Etude et modélisation des systèmes de refroidissements des transformateurs.

République Algérienne Démocratique et Populaire

يملعلا ثحبلا و يلاعلا ميلعتلا ةرازو

Ministère de l’Enseignements Supérieur et de la Recherche Scientifique

Département D'Électrotechnique

Mémoire

Présenté en vue de l’obtention du diplôme

Master en Électrotechnique

Option : Machines électriques

ETUDE ET MODELISATION DES SYSTEMES DE REFEROIDISSEMENTS DES TRANSFORMATEURS

Par :

ALOUACHE Oussama MERABET Mohammed Nabil

Travail proposé et dirigé par : Ikhlef Nabil

Promotion 2020

ج ــ ةعما محم ـ يحي نب قيدصلا د ـ

ى لــجيـج -

ك ـل ـ ةي علا ـل ـ مو تلاو ـ جولونك ـي ـا

Université Mohamed Seddik Ben Yahia - Jijel Faculté des Sciences et de la Technologie

Thème

Louange à ALLAH qui lui seul nous a guidé dans le bon sens durant notre vie et qui nous aidé à réaliser ce modeste travail.

Nous remercions vivement notre encadreur Le professeur : Ikhlef Nabil. Qui a été présent et très actif tout au long de ce travail, n’hésitant pas à prendre sur son temps pour nous aidons du début jusqu’à la rédaction du mémoire.

Nous souhaitons aussi exprimer nous plus sincères remerciements à chacun des membres du jury qui, malgré leurs responsabilités, ont bien voulu nous consacrer du temps :

1-HAFSAOUI ILHAM 2-MOUHDEB NAAMAN

Un grand Merci A tous les enseignants de la faculté sciences et de technologie de L’université de Jijel.

Un grand merci a toute notre famille et plus particulièrement nous parents, pour n’avoir soutenue et aidée tout au long de nos études.

Enfin nous remercions toute personne de prés ou de loin qui a

participe pour rendre ce travail réalisable et présentable

Je dédie ce modeste travail Aux être qui me sont les plus chers.

À mes chers parents qui m’ont toujours encouragé Symbole de tendresse pour leur sacrifice estimable

~que dieu garde ~.

À mes chers ET ADORABLE frères (Bilal et Mohamed) Aussi mes belles sœurs (Rania et Maissa)

À Toutes mes collègues de la promotion option machines électriques 2020

En particule mes deux conjoint Houssem et Oussama.

À l’âme de l’un des meilleures personnes que j’ai connues au cours de mon Parcours académique, mon cher collègue, notre gars mort

Soufiane Mezziche

Je prie Dieu de lui pardonner et vous amènera dans son paradis.

À toutes les personnes qui participent a L’élaboration de ce travail.

À tous ceux que j’ai Omis de citer.

OUSSAMA

Je dédie ce modeste travail Aux être qui me sont les plus chers.

À mes chers parents qui m’ont toujours encouragé Symbole de tendresse pour leur sacrifice estimable

~que dieu garde ~.

À mes chers ET ADORABLE frères.

Houssem Et Anouar

À Toutes mes collègues de la promotion option machines électriques 2020

En particule mes deux conjoint Houssem et Oussama.

À l’âme de l’un des meilleures personnes que j’ai connues au cours de mon Parcours académique, mon cher collègue, notre gars mort

Soufiane Mezziche

Je prie Dieu de lui pardonner et vous amènera dans son paradis.

À toutes les personnes qui participent a L’élaboration de ce travail.

À tous ceux que j’ai Omis de citer.

Mohammed

nabil

Sommaire

Introduction générale...1

CHAPITRE I : Généralités sur les Transformateurs et leurs Systèmes de Refroidissement I.1 INTRODUCTION...3

I.2 Invention...3

I.3 Principe...4

I.4 Rôle du transformateur dans le réseau de transport d’énergie(RTE)...5

I.5 Principaux éléments des transformateurs...6

I.6 Circuit Magnétique...6

I.7 Types de Transformateurs...8

I.7.1 Transformateur ordinaire de phase...8

I.7.2 Transformateurs triphasés...9

I.7.3 Transformateur à colonnes...9

I.7.4 Transformateur Cuirassé...10

I.7.5 Les enroulements...10

I.7.6 La Cuve ...11

I.8 Systèmes de Refroidissement des Transformateurs...11

I.8.1 Transformateur immergé dans l'huile et transformateur sec...11

I.8.2 Transformateur à l’huile...12

I.8.3 Transformateur sec...12

I.8.4 Méthodes de refroidissement pour les transformateurs à sec...12

I.8.4.1 Air Natural...12

I.8.4.2 Souffle d'air ...13

I.8.5 Méthodes de refroidissement pour les transformateurs immergés dans l'huile...13

I.8.5.1 Huile Naturelle à Air Naturel...13

I.8.5.2 Huile naturelle à air forcé...13

I.8.5.3 Huile forcée à air forcé...14

I.8.5.4 Huile forcée...15

I.9.1 Refroidissement humide à cycle ouvert ou fermé (Par voie humide) ...15

I.9.1.1 Principe ...15

I.9.1.2 Avantages et inconvénients...17

I.9.2 Refroidissement sec sans évaporation (par voie sèche)...17

I.9.2.1 Principe ...17

I.9.2.2 Avantages et inconvénients ...18

CONCLUSION...18

CHAPITRE II : Modélisation Multiphysiques des Transformateurs II.1 INTROUTION...19

II.2 Les Phénomènes Multyphisiques...19

II.2.1 Phénomène électromagnétique...19

II.2.2 Equations de Maxwell...20

II.2.2.1 Formes intégral des équations de Maxwell...21

II.2.2.2 Equation de maxwell-faraday...22

II.2.2.3 Loi de conservation de flux de l'induction magnétique...22

II.2.2.4 Equation de maxwell-Ampère...22

II.2.3 Relations constitutives des milieux...22

II.2.3.1 Loi d’Ohm généralisé...24

II.2.4 Conditions de passage entre milieux...24

II2.4.1 Conditions sur les composantes tangentielles ...25

II.2.4.2 Conditions sur les composantes normales...25

II .2.5 Conditions aux limites naturelles ...26

II.2.5.1 conditions aux limites spatiales et temporelles...26

II .2.6 Conditions de Jauge...26

II .2.7 Différentes Formulations Electromagnétiques...26

II .2.7.1 Phénomène Electrostatique...27

II .2.7.2. Formulation du modèle magnétostatique...28

II .2.7.3. Formulation du modèle magnétodynamique ...29

II.3 Modèle Thermique...31

II.3.1 Transfert de chaleur par conduction ...31

I.3.2 Transfert de chaleur par convection...32

I.3.3 Transfert de chaleur par rayonnement...33

II.4 Analogique thermique/électrique...33

II.4.1 Couplage Electromagnétique et Thermique...34

II.4.2 Bilan énergétique équation de diffusion de chaleur...34

II .5 Dynamique des Fluides...35

II.5.1 Equations de Navier-stocks...35

II.6 Méthodes de Résolution...36

II.6.1 Méthode des Eléments Finis (MEF) ...36

II.6.2 Etapes de la méthode des éléments finis...37

II.6.3 COMSOL Multiphysics...38

CONCLUSION...39

CHAPITRE III : Applications III.1 INTRODUCTION...40

III.2 Modélisation d’un Transformateur de Puissance THT/HT...40

III.2 .1 Caractéristiques physiques ...43

III.2.2 Discrétisation de la structure...43

III.2.3 Résultats et Interprétations...44

III.3 Etude de refroidissement (MHD) par l’huile d’un bobinage d’une phase du transformateur...49

