées, le domaine de validité et la méthode d'identification de leurs éléments.

Tout l'intérêt d'un schéma réside dans sa manière de tenir compte des "imperfections" du transformateur réel, qui jouent souvent un rôle décisif dans le fonctionnement du convertisseur.

Les différentes manières de prendre en compte ces imperfections (effets magnétiques, dissipatifs ou capacitifs) sont développées dans la suite de ce chapitre.

Les caractéristiques générales des transformateurs utilisés dans les convertisseurs de puissance

nous amènent a priori à diriger notre étude vers les schémas linéaires, multisorties et valables sur

une large gamme de fréquence.

(7)

X.2 - Eléments constitutifs: Phénomènes magnétiques III - 336

X.2 Phénomènes magnétiques

Un schéma équivalent de transformateur s'articule évidemment d'abord autour d'éléments modélisant les phénomènes magnétiques, à savoir des coupleurs et des inductances. Pour passer d'un modèle "spatial" en deux ou en trois dimensions à un tel schéma, deux démarches sont examinées: la première est basée sur une approche rigoureuse que nous appelons "matricielle"

tandis que la seconde, légèrement plus empirique, mène au schéma classique bien connu.

X.2.1 Couplages

Flux et coefficients d'inductance

L'élaboration d'un schéma équivalent suppose de passer d'un problème géométrique décrit dans un espace à deux ou à trois dimensions (ce que nous appelons un modèle "spatial") à seulement quelques grandeurs caractéristiques: les éléments localisés d'un schéma électrique. Dans un premier temps, nous cherchons uniquement à représenter les phénomènes magnétiques ou "inductifs", c'est-à-dire le fait qu'une variation du flux embrassé par un conducteur induit dans celui-ci une force électromotrice.

Le flux embrassé dépend précisément des caractéristiques géométriques et physiques (ici la perméabilité) du problème. Dans un matériau linéaire, celles-ci peuvent être résumées en un coefficient d'inductance L constant liant le flux au courant qui lui donne naissance:

(X.2-1)

Plus précisément, l'inductance est proportionelle au carré du nombre de tours de l'enroulement (N) et inversément proportionnelle à la réluctance:

(X.2-2)

Cette réluctance est l'analogue magnétique de la notion de résistance. Elle vaut classiquement pour un tube de flux de longueur l et de section S constante:

(X.2-3)

C'est donc bien cette dernière grandeur qui permet finalement la traduction d'un phénomène spatial en une seule grandeur caractéristique, propre au modèle considéré. Certains schémas sont d'ailleurs basés sur la décomposition du problème géométrique en réluctances (voir §XIII.1).

Sachant qu'un courant variable, par l'intermédiaire du flux, induit une force électromotrice non seulement dans le conducteur qui porte ce courant mais également dans tout conducteur placé à proximité, on est amené à considérer, pour un système de n enroulements, n

²

coefficients d'inductances, ou, en tenant compte de la symétrie de la matrice, n inductances propres et n(n-1)/2

= Li ψ

= N ℜ

²

L

S l

= µ

ℜ

(8)

inductances mutuelles qui traduisent l'ensemble des effets inductifs existant entre les n conducteurs.

Du point de vue des effets magnétiques, un transformateur linéaire à deux enroulements par exemple est donc fondamentalement caractérisé par le système ci-dessous:

(X.2-4)

C'est ce système, singulièrement réduit par rapport au modèle spatial initial, que nous devons traduire en un schéma équivalent adéquat.

Couplage parfait

Considérons un transformateur à deux enroulements. La fonction première du transformateur est d'assurer un couplage entre ces deux enroulements, couplage qui trouve son origine dans l'existence d'un flux commun à ceux-ci. Le couplage est parfait lorsque la totalité du flux est commun aux deux enroulements. Une telle situation est obtenue théoriquement pour deux spires bobinées autour d'un noyau de perméabilité infinie. L'examen des réluctances montre qu'on a alors:

(X.2-5)

Les courants et tensions sont alors liés par le rapport du nombre de spires, noté η et défini par:

(X.2-6)

En vertu de (X.2-5), le système initial (X.2-4) dégénère en effet en

⁶²

:

(X.2-7)

Compte tenu de ce système simplifié caractérisé par une valeur unique (η), un élément suffit pour caractériser la notion de couplage idéal. Il s'agit du transformateur parfait ou "coupleur" qu'on retrouve dans de nombreux schémas. Nous représentons cet élément par le symbole de la Figure III-1 ci-dessous. Le terme "coupleur" ainsi que sa représentation, au signe des courants près, sont empruntés à Kéradec [103] .

62

La seconde équation du sysème (X.2-7) traduit la conservation de la puissance.

