Modélisation et analyse structurelle du fonctionnement dynamique des systèmes électriques

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dynamique des systèmes électriques

Mohamed Belhocine

To cite this version:

Mohamed Belhocine. Modélisation et analyse structurelle du fonctionnement dynamique des sys- tèmes électriques. Automatique. Université Paris Saclay (COmUE), 2016. Français. �NNT : 2016SACLN047�. �tel-01537113�

NNT : 2016SACLN047

T HESE DE DOCTORAT DE

L’U NIVERSITE P ARIS -S ACLAY PREPAREE A

“L’E COLE N ORMALE S UPERIEURE DE C ACHAN (E COLE N ORMALE

S UPERIEURE P ARIS -S ACLAY )”

E

D

° 580

Sciences et Technologies de L’information et de la Communication (STIC) Spécialité de doctorat : Automatique

Par

Mr Mohamed BELHOCINE

Modélisation et analyse structurelle du fonctionnement dynamique des systèmes électriques

Thèse présentée et soutenue à « L’ENS Cachan », le «25/11/2016 » :

Composition du Jury :

Mr, MOUNIER, Hugues Professeur Laboratoire L2S Paris-Saclay Président Mr, THOMAS, Jean-Luc Professeur CNAM Paris Rapporteur Mr, BARBOT, Jean-Pierre Professeur ENSEA Cergy Rapporteur Mr, QUADRAT, Alban Directeur de Recherche Inria-LILLE Examinateur Mr, MARINESCU, Bogdan Professeur Ecole Centrale de Nantes Directeur de thèse Mr, HEYBERGER, Jean-Baptiste Ingénieur RTE Invité

Les travaux pr´ esent´ es dans cette th` ese ont ´ et´ e r´ ealis´ es au sein du D´ epartement Expertise Syst` emes de RTE (R´ eseau de Transport d’Electricit´ e) dans le cadre d’un contrat CIFRE faisant intervenir le laboratoire SATIE de l’ENS de Cachan.

Au d´ ebut, je tiens ` a remercier mon directeur de th` ese monsieur Bogdan MARINESCU (ac- tuellement professeur ` a l’Ecole Centrale de Nantes) d’avoir dirig´ e et encadr´ e cette th` ese. Je remercie ´ egalement le professeur Hugues MOUNIER du laboratoire L2S d’avoir accept´ e de par- ticiper ` a la supervision de cette th` ese et de pr´ esider le jury. Mes remerciements s’adressent

´

egalement aux deux professeurs monsieur Jean-Pierre BARBOT de l’ENSEA de Cergy et mon- sieur Jean-Luc THOMAS du CNAM de Paris d’avoir accept´ e de rapporter cette th` ese avec une attention et un int´ erˆ et remarquables. Je ne manque pas aussi de remercier monsieur Alban QUA- DRAT directeur de recherches ` a l’Inria de Lille et monsieur Jean-Baptiste HYBERGER chef du pˆ ole INT chez RTE pour leur participation au jury de cette th` ese ainsi que pour leurs perti- nentes remarques. Des remerciements particuliers s’adressent ` a monsieur Patrick PANCIATICI conseiller scientifique chez RTE pour l’int´ erˆ et qu’il a port´ e ` a cette th` ese depuis son lancement ainsi qu’` a tout le personnel du d´ epartement DES de RTE.

Dans ces remerciements, je n’oublie pas aussi mes amis du laboratoire IRCCyN de l’Ecole Centrale de Nantes pour leur aide et leur soutient qui m’ont ´ et´ e indispensables. Je leur dis encore une fois un grand merci.

Je termine avec des remerciements d’un genre tr` es particulier qui s’adressent ` a ma famille qui

a toujours ´ et´ e ` a mes cˆ ot´ es surtout dans les moments difficiles. Si je ferais couler tout l’encre

du monde je ne saurais remercier ma m` ere comme il se doit.