III.3.1 Résultats et Discussions...50

III.3.1.1 Etude électromagnétique...50

III.3.1.2 Etude thermique...53

III.3.1.3 Etude d’écoulement...54

III.4 Etude de refroidissement d’un transformateur a noyau torique refroidi par l’air...55

III.4.1 Représentation du géométrique et physique du transformateur a noyau torique...56

CONCLUSION...60

CONCLUSION GENERALE ...61

Liste des Figures Chapitre I

Figure I.1 : Schéma d’un transformateur monophasé...4

Figure I.2 : Un Transformateur de Puissance...6

Figure I.3 : Circuit magnétique d’un transformateur...7

Figure I.4 : Transformateur à colonnes...9

Figure I.5 : Transformateur type cuirasse...10

Figure I.6 : Enroulement de transformateur type cuirassé...10

Figure I.7 : Construction des enroulements en galettes...11

Figure I.8 : Huile Naturelle à Air Naturel du refroidissement de transformateur…...13

Figure I.9 : Huile naturelle à air forcé du refroidissement de transformateur...14

Figure I.10 : Huile forcée à air forcé du refroidissement de transformateur...14

Figure I.11 : Huile forcée du refroidissement de transformateur...15

Figure I.12 : Cycle de refroidissement ouverte...16

Figure I.13 : Cycle de refroidissement fermée...16

Figure I.14 : Principe de refroidissement sec sans évaporation...17

Figure I.15 : Principe d’un système de refroidissement par voie sèche...18

Chapitre II Figure II.1 : Surface et volume d’intégration entre deux milieux...24

Figure II.2 : Domaine d'étude générique d'un problème magnétodynamique...27

Figure II.3 : conduction de la chaleur dans un barreau...31

Figure II.4 : Principe de la convection...32

Figure II.5 : Principe de rayonnement...33

Chapitre III Figure III .1: Transformateur de puissance triphasé...41

Figure III.2 : Phase du transformateur de puissance à colonnes...41

Figure III.3 : Modèle d'une phase en trois dimensions...42

Figure III.4 : Modèle axisymétrique d’une phase de transformateur à colonnes...42

Figure III.5 Discrétisation par élément finis (maillage utilisé) ...44

Figure III.6 norme de Potentiel vecteur magnétique A [Wb/m] ...45

Figure III.7 Isovaleurs du champ électrique [v/m] ...45

Figure III.8 Isovaleurs de champ magnétique [A/m] ...46

Figure III.9 Densité de flux magnétique [T] ...46

Figure III.10 Chauffage par effet Joule...47

Figure III.11 Chauffage par effet Joule dans un enroulement [W /m

] ...47

Figure III.12 : Densité de force Lorenz induite [N /m

] ...48

Figure III.13 Phase d’un transformateur immergée dans une cuve d’huile...49

Figure III.14 Maillage du modèle utilisé...50

Figure III.15 : Potentiel magnétique Aphi [Wb/m] ...51

Figure III.16 : Isovaleurs champ magnétique [A/m] ...51

Figure III.17 : Densité de puissance induite [W/m

] ...52

Figure III.18 : Contribution de la force de Lorentz [N/m

] ...52

Figure III.19 : Densité de courant total [A/m

] ...52

Figure III.20 : Répartition de la température sans d’entrée de fluide [°K]...53

Figure III.21 : Répartition de la température avec d’entrée de fluide [°K]...53

Figure III.22 : Champ de Vitesse [m/s]...54

Figure III.23 : Flux thermique convectif [W/m²]...54

Figure III.24 : Flux thermique par conduction[W/m²]...54

Figure III.25 : Photo d’un transformateur torique...55

Figure III.26 : Modèle géométrique en trois dimensions...57

Figure III.27 : Géométrie de modèle utilisé...57

Figure III.28 : Maillage de modèle utilisé...57

Figure III.29 : Distribution de la température sans air forée [K] ...58

Figure III.30 : Distribution de la température avec air forée [K] ...58

Figure III.31 : Champ de vitesse [m/s] ...59

Figure III.32 : Flux thermique convectif [W/m²]...59

Figure III.33 : Flux thermique par conduction [W/m²]...59

Introduction Générale

INTRODUCTION GENERALE

Le développement technologique que le monde a connu ces dernières décennies, dans tous les secteurs que ce soit en industrie, communication, agriculture, transport, …etc., a augmenté la consommation totale de l’énergie électrique et les besoins en électricité ne cessent de croitre.

Au-delà d’une certaine distance et/ou d’une certaine puissance, le transport d’énergie électrique doit se faire sous une tension suffisamment élevée. En effet, la puissance est le produit de la tension par le courant ; pour une puissance donnée, plus la tension est élevée, plus le courant est faible. Il en résulte donc des pertes par effet Joule et des sections de conducteurs plus faibles.

Le transformateur est le composant permettant d’élever l’amplitude de la tension alternative disponible à la sortie de l’alternateur pour l’amener aux niveaux requis pour le transport. A l’autre bout de la chaine, du côté des consommateurs, les transformateurs sont utilisés pour abaisser la tension et la ramener aux valeurs utilisées dans les réseaux de distribution.

Le transformateur triphasé joue un rôle fondamental dans le transport et la distribution de l’énergie électrique. Les alternateurs des centrales sont triphasés et la tension qu’ils produisent est relativement basse. Si l’on veut transporter l’énergie électrique a un faible cout en réduisant les pertes dans le transport, il faut absolument élever la tension. Pour ce faire, on utilise des transformateurs triphasés élévateurs pour que la tension de transport de l’énergie électrique soit plus élevée [1].

De même, les utilisateurs de l’énergie électrique désirent recevoir une tension qui puisse

être utilisée par leurs appareils électriques. Comme la tension de transport de l’énergie

électrique est trop élevée, il faut donc l’abaisser. On utilise alors des transformateurs triphasés

abaisseurs de tension. Les pertes dans transformateurs dues essentiellement par les

conducteurs électriques notamment par effet Joule principalement qui augmentent

généralement la température des transformateurs ; afin de refroidir ces derniers en utilisant

des systèmes et des moyens de refroidissement.

Ce mémoire comprend trois chapitres, présentant la modélisation des transformateurs et leur refroidissement :

Le premier chapitre a pour vocation de définir entièrement les transformateurs de puissance et leurs conceptions ainsi quelques systèmes de refroidissement après tout d’abord, un bref rappel initial sur leur invention.

Le deuxième chapitre porte à la fois la description et la modélisation des phénomènes intervenant au sein d’un transformateur en fonctionnement par le développement de plusieurs modèles mathématiques. Il porte aussi les termes de couplage d’un problème magnétohydrodynamique (MHD) (puissance par effet de Joule, vitesse) lors d’un refroidissement des transformateurs par un modèle de couplage fort basé sur la méthode des éléments finis (MEF) de résolution par utilisation de COMSOL multiphysiques.

Dans le dernier chapitre, les résultats obtenus pour quelques applications sur le

refroidissement des transformateurs ( à l’huile et à air) , sur lequel nos modèles numérique

seront implémentés et validés. Une conclusion générale fera la synthèse des principaux

résultats obtenus et quelques perspectives.