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

+

= +

=

dt L di dt M di v

dt M di dt L di v

2 2 1 2

2 1

1 1

⎩ ⎨

⎧

−

=

2 1

1 2

i i

v v

η η

= ℜ

=

= 1

2 1 2 2 2 2 1 1

N N

M N

L N

L

1 2

N

= N

η

(9)

p p

v

1

v

2

i

1

i

2

η

Figure III-1: Coupleur (transformateur parfait) à deux enroulements

La notion de coupleur peut être facilement généralisée à n enroulements. Imaginons en effet davantage d'enroulements sur le même noyau de perméabilité infinie: tous voient à nouveau un même flux, ce qui amène à écrire:

(X.2-8)

avec les rapports de couplage η

ij

:

(X.2-9)

Nous associons au système (X.2-8) le symbole du coupleur multiple (représenté ici pour n=4):

p p

p

v

1

v

2

v

3

i

1

i

2

i

3

η

12

η

13

p

v

4

i

4

η

14

Figure III-2: Coupleur multiple à quatre enroulements

Contrairement à ce que la figure ci-dessus pourrait laisser croire, aucun enroulement du coupleur n'est privilégié. Le sens des flèches indique simplement comment sont définis les rapports de couplage à partir d'un enroulement choisi par convention comme le primaire. Les trois

"secondaires" sont néanmoins également parfaitement couplés entre eux. La dissymétrie de la

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

∑

= k N

k k i ij j

i i

v v

2 1

1

η

i j

ij

N

= N

η

(10)

représentation vient simplement du fait que trois valeurs (η

12

et η

13

et η

14

) suffisent à caractériser un coupleur à quatre enroulements.

Note sur l'implémentation des coupleurs

Les coupleurs, qui sont des éléments idéaux, interviennent dans la plupart des schémas équivalents.

Il faut donc être à même de les implémenter dans un simulateur de circuit. On utilise généralement dans ce but des sources commandées [176] , c'est-à-dire des sources de courant et de tension dont la valeur dépend du courant ou de la tension à un autre endroit du circuit. Les sources commandées, que nous représentons en gris, font partie des éléments de base disponibles dans les simulateurs de circuit. Le coupleur à quatre enroulements de la figure précédente peut par exemple être remplacé par le schéma de la Figure III-3 ci-dessous.

v

1

i

1

η

13

i

3

η

12

i

2

η

14

i

4

η

12

v

1

i

2

v

2

η

13

v

1

i

3

v

3

η

14

v

1

i

4

v

4

Figure III-3: Implémentation d'un coupleur à quatre enroulements au moyen de sources commandées

⁶³

Un tel schéma correspond effectivement aux équations (X.2-8) du coupleur, à une nuance importante près: les sources commandées introduisent un sens dans les égalités. Ces sources calculent en effet les membres de gauche conformément aux tensions et courants dans les membres de droite, mais pas l'inverse. Si les coupleurs sont implémentés de cette manière, disposer une source de tension sur un des secondaires (par exemple pour simuler une mesure) ou une source de courant au primaire n'a aucun sens dans le simulateur de circuit. De ce fait, l'implémentation des coupleurs elle-même introduit une distinction entre enroulements puisque la source de tension doit obligatoirement être placée au primaire.

Une autre possibilité, que nous n'avons pas testée, apparaît néanmoins comme une alternative. Il est en effet possible dans Spice de définir des mutuelles simplement en entrant un coefficient de

63

On notera que les sources de courant au primaire sont opposées au courant i

1

. Ceci s'explique par la convention

choisie pour les courants au secondaire, définis positifs lorsqu'ils sont entrants.

(11)

couplage entre deux inductances existantes. L'emploi de coefficients de couplage unitaires (c'est-à- dire vérifiant (X.2-5)) entre des inductances fictives devrait permettre une implémentation plus directe et plus satisfaisante du point de vue de la symétrie du schéma.

X.2.2 Approche matricielle

Couplage imparfait

En pratique, il est impossible de coupler parfaitement deux enroulements: il existe toujours dans les dispositifs réels un "flux de fuite" qui réduit le flux commun par rapport au cas précédent.

L'importance de cette réduction est caractérisée par le coefficient de couplage que nous avons déjà évoqué ci-dessus et dont la valeur devient maintenant inférieure à l'unité:

(X.2-10)

Dans le cas d'un couplage magnétique imparfait, le quadripôle ne peut plus être décrit par un coefficient unique η: il faut revenir au système (X.2-4) caractérisé par les trois valeurs L

₁

, L

₂

et M.

C'est ici que commence véritablement l'élaboration d'un schéma équivalent dans lequel nous essayons de traduire l'imperfection de la pièce réelle par rapport à l'idéalité du coupleur.

Premiers schémas équivalents

La première possibilité pour modéliser un couplage imparfait est d'introduire directement les coefficients d'inductance L

₁

, L

₂

et M (cette dernière valeur par l'intermédiaire d'un coefficient de couplage) dans Spice. Le "schéma équivalent" se confond alors avec la matrice des coefficients d'inductance. Cette approche est uniquement utilisée pour des modélisations sommaires du transformateur car elle limite assez fortement l'ajout d'éléments supplémentaires.

Dans le même ordre d'idées, on peut obtenir un schéma général pour un nombre quelconque d'enroulements en connectant une inductance entre chaque paire de terminaisons du transformateur (Figure III-4, [103] ). Un tel schéma, qui découle d'une analyse du système en admittances, comporte effectivement n(n+1)/2 variables qui forment un système équivalent à celui des coefficients d'inductance. Il est néanmoins difficile à interpréter physiquement. On ne peut notamment exclure l'apparition d'inductances négatives.

La symétrie apparaissant dans ce schéma montre bien le traitement systématique appliqué aux équations, dans lequel aucun enroulement n'est privilégié. C'est la raison pour laquelle nous qualifions l'approche suivie ici de "matricielle", par opposition à une démarche plus empirique consistant à ajouter des éléments à des endroits bien choisis, détruisant parfois la symétrie du schéma comme nous en verrons des exemples.