1 Introduction 7

1.1 Contexte g´ en´ eral et motivations . . . . 7

1.2 Probl´ ematiques . . . . 9

1.3 D´ emarche et contributions . . . . 16

1.4 Organisation du manuscrit . . . . 16

2 Liens entre les mod` eles utilis´ es pour une ligne ´ electrique : une analyse syst´ emique 18 2.1 Introduction . . . . 18

2.2 Pr´ esentation et classement des mod` eles des lignes ´ electriques . . . . 19

2.2.1 Mod` eles ` a param` etres distribu´ es . . . . 21

2.2.2 Mod` ele ` a retard . . . . 24

2.2.3 Mod` eles de dimension finie . . . . 25

2.2.4 Tableau d’orientation . . . . 27

2.3 Comparaison classique : une analyse des trajectoires . . . . 28

2.4 Un cadre syst´ emique . . . . 31

2.4.1 Structures dynamiques des mod` eles des lignes . . . . 31

2.5 Une comparaison structurelle . . . . 43

2.5.1 Un point de vue syst´ emique . . . . 43

2.5.2 Comportements . . . . 45

2.5.3 Cas des lignes courtes . . . . 47

2.6 Conclusion . . . . 48

3 R´ eduction des mod` eles dynamiques des syst` emes ´ electriques interconnect´ es 49 3.1 Introduction . . . . 49

3.2 Motivations et enjeux li´ es ` a la r´ eduction des syst` emes ´ electriques . . . . 50

3.2.1 Un exemple illustratif . . . . 50

3.2.2 L’int´ erˆ et de la r´ eduction . . . . 52

3.2.3 Les principaux enjeux . . . . 52

3.3 Formulation du probl` eme et strat´ egies courantes . . . . 55

3.3.1 Formulation pour la r´ eduction . . . . 55

3.4.1 Cadre th´ eorique : outils et d´ efinitions . . . . 70

3.4.2 Fondements de la m´ ethode propos´ ee . . . . 74

3.4.3 Formalisation et d´ eveloppement de la nouvelle approche . . . . 76

3.4.4 Algorithme r´ ecapitulatif . . . . 82

3.4.5 R´ eduction avec pr´ eservation de la structure physique . . . . 83

3.4.6 Algorithme g´ en´ eral . . . . 87

3.5 Validation : exemples et applications industrielles . . . . 87

3.5.1 Exemple 1 : Cas d’une chute dans le spectre de Hankel . . . . 89

3.5.2 Exemple 2 : Cas d’un syst` eme multivariables . . . . 92

3.5.3 Applications industrielles . . . . 96

3.6 Conclusion . . . 111

4 Nombre et choix des entr´ ees : une approche alg´ ebrique 113 4.1 Introduction . . . 113

4.2 Position du probl` eme et exemples de motivation . . . 114

4.2.1 Probl` eme g´ en´ eral . . . 114

4.2.2 Exemples de motivation . . . 115

4.3 Cadre g´ en´ eral : une approche alg´ ebrique . . . 118

4.3.1 Pr´ eliminaires math´ ematiques . . . 118

4.3.2 Approche syst` eme . . . 123

4.3.3 Approche comportementale . . . 124

4.3.4 Connexion entre l’approche syst` eme et l’approche comportementale 125 4.4 Notion d’entr´ ees : d´ efinitions formelles . . . 127

4.4.1 Point de vue syst` eme . . . 127

4.4.2 Point de vue comportement . . . 127

4.5 Entr´ ees et autonomie : vers un lien avec le contrˆ ole fronti` ere . . . 130

4.5.1 Degr´ e d’autonomie . . . 131

4.5.2 Comportements finis et infinis . . . 135

4.5.3 Param´ etrisation de l’espace des solutions . . . 137

4.6 Nouvelles r´ eflexions : quelques pistes propos´ ees . . . 140

4.6.1 Perspectives multidimensionnelles . . . 142

4.7 Conclusion . . . 145

Conclusion et perspectives 146 Bibliographie 155 A Production scientifique 156 B 157 B.1 Mod` ele ` a param` etres r´ epartis de la ligne . . . 157

B.1.1 Expression explicite des trajectoires . . . 165

B.1.2 Fonction de transfert . . . 166

C.1.1 Preuve de la D´ efinition 3.1 . . . 168

C.1.2 D´ emonstration du Lemme 3.1 . . . 169

C.1.3 D´ emonstration du Lemme 3.2 . . . 169

C.1.4 D´ emonstration du Th´ eor` eme 3.1 . . . 169

C.1.5 D´ emonstration du Lemme 3.3 . . . 170

C.1.6 D´ emonstration du Th´ eor` eme 3.2 . . . 171

C.1.7 Preuve de l’expression des r´ esidus en fonction des participations . . 172