Chapitre I

Généralités sur les

Transformateurs et leurs

Systèmes de Refroidissement

I.1 INTRODUCTION

Le réseau électrique est constitué de plusieurs composants pour assurer une bonne transmission de l’énergie vers différents utilisateurs. Parmi ces composants, on trouve le transformateur. Ce dernier doit être dimensionné selon le besoin et selon les événements rencontrés (surtensions et échauffement,..). Le but de ce chapitre est de familiariser le lecteur avec le contenu de ce mémoire. Après une brève historique sur l’invention des transformateurs, nous présentons dans une première partie, les principaux éléments des transformateurs de puissance et son principe de fonctionnement et son rôle dans le réseau de transport d’énergie. Dans une seconde partie nous présentons, les systèmes de refroidissement pour quelques types de transformateurs trouvés dans l’industrie et dans la littérature, ainsi que leurs avantages et inconvénients.

I.2 Invention

1831 Michael Faraday réussit à induire un courant dans un circuit électrique secondaire.

1832 Joseph Henry observe l'étincelle se produisant à l'ouverture d'un circuit électrique et nomme ce phénomène extra-courant de rupture. C'est la découverte de l'auto-induction. 1835 Charles Grafton Page expérimente un autotransformateur. 1837 Nicholas Joseph Callan réalise le premier transformateur composé d'un primaire et d'un secondaire. 1838 Charles Grafton Page construit une bobine d'induction qui peut être considérée comme l'ancêtre de la bobine de Rhumkorff. 1845-1850 Antoine Masson et Louis Bréguet fabrique une bobine d'induction à axe verticale. 1851-1856 Heinrich Ruhmkorff mettent au point la bobine qui porte son nom en se basant sur les travaux dès ses prédécesseurs et en fait un instrument scientifique performant qu'il commercialise [4]. En 1883, Lucien Gaulard et John Dixon Gibbs réussissent à transmettre pour la première fois, sur une distance de 40 km, du courant alternatif sous une tension de 2000 volts à l'aide de transformateurs avec un noyau en forme de barres. En 1884, Lucien Gaulard, jeune électricien français, présente à la Société française des Electriciens, un « générateur secondaire », dénommé depuis transformateur. En 1884 Lucien Gaulard met en service une liaison bouclée de démonstration (133 Hz) alimentée par du courant alternatif sous 2000 volts et allant de Turin à Lanzo et retour (80 km). On finit alors par admettre l'intérêt du transformateur qui permet d'élever la tension délivrée par un alternateur et facilite ainsi le transport de l'énergie électrique par des lignes à haute tension.

Gaulard se bat contre les tenants du continu (parmi lesquels Desprez). Cette lutte est aussi

âpre que celle qui oppose Edison (tenant du continu) à Tesla et Westinghouse (tenant de

l’alternatif) outre Atlantique à la même époque. La reconnaissance de Gaulard interviendra trop tardivement. Entre-temps, des brevets ont été pris aussi par d'autres [4]. Le premier brevet de Gaulard en 1882 n'a même pas été délivré en son temps, sous prétexte que l'inventeur prétendait pouvoir faire « quelque chose de rien » ! Gaulard attaque, perd ses procès, est meurt ruiné dans un asile d'aliénés en 1888. Ainsi, en 1885, les Hongrois Károly Zipernowsky, Miksá Déry et Otto Titus Bláthy mettent au point un transformateur avec un noyau annulaire commercialisé dans le monde entier par la firme Ganz à Budapest. Le transformateur de Gaulard de 1886 n'a pas grand-chose à envier aux transformateurs actuels, son circuit magnétique fermé (le prototype de 1884 comportait un circuit magnétique ouvert, d'où un bien médiocre rendement) est constitué d'une multitude de fils de fer annonçant le circuit feuilleté à tôles isolées [4].

I.3 Principe

Le transformateur est constitué de deux bobines couplées par un noyau de fer conduisant le flux créé par l’une jusqu’au secondaire. Les tensions induites sont proportionnelles aux nombres de spires. Le transformateur permet de modifier la tension et le courant d’un circuit. Grace à lui, l’énergie électrique peut être transportée à grande distance de façon économique et distribue dans les usines et les maisons.

Le transformateur est un convertisseur alternatif-alternatif. Il a pour rôle de modifier les

amplitudes de grandeurs alternatives (tensions, courants) en maintenant la fréquence et la

forme d’ondes inchangées, en vue d’adopter le récepteur (charge) au réseau électrique. Les

transformateurs sont des machines statiques et possèdent un exilent rendement. Leur

utilisation est primordiale pour le transport d’´énergie électrique. Ils assurent l’élévation de la

tension entre les alternateurs (source) et le réseau de transport, puis ils abaissent la tension du

réseau pour l’exploiter par les utilisateurs.

I.4 Rôle du transformateur dans le réseau de transport d’énergie (RTE)

Le transformateur est le composant permettant d’élever l’amplitude de la tension alternative disponible à la sortie de l’alternateur pour l’amener aux niveaux requis pour le transport d’énergie électrique (RTE). A l’autre bout de la chaîne, du côté des consommateurs, les transformateurs sont utilisés pour abaisser la tension et la ramener aux valeurs utilisées dans les réseaux de distribution [5].

Les transformateurs sont installés dans les postes de répartition des réseaux de transport ou à l’interface entre le réseau de transport et un réseau industriel de forte puissance.

Un transformateur de puissance réalise l’interface entre deux réseaux, entre un réseau et une installation ou entre un réseau et une machine. Il transmet une puissance électrique sous une tension de service spécifiée. Il est à l’origine du régime de neutre du réseau. Par ses propriétés, il est un composant essentiel de la qualité de service apporté aux usagers et aux processus industriels. Par sa présence il contribue à la maîtrise des courants de court-circuit.

Les enroulements primaires sont couplés en étoile. Le schéma des liaisons à la terre du transformateur est du type IT ou TT. Parce que le réseau de transport THT est exploité avec un neutre direct à la terre, le primaire peut comporter un régleur en charge triphasé et un isolement réduit au voisinage du neutre des enroulements [2].

Les transformateurs sont des machines électriques entièrement statiques, cette absence de mouvement est d'ailleurs à l'origine de leur excellent rendement. Leur utilisation est primordiale pour le transport de l'énergie électrique où l'on préfère « transporter des volts plutôt que des ampères ». Ils assurent l'élévation de tension entre la source (alternateurs SONALGAZ fournissant du 20kV) et le réseau de transport (220 kV en Algérie), puis ils permettent l'abaissement de la tension du réseau vers l'usager.

L’étude de transformateur n’aidera également à comprendre le fonctionnement d’un

grand nombre de machines tel que Moteur d’induction, Alternateur, compensateur synchrone

etc. Car cette machine utilisant aussi le principe d’induction électromagnétique [3].

Figure I.2 : Un Transformateur de Puissance

I.5 Principaux éléments des transformateurs

D’une manière générale, un transformateur est constitué d'un circuit magnétique feuilleté et d'un ensemble des bobines séparées par des écrans électrostatiques qui entourent des noyaux magnétiques. Chaque bobine formant le milieu conducteur est organisée en paquets de spires et chaque spire étant constituée de brins élémentaires. Les différents types de transformateurs se distinguent suivant la disposition géométrique de leurs constituants.et la forme de leur circuit magnétique et du type de refroidissement [8].

I.6 Circuit Magnétique

Un circuit magnétique est le volume ou se referment toutes les lignes de force (F.m.m)

d’un champ magnétique. Ce circuit amène et canalise les lignes de force (F.m.m) dans un

circuit bon conducteur du flux magnétique ; qui constitué par des matériaux dits

ferromagnétiques et en particulier par du fer [8].