2 1

L

k = M

(12)

v

1

v

2

v

3

v

4

i

2

i

1

i

3

i

4

Figure III-4: Exemple de schéma matriciel pour n=4

En modifiant légèrement les équations (X.2-4) du quadripôle, on trouve encore un schéma particulier pour n=2, équivalent, à une transformation "triangle/étoile" près, au schéma précédent (Figure III-5). Il est également peu utilisé pour les mêmes raisons (inductances négatives) mais s'approche du schéma classique que nous examinons dans le point suivant.

M

L

1

-M L

2

-M

v

1

v

2

i

1

i

2

Figure III-5: Schéma équivalent à deux enroulements

Schéma à mailles auxiliaires

Enfin, une dernière variante assez intéressante tire profit de la possibilité d'utiliser des sources commandées [142] . Supposons en effet qu'on réécrive les équations de base (X.2-4), pour le quadripôle en régime, de la manière suivante:

(X.2-11)

avec

(X.2-12)

⎩ ⎨

⎧

+

= +

=

22 21 2

12 11 1

v v v

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

=

k jk jk

j j jj

i M j v

i L j v

ω

(13)

Les sources commandées permettent de calculer dans des mailles auxiliaires la valeur de chaque terme v

jk

individuellement comme dans le schéma de la Figure III-6.

v

1

v

12

i

1

L

1

v

11

v

2

v

21

i

2

L

2

v

22

i

2

M

12

v

12

i

1

M

21

v

21

Figure III-6: Schéma à mailles auxiliaires pour n=2 (en haut: mailles principales; en bas: mailles auxiliaires)

Ces mailles auxiliaires et les sources commandées permettent en fait d'implémenter les inductances mutuelles en associant une tension dans un enroulement au courant dans un autre enroulement.

Pour les termes diagonaux v

jj

, il est plus simple d'insérer directement une inductance classique puisque le courant et la tension appartiennent à la même branche. Ce type de schéma peut très facilement être généralisé à n enroulements: chaque maille principale doit alors contenir n-1 sources commandées en tension correspondant à n-1 inductances mutuelles dans les n mailles secondaires. Nous en verrons un exemple au chapitre suivant.

Si le schéma à mailles auxiliaires n'éclaire pas davantage la signification physique des coefficients d'inductance, il permet néanmoins l'usage d'éléments tout-à-fait classiques dans les simulateurs de circuit ainsi que l'extension à d'autres types de phénomènes.

X.2.3 Identification des éléments du schéma

Comme on l'a dit, outre la constitution du schéma équivalent se pose également la question de l'identification de ses éléments soit à des mesures réalisées sur un transformateur réel soit, si celui- ci n'existe pas encore, à un modèle (analytique, par éléments finis, etc).

En ce qui concerne la pièce réelle, on réalise en principe n(n+1)/2 mesures, typiquement des essais en court-circuit et à circuit ouvert, permettant de calculer autant d'éléments dans le schéma.

En ce qui concerne le modèle, une méthode largement répandue consiste à identifier terme à terme l'énergie magnétostatique du modèle avec celle du schéma équivalent. Dans le schéma de la Figure III-5 par exemple, l'énergie magnétostatique vaut:

(X.2-13)

2 ) ( 2

) ( 2

)

( L

₁

M i

₁²

L

₂

M i

₂²

M i

₁

i

₂ ²

W

_m

= − + − + +

(14)

ou encore

(X.2-14)

Or, en supposant le problème linéaire, on sait grâce au principe de superposition que le champ magnétique pour une configuration quelconque des courants dans les enroulements est la somme des champs magnétiques dus à chaque courant considéré individuellement. En notant H

j

le champ relevé dans une simulation où seul l'enroulement j est parcouru par un courant i

j

, on peut écrire pour n=2 (l'intégrale portant sur tout le volume du problème

⁶⁴

):

(X.2-15)

En développant cette dernière relation et en l'identifiant terme à terme à (X.2-14), on obtient les formules des coefficients d'inductance (réécrites ici pour n quelconque):

(X.2-16)

(X.2-17)

Lorsqu'on connaît le champ magnétique sur base de simulations ou d'un résultat analytique, ces formules fournissent un moyen de calculer les coefficients d'inductance directement par intégration [3][170] . Cette méthode générale, applicable d'une manière analogue pour calculer les pertes et les coefficients de capacité, possède par contre l'inconvénient d'utiliser simultanément les résultats de deux simulations (notées ci-dessus j et k) pour le calcul des coefficients mutuels.

Il faut encore noter que si le schéma lui-même peut être soumis à une forme d'onde quelconque, l'identification réduit sa validité à une seule fréquence. La dépendance en fréquence des effets magnétiques ne peut être modélisée qu'au prix d'éléments supplémentaires.

X.2.4 Approche classique

Schéma de base à deux enroulements

Plutôt qu'une description en coefficients d'inductance, d'interprétation peu aisée, on préfère habituellement utiliser pour un transformateur à deux enroulements le schéma classique de la Figure III-7.

