Etude des transformateurs Première partie : Transformateurs monophasés

Etude des transformateurs

Première partie : Transformateurs monophasés

I. Généralités 1. Constitution

Un transformateur comporte :

- un circuit magnétique constitué de tôles de matériaux ferromagnétiques (ou ferrimagnétiques) et éventuellement d’entrefers.

- de deux (ou plus) bobinages, l’un est appelé primaire, les autres secondaires.

Sur la figure ci-contre, le bobinage de gauche est le primaire, celui de droite est le secondaire.

Dans les transformateurs industriels, les enroulements sont bobinés sur le même noyau. Voir ci-contre un exemple de transformateur cuirassé constitué de tôles en « E » et « I ».

Pour faciliter le refroidissement, l’enroulement parcouru par l’intensité la plus élevée est placé à l’extérieur.

i₁(t)

v₁(t) v₂(t)

i₂(t)

2. Orientation des tensions et intensités

Généralement l’enroulement primaire est orienté avec la convention récepteur alors que les secondaires sont orientés avec la convention générateur.

Les courants sont orientés de manière à ce que les flux créés s’additionnent : voir le schéma du paragraphe précédent et celui ci- contre pour le repérage des têtes d’enroulement.

i₁(t)

v₂(t) i₂(t) v₁(t)

Les nombres de spires au primaire et au secondaire sont notés respectivement n1, n2.

II. Transformateur parfait 1. Présentation

Le circuit magnétique d’un transformateur parfait présente une perméabilité magnétique infinie : sa réluctance est nulle, il n’y a pas de fuites de flux, pas de pertes ferromagnétiques (hystérésis et courants de Foucault). La résistance des enroulements est nulle (pas de pertes par effet Joule).

2. Mise en équation a. Tensions

Le flux à travers une section du circuit magnétique est noté Φ(t).

Exprimer le flux total ΦΤ1(t) pour l’enroulement primaire.

T1( )t n1 ( )t

Φ = Φ

Exprimer le flux total Φ_Τ2(t) pour l’enroulement secondaire.

T2( )t n2 ( )t

Φ = Φ

i₁(t)

v₁(t) v₂(t)

i₂(t) Φ(t)(t)(t)(t)

Exprimer la tension v1(t) en fonction de Φ_Τ1(t) (loi de Faraday) : ₁ d ^T1( )

( ) d

v t t

t

= Φ .

Exprimer la tension v2(t) en fonction de ΦΤ2(t) : ₂ d ^T2( )

( ) d

v t t

t

= − Φ . Déduire de ce qui précède la relation entre v1(t), v2(t), n1 et n2.

T1 1

1

d ( ) d ( )

( ) d d

t n t

v t t t

Φ Φ

= = et ₂ d ^T2( ) ²d ( )

( ) d d

t n t

v t t t

Φ Φ

= − = − , en éliminant Φ(t), on obtient : ^{2 2}

1 1

( ) ( )

v t n

v t = −n . Le signe traduit une opposition de phase entre les tensions primaire et secondaire

Si les grandeurs sont sinusoïdales, les nombres complexes V1 et V2 sont associés à v1(t) et v2(t). Ecrire la relation entre V1, V2, n1 et n2 puis la relation entre V1, V2, n1 et n2 (V1 et V2 sont les valeurs efficaces de v1(t) et v2(t)).

Pour les nombres complexes associés : ^{2 2}

1 1

n V V = −n Pour les valeurs efficaces : ^{2 2}

1 1

V n

V = n (remarque : les valeurs efficaces sont positives).

Comparer les valeurs efficaces des tensions primaire et secondaire si n1 > n2.

Dans ce cas, la valeur efficace de la tension secondaire est inférieure à la valeur efficace de la tension primaire, le transformateur est abaisseur.

Le transformateur est dit abaisseur si la valeur efficace de la tension secondaire est inférieure à la valeur efficace de la tension primaire, il est dit élévateur dans le cas contraire.

b. Intensités

Ecrire la relation d’Hopkinson pour le circuit magnétique. En tenant compte de la valeur de la réluctance (voir la présentation), écrire la relation entre i1(t), i2(t), n1 et n2.

1 1 2 2

( )t n i t( ) n i t( )

ℜΦ = + car les forces magnétomotrices primaire et secondaire s’ajoutent (voir l’orientation des intensités par rapport aux têtes d’enroulement). Puisque le transformateur est parfait ℜ =0, la relation d’Hopkinson devient : 0=n i t_{1 1}( )+n i t_{2 2}( ) (loi de compensation des ampères tours).

Si les grandeurs sont sinusoïdales, les nombres complexes I1 et I2 sont associés à i1(t) et i2(t). Ecrire la relation entre I1, I2, n1 et n2 puis la relation entre I1, I2, n1 et n2 (I1 et I2 sont les valeurs efficaces de i1(t) et i2(t)).

Pour les nombres complexes associés : ^{2 1}

1 2

n I I = −n Pour les valeurs efficaces : ^{2 1}

1 2

I n

I =n (remarque : les valeurs efficaces sont positives).

Comparer les valeurs efficaces des intensités primaire et secondaire si n1 > n2. Dans ce cas, l’intensité efficace au primaire est plus faible que celle au secondaire. Un transformateur abaisseur (de tension) élève les intensités.

c. Rapport de transformation

On note m le rapport du nombre de spires secondaires sur le nombre de spires primaires. Cette grandeur est appelée « rapport de transformation ».