Figure I.3 : Circuit magnétique feuilleté d’un transformateur

On obtient un champ magnétique grâce à des aimants permanents ou bien des circuits électriques parcourus par des courants.

Lorsqu’un champ magnétique H circule dans un matériau ferromagnétique, il se crée, dans le matériau, une induction magnétique B, dont la variation suit la relation : B = H (µ) Avec :

B : induction magnétique en Tesla H : Champ magnétique en (A/m)

µ : la perméabilité magnétique du matériau.

On définit la perméabilité relative comme suit : µr= µ/µ

Avec µ0= 4π10

: perméabilité de vide [H/m].

La force magnétomotrice F.m.m est la cause qui engendre le flux magnétique. Elle est égale à, avec n est le nombre de spires et est le courant traversant les spires [8].

Nom Symbol Equation

Force magnétomotrice (Fmm) F [A-t] F = n ɪ

Intensité de champ magnétique H [A-t/m] H = n ɪ/ Ɩ

Densité de champ magnétique B[T] [Wb/𝑚

] B = μ H

Perméabilité μ [Wb/A.m] μ = 𝜇

𝜇

Flux ^{Φ [Wb] Φ = A B}

Flux de liaison Φ [Wb-t] [V.s] λ = n Φ

Inductance L [H] L = λ/ɪ = 𝑛

/ℜ = 𝑛

Ʌ

Reluctance ℜ [A. t/Wb] [𝐻

] ℜ = 1/Ʌ

Perméance Ʌ [H] Ʌ = 𝜇

𝜇

A/ Ɩ

Tableau I.1 : Grandeurs d’un circuit magnétique

𝜇

: Perméabilité relative de matériau ferromagnétique Ɩ : Longueur du noyau.

n : Nombre de spires

A : Section de noyau.

I.7 Types des Transformateurs

Vers la fin des années 1885 et après avoir pris possession de la licence d'exploitation des brevets nécessaires, George Westinghouse développe un nouveau type de transformateur.

Pour ce modèle, le circuit magnétique entoure entièrement les enroulements d’où son nom de

"cuirassé". Plus tard, dans un souci de facilité de conception, une version à "colonnes" de ce transformateur fut conçue. Ces deux types de transformateurs sont encore aujourd'hui les plus employés [8].

La puissance des transformateurs varie de quelques kVA à plusieurs centaines de MVA. Les tensions d'usage commencent, quant à elles, à quelques centaines de volts, sur les réseaux de distribution, pour atteindre plusieurs centaines de kilovolts en sortie des centres de production. Le choix d'un type de transformateur sur cette large gamme dépend non seulement des contraintes électriques, mécaniques et thermiques, mais également des problèmes d'encombrements et économiques. Toutefois, la majorité des équipements commercialisés concernent des transformateurs à colonnes, de distribution et d'une puissance allant de quelques dizaines à quelques centaines de kVA.

I.7.1 Transformateur ordinaire de phase

Du point de vue de leurs applications, les transformateurs ordinaires de phase (monophasé, biphasé, et triphasé), groupés dans trois ou cinq colonnes se classent en trois catégories :

• Les transformateurs pour les grands réseaux et les grandes centrales, leur puissance varie de 100 à 400 MVA.

• Les transformateurs pour réseaux de répartition qui alimentent les lignes à moyenne tension, leur puissance varie de 5 à 30 MVA.

• Les transformateurs de distribution destinés à l’alimentation des utilisateurs de

L’énergie éclectique en basse tension (380 ou 220V), leur puissance varie de 5 à

1000 kVA.

I.7.2 Transformateurs triphasés

Les transformateurs triphasés sont présents à différents endroits dans les réseaux électriques pour adapter les valeurs efficaces des tensions aux niveaux souhaitables. De façon simplifiée, l’énergie électrique est produite dans les centrales sous des tensions moyennes. Le transport à longue distance exige des hautes tensions afin de limiter les pertes par effet Joule et réduire le dimensionnement des conducteurs, et l’utilisation demande des tensions basses ou moyennes. Des transformateurs élévateurs sont nécessaires au départ, et des transformateurs abaisseurs sont indispensables à l’arrivée coté consommateurs.

I.7.3 Transformateur à colonnes

Le transformateur à colonnes est constitué de deux enroulements concentriques par phase. Ces enroulements sont montés sur un noyau ferromagnétique qui se referme à ses extrémités via des culasses afin d'assurer une bonne canalisation du flux magnétique. Dans cette technologie, ce sont les enroulements qui entourent le circuit magnétique de manière à maximiser le couplage tout en minimisant le volume des conducteurs. Les conducteurs sont de dimensions variables et de topologies multiples, selon les puissances mises en jeux.

Le transformateur triphasé ainsi constitué est donc composé de trois paires de bobinages indépendantes et par la suite connectées entre elles selon différents schémas récurrents. Ces couplages permettent notamment l'adaptation des niveaux de courant et de tension aux caractéristiques nominales du transformateur au sein de son réseau. On retrouve ainsi des couplages dits en "étoile", en "triangle", ou en "zig-zag", voire d'autres, dérivés de ceux-ci et permettant la compensation de certains courants harmoniques.

Figure I.4 : Transformateur à colonnes

I.7.4 Transformateur Cuirassé

Dans ces transformateur cuirasses les chemins de retour du flux magnétique à travers le circuit magnétique sont externes et entourent les bobinages grâce à son excellent arrangement de l’écrantage magnétique le transformateur cuirasses correspond particulièrement bien à la fourniture de basse tension et fort courant, comme par exemple dans le cas de transformateur de fours a arcs. Cette technologie est particulièrement compacte par rapport à la technologie colonne, cependant elle requière une certaine expérience et beaucoup de main d’œuvé quant à la construction des bobinages et à l’assemblage des tonnes de circuit magnétique

Ces transformateurs sont utilisés principalement au sein des réseaux de transport et de répartition, où les surtensions transitoires sont fréquentes. Dans cet environnement, ils doivent se prémunir des effets néfastes, voire dévastateurs de ces surtensions sur les enroulements.

Pour cela des écrans sont utilisés afin de réduire les contraintes liées aux champs électriques dans les bobinages [8].

Figure I.5 Transformateur type cuirasse I.7.5 Les enroulements

Dans ce type de construction la bobine qui est en fait une grande spirale rectangulaire

très plate (galette), contient un certain nombre de spires, chaque spire étant elle-même

constituée d’une ou de plusieurs couches de conducteurs. Les galettes sont alternées entre la

haute et la basse tension afin de diminuer les fuites magnétiques et le gradient de tension. En

outre, cette topologie offre l'avantage d'engendrer des forces en opposition entre chaque

galette lors de court-circuit [6].

Figure I.6 Enroulement de transformateur type cuirassé

Figure I.7 Construction des enroulements en galettes I.7.6 La Cuve

En plus de son rôle de réservoir au liquide diélectrique, la cuve assure le maintien mécanique du circuit magnétique et des enroulements. Elle épouse naturellement le contour de la partie active et minimise ainsi le volume d'huile donc également les coûts et la masse du transformateur. Enfin, à la base de celle-ci des shunts magnétiques permettent de canaliser partiellement les flux de fuites.

I.8 Systèmes de Refroidissement des Transformateurs

I.8.1 Transformateur immergé dans l'huile et transformateur sec

Selon le type de refroidissement on distingue : les transformateurs à l’huile et les

transformateurs secs.