Celui-ci est construit autour d'un coupleur (transformateur parfait) auquel on ajoute des éléments parasites: une inductance de magnétisation et deux inductances de fuite. On peut vérifier qu'on

64

Dans (X.2-15) et les équations analogues, la notation * désigne le complexe conjugué et les champs sont supposés exprimés en valeurs efficaces.

2 1 2 2 2 2 1 1

2 2 i L i Mi i W

_m

= L + +

∫

∫ ^⋅ ⁼ ⁺ ^⋅ ⁺

=

V V

m

H H dV H H H H dV

W

^*

(

₁ ₂

) (

₁ ₂

)

^*

2 ) 1 2 (

1 r r r r r r

µ µ

∫ ^⋅

=

V j j

j

H H dV

L i 1 (

*

)

2

r µ r

∫ ^⋅ ⁺ ^⋅

=

V j k j k

k j

jk

H H H H dV

i

M i ( )

2 1 r r

_*

r

_*

r

µ

(15)

retrouve les équations d'un quadripôle magnétostatique –et donc que ce schéma est équivalent aux formulations précédentes– en prenant:

(X.2-18)

η

L

f1

L

f2

L

m

v

1

v

2

i

1

i

2

p p

Figure III-7: Schéma équivalent de base d'un transformateur à deux enroulements

Si le schéma ci-dessus est très proche de celui de la Figure III-5 obtenu par l'approche matricielle, l'idée est ici d'obtenir une interprétation plus aisée basée sur les notions d'impédance de magnétisation et de fuite, plutôt que sur les coefficients d'inductance et de couplage. D'après Kéradec [103] , ce schéma classique ne remplit cependant pas encore toutes les attentes pour plusieurs raisons.

Discussion du schéma classique à deux enroulements

La première raison concerne le calcul des trois inductances. En théorie, celles-ci peuvent être obtenues par intégration de la densité d'énergie magnétostatique sur le volume occupé par le flux correspondant, d'où l'interprétation aisée des éléments du schéma: L

m

s'identifie au flux commun et chacune des inductances L

f1

et L

f2

au flux de fuite d'un enroulement. Mais si cette démarche convient bien pour quelques cas théoriques, il est difficile de séparer clairement les trois domaines pour les transformateurs réels, dans lesquels les spires d'un enroulement ne sont ni ponctuelles ni confondues.

Une solution alternative consiste à calculer les coefficients d'inductance L

j

et M

jk

comme au §X.2.3 et à en déduire les valeurs de L

m

, L

f1

et L

f2

sur base des relations (X.2-18) avec η=N

2

/N

1

. Mais pour les transformateurs réels, cette méthode peut également mener à des inductances de fuite négatives comme le montre un exemple donné dans [103] . En pratique, l'interprétation physique des éléments du schéma n'est donc pas si aisée qu'on pourrait le croire.

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

−

=

−

=

M L

L M L

M L L

m f f

η η η

2 2

1 1

(16)

Kéradec fait remarquer que le schéma équivalent de la Figure III-7 introduit fondamentalement quatre variables (L

m

, L

f1

, L

f2

et η) alors que le quadripôle est pour sa part caractérisé entièrement par trois coefficients: L

1

, L

2

et M. Une des valeurs du schéma peut donc être choisie arbitrairement. On égale généralement le rapport du coupleur η au rapport du nombre de spires en référence au transformateur parfait (X.2-7). Mais tout comme dans le schéma de la Figure III-5 (qui n'est en fait qu'un cas particulier correspondant à η=1), ce choix peut conduire à des inductances négatives. A l'inverse, Kéradec montre qu'on obtient toujours des valeurs positives à condition de prendre:

(X.2-19)

En choisissant le rapport du coupleur dans cette gamme de valeurs, on peut obtenir plusieurs schémas différents, équivalents entre eux. Par exemple, la valeur

(X.2-20)

mène à deux inductances série égales tandis que les valeurs extrêmes M/L

1

et L

2

/M correspondent respectivement à une inductance de fuite primaire ou secondaire nulle. On retrouve ici le fait, déjà identifié dans la première partie de la thèse (§II.3.3 par exemple), que la séparation de l'inductance de fuite en deux contributions attribuables chacune à un enroulement est une opération arbitraire

[185] . Conformément à cette idée, Kéradec appelle L

f1

et L

f2

des inductances de fuite partielles, leur somme étant l'inductance de fuite totale.

Le fait que le rapport de couplage du transformateur parfait puisse être différent du rapport du nombre de spires apparaît lorsque toutes les spires d'un même enroulement n'embrassent pas exactement le même flux. Dans ces circonstances, la notion de flux embrassé par un enroulement devient évidemment insuffisante pour modéliser dans toute leur complexité des phénomènes répartis sur un certain volume.

Au sujet de la répartition des inductances de fuite, citons également le travail de fin d'études de Daphné Gilon [67] consacré à l'étude d'un type de commutation résonante: le ZVT ("Zero Voltage Transition"). Dans le cadre de ce travail, nous avons pu constater pour un transformateur à deux enroulements qu'il était obligatoire de répartir l'inductance de fuite en deux parties pour modéliser de manière satisfaisante les formes d'ondes aux alentours de la résonance. Pendant une phase de la commutation, les deux diodes secondaires sont en effet simultanément passantes, ce qui a pour effet de court-circuiter l'inductance de magnétisation en l'absence d'inductance de fuite secondaire, menant à un comportement non conforme aux mesures. Ceci illustre bien le fait que chaque schéma, jusqu'aux éléments qui le composent, doit être particularisé à l'application considérée.