D 173 D.1 Mod` eles utilis´ es dans les benchmarks . . . 173

D.1.1 Transformations entre les rep` eres . . . 173

D.1.2 Mod` ele du g´ en´ erateur . . . 174

D.1.3 Ligne de transmission . . . 175

D.1.4 R´ egleur en charge . . . 176

D.1.5 Charge . . . 176

D.1.6 Liaison HVDC . . . 177

D.1.7 Valeurs num´ eriques des param` etres . . . 179

1.1 Mod` ele en π de la ligne . . . . 10

1.2 Structure physique d’une ligne de transmission ´ electrique . . . . 11

1.3 Un simple syst` eme de transmission . . . . 11

1.4 Valeurs singuli` eres de Hankel du syst` eme de transmission . . . . 12

2.1 Structure en quadripˆ ole de la ligne . . . . 23

2.2 Repr´ esentation du mod` ele ` a retard de la ligne . . . . 24

2.3 Structure en π de la ligne . . . . 26

2.4 Structure en s´ erie de π . . . . 26

2.5 Tableau d’orientation dans le choix du mod` ele des lignes ´ electriques . . . . 27

2.6 Tensions harmoniques ` a l’extr´ emit´ e de la ligne . . . . 30

2.7 R´ eponse d’une ligne ouverte ` a un ´ echelon de tension . . . . 30

2.8 Ligne ouverte : comportement fr´ equentiel des mod` ele π et complet . . . . . 45

2.9 R´ eponse ` a un ´ echelon du mod` ele en π et la troncature modale ` a l’ordre 1 . 46 2.10 R´ eponse harmonique du mod` ele en π et la troncature modale ` a l’ordre 1 . 47 3.1 Un simple syst` eme de transmission . . . . 51

3.2 R´ eponse fr´ equentielle de la tension de sortie . . . . 53

3.3 Structure entr´ ee-sortie d’un syst` eme interconnect´ e . . . . 54

3.4 Sch´ ema d’une approche par hypoth` eses . . . . 57

3.5 Syst` eme de transmission avec mod` ele en π . . . . 58

3.6 R´ eponses indicielles du syst` eme de transmission . . . . 59

3.7 Valeurs singuli` eres de Hankel . . . . 68

3.8 Trac´ e de Bode du mod` ele issu de la troncature ´ equilibr´ ee et du mod` ele DP 69 3.9 Comparaison fr´ equentielle . . . . 85

3.10 Algorithme g´ en´ eral. . . . 88

3.11 Valeurs singuli` eres de Hankel. . . . 90

3.12 R´ eponses indicielles du mod` ele complet d’ordre 301, du mod` ele r´ eduit par la troncature ´ equilibr´ ee et du nouveau mod` ele r´ eduit. . . . 90

3.13 Variations par rapport ` a |Γ

| . . . . 91

3.14 R´ eponses impulsionnelles des mod` eles original et r´ eduit pour diff´ erent ordres 93 3.15 Variation de C

et de J

= µ en fonction de l’ordre |Λ|. . . . 94

3.16 Pˆ oles et valeurs singuli` eres . . . . 94

3.17 Comparaison des r´ eponses indicielles : mod` ele complet et le nouveau mod` ele

r´ eduit. . . . 95

celui issu de la troncature modale. . . . 97

3.20 Comparaison fr´ equentielle : nouveau mod` ele r´ eduit, l’original et celui issu de la troncature modale (premier transfert, i.e., de u

vers y

) . . . . 98

3.21 Comparaison temporelle : mod` ele original et son nouveau mod` ele r´ eduit. . 99

3.22 R´ eponse indicielle de la troncature modale classique d’ordre 172. . . . 99

3.23 Comparaison fr´ equentielle : mod` ele original et son nouveau mod` ele r´ eduit. 100 3.24 Premier benchmark. . . . 100