I.8.2 Transformateur à l’huile

Pour prévenir l’action néfaste de l’air sur l’isolation des bobines et améliorer le refroidissement du transformateur, on place le noyau magnétique avec les enroulements dans une cuve remplie d’huile minérale. Malgré ces propriétés avantageuses, l’huile de transformateurs a deux défauts principaux : elle est inflammable et sa vapeur forme avec l’air dans certaines conditions un mélange explosif.

En plus de son rôle de réservoir au liquide diélectrique, la cuve assure le maintien mécanique du circuit magnétique et des enroulements. La construction de la cuve généralement de forme ovale est liée au calcul thermique du transformateur. Le refroidissement du transformateur est d’autant plus difficile à réaliser que la puissance du transformateur est grande. La cuve est tapissée de shunts magnétiques, dont on distingue deux types :

• Les shunts magnétiques formés d’un empilement de tôles magnétiques semblable au noyau et qui canalise le flux de fuite.

• Les shunts amagnétiques plus économiques, constitués de plaque de cuivre ou aluminium ayant pour rôle de repousser le flux de fuite.

I.8.3 Transformateur sec

Les transformateurs immergés dans l’huile liquide à base minérale ou de silicone sont plus répondus pour les plus fortes puissances et les niveaux de tension élevés, mais présentent des risques de fuite, d’incendie et la pollution de l’environnement. Cela a permis de laisser la place aux transformateurs avec technologie sèche, avec des enroulements enrobés (imprégnés). Le système d’isolation électrique est remplacé par une résine (époxyde) et l’air.

Des résines ont été développées pour résister aux tensions électriques et aux contraintes mécaniques, thermiques qui apparaissent dans un transformateur en service. L’aspect favorable est son comportement non inflammable et léger. Ce genre de transformateur est le plus appropriés pour la distribution de l'électricité en degré élevé de sûreté.

I.8.4 Méthodes de refroidissement pour les transformateurs à sec I.8.4.1 Air Natural

Cette méthode de refroidissement des transformateurs est généralement utilisée dans les

petits transformateurs (jusqu'à 3 MVA). Dans cette méthode, le transformateur est autorisé à

I.8.4.2 Souffle d'air

Pour les transformateurs de plus de 3 MVA, refroidissement par la méthode de l'air naturel est inadéquate. Dans cette méthode, l'air est forcé sur le noyau et les enroulements à l'aide de ventilateurs ou de soufflantes. L'air doit être filtré pour éviter l'accumulation de particules de poussière dans les conduits de ventilation. Cette méthode peut être utilisée pour des transformateurs jusqu'à 15 MVA.

I.8.5 Méthodes de refroidissement pour les transformateurs immergés dans l'huile I.8.5.1 Huile Naturelle à Air Naturel

Cette méthode est utilisée pour les transformateurs immergés dans l'huile. Dans cette méthode, la chaleur générée dans le noyau et l’enroulement est transférée à l’huile. Selon le principe de la convection, l'huile chauffée s'écoule vers le haut, puis dans le radiateur. La place vacante est remplie par l’huile refroidie provenant du radiateur. La chaleur de l'huile se dissipera dans l'atmosphère en raison du flux d'air naturel autour du transformateur. De cette manière, l'huile dans le transformateur continue à circuler en raison de la convection naturelle et la chaleur dissipée dans l'atmosphère en raison de la conduction naturelle. Cette méthode peut être utilisée pour des transformateurs jusqu'à environ 30 MVA.

Figure I.8 : Huile Naturelle à Air Naturel du refroidissement de transformateur I.8.5.2 Huile naturelle à air forcé

La dissipation de chaleur peut être encore améliorée par appliquer de l'air forcé sur la

surface de dissipation. L'air forcé permet une dissipation de chaleur plus rapide que le flux

d'air naturel. Dans cette méthode, les ventilateurs sont montés à proximité du radiateur et

peuvent être dotés d'un système de démarrage automatique, qui s'allume lorsque la

température augmente au-delà d'une certaine valeur. Cette méthode de refroidissement du transformateur est généralement utilisée pour les gros transformateurs jusqu'à environ 60 MVA.

Figure I.9 : Huile naturelle à air forcé du refroidissement de transformateur I.8.5.3 Huile forcée à air forcé

Dans cette méthode, l'huile est distribuée avec l'aide d'une pompe. La circulation de

l'huile est forcée à travers les échangeurs de chaleur. Ensuite, de l'air comprimé est forcé de

s'écouler sur l'échangeur thermique à l'aide de ventilateurs. Les échangeurs de chaleur peuvent

être montés séparément du réservoir du transformateur et raccordés par des tuyaux en haut et

en bas, comme indiqué sur la figure. Ce type de refroidissement est prévu pour les

transformateurs de classe supérieure dans les sous-stations ou les centrales.

I.8.5.4 Huile forcée

Cette méthode est similaire à la méthode précédente, mais ici le débit d'eau forcé est utilisé pour dissiper l’énergie provenant des échangeurs de chaleur. L'huile est forcée de s'écouler à travers l'échangeur de chaleur à l'aide d'une pompe, où la chaleur est dissipée dans l'eau, qui doit également s'écouler. L'eau chauffée est emportée pour refroidir dans des glacières séparées. Ce type de refroidissement est utilisé dans les très grands transformateurs ayant une puissance nominale de plusieurs centaines de MVA [9].

Figure I.11 : Huile forcée du refroidissement de transformateur I.9 Systèmes de refroidissement de liquides

I.9.1 Refroidissement humide à cycle ouvert ou fermé (Par voie humide) I.9.1.1 Principe

La technologie de refroidissement la plus répandue pour les groupes froids thermiques

est le refroidissement humide, à l’aide de tours de refroidissement ouvertes. La figure ci-

dessous, illustre le principe d’une tour de refroidissement ouverte : l’eau du circuit de

refroidissement est envoyée en spray au sommet de la tour sur la zone d’échange (matériau de

garnissage). Le principal effet de refroidissement est obtenu par évaporation d’un faible

pourcentage d’eau (typiquement <5%) ; cette perte doit être compensée par l’ajout d’eau

neuve du réseau. L’eau refroidie retourne dans le circuit. Un ventilateur (horizontal en

sommet de tour pour les modèles hélicoïdaux ou en partie basse de la tour pour les modèles

centrifuges) extrait l’air saturé pour assurer que l’évaporation continue. Cette technologie est très efficace dans les climats appropriés (dotés d'une hygrométrie raisonnable, soit moins de 80% en moyenne) et, en principe la température limite de retour de l’eau refroidie est proche de la température de bulbe humide de l’air (3°C à 5°C au-dessus de la température humide).

Figure I.12 : Cycle de refroidissement ouvert

Le principe des cycles de refroidissement fermées est très similaire, à ceci près que l’eau évaporée lors du procédé de refroidissement est différente de l’eau circulant dans le circuit de refroidissement. La figure ci-dessous (I.13) illustre son principe.

Dans les climats secs, la vitesse des ventilateurs doit souvent être diminuée pour ne pas

descendre en dessous de la température minimum acceptée par le groupe froid (souvent 24°C

pour les systèmes à absorption), Alors que dans des climats très humides la température de

bulbe humide de l’air est souvent élevée.