Le schéma classique de la Figure III-7, s'il est effectivement d'une interprétation plus facile pour beaucoup de modèles théoriques, doit donc être utilisé avec discernement pour les transformateurs réels, surtout si les inductances de fuite jouent un rôle important dans le fonctionnement du convertisseur.

M L L

M

₂

1

≤

≤ η

1

)

2

( L

M L

signe

η =

(17)

Généralisation à n enroulements

Un autre inconvénient du schéma classique ci-dessus est qu'il ne se prête pas facilement à une généralisation pour plus de deux enroulements. La démarche habituelle consiste à ajouter des secondaires au moyen d'un coupleur multiple, et à attribuer à chacun de ceux-ci une inductance de fuite partielle (Figure III-8, dans laquelle la notation ' désigne une impédance reportée au secondaire).

η

12

L

f1

L

f2

'

L

m

η

13

p p

L

f3

'

p

Figure III-8: Extension du schéma classique à plusieurs enroulements

Cette démarche est cependant incomplète puisqu'elle ne tient pas compte des couplages réels existant entre les secondaires: la preuve en est qu'un tel schéma contient 2n variables, ce qui est trop peu pour représenter les n(n+1)/2 coefficients d'inductance. Différentes possibilités existent pour tenir compte de ces couplages. Nous en donnerons deux exemples aux chapitres XI et XII.

X.2.5 Conclusion

Les effets magnétiques, c'est-à-dire les forces électromotrices induites dans un système de n conducteurs, peuvent être caractérisés en régime linéaire et à une fréquence donnée par n(n+1)/2 grandeurs: les coefficients d'inductance. Deux possibilités principales existent pour traduire ceux-ci en un schéma équivalent utilisable dans un simulateur de circuit.

La première est l'approche matricielle, dans laquelle aucun enroulement n'est privilégié. Le système

est décrit au moyen d'inductances dont certaines peuvent prendre des valeurs négatives et est donc

relativement difficile à interpréter physiquement.

(18)

La seconde approche consiste à partir d'un transformateur parfait (dont l'implémentation dans un simulateur de circuit n'est pas triviale) et à lui adjoindre des éléments parasites menant au schéma classique bien connu. Malgré la cohérence et l'interprétation aisée des éléments dans des cas théoriques idéalisés, certains cas pratiques font apparaître des inductances négatives. On peut néanmoins remédier à ce problème en modifiant le rapport du coupleur parfait, qui devient alors indépendant du rapport du nombre de spires des enroulements. D'autre part, la généralisation de ce schéma classique à un nombre quelconque d'enroulements pose également certaines difficultés.

On dispose donc d'une part d'une méthode rigoureuse mais relativement opaque quant à son

interprétation et d'autre part d'un schéma apparemment plus proche des notions "physiques", mais

qui doit être utilisé avec discernement. En gardant ces deux approches complémentaires, nous

cherchons maintenant à compléter le schéma équivalent pour tenir compte des effets dissipatifs et

capacitifs.

(19)

X.3 - Eléments constitutifs: Phénomènes dissipatifs III - 348

X.3 Phénomènes dissipatifs

En plus des phénomènes magnétiques, un schéma équivalent doit également modéliser les effets dissipatifs dans le transformateur, à savoir les pertes cuivre et les pertes fer. Ces pertes, et plus spécialement les pertes cuivre, varient significativement avec la fréquence comme on l'a vu dans la deuxième partie. Nous reprenons l'analyse selon les deux approches examinées au chapitre précédent.

X.3.1 Approche matricielle

De manière générale, on peut tenir compte de l'ensemble des effets dissipatifs en ajoutant une partie résistive à chaque terme de la matrice des coefficients d'inductance [190] . Pour deux enroulements en régime sinusoïdal, on obtient donc le système:

(X.3-1)

Insistons sur le fait que celui-ci englobe toutes les pertes, quelle que soit leur origine (donc notamment les pertes fer dans un transformateur). Tout comme la réluctance dans le point précédent, la résistance apparaît ici fondamentalement comme un coefficient résumant les propriétés géométriques et physiques du système, pour les effets dissipatifs cette fois (la propriété physique concernée est donc évidemment la conductivité électrique).

En supposant la conducticité de chaque matériau constante (c'est-à-dire en négligeant la non- linéarité et l'hystérèse du noyau), on obtient, suivant une démarche analogue à celle du §X.2.3, l'expression des "coefficients de résistance" R

jk

par intégration de la densité de puissance dissipée par effet Joule (J

j

représentant la densité de courant dans tous les conducteurs lorsque seul le conducteur j est parcouru par un courant net non nul i

j

):

(X.3-2)

(X.3-3)

A basse fréquence, l'intégrale (X.3-3) est nulle et (X.3-2) correspond à la définition classique de la résistance d'un conducteur. En présence d'effets quasi-statiques, comme c'est le cas dans les transformateurs de puissance, ces définitions s'écartent par contre un peu des notions habituelles.