Ecrire la relation entre I1, I2 et m et celle entre V1, V2 et m : ₂ 1 ₁

I I

= −m et V₂= −mV₁ Pour les valeurs efficaces, ces relations deviennent ₂ 1 ₁

I I

=m et V₂=mV₁ Les deux relations ci-dessus sont à connaître par cœur.

Conséquences : que peut-on dire des puissances apparentes au primaire et secondaire ?

Au primaire, la puissance apparente s’écrit S₁=V I₁.₁ or I₁=mI₂ et ₁ 1 ₂

V V

= m donc

1 2 2 2 2 2

1 . .

S V mI V I S

=m = = . Les puissances apparentes au primaire et au secondaire sont égales pour un transformateur parfait.

Remarque : le transformateur étant réversible, la définition du primaire et du secondaire n’intervient qu’après son branchement. A cause de cela la norme définit le rapport de transformation comme le rapport de la valeur efficace de tension la plus élevée sur la plus faible. Cette définition (différente de la précédente) ne sera pas utilisée ici (cours, TP et exercices) ni à priori lors de l’examen.

d. Relation de Boucherot

En partant de la loi de Faraday pour le primaire (voir 2.a), déterminer pour une alimentation sinusoïdale l’expression de la valeur efficace V1 de la tension au primaire du transformateur en fonction du nombre de spires primaire n1, de la fréquence f et du flux maximal Φm à travers une section droite du circuit magnétique.

1 1

d ( )

( ) d

n t

v t t

= Φ soit en notation complexe (fonctionnement sinusoïdal) V₁= ωΦj et pour les valeurs efficaces V₁= ωΦn₁

Puisqueω = π2 f et ^m 2

Φ =Φ , la relation devient _{1 1}2 ^m V =n πf Φ2

Rappeler la relation entre le flux maximal, le champ magnétique maximal Bm et la section droite S du circuit magnétique : Φ =_m B S_m

Déduire de ce qui précède la relation entre V1, n1, f, Bm et S : ₁ 2 _{1 m 1 m} 4, 44 2

V = πn fB S= n fB S

Pour V1 et Bm donnés, comment évolue le produit « nombre de spires primaire x section du circuit magnétique » si la fréquence augmente ? Quel intérêt économique cela peut-il présenter ?

La relation ₁ ¹

m

1 4, 44 n S V

B f

= montre que pour V1 et Bm fixés, une augmentation de la fréquence entraîne une diminution de la taille du transformateur (moins de matière utilisée et gain de place).

Exercice I

Tous les transformateurs étudiés dans cet exercice sont supposés parfaits.

1. Calculer le nombre de spires au secondaire d’un transformateur dont les valeurs efficaces des tensions primaire et secondaire sont égales à 220 V et 24 V et qui comporte 100 spires au primaire.

La relation ^{2 2}

1 1

V n

V = n a été établie précédemment donc _{2 1} ²

1

100 24 11 220 n n V

= V = = spires

2. Calculer l’intensité efficace des courants primaire et secondaire d’un transformateur 230 V / 48 V de puissance apparente 750 VA.

Pour le primaire S₁=V I₁.₁ donc ₁ ¹

1

750 3, 26A 230

I S

=V = = a. si il y a un seul enroulement secondaire.

2 2. 2

S =V I donc ₂ ²

2

750 15, 6A 48

I S

=V = =

b. si il y a deux enroulements secondaires.

2 2 .2 2

S = V I donc ₂ ²

2

750 7,8A

2. 2.48

I S

= V = =

Exercice II

On considère le montage représenté ci-contre. Le transformateur est supposé parfait (son rapport de transformation est noté m).

1. Ecrire la relation entre v2(t), i2(t) et R.

2( ) 2( ) v t =Ri t

v₁(t)

i₁(t)

i₂(t) v₂(t) R 2.a. Exprimer v2(t) en fonction de v1(t) et du rapport de transformation.

2( ) 1( )

v t = −mv t

b. Exprimer i2(t) en fonction de i1(t) et du rapport de transformation.

2 1

( ) 1 ( )

i t i t

= −m

3. En déduire la valeur littérale de la résistance « vue » par le générateur branché au primaire du transformateur : d’après ce qui précède ₁ 1 ₁

( ) ( )

mv t R i t

− = − m soit ₁ 1_{2 1}

( ) ( )

v t R i t

= m donc _eq R₂

R =m . Si le transformateur est abaisseur (m < 1) alors la résistance R vue du primaire est plus élevée.

4. On considère maintenant le montage ci-contre :

a. Déterminer la valeur littérale de la résistance Rs « vue » du secondaire du transformateur.

Loi des mailles au primaire : _{1 s 1} 1 ₂

( ) ( ) ( ) 0

v t R i t v t

− +m =

Comme i t₁( )= −mi t₂( ) alors _{1 s 2} 1 ₂

( ) ( ) ( ) 0

v t R mi t v t

+ +m =

En multipliant par m l’équation précédente :

2

1( ) s 2( ) 2( ) 0

mv t +m R i t +v t =

Cette équation est « représentée » sur le schéma équivalent ci-contre. Dans le cas d’un transformateur abaisseur, la résistance Req ramenée au secondaire est plus faible.

2

eq s

R =m R

v₁(t) i₁(t)

R_s

i₂(t) v₂(t)

v₁(t)

i₁(t) R_s

i₂(t) v₂(t) v₂(t)

1 m

v₁(t)

i₁(t) m²R_s

i₂(t)

v₂(t) mv₁(t)

b. Application à l’étude des circuits RLC (voir le TP n°1)

Dans le TP n°1, un transformateur 220 V / 24 V (supposé parfait) est placé en sortie du GBF. Sa résistance de sortie est notée rs et égale à 50 Ω. Calculer la résistance de sortie du GBF vue du secondaire.