I.9.1.2 Avantages et inconvénients

 Avantage - Efficacité

- Maturité technique

- Prix (prix faible surtout pour les tours ouvertes) - Faible consommation en électricité

 Inconvénients

- Consommation d’eau (environ 5 litres/kWh froid)

- Législation très stricte visant à lutter contre les légionnelles (traitement et contrôle régulier de la qualité de l’eau sont obligatoires)

I.9.2 Refroidissement sec sans évaporation (par voie sèche) I.9.2.1 Principe

Pour éviter les problèmes de risques de prolifération de légionnelles, et donc d’éviter l'application d'une législation lourde, un autre moyen de refroidissement est possible : les systèmes de refroidissements sec sans évaporation (aérorefroidisseur), également appelés « drycoolers ». Dans ce cas, l’eau du circuit de refroidissement passe par un échangeur air/eau.

L’air frais extérieur mis en circulation par des ventilateurs assure le refroidissement de l’eau.

La température de retour de l’eau est alors de quelques degrés plus élevée que la température de l’air ambiant. L'efficacité de ce dispositif est fortement dépendante de la température ambiante et celle-ci doit être impérativement significativement inférieure à la température de condensation de la machine à sorption. Les performances de ce système sont donc moins élevées que celle des tours de refroidissement humides, et la consommation en électricité est plus importante, mais ce système permet de s’affranchir des traitements et du contrôle régulier de l’eau, et des coûts qui lui sont associés [10].

Figure I.14 : Principe de refroidissement sec sans évaporation

I.9.2.2 Avantages et inconvénients

 Avantages

- Pas de consommation d’eau

- Pas de traitement ni de contrôle de l’eau

- Simple à mettre en œuvre (pas de circuit d’alimentation d’eau de réseau à mettre en place)

 Inconvénients

-Consommations électriques élevées - Efficacité moins élevée

-Impossibilité de tenir une consigne de refroidissement lorsque la température extérieure est trop élevée

Figure I.15 : Principe d’un système de refroidissement par voie sèche CONCLUSION

Ce chapitre était consacré aux principales technologies des transformateurs de puissance. L’intérêt industriel des transformateurs de puissance se traduit par une grande variété d’application et d'importance dans le RTE (transformation et interconnexion). Nous avons présenté, quelques notions de base sur le mécanisme et les systèmes de refroidissement les avantages et les inconvénients pour différents types des transformateurs sont présentées.

Le prochain chapitre sera consacré à la modélisation multiphysique des transformateurs en

Chapitre II

Modélisation Multiphysique

des Transformateurs

II.1 INTRODUCTION

Dans ce chapitre on va présenter les différents modèles mathématiques décrivant les phénomènes multiphysiques qui définissent la procédure du refroidissement au sein des transformateurs (la magnétohydrodynamique MHD) et décrire les méthodes de résolution de leurs équations. En utilisant les équations de Maxwell et les lois constitutives du milieu, on détermine les paramètres électromagnétiques relatifs à chaque problème. Pour le problème hydrodynamique, c’est l’équation de Navier Stokes associée aux propriétés du fluide (densité de charge et viscosité dynamique ou cinématique) qui permet de déterminer la variation de la vitesse d’écoulement et de la température lors de refroidissement d’un transformateur. Le couplage entre ce système d’équations est assuré par des termes de sources. L’équation électromagnétique et l’équation de diffusion de la chaleur permettent de définir la variation de la température est réalisé par un terme source qui est régi par la puissance par effet de Joule. Le terme de couplage entre l’équation de la température et l’équation d’écoulement de fluide est régi par un flux convectif (convection).

II.2 Les Phénomènes Multiphasiques

Dans ce qui va suivre nous présentons les formulations mathématiques modélisant le système électrique refroidi (transformateurs), qui expriment les phénomènes couplés : l’électromagnétisme (équations de Maxwell) et hydrodynamique (équations de Navier Stokes). Ainsi certaines hypothèses permettant de simplifier ces équations [11].

II.2.1 Phénomène électromagnétique

Jusqu’au milieu du 19 siècle, électricité et magnétisme formaient deux théories distinctes et différenciées de la physique. Il revient à James Clark Maxwell (1831-1879), physicien écossais d’avoir unifié en 1865 ces deux théories en une seule et unique théorie dite « électromagnétisme ». Mais il serait injuste d’oublier plusieurs physiciens, prédécesseurs de Maxwell, qui ont ouvert la voie à la formulation de la théorie de l’électromagnétisme [12].

Dérivant de la loi de coulomb, le théorème de gauss - loi découvrit en électrostatique -

apparaît comme une loi générale. Même chose se dit dans la magnétostatique pour la loi de

conservation du flux magnétique qui dérive de la loi de Biot et Savart.

Au contraire de ces deux lois générales qui concernent les divergences des champs électrique et magnétique, les relations exprimant les rotationnels de ces deux champs avaient un autre chemin avec les phénomènes dépendants du temps.

II.2.2 Equations de Maxwell

Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l’électromagnétisme, avec l’expression de la force électromagnétique de Lorentz. Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère, faraday) qui régissaient l’électromagnétisme avant que Maxwell ne les réunisse sous forme d’équations intégrales.

Nous présentons les équations de Maxwell permettant de formaliser les relations entre les différentes entités électrotechniques [13].

L'ensemble phénomènes électromagnétiques peut être décrit par six grandeurs qui dépendent du temps et l'espace et qui sont :

𝐸⃗ (x,t): Champ électrique [v. m

] 𝐵 ⃗ (x,t):: Induction magnétique [T]

𝐻 ⃗⃗ (x,t):: Champ magnétique [A. m

] 𝐷 ⃗⃗ (x,t):: Induction électrique [c. m

].

ρ : Densité de charge volumique [c. m

].

𝐽 (x,t):: Densité de courant surfacique [A. m

].

Ces différentes grandeurs sont liées par les équations de Maxwell qui décrivent, de façon générale associés aux équations de constitutives des matériaux :

La première équation de Maxwell permet d'expliciter le lien entre le champ électrique source et les charges électrostatiques (Equation de maxwell-Gauss) :

𝑑𝑖𝑣𝐷 ⃗⃗ = 𝜌 (II-1)

Le flux 𝐷 ⃗⃗ à travers une surface fermée, est proportionnel à la charge électrique contenu La deuxième équation est le lien entre le champ électrique et l'induction magnétique :(Equation de maxwell-faraday)

𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = −

𝜕𝑡

(II-2)

Cette deuxième équation est connue également sous le nom de loi de Faraday-Lenz : la circulation du champ électrique le long d'un contour fermé est égale et opposée à la variation de flux de l'induction magnétique par rapport au temps.

La troisième équation de Maxwell représente la loi de conservation de flux de l'induction magnétique :

𝐷𝑖𝑣 𝐵 ⃗ = 0 (II-3) La dernière équation représente la conservation de la charge électrique pour un courant électrique (Equation de maxwell-Ampère) :

𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻 ⃗⃗ = 𝐽 +

𝜕𝑡

(II-4)

Dans les basses fréquences on néglige le terme

𝜕𝑡

(courants de déplacement).

II.2.2.1 Formes intégrales des équations de Maxwell

Nous allons voir que, à partir de ces grandeurs locales, les phénomènes physiques font la plupart du temps intervenir des expressions intégrées des équations de la physique. De même, les grandeurs généralement mesurables sont elles-mêmes des grandeurs intégrées (force, puissance thermique, tension, courant. . .).

Ces équations montrent notamment qu’en régime stationnaire, les champs électrique et magnétique sont indépendants l’un de l’autre, alors qu’ils ne le sont pas en régime variable.

Dans le cas le plus général, il faut parler du champ électromagnétique.