On observe par exemple que la "résistance propre" R

jj

d'un enroulement, suite au fait que l'intégrale s'étend à tout le domaine comme pour les coefficients d'inductance, englobe les pertes dues à la densité de courant non nulle induite par effet de proximité dans les n-1 autres

⎩ ⎨

⎧

+ + +

=

+ + +

=

2 2 22 1 21 21

2

2 12 12

1 1 11 1

) (

i L j R i M j R v

i M j R i L j R v

ω ω

∫ ^⋅

=

V j j

j

jj

J J dV

R i 1 1 (

*

)

2

r r σ

∫ ^⋅ ⁺ ^⋅

=

V j k j k

k j

jk

J J J J dV

i

R i 1 ( )

2 1 r r

*

r

*

r

σ

(20)

conducteurs. La résistance propre d'un conducteur inclut donc une partie des pertes générées dans les autres conducteurs [3] . Elle inclut également les pertes par courants de Foucault dans le noyau.

D'autre part, la "résistance mutuelle" R

jk

s'avère représenter le surplus des pertes par effet de proximité lorsque plusieurs conducteurs sont parcourus par un courant net (en fait les doubles produits apparaissant du fait que la densité de courant dans un conducteur est la somme de n densités de courant J

j

dues aux courants i

j

).

On remarque encore que les pertes totales d'un quadripôle en quasi-statique sont données, conformément à ces définitions, par:

(X.3-4)

Schéma équivalent

Pour tenir compte des résistances propres et mutuelles dans un schéma équivalent de type matriciel, il suffit, conformément au système (X.3-1), d'adjoindre à chaque inductance une résistance en série. L'introduction des effets dissipatifs est donc très aisée puisque les schémas matriciels du §X.2.2 gardent la même structure.

X.3.2 Schéma classique

Pertes cuivre

Plutôt qu'une démarche rigoureuse, on préfère dans le schéma équivalent classique introduire quelques résistances supposées d'interprétation physique aisée. Pour les pertes cuivre par exemple, on introduit typiquement une résistance série dans chaque enroulement comme à la Figure III-9.

On s'aperçoit facilement que cette solution n'est que partielle puisqu'elle introduit n variables alors que le système, en présence d'effets quasi-statiques, est caractérisé par n(n +1)/2 coefficients de résistance. Dans ce cas, il n'y a évidemment pas moyen d'identifier terme à terme de manière rigoureuse les pertes totales du système (X.3-4) avec celles du schéma équivalent, qui valent:

(X.3-5)

2 1 12 2 2 22 2 1 11

,

R i R i 2 R i i

P

_J_tot

= + +

2 1 2 1 2 2 '

2 2 1 1

,

R i R i ' ( R R ) i

P

_J_tot

=

_s

+

_s

=

_s

+

_s

(21)

L

f1

L

f2

'

L

m

R

fe

R

s1

R

s2

'

η

12

p p

Figure III-9: Schéma classique complété pour tenir compte des effets dissipatifs

La variation en fonction de la fréquence des pertes cuivre et de l'inductance de fuite, lorsqu'on en tient compte, est généralement modélisée en remplaçant chaque impédance série par une "échelle"

composée de résistances et d'inductances [137][143][176][178] , selon une technique qui sera détaillée dans le prochain chapitre.

Pertes fer

Les pertes fer sont quant à elles le plus souvent modélisées par une simple résistance en parallèle sur l'inductance de magnétisation. La dépendance en fréquence (en f pour les pertes par hystérèse et en f

²

pour les pertes par courants de Foucault) n'est généralement pas modélisée, sauf par exemple par Shellmanns [178] , qui propose un réseau d'impédances légèrement plus évolué que la classique paire R-L parallèle (voir §XIII.3.2).

Le recours à des modélisations plus poussées n'a lieu que lorsqu'on désire tenir compte de la non- linéarité de la ferrite. Il faut alors coupler le schéma équivalent à un modèle du matériau magnétique. De tels modèles, dont le plus connu est probablement celui de Jiles-Atherton, tentent de reproduire mathématiquement les cycles d'hystérèse majeurs et mineurs qui caractérisent le matériau. On entre là dans un domaine fort complexe traitant notamment de l'origine des pertes dans les matériaux magnétiques, un problème qui n'est pas encore entièrement résolu. Des efforts de recherche intensifs sont menés dans cette voie, en premier lieu par les fabricants de noyaux eux- mêmes. Ce point, que nous ne développerons pas, a déjà été évoqué au §I.2.3.

X.3.3 Conclusion

En ce qui concerne les pertes cuivre, l'approche matricielle fait apparaître, en présence d'effets quasi-statiques, les notions quelque peu inhabituelles de résistance propre et de résistance mutuelle, analogues dissipatifs des coefficients d'inductance. Celles-ci peuvent être introduites dans un schéma de type "matriciel" en ajoutant simplement une résistance à chaque inductance déjà présente. Dans cette formulation, les pertes fer par courants de Foucault sont naturellement prises en compte, la ferrite étant considérée comme un matériau conducteur supplémentaire.

L'approche retenue dans le schéma classique est nettement moins rigoureuse puisqu'elle consiste à

introduire en série avec chaque inductance de fuite une résistance modélisant les pertes cuivre et en

(22)

parallèle sur l'inductance de magnétisation une résistance représentant les pertes fer. Cette solution

n'est forcément qu'une approximation puisqu'elle introduit trop peu de variables pour représenter

tous les coefficients de résistance.