2 1

24 0,109 220

m V

=V = = et d’après ce qui précède R_eq =0,109 .50² =0,59Ω. Cette valeur est négligeable devant les valeurs de résistances utilisées par ailleurs dans le TP.

III. Transformateur réel 1. Présentation

Dans cette partie, il est tenu compte de la résistance des enroulements, la perméabilité magnétique du circuit magnétique n’est plus infinie, il y a des fuites de flux et les pertes dans le fer ne sont plus nulles.

Dans ces conditions, l’intensité appelée par le primaire du transformateur n’est plus sinusoïdale : les bobines réelles sont remplacées par des bobines fictives (voir le cours sur les bobines à noyau de fer).

2. Schémas équivalents

a. A vide (l’intensité circulant dans le secondaire du transformateur est nulle)

Le modèle équivalent du transformateur à vide fait apparaître les mêmes éléments que pour une bobine à noyau de fer auxquels est rajouté un transformateur parfait selon le schéma ci-dessous.

Au primaire du transformateur figurent :

- la résistance r1 de l’enroulement, - l’inductance de fuites

l

primaire,

- la résistance Rf qui consomme les pertes dans le fer,

- l’inductance Lm parcourue par le courant magnétisant.

V₂₀ = - mV'₁ m

I_1t

L_m I_1m I₁₀ I_1f

R_f V'₁ r₁ j

l

V₁

Transformateur parfait

Ecrire la relation entre V1, V’1, I1, la résistance du primaire et l’inductance de fuite au primaire.

1

1 '1 (1 1 )

V =V + r + jℓ ω I

Ecrire les relations entre V’1, Rf et I1f puis entre V’1, Lm et I1m.

1f

1 f

'

V =R I etV'₁=jL_mωI_1m

Que vaut l’intensité secondaire lorsque le transformateur est à vide ? En déduire I1t. A vide, l’intensité efficace dans le secondaire est nulle : I2 = 0. Pour le transformateur parfait : I_1t = −mI₂ ce qui donne I_1t =0

Représenter V1, V’1, I1, I1m, I1f et I10 sur un diagramme de Fresnel (V’1 est placé verticalement).

I1 et I10 sont confondus car I1t est nul.

-j ₁

V'₁ I₁

I₁ -r₁

I₁

l

V₁

I_1m I_1f

b. En charge (l’intensité circulant dans le secondaire du transformateur n’est pas nulle)

La résistance de l’enroulement secondaire ainsi que l’inductance de fuites au secondaire sont rajoutés au schéma précédent :

V₁

I₁ r₁

l

V'₁ I_1f

I₁₀ I_1m

L_m

m

Transformateur parfait

V₂₀ = - mV'₁ I_1t

R_f

r₂

l

I₂

V₂

Ecrire la relation entre V20, V2, I2, la résistance du secondaire et son inductance de fuites.

2

2 20 ( 2 2 )

V =V − r + jℓ ω I

Ecrire la relation entre I2, I1t et le rapport de transformation m : I_1t = −mI₂ Ecrire la relation entre I1, I10 et I1t : I₁=I_1t+I₁₀

c. Schéma simplifié

Dans de nombreuses situations, la chute de tension aux bornes de r1 et

l

Les éléments Rf et Lm

sont soumis à la tension V1 au lieu de V’1.

V₁

I₁ r₁

l

V'₁ I_1f

I₁₀ I_1m

L_m

m

Transformateur parfait

V₂₀ = - mV'₁ I_1t

R_f

r₂

l

I₂

V₂

Il est alors possible de ramener les éléments r1 et

l

En s’inspirant de l’exercice II, écrire les relations entre :

- r1, r2, m et Rs -

l

l

V₁ I₁

I_1f I₁₀

I_1m L_m

m

Transformateur parfait

V₂₀ = - mV'₁ I_1t

R_f

R_s I₂

V₂ L_s

Dans l’exercice II, on a montré que la résistance primaire ramenée au secondaire était égale à m r . Pour ²₁ l’expression de Rs, il faut tenir compte de l’influence des résistances primaire et secondaire soit

2

s 1 2

R =m r +r

d. Diagramme avec l’hypothèse de Kapp

Hypothèse de Kapp : l’intensité à vide I10 est négligeable devant I1t et I1. Cette situation est très fréquente lors des fonctionnements proches des valeurs nominales.

Conséquence : les éléments Rf et Lm sont remplacés par un circuit ouvert. Le transformateur est parfait pour les courants (mais pas pour les tensions).

V₁ I₁

m

Transformateur parfait

V₂₀ = - mV'₁

R_s I₂

V₂ L_s

3. Diagrammes vectoriels (ou de Fresnel) a. Diagramme simplifié

Il traduit les équations obtenues à partir du schéma simplifié (voir ci-dessus). Pour le tracer, on prend un transformateur (de mauvaise qualité) alimentant une charge. Les caractéristiques des éléments sont les suivantes :

Transformateur V1 = 220 V , m = 0,5 Rf = 92 Ω, Lmω = 55 Ω Rs = 1 Ω, Xs = Lsω = 3 Ω

Charge

C’est un dipôle dont le module de l’impédance vaut Z = 4 Ω et l’argument ϕ = 45°.

Exprimer les parties réelle R et imaginaire X de l’impédance de la charge en fonction de Z et ϕ.

cos 4 cos 45 2,83

R=Z ϕ = = Ω et X =Zsinϕ =4sin 45=2,83Ω donc Z = +R jX Le tracé du diagramme vectoriel suit les étapes suivantes :

Première étape : écrire la relation entre V20, R, X, Rs, Xs et I2

en appliquant la loi des mailles sur le circuit secondaire. Ceci permet de calculer la valeur efficace de I2.