Alors il est indispensable d’imposer des équations liées aux lois constitues des matériaux et cela pour déterminer les différentes variables E ⃗⃗ , J , H ⃗⃗ et D qui sont approximativement variable dans beaucoup des matériaux.

∯ 𝐸⃗ 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗⃗ =

ԑ0

(II-5)

𝑄 = ∭ 𝜌 𝑑𝑣

Ce résultat qui exprime que le flux du champ électrique à travers toute surface fermée

est égal à la somme des charges intérieures sur ε0 est connu sous le nom de théorème de

Gauss. Il montre que le champ électrique peut lui diverger à partir de points où se trouvent des

charges électriques. Le « théorème de Gauss » est donc vrai en régime variable.

II.2.2.2 Equation de maxwell-faraday

∮ 𝐸⃗ 𝑑𝑙 ⃗⃗⃗ = −

𝑑𝑡

(II-6) 𝛷 = ∬ B ⃗⃗ ds ⃗⃗⃗⃗

Cette équation décrit tous les phénomènes d'induction et montre qu'un champ magnétique variable peut créer un champ électrique à circulation non nulle.

II.2.2.3 Loi de conservation de flux de l'induction magnétique

∯ 𝐵 ⃗ 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗⃗ = 0 (II-7) Précise sa signification : Le flux de B travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété intrinsèque de B qui montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points de l'espace, ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Nous retrouvons là en fait la même équation qu’en régime stationnaire.

II.2.2.4 Equation de Maxwell-Ampère

∮ 𝐵 ⃗ 𝑑𝑙 ⃗⃗⃗ =μ0 I + μ0 ԑ0∬

. 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗⃗ (II-8) 𝐼 = ∬ 𝐽 . 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗⃗ (II-9)

En régime stationnaire, nous retrouvons le théorème d’Ampère qui montre que le champ B ⃗⃗ tourne autour des courants. Le terme supplémentaire en

𝜕𝑡

indique qu’un champ électrique variable est source de champ magnétique.

Les relations constitutives des matériaux et les conditions de passage complètent ces équations.

II.2.3 Relations constitutives des milieux

Elles relient entre elles les champs, charges et courants introduits ci-dessus et sont habituellement dépendantes de la fréquence

𝐷 ⃗⃗ = 𝜀 (w, P, T) 𝐸⃗

𝐵 ⃗ =μ (w, P, T) 𝐻 ⃗⃗

𝐽 =𝐽 ⃗⃗⃗⃗⃗ +σ (w, P, T) 𝐸⃗

Où les tenseurs ε, μ, σ sont la permittivité, électrique, la perméabilité magnétique et la conductivité électrique respectivement et qui dépendent, entre autres, de la fréquence (ils peuvent aussi dépendre de la position, de la température, de la pression, etc.). Les éléments de ces tenseurs sont complexes, ce qui entraine bien sur un déphasage entre D ⃗⃗ et E ⃗⃗ , B ⃗⃗ etH ⃗⃗ , J etE ⃗⃗ .

Ils peuvent aussi avoir un comportement non linéaire. Cependant pour l'immense majorité des cas en exploration électromagnétique, les propriétés physiques tensorielles exprimées ci-haut peuvent être simplifiées moyennant ces hypothèses :

Tous les milieux sont linéaires, isotropes et homogènes et leurs propriétés physiques ne varient qu'avec la fréquence [12].

 Relation magnétique

Pour les matériaux diamagnétiques, la relation entre B et H est linéaire et de la forme :

𝐵 ⃗ =μ0μr𝐻 ⃗⃗ (II-10) 𝜇

: Perméabilité magnétique du vide égale à 4.π.10-7[H/m].

𝜇

: Perméabilité relative du matériau considérer [H/m]

Pour les matériaux ferromagnétiques, si l’on néglige le phénomène d’hystérésis, il est possible d’exprimer ‘B’ par une fonction univoque de la forme :

𝐵 ⃗ =μ(𝐻 ⃗⃗ ) 𝐻 ⃗⃗ (II-11) μ : est une fonction du module de H [H/m].

Dans le cas de matériaux durs (aimants permanents), seule la partie utile du cycle d’hystérésis est considérée, celle-ci peut être modélisée par la relation :

𝐵 ⃗ = 𝜇

𝐻 ⃗⃗ + 𝐵⃗ r (II-12) 𝜇

: Perméabilité de l’aimant

B

: induction rémanent de l’aimant [T]

Dans le vide et même dans l’air l’induction et le champ magnétique, ainsi que l’induction et le champ électriques sont liée par :

𝐵 ⃗ = 𝜇

𝐻 ⃗⃗ (II-13)

𝐷 ⃗⃗ = 𝜀

𝐸⃗ (II-14)

II.2.3.1 Loi d’Ohm généralisé

Une troisième équation essentielle relie le champ électrique et la densité de courant par l’intermédiaire électrique σ :

𝐽 = 𝐽 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜎 𝐸⃗ + 𝜎(𝑉⃗ ∧ 𝐵⃗ )

(II-15)

V ⃗⃗ vitesse au point considéré [m/s].

σ E ⃗⃗ : Densité des courants induits des champs électriques E [A/𝑚

].

σ(V ⃗⃗ ∧ B ⃗⃗ ) : Densité des courants induits résultant au mouvement E [A/𝑚

].

En repos, en absence de mouvement la loi d’ohm donne comme suit

𝐽 = 𝐽 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜎𝐸⃗

(II-16)

Avec :

σ : La conductivité électrique [Ω/m]

II.2.4 Conditions de passage entre milieux

Les grandeurs électromagnétiques pourraient être discontinues à l'interface entre deux milieux de propriétés différentes. Les conditions de passage (ou de transmission) permettent alors d'exprimer les relations entre deux grandeurs sur ces frontières.

L’étude d’une structure qui comporte plusieurs régions homogènes détermine d’abord les champs dans chaque région avec la forme locale des équations de Maxwell, puis applique les conditions aux limites fournies par la forme globale des équations.

On définit une surface ou un volume de part et d’autre de la surface de séparation et on applique les équations de Maxwell sous forme intégrale.

Figure II.1 : Surface et volume d’intégration entre deux milieux.

On fait prendre δ vers zéro et on prend la limite des intégrales. Ceci fournit des relations entre certaines composantes des champs de part et d’autre de l’interface.

II2.4.1 Conditions sur les composantes tangentielles

On applique les relations intégrales à la surface de gauche dans la figure (II .1). Quand la hauteur du contour tend vers zéro, l’aire comprise a l’intérieur s’annule et il en va de même pour les flux des champs B et D . En revanche, la contribution de la densité de courant ne s’annule pas lorsque la limite du produit Jx δ donne le courant de surface Js .

Comme la surface d’intégration a été choisie de façon arbitraire par rapport à la surface de séparation, la condition limite doit rester valable quelle que soit l’orientation, ce qui n’est possible que si

𝑛⃗

∗ (𝐻 ⃗⃗

−𝐻 ⃗⃗

)= 𝐽 s (II-17)

𝑛⃗

∗ (𝐸⃗ 1−𝐸⃗

)=0 (II-18)

Ou le vecteur n est perpendiculaire à la surface de séparation, allant du milieu 2 vers le milieu 1, et ou Js est la densité de courant de surface, qu’il ne faut pas confondre avec la densité volumique de courant Js qui apparait dans les équations de Maxwell.

Les composantes du champ électrique tangentiel à la surface entre deux milieux sont toujours continues de part et d’autre de la surface. En revanche, les composantes tangentielles du champ magnétique sont discontinues lorsqu’une densité surfacique de courant Js circule sur la surface de séparation.