(23)

X.4 - Eléments constitutifs: Phénomènes électrostatiques III - 352

X.4 Phénomènes électrostatiques

Les enroulements n'étant rien d'autre que des conducteurs proches portés à des potentiels différents, ils introduisent des effets capacitifs dont les principales manifestations sont des résonances avec les inductances du transformateur ou du convertisseur. Le schéma équivalent doit en tenir compte notamment pour l'étude des alimentations résonantes et de la compatibilité électromagnétique.

X.4.1 Approche matricielle

Comme précédemment pour les inductances et les résistances, la démarche la plus rigoureuse consiste à identifier les capacités d'un transformateur que nous supposerons d'abord à deux enroulements. L'effet physique auquel nous nous intéressons ici est de nature purement électrostatique: il concerne uniquement la répartition du champ électrique et du potentiel électrique dans le transformateur. En simulation, on l'étudie au moyen de simulations différentes de celles utilisées pour les effets magnétiques (voir §V.2.2).

La difficulté principale apparaissant en électrostatique est une multiplication des variables du problème. En effet, si du point de vue magnétique ou dissipatif l'état d'un transformateur à deux enroulements est décrit par deux courants, trois variables sont nécessaires pour les effets capacitifs:

la différence de tension sur chacun des deux enroulements mais aussi la différence de tension entre ceux-ci, qui est également une variable du problème à part entière.

v

3

v

2

v

1

n=2 i

1

i

3

i

2

Figure III-10: En électrostatique, un transformateur à deux enroulements est un 3-ports

Comme on le voit sur la Figure III-10, on peut donc considérer que le système n'est plus caractérisé par deux enroulements mais plutôt, en supposant une des bornes au potentiel de référence, par trois terminaisons. En conséquence, il sera décrit par les équations électrostatiques:

(X.4-1)

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

+ +

=

+ +

=

+ +

=

dt C dv dt C dv dt C dv i

3 33 2 32 1 31 3

3 23 2 22 1 21 2

3 13 2 12 1 11 1

(24)

Il faut donc, compte tenu de la symétrie, six coefficients de capacité ou, plus généralement, n(2n-1) coefficients pour n enroulements.

D'un point de vue théorique ou en simulation, ces coefficients peuvent être calculés par intégration de la densité d'énergie électrostatique sur tout le domaine par les expressions suivantes:

(X.4-2)

(X.4-3)

dans lesquelles le champ E

j

est celui relevé dans une simulation où on applique le potentiel v

j

à la terminaison j et un potentiel nul à toutes les autres. Les capacités sont toujours considérées comme constantes en fonction de la fréquence.

Dénombrement des éléments de l'approche matricielle

Le bilan des coefficients nécessaires à la description des trois types d'effets (inductifs, résistifs et capacitifs) montre au Tableau 35 qu'on arrive rapidement à un nombre fort important d'éléments.

Un transformateur à quatre enroulements, courant dans les convertisseurs de puissance, demande en effet théoriquement 48 coefficients, dont plus de la moitié modélisent des effets capacitifs.

n

^bre

coefficients

n

^bre

enroulements L

ij

R

ij

C

ij

Total

2 3 3 6 12

3 6 6 15 27

4 10 10 28 48

n n(n+1)/2 n(n+1)/2 n(2n-1) 3 n

²

Tableau 35: Coefficients nécessaires à la description d'un système de n enroulements

Outre le fait de devoir résoudre en simulation un système comptant autant de coefficients pour le transformateur seul, rappelons qu'il faut également mesurer ou estimer ces coefficients d'une manière ou d'une autre. On comprend mieux dès lors l'intérêt du schéma équivalent classique qui, bien que contenant certaines approximations, est plus facile à manipuler et à interpréter qu'un système complet comme on va le voir ci-dessous.

X.4.2 Schéma classique

Les articles traitant de l'introduction des effets capacitifs dans le schéma classique sont assez nombreux. Compte tenu du nombre élevé de coefficients de capacité, on ne s'étonnera pas de n'y rencontrer quasiment que des schémas à deux enroulements.

∫ ^⋅

=

V j j

j

jj

E E dV

C v 1 (

*

)

2

r ε r

∫ ^⋅ ⁺ ^⋅

=

V j k j k

k j

jk

E E E E dV

v

C v ( )

2 1 r r

*

r

*

r

ε

(25)

La solution classiquement rencontrée pour tenir compte de manière exhaustive des effets capacitifs consiste effectivement à introduire six capacités dans le schéma. Une des manières de le faire est illustré à la Figure III-11 [160] . Il est possible d'établir une équivalence entre les capacités de ce schéma et les six coefficients de capacité du système (X.4-1). Cette manière de procéder, qui correspond en fait à une approche matricielle greffée sur le schéma classique, implique l'apparition de capacités négatives.

schéma classique inductif et

résistif

Figure III-11: Schéma classique complété par six capacités

Compte tenu de la lourdeur de ce schéma, surtout gênante au moment d'identifier ses éléments, la plupart des modèles sont simplifiés pour ne plus contenir que quatre, trois, deux, voire une seule capacité [25][28][40][88][146][180] . On jugera ces simplifications acceptables ou non en fonction du degré de précision qu'on désire obtenir dans la modélisation, un aspect que nous aurons l'occasion de discuter dans les deux chapitres suivants. A l'inverse de ces simplifications, on relève un modèle à dix capacités chez Prieto lorsqu'il considère les quatre terminaisons flottantes par rapport à la référence [160] .