2 2 2 2

20 s j s j

V =R I + X I +RI + X I Pour le calcul de I2 : V20 = mV1 et ₂ ²⁰

s j( s )

I V

R R X X

= + + +

soit ₂ ¹

2 2

s s

( ) ( )

I mV

R R X X

= + + +

Application numérique :

2 2 2

0,5.220

15,8 A (1 2,83) (3 2,83)

I = =

+ + + L’échelle n’est pas respectée.

L’intensité I2 est choisie comme origine des phases (car elle est commune à la charge et Rs et Xs) et placée horizontalement. On trace ensuite les vecteurs associés à Rs.I2 et jXs.I2.

En partant de l’origine du diagramme (point O, talon de I2), on trace un arc de cercle dont le rayon correspond à la valeur efficace de la tension secondaire à vide. La pointe de V20 est sur cet arc de cercle alors que son talon est au point O.

Deuxième étape : écrire la relation entre V2, V20, Rs, Xs et I2. En déduire le vecteur V2. Il est alors possible de déterminer graphiquement la valeur efficace de la tension secondaire en charge.

2

2 20 ( s j s)

V =V − R + X I

Le talon du vecteur V2 est à la pointe de jXs.I2 alors que sa pointe est sur le cercle de centre O et de rayon V20. L’angle entre V2 et I2 est égal à ϕ (ici 45°).

Graphiquement V2 = 67 V

La chute de tension (différence entre les valeurs efficaces de la tension secondaire en charge et à vide) est ici égale à 43 V.

C’est énorme devant la tension à vide : les performances du transformateur étudié ici sont médiocres.

Troisième étape :

écrire la relation entre V1 et V20 et placer V1.

D’après les relations pour le transformateur parfait :

20 1

V = −mV , le vecteur V1 a la même direction que V20 mais est de sens opposé.

V1 = 220 V

Quatrième étape :

écrire la relation entre I1t et I2 et placer I1t.

D’après les relations pour le transformateur parfait :

1t 2

I = −mI , le vecteur I1t a la même direction que I2 mais est de sens opposé.

I1t = 0,5.15,8 = 7,9 A

Cinquième étape : écrire les relations entre I1f, V1 et Rf puis entre I1m, V1 et Lm. Placer les vecteurs I1f et I1m. Ecrire la relation entre I1, I1t et I10 et placer les vecteurs I10 puis I1. Il est alors possible de déterminer graphiquement l’intensité efficace du courant primaire.

1 1f

f

I V

=R et _1m ¹ j m

I V

= L ω

I1f et V1 sont en phase alors que I1m est en retard de 90° sur V1.

1f

220 2,39 A

I = 92 = et _1m 220 55 4 A

I = =

10 1f 1m

I =I +I et I₁=I_1t+I₁₀

I1 = 13 A I10 =I1f +I1m n’est pas représenté

b. Diagramme de Kapp

Le tracé est réalisé pour le même transformateur et la même charge que précédemment (les éléments Rf et Lm

sont remplacés par un circuit ouvert).

La méthode pour construire le diagramme est identique à la précédente pour les trois premières étapes, la quatrième étape devient la dernière et consiste à placer I1.

Diagramme du triangle fondamental de Kapp

La chute de tension en charge au secondaire est définie par

∆V2 = V20 – V2

avec V20 la valeur efficace de la tension à vide et V2 la valeur efficace de la tension en charge

Cette chute de tension est généralement très faible devant la valeur efficace de la tension secondaire nominale.

OA, AB et OB ont des dimensions très petites dimensions devant OD (correspondant à V20 = - mV1) et BD (correspondant à V2) : on suppose que les droites (BD) et (OD) sont parallèles. L’arc de cercle BC (portion du cercle de rayon « V2 » et de centre D) devient alors un segment de droite.

B j X_s I₂ C

R_sI₂ A

ϕ 2

O

V₂ V₂₀

D

∆V2 correspond à OC Pour déterminer la chute de tension, on ne trace que le

triangle rectangle OAB (triangle fondamental de Kapp). La chute de tension correspond alors à OH.

∆V2 = RsI2cosϕ2 + XsI2sinϕ2

Dans l’exemple précédent ∆V2 = 110 – 67 = 43 V Avec la relation ci-dessus :

∆V2 = 1.15,8.cos45 + 3.15,8.sin45 = 44,7 V

Vers le point D B

H j X_s I₂

R_sI₂ A ϕ 2

O 4. Détermination des éléments du schéma équivalent simplifié

Pour déterminer les éléments du schéma équivalent, deux essais sont nécessaires : - un essai à vide sous tension primaire nominale,

- un essai en court-circuit avec le courant nominal sous tension réduite.

a. Essai à vide

Lors de cet essai on relève les valeurs efficaces des tensions au primaire et au secondaire (notées V1 et V20), la valeur efficace de l’intensité primaire ainsi que la puissance active (notée P0).

Représenter le schéma équivalent correspondant à cet essai. Quel élément consomme de la puissance active ?

V₁ I₁

I_1f I₁₀

I_1m L_m

m

Transformateur parfait I_1t

R_f

I₂ = 0

V₂₀ = - mV'_{1 =} V₂

Quel élément consomme de la puissance réactive ?

La puissance active est consommée par Rf alors que Lm consomme la puissance réactive.

Exprimer les éléments Rf et Lm ainsi que le rapport de transformation en fonction des grandeurs mesurées.