II.2.4.2 Conditions sur les composantes normales

On intègre les équations sur la surface de droite de la figure et on fait tendre δ vers zéro.

Le volume et contributions des parois latérales s’annulent et la seule charge qui reste est la charge de surface. Comme les relations doivent être valables quel que soit le volume choisi, obtient les relations suivantes pour les composantes normales.

𝑛⃗

∗ (𝐷 ⃗⃗

−𝐷 ⃗⃗

)= 𝜌

(II-19)

𝑛⃗

∗ (𝐵 ⃗

−𝐵 ⃗

)= 0 (II-20)

Où ρs est la densité de charge de surface, la composante normale de B ⃗⃗ est toujours

continue, tandis que celle du champ de déplacement D ⃗⃗⃗ est discontinue lorsqu’il y a des

II .2.5 Conditions aux limites naturelles

Les valeurs d’un champ X à la frontière du domaine satisfait principalement deux relations simples. Il peut être soit de valeur connue soit normal à la surface ce qui se traduit par :

II .2.5.1 Conditions aux limites spatiales et temporelles

Les valeurs d'un champ U aux frontières peuvent satisfaire principalement deux conditions simples [14], Ainsi aux limites du domaine, ce champ peut être soit normal (domaine symétrique) (II-21), soit de valeur connue (II-22), ce qui se traduit par :

Condition de Neumann :

𝑑𝑡

=0 (II-21)

Condition de Dirichlet : U. n = 0 (II-22)

Les conditions aux limites temporelles sont en général fixées à des valeurs nulles à l'instant initial.

II .2.6 Conditions de Jauge

Les relations constitutives des matériaux, les conditions de passage, ainsi que les conditions aux limites ne suffisent pourtant pas à assurer l'unicité d'une solution et l'utilisation de jauges est nécessaire à la résolution des équations de Maxwell.

Les champs intervenant dans les équations de Maxwell ne sont définis qu'à un gradient (champ à rotationnel), ou un rotationnel près (champ à divergence).

Selon la formulation retenue et le type d'éléments de discrétisation, certaines jauges sont alors préférables. Les principales jauges sont :

∇ ⋅ U = 0 (Jauge de Coulomb)

∇.U+K∗

𝑑𝑡

=0 (Jauge de Lorentz) II .2.7 Différentes Formulations Electromagnétiques

Dans le cas général, le domaine de représentation d'un problème magnétodynamique est constitué (figure II.2) : d'un inducteur Ω1 parcouru par une densité de courant J0, de région conductrice simplement connexe Ω2, multiplement connexe Ω3, ou de type mince Ω4 et siège de courants induits.

Il comporte également des régions ferromagnétiques isolantes simplement connexes

(Ω5) ou multiplement connexes (Ω6)

Figure II.2 : Domaine d'étude générique d'un problème magnétodynamique

Le domaine d'étude Ω englobe ces régions distinctes ainsi que celle du milieu environnant Ω0. Il est notamment limité par des frontières ΓB, ΓH, sur lesquelles sont annulées respectivement la composante normale de l'induction magnétique et la composante tangentielle du champ magnétique.

La résolution du problème électromagnétique quasi stationnaire, dans le domaine Ω, nécessite le choix d'une formulation basée sur une grandeur caractéristique et en association avec les relations constitutives, les relations de passage, les conditions aux limites et les conditions de jauge. On distingue deux catégories de formulations basées soit sur le champ électrique E, soit sur le champ magnétique H. La première catégorie inclut surtout la formulation en potentiel vecteur magnétique A et ses variantes. La deuxième catégorie comprend des formulations en H ou la formulation en T-Ω [15].

II .2.7.1 Phénomène Electrostatique

La source du champ électrostatique est constituée par des charges fixes (C’est-à-dire que le terme 𝜕𝐵 /𝜕𝑡 est nul).

Le champ électrique :

𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 (II-23)

Et l’équation (II-2) devient :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 0

Dans le référentiel d’étude les équations correspondants sont (II-18), (II-1) et (II-9) Le modèle se ramène alors à l’équation suivante :

𝐷𝑖𝑣(ԑ 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉) − 𝜌 = 0 (II-25)

L’inconnue est une scalaire « V » ce qui impose donc une seule valeur à calculer en chaque point, lorsque les conditions aux limites du problème à étudier s’expriment en fonction de « V » ou de sa dernière normale, l’unicité de la solution est assuré.

II .2.7.2 Formulation du modèle magnétostatique

 Formulation en potentiel vecteur magnétique A

Comme le modèle précédent on suppose que le champ magnétique est produit par des sources indépendantes du temps, le terme

𝜕𝑡

est nul et le champ électrique 𝐸⃗ et magnétique 𝐻 ⃗⃗⃗⃗

sont découplés par contre on désir de modéliser un objet parcourus par des courants non nuls, on obtient alors les équations (II-3), (II-4) et (II-12).

L’équation (II-3) permet de définir une fonction vectorielle 𝐴 appelée potentiel vecteur magnétique telle que l’on a :

𝐵 ⃗ = 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 (II-26)

Pour que 𝐴 soit totalement défini, on doit fixer sa divergence en utilisant la gauge de coulomb :

𝐷𝑖𝑣 𝐴 = 0 (II-27)

D’après ces équations on obtient : 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

𝜇

𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐴 )) = 𝐽 + 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

𝜇

) (II-28)

 L’unicité de la solution

Dans les problèmes bidimensionnels (système suffisamment long ou à symétrie axiale), le potentiel vecteur magnétique se réduit à une seule composante, ce qui rend ce modèle attrayant pour la résolution de tels problèmes.

Dans le cas tridimensionnel (3D) la résolution d’EDP donne une infinité de solution,

pour assurer que la solution est unique on ajoute la condition de Jauge de Colomb comme

terme pondérateur.

 Formulation en potentiel scalaire magnétique total : Φt

Lorsqu'il n'existe aucune source de courant dans une région, le rotationnel du champ magnétique est nul, et les champs ne dépendent pas du temps, ce qui signifie que le champ dérive d'un potentiel scalaire magnétique :

𝐷𝑖𝑣 𝐵 ⃗ = 0

𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻 ⃗⃗ = 0 (II-29)

C’est le cas des dispositifs pour lesquels les champs sont créés par les forces magnétomotrices extérieures et indépendantes du dispositif étudié, ou bien par l’effet d’aimant permanent pour lesquels on a la loi :

𝐵 ⃗ = 𝜇 𝐻⃗⃗ (II-10)

Cette relation implique qu’il existe une fonction 𝜙 potentielle scalaire magnétique telle que :

𝐻 ⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷𝑡 (II-30)

On obtient alors :

𝑑𝑖𝑣(𝜇 𝐻 ⃗⃗ )=0 (II-31)

𝑑𝑖𝑣(𝜇( 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷𝑡)) =0 (II-32)

 Remarque

L’inconnu Φt un seul inconnu par point (réduire le cout de calcul).Cette formulation présente l’inconvénient qu’elle est uniquement applicable dans les régions simplement connexes.

II .2.7.3 Formulation du modèle magnétodynamique

Avec le modèle magnétodynamique les champs E et H sont liée par la loi d’induction.

Alors les quatre équations de Maxwell interviennent pour la description des phénomènes

électromagnétiques, Des courants induits apparaissent dans les conducteurs suite au champ

électromoteur E issue de la loi d’induction (équation de Maxwell-Faraday).