X.4.3 Limitation des effets capacitifs

Outre les références citées ci-dessus, qui présentent des modélisations plus ou moins étendues des effets capacitifs, plusieurs articles s'attachent à l'analyse de ces effets en vue de les minimiser.

Différentes stratégies de bobinage sont étudiées, notament au moyen de simulations par éléments finis, ainsi que la manière de connecter le transformateur dans le convertisseur. On trouvera davantage d'informations dans les références [12] , [106] , [155] et [156] .

X.4.4 Conclusion

Pour l'étude des effets inductifs et dissipatifs, nous avons logiquement considéré qu'un

transformateur comporte autant de ports que d'enroulements. Du point de vue électrostatique, ce

n'est plus vrai puisque les différences de tension entre les enroulements font également partie du

problème. On est donc amené à considérer n-1 ports supplémentaires, ce qui augmente

considérablement le nombre de coefficients à prendre en compte.

(26)

Si du point de vue capacitif on peut compléter le schéma classique de manière matricielle (ajoutant

six capacités –dont certaines négatives– pour deux enroulements), on se limite plus couramment à

un nombre restreint de capacités bien choisies. On introduit inévitablement de ce fait des

approximations, dont la validité dépend de l'application concernée. Nous aurons l'occasion de

montrer des exemples extrêmes de cette démarche dans les deux chapitres suivants puisque ceux-ci

présentent respectivement des schémas à une et à six capacités.

(27)

X.5 - Eléments constitutifs: Conclusion III - 356

X.5 Conclusion

Au début de ce chapitre, nous avons rappelé qu'un schéma équivalent se caractérise tout autant par sa structure et les éléments qui le composent que par son domaine de validité, les hypothèses sur lequel il s'appuie, ou la méthode d'identification choisie. Compte tenu des spécificités des transformateurs utilisés dans les convertisseurs de puissance, nous avons identifié trois critères principaux dans la recherche d'un schéma équivalent: il doit être capable de modéliser des transformateurs à plus de deux enroulements, il doit tenir compte de la variation en fréquence des impédances (due aux effets quasi-statiques et aux résonances) et il peut être linéaire.

Nous avons ensuite envisagé successivement les trois types d'effets à modéliser –magnétiques, dissipatifs et capacitifs– selon deux approches complémentaires. L'approche que nous avons appelée "matricielle" consiste, selon diverses méthodes, à transposer les équations de départ du n- ports en un schéma où aucun enroulement n'est privilégié. Elle mène à des schémas symétriques dont l'interprétation est peu aisée et qui contiennent notamment des éléments de valeur négative.

Pour tenir compte des trois types d'effets, un schéma matriciel complet doit comporter 3n

²

éléments.

Compte tenu de la lourdeur d'un tel modèle, la seconde approche, celle du schéma classique, tente de limiter la multiplication des éléments tout en leur gardant autant que possible un sens physique, ce qui s'avère finalement assez relatif. La démarche, plus empirique, consiste alors à adjoindre à un transformateur parfait les éléments nécessaires à la modélisation des imperfections du transformateur.

En ce qui concerne les phénomènes magnétiques, les deux approches se rejoignent. Des différences apparaissent plus nettement pour les effets dissipatifs et électrostatiques. L'approche classique donne alors des schémas moins rigoureux mais souvent plus faciles à manipuler. En pratique, les deux approches se complètent pour donner des schémas plus ou moins complexes en fonction des approximations qu'on s'autorise.

Ayant de cette manière passé en revue les méthodes usuelles pour élaborer un schéma équivalent,

nous détaillons dans les chapitres XI et XII deux schémas particuliers, le schéma CCS et le schéma

LEG, qui nous apparaissent comme les meilleurs candidats pour modéliser les transformateurs de

puissance. Nous en analysons l'élaboration ainsi que le domaine d'application, de même que la

validité pratique pour le schéma CCS que nous avons appliqué à un transformateur multisorties

réel. D'autres schémas seront encore brièvement examinés dans le chapitre XIII.

(28)

XI - Schéma CCS III - 357

XI. Schéma CCS

On trouve assez peu de schémas multisorties dans la littérature. Parmi ceux-ci, le schéma "CCS", pour "Coupled Choke Secondaries" ou "secondaires à inductances couplées", a été développé par Niemela, Owen et Wilson (Virginia Power Electronics Center). Ce schéma, qu'on peut voir comme une extension du schéma équivalent classique, est présenté dans une série de trois articles introduisant successivement:

- un schéma multisorties de base comportant uniquement des éléments série et valable à une seule fréquence [142] ,

- ce même schéma, modifié pour tenir compte de la variation en fréquence des résistances et des inductances de fuite [143] ,

- et enfin un schéma complet comprenant en plus du précédent des éléments parallèles modélisant l'inductance de magnétisation, les pertes fer et partiellement les capacités parasites [146] .

Ces développements sont présentés successivement dans les trois premiers points du chapitre. Les deux points suivants (§XI.4 et §XI.5) exposent comment nous avons validé le schéma dans Excel et l'avons ensuite mis en œuvre dans une application Delphi. L'exemple d'un transformateur réel multisorties permet de cerner plus précisément les possibilités et limitations de ce schéma.