Les relations suivantes ne doivent pas être apprises, il faut savoir les démontrer.

20 1

m V

= V ;

2 1 0

f

P V

= R donc

2 1 f

0

R V

= P ; avec Q₀= (V I_{1 10})²−P₀² soit

2

m 2 2

1 10 0

( )

L V

V I P

ω = −

b. Essai en court-circuit

Lors de cet essai on relève la valeur efficace de la tension au primaire (notée V1cc), l’intensité efficace au primaire ou au secondaire (notée I1cc

ou I2cc) ainsi que la puissance active (notée Pcc).

Représenter le schéma équivalent correspondant à cet essai en supposant négligeable l’intensité à vide. Quel élément consomme de la puissance active ? Quel élément consomme de la puissance réactive ?

V₁

m

Transformateur parfait

V₂₀ = - mV'₁

I_1t = I₁ R_s I₂

V₂ L_s

La puissance active est consommée par Rs alors que Ls consomme la puissance réactive.

Exprimer les éléments Rs et Ls en fonction des grandeurs mesurées. Les relations suivantes ne doivent pas être apprises, il faut savoir les démontrer.

2 cc s 2cc

P =R I et _2cc 1 _1cc

I I

=m (le courant à vide est négligé lors de l’essai en court-circuit) donc _{s 2}^cc

1cc

R mP

= I

2 2

cc ( 1cc 1cc) cc s 2cc

Q = V I −P =X I donc

2

1cc 1cc cc

s 2

2cc

( )

m V I P

X I

= −

Variante pour Xs : on définit _s ^{2 2 1cc}

2cc

s s

Z R X mV

= + = I donc _s ^{1cc 2 2}

2cc

(mV ) _s

X R

= I −

TP n°9

Modélisation d’un transformateur monophasé

Règles de sécurité

- Toute modification de montage devra être faite hors tension.

- Lors des essais en court-circuit, les courants peuvent atteindre des valeurs importantes avec des tensions faibles. Il ne faut pas oublier de changer les calibres des ampèremètres et wattmètres et surveiller le courant lors du réglage de tension.

La première question de la deuxième partie est à résoudre avant la séance de TP.

Le schéma équivalent d’un transformateur est donné ci-contre :

Première partie

1. Indiquer les essais nécessaires à la détermination des éléments du modèle (Rf, L, m,

rs et Xs) et représenter les schémas équivalents correspondants en justifiant les simplifications.

2. Pour chaque essai représenter le schéma de câblage avec les appareils de mesure et donner le mode opératoire (Faire valider le schéma avant de commencer le câblage).

3. Essai à vide :

Câbler le montage et relever les indications des appareils.

4. Essai en court-circuit

- câbler le montage et relever les indications des appareils.

- relever sur oscilloscope les intensités instantanées dans le primaire et le secondaire.

5. Déterminer les éléments du modèle à partir des essais.

R_f

r_s X_s m

L

Deuxième partie

Le transformateur est alimenté sous 230 V et alimente successivement une charge résistive puis une charge résistive et inductive. Selon la table utilisée, les valeurs sont les suivantes :

Puissance apparente

du transformateur 250 VA (tables 3, 5 et 6) 300 VA (table 4) 1 kVA (tables 1 et 2) Charge résistive Un rhéostat 10 Ω. Un rhéostat 10 Ω. Deux rhéostats 10 Ω en

parallèle.

Charge résistive et inductive

Une bobine 100 mH en parallèle avec deux rhéostats en série réglés pour une somme de 15 Ω.

Deux bobines 100 mH et un rhéostat 10 Ω en

parallèle.

Deux bobines 30 mH et deux rhéostats 10 Ω en

parallèle.

1. Impédance équivalente des charges résistives et inductives.

a. Représenter le schéma de la charge du transformateur correspondant à la table du TP.

b. Réduire ce schéma à deux éléments en parallèle, une résistance notée Rc et une inductance notée Lc. c. Démontrer que l’impédance complexe équivalente à l’association de Rc et Lc s’écrit :

eq 2 eq

c 2 c

c 2 c 2 c

c j

) (

j )

( R X

L R

L R L

Z R = +

ω +

ω +

= ω

Calculer les valeurs numériques de Req et Xeq

2. Le schéma équivalent du transformateur alimentant une charge est le suivant :

R_f

r_s X_s m

L V₂

I₂

mV₁ V₁

I₁ I_1t

● Exprimer I2 en fonction de m, V1, rs, Xs et Z

● Exprimer I2 en fonction de I1, I1t et I0 (somme des intensités circulant dans l’inductance L et la résistance Rf).

3. Déterminer les intensités primaire et secondaire ainsi que la tension secondaire à partir des éléments du schéma équivalent.

a. lorsque la charge est résistive,

b. lorsque la charge est résistive et inductive.

4. Faire les essais et comparer les valeurs expérimentales avec les valeurs théoriques.

Exercice III

On considère un transformateur monophasé sur lequel les essais suivants ont été effectués : - en continu au primaire : I1c = 10 A ; U1c = 5 V.

- à vide : U1 = 220 V, 50 Hz (tension primaire nominale) ; U20 = 44 V ; P10 = 80 W ; I10 = 1 A.

- en court-circuit : U1cc = 40 V ; P1cc = 250 W ; I1cc = 20 A (courant nominal primaire).

Le transformateur est considéré comme parfait pour les courants lorsque ceux-ci ont leurs valeurs nominales.

1. Essai à vide

1.1 Déterminer le rapport de transformation.

20 1

44 0, 2 220 m U

= U = =

1.2 En déduire le nombre de spires au secondaire si l’on compte 520 spires au primaire.

2 1

m n

= n donc n₂=m n. ₁=0, 2.520 104= spires

1.3 Vérifier que l’on peut négliger les pertes par effet Joule lors de l’essai à vide.

La résistance de l’enroulement primaire est obtenue à partir de l’essai en continu : ₁ ^c

c

10 2 5 R U

= I = = Ω

Lors de l’essai à vide, les pertes par effet Joule sont égales à P_j=R I₁.₁₀² =2.1²=2 W. Cette valeur est très faible devant 80 W.

2. Essai en court-circuit

2.1 En admettant que les pertes dans le fer sont proportionnelles au carré de la tension primaire, montrer qu’elles sont négligeables par rapport aux autres pertes de l’essai en court-circuit.

D’après l’énoncé : P_fer =KU₁². La constante K (qui correspond à

f

1

R ) est calculée à partir de l’essai à vide :

fer 3

2 2

1

80 1,65.10 220

K P U

= = = − SI

Pour l’essai en court-circuit : P_fercc=KU_1cc² =1,65.10 .40^{−3 2} =2,6 W. Cette puissance est très inférieure à 250 W.

2.2 Représenter le schéma équivalent du transformateur en court-circuit vu du secondaire.

2.3 En déduire les valeurs de Rs et Xs de l’impédance du modèle de Thévenin.

La loi des mailles appliquée au secondaire permet d’écrire : −mU_1cc−(R_s+jX I_s) _2cc=0

U_1cc I_1cc

m

Transformateur parfait

U₂₀ = - mU_1cc

R_s I₂

V₂ X_s

Soit _{s s} ^1cc _s

2cc

j mU

R X Z

+ = I = . Calcul du module de ZS : _s ^1cc

2cc

0, 2.40 20 0,08 0, 2 Z mU

= I = = Ω car _2cc I^1cc

I = m

La résistance Rs consomme la puissance active P_1cc =R I_{s 2cc}² donc _s ^1cc₂ ²

2cc

250(0, 2) 0,025 20

R P

= I = = Ω

Pour la détermination de Xs :

Première méthode : X_s= Z_s²−R_s² = 0,08²−0,025² =0,076Ω

Deuxième méthode : l’inductance Xs consomme la puissance réactive Q_1cc = (U_1cc.I_1cc)²−P_1cc² =X I_{s 2cc}²

2 2

1cc 1cc 1cc 2 2 2

s 2

2cc

( . ) 0.2

(40.20) 250 ( ) 0,076 20

U I P

X I

= − = − = Ω

3. Quels que soient les résultats obtenus précédemment, on prendra pour la suite du problème Rs = 25 mΩ ; Xs = 75 mΩ. Le transformateur alimenté au primaire sous sa tension nominale, débite 100 A au secondaire avec un facteur de puissance égal à 0,9 (charge inductive).

3.1 Déterminer graphiquement la tension secondaire du transformateur. En déduire la puissance délivrée par le secondaire. Faire le même calcul avec l’approximation du triangle fondamental de Kapp.

Voir le diagramme ci-contre. Valeur efficace de la tension secondaire : U2 = 38 V

2 2. .cos2 38.100.0,9 3420

P =U I ϕ = = W

En utilisant l’approximation du triangle fondamental de Kapp :

∆U2 = 0,025.100.0,9 + 0,075.100.0,436 = 5,52 V

La valeur efficace de la tension secondaire est égale à U2 = 44 – 5,52 = 38,5 V

2 2. .cos2 38,5.100.09 3465

P =U I ϕ = = W

Les résultats obtenus par les deux méthodes sont très proches.

3.2 Déterminer la puissance absorbée au primaire, ainsi que le facteur de puissance.

Les pertes prises en compte sont ici les pertes par effet Joule (dans Rs) P_j=R I_{s 2}²=0,025.100² =250 W et les pertes dans le fer (dans Rf) P_f =KU₁²=1,65.10 .220^{−3 2}=80 W.

Remarque : on retrouve les puissances des essais à vide et en court-circuit.

1 2 f j 3420 250 80 3750

P = + + =P P P + + = W

Le transformateur est supposé parfait pour les intensités donc I₁=m I. ₂ =0, 2.100=20 A. La puissance apparente au primaire S₁=U I₁.₁=220.20=4400 VA

D’où le facteur de puissance : ₁ ¹

1

cos 3750 0,852

4400 k P

= ϕ =S = = . La tension et l’intensité sont sinusoïdales, le facteur de puissance est le cosinus du déphasage entre la tension et l’intensité au primaire : ϕ1 = 31,5°

3.3 Déterminer la capacité du condensateur (supposé parfait) qui, placé en parallèle avec l’enroulement primaire, relève le facteur de puissance de l’installation à 1. Quelle est alors l’intensité du courant dans la ligne qui alimente l’association ?

Si le facteur de puissance est égal à 1 alors la puissance apparente pour l’alimentation est égale à la puissance active appelée par le transformateur. Le condensateur doit fournir la puissance réactive que consomme le transformateur.

Puissance réactive appelée par le transformateur : Q₁=U I₁. .sin₁ ϕ =₁ 220.20.sin 31,5=2300 var Le condensateur doit fournir 2530 var : Q_c = − ωC U₁²= −2300 var donc ^c_{2 2}

1

2300 151

2 .50.220 C Q

= U = =

ω π µF

Intensité en ligne : S₁=U I₁. _1comp=3750 VA donc _1comp ¹

1

3750 17,0 220 I S

=U = = A

Exercice IV

On considère un transformateur monophasé dont les essais préliminaires ont donné : - à vide : V1 = V1n = 220 V, I1 = 0,5 A, V2 = 110 V, puissance absorbée : 50 W - en court-circuit : V1 = 21 V, I2 = 20 A, puissance absorbée : 150 W

1. Proposer un montage permettant de réaliser les mesures en court-circuit.

Voir la partie cours.

2. Déterminer les éléments du schéma équivalent ci-contre :

w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w ww

X_s R_s m

R_f L

Les valeurs de Rf, L et m sont déterminées à partir de l’essai à vide :

2 1

110 0,5 220 m V

=V = =

La résistance Rf consomme la puissance à vide :

2 1

f

P V

= R donc

2 2

1 f

220 968

50 R V

= P = = Ω

L’inductance L consomme la puissance réactive à vide :

2

2 2 1

1 1

( . ) V

Q V I P

= − =L

ω donc

2 1

2 2

1 1

( . ) L V

V I P

=ω −

2

2 2

220 1,57

2 .50 (220.0,5) 50

L= =

π − H

Les valeurs de Rs, Xs sont déterminées à partir de l’essai en court-circuit :

La résistance Rs consomme la puissance active lors de cet essai à laquelle on retranche ce que consomme Rf 2

1cc 2

s 2cc f

P V R I

= R + donc

2 2

1cc

s 2 2

f 2cc

1 21 1

( ) (150 ) 0,374

968 20 R P V

R I

= − = − = Ω

Remarque : pour cet essai, les pertes dans le fer

2 2

1cc f

21 0, 45 968 V

R = = W sont négligeables.

La réactance Xs consomme la puissance réactive lors de cet essai à laquelle on retranche ce que consomme L

2

2 2 1cc 2

1cc 1cc s 2cc

( . ) V

Q V I P X I

= − = L +

ω avec I1cc = m.I2cc donc

2

2 2 1cc

1cc 2cc

s 2

2cc

( . . ) V

V m I P

X L

I

− −

= ω

2

2 2

s 2

(21.0,5.20) 150 21

1,57.2 .50

0,365 X 20

− −

= π = Ω

Remarque : pour cet essai, la puissance réactive de L

2 2

1cc 21

1,57.2 .50 0,89 V

L = =

ω π var est négligeable.

Pour la suite, le transformateur est supposé parfait pour les courants lorsqu’ils sont proches de leurs valeurs nominales.

Rf et L sont remplacées par un circuit ouvert.

On branche au secondaire une résistance Rc = 5 Ω en série avec une inductance Lc = 11 mH.

3. Représenter le schéma permettant de déterminer l’intensité dans la charge et la tension à ses bornes.

4. Calculer l’intensité efficace du courant secondaire.

D’après la loi des mailles :

2 2

20 ( s j s) ( c j c) 0

V − R + X I − R + X I = avec Xc = Lcω

20 2

s s c c

( j ) ( j )

I V

R X R X

= + + +

w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w ww

X_s R_s

m R_c

L_c V₂₀ V₂

I₂

Et pour les valeurs efficaces :

20

2 2 2 2 3. 2

s c s c

110 16,7

( ) ( ) (0,374 5) (0,365 11.10 2 .50)

I V

R R X X ⁻

= = =

+ + + + + + π A

5. Calculer le déphasage entre l’intensité et la tension au secondaire.

Le déphasage entre l’intensité et la tension au secondaire est égal à l’argument de l’impédance de la charge du transformateur :

3 c

c

11.10 .2 .50

tan 0,691

5 L

R

ω − π

ϕ = = = soit ϕ = 35°.

6. Tracer le diagramme de Fresnel permettant de déterminer la valeur efficace de la tension aux bornes de la charge.

On mesure V2 = 102 V

7. Déterminer graphiquement l’intensité efficace du courant primaire.

I1 est en opposition de phase avec I2 et sa valeur efficace est égale à la moitié de celle de I2 (rapport de transformation égal à 0,5).

Deuxième partie : Transformateurs triphasés

I. Présentation 1. Constitution

Comme pour les bobines triphasées, un transformateur triphasé peut être constitué de trois transformateurs monophasés. Il est cependant plus fréquent de trouver des transformateurs triphasés dont le circuit magnétique est coplanaire à flux liés (trois colonnes) ou plus rarement libres (colonnes latérales supplémentaires ou circuits magnétiques cuirassés).

2. Représentation symbolique

Les enroulements bobinés sur une même colonne du circuit magnétique sont représentés sur le même axe (horizontal ou vertical).

Les extrémités des enroulements sont repérées par des lettres majuscules pour la haute tension et minuscules pour la basse tension.

Le schéma ci-contre représente une colonne d’un transformateur triphasé (les deux autres sont identiques). Cette colonne comporte un enroulement haute tension et deux enroulements basse tension.

A

A X

x₁

x₁

x₂

x₂

a₂ a₁

X a₁ a₂

Les enroulements primaires (pas nécessairement haute tension) sont orientés avec la convention récepteur alors que les enroulements secondaires sont orientés avec la convention générateur. Les courants sont orientés pour que les forces magnétomotrices se retranchent :

A x₁ x₂

X a₁ a₂

v_a1(t) v_a2(t) v_A(t)

i_a2(t) i_a1(t)

i_A(t)

3. Couplages des enroulements

S’il y a trois enroulements, il est possible de les coupler en étoile ou en triangle. S’il y a six enroulements (par exemple deux enroulements par secondaire) un troisième type de couplage appelé « zigzag » est possible.

Les transformateurs sont nommés selon les couplages au primaire et au secondaire en respectant les règles suivantes :

- lettre majuscule pour la haute tension : Y pour le couplage étoile, D pour le triangle, Z pour le zigzag - lettre minuscule pour la basse tension : y pour le couplage étoile, d pour le triangle, z pour le zigzag

Si un neutre existe côté « haute tension », il est indiqué par la lettre « N » après la lettre figurant le couplage

« haute tension ». Si le neutre est côté « basse tension », la lettre « n » est utilisée après celle indiquant le couplage « basse tension ».

Exemples :

Yzn : couplage étoile au primaire (haute tension), zigzag au secondaire, neutre sorti au secondaire.

A B C

a b c n

Dy : couplage triangle au primaire (haute tension), étoile au secondaire, pas de neutre.

c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c A

B C

a b c

II. Equations électriques

Chaque colonne se comporte comme un transformateur monophasé (on parle de « transformateur colonne »).

Le flux pour chaque enroulement d’une même colonne est le même que pour les autres enroulements (aux fuites de flux près).

En notant n1 et n2 les nombres de spires au primaire et aux secondaires du transformateur (supposé parfait) pris comme exemple au paragraphe 2, écrire les relations :

- exprimant les tensions secondaires en fonction de la tension primaire et du rapport des nombres de spires.

a1 2

A 1

( ) ( ) v t n

v t = n et ^{a2 2}

A 1

( ) ( ) v t n v t = n .

Les tensions primaire et secondaire des enroulements placés sur la même colonne sont en phase (Contrairement au transformateur monophasé) : ceci est dû aux choix d’orientation des tensions.

- entre les intensités dans le primaire et les secondaires et le rapport du nombre de spires.

L’intensité primaire « entre » par la tête d’enroulement alors que les intensités « sortent » par les têtes d’enroulement : n i t_1A( )=n i_2a1( )t +n i_2a2( )t (on retrouve la loi de compensation des ampères tours).

Si le transformateur fonctionne en régime triphasé équilibré, les équations pour les deux autres colonnes sont identiques (décalage temporel d’un tiers de période).

III. Grandeurs caractéristiques 1. Plaque signalétique

On y trouve les indications suivantes :

● La puissance apparente nominale,

● Les valeurs efficaces des tensions primaires et secondaires composées (à vide),

● Les intensités efficaces des courants secondaires en ligne,

● La valeur du facteur de puissance secondaire qui permet d’obtenir le fonctionnement nominal.

2. Rapport de transformation

C’est le rapport des valeurs efficaces, relevées à vide, des tensions secondaires et primaires simples ou des tensions secondaires et primaires composées (il ne faut pas prendre une tension simple pour le primaire et une tension composée pour le secondaire et réciproquement).

Cette valeur n’est plus nécessairement égale au rapport du nombre de spires.

3. Indice horaire (ou indice de couplage)

Selon les couplages primaire et secondaire il peut apparaître un déphasage entre les tensions homologues du primaire et du secondaire (VA et Va sont des tensions homologues, UBC et Ubc aussi).

Un système triphasé direct de tensions VA, VB, VC alimentant le primaire d’un transformateur donne naissance à un système triphasé direct au secondaire.

Le retard de Va sur VA est noté θ ; c’est aussi le retard de Uab sur UAB. Les valeurs de θθθθ sont toujours des valeurs multiples de 30°. La valeur du déphasage est indiquée par le rapport de θθθθ à 30, ce rapport est appelé indice horaire I :

30

= θ

I avec θ exprimé en degrés.

Un vecteur « haute tension » pointe le 12 de « l’horloge », le vecteur de la « basse tension » homologue joue le rôle de l’aiguille des heures.

Les grandeurs I et θ caractérisent le retard d’une tension « BT » sur une tension « HT » quel que soit le rôle (abaisseur ou élévateur) du transformateur.

Dans l’exemple ci-contre, l’indice horaire vaut 1.

V_A

V_B V_C

V_a

V_b V_c

III

VI IX

Grande aiguille

Aiguille des heures

4. Répondre aux questions suivantes

a. La puissance active nominale est indiquée sur la plaque signalétique d’un transformateur (vrai ou faux) : faux, c’est la puissance apparente.

b. La plaque signalétique d’un transformateur triphasé indique 20 kV/ 420 V. Lorsqu’il fonctionne à vide, quelle valeur affiche un voltmètre branché entre un fil de phase et le neutre au primaire ? Entre « un fil de phase et le neutre », c’est une tension simple. La plaque indique les valeurs efficaces des tensions composées. Pour avoir celle des tension simples, il faut diviser l’indication par 3 soit 11,5 kV. Au secondaire ? En procédant de même, on trouve 242 V.

c. Le transformateur ci-contre fonctionne dans les conditions nominales, laquelle des indications d’ampèremètre doit figurer sur la plaque signalétique ?

C’est l’intensité du courant en ligne qui doit être indiquée soit 55 A.

A 55 A

B C

a b c A

32 A

A

d. Les deux transformateurs décrits ci-dessous ont été essayés à vide. Calculer leurs rapports de transformation.

Transformateur n°1 Valeurs efficaces des tensions - composées primaires 20 kV - simples secondaires 250 V

250. 3

0, 0216 20000

m= =

Transformateur n°2 Valeurs efficaces des tensions - composées primaires 20 kV - composées secondaires 420 V

420 0,021 20000

m= =

e. Déterminer l’indice horaire correspondant au diagramme de Fresnel ci-contre :

Va est en retard de 90° sur VA, l’indice horaire est égal à 3.

f. Donner le nom de la tension homologue à Uca. Il s’agit de UCA

V_A

V_B V_C

V_a

V_b V_c