3.25 ´ Ecroulement de la tension de charge . . . 102

3.26 Second benchmark. . . 103

3.27 R´ eponse de V

` a un ´ echelon sur V

. . . 105

3.28 R´ eponse de U

` a un ´ echelon sur V

. . . 105

3.29 R´ eponse indicielle du transfert V

/V

en utilisant les mod` eles π et DP de la ligne . . . 106

3.30 R´ eponse fr´ equentielle du transfert U

/V

en utilisant les mod` eles π et DP de la ligne . . . 106

3.31 R´ eponse indicielle du transfert V

/V

: mod` ele complet et nouveau mod` ele r´ eduit . . . 109

3.32 R´ eponse fr´ equentielle du transfert V

/V

: mod` ele complet et nouveau mod` ele r´ eduit . . . 110

3.33 R´ eponse de la tension U

` a un ´ echelon sur V

. . . 110

3.34 R´ eponse de la tension V

` a un ´ echelon sur V

. . . 111

4.1 Syst` eme masse-ressort . . . 130

4.2 Droite r´ eelle . . . 134

4.3 Domaine rectangulaire associ´ e ` a l’´ equation de la chaleur en 2 dimensions . 144 D.1 Angles γ, δ et ω

t . . . 174

D.2 Sch´ ema d’une phase d’un transformateur ` a multi-prises. . . 176

D.3 Structure d’une liaison VSC-HVDC. . . 177

D.4 Structure de la dqPLL. . . 179

D.5 Sch´ ema de contrˆ ole de la liaison HVDC. . . . 180

1.1 Pˆ oles, r´ esidus et normes infinies des fractions . . . . 13

2.1 Domaines de tension selon la norme NF C18-510 . . . . 20

3.1 Valeurs exactes et approch´ ees des pˆ oles et r´ esidus . . . . 63

3.2 Pˆ oles et norme H

de chaque fraction partielle k · k

=

. . . . 64

3.3 Nombre de variables d’´ etat et de modes importants pour chaque transfert . 107 3.4 Nombre de modes pour chacun des transferts . . . 108

3.5 Nombre de modes autour de chaque fr´ equence F

. . . 109

D.1 Valeurs pour le benchmark 1 . . . 181

D.2 Valeurs pour le benchmark 2 . . . 181

Introduction

1.1 Contexte g´ en´ eral et motivations

La particularit´ e des syst` emes ´ electriques interconnect´ es r´ eside dans le fait qu’ils sont le si` ege d’une multitude de probl´ ematiques aussi bien pratiques que th´ eoriques. Parmi elles, celles li´ ees ` a la mod´ elisation et la mise en œuvre des mod` eles dynamiques ` a des fins d’analyse, de simulation ou de commande. Ce ` a quoi sont confront´ es les principaux utilisateurs des mod` eles dynamiques des syst` emes ´ electriques tels que les Gestionnaires du R´ eseau de Transport (GRTs) d’´ electricit´ e dont le fran¸cais RTE

. En Europe, par exemple, l’interconnexion entre les syst` emes ´ electriques des diff´ erents pays conduit ` a un syst` eme dynamique, d’une dizaine de milliers de variables d’´ etat. Ce syst` eme est g´ er´ e localement par chaque GRT en coordination avec les autres acteurs europ´ eens afin d’assurer au client un acc` es ` a une alimentation ´ electrique de qualit´ e. N´ eanmoins, pour accomplir une telle tˆ ache, les GRTs proc` edent ` a des techniques de simplification en phase de mod´ elisation car il est quasiment impossible de simuler et d’analyser le mod` ele d´ etaill´ e du syst` eme

´

electrique r´ esultant de toutes les interconnexions. Ainsi, diverses questions se posent, surtout sur la viabilit´ e des diff´ erents niveaux d’approximation des mod` eles utilis´ es en simulation et l’aptitude de ces mod` eles ` a reproduire les ph´ enom` enes g´ en´ er´ es par toutes les interconnexions. A fortiori dans le contexte moderne o` u l’introduction de nouveaux

´

el´ ements bas´ es, par exemple, sur l’´ electronique de puissance comme les FACTS (Flexible AC Transmission Systems) et les liaisons ` a courant continu (HVDC) complexifie d’avan- tage la mod´ elisation. Tout cela est bien ´ evidement accentu´ e par le type de mod´ elisation de certains composants ´ electriques tels que les lignes de transmission qui sont mod´ elis´ ees par des ´ Equations aux D´ eriv´ ees Partielles (EDPs). Par cons´ equent, le syst` eme ´ electrique dans sa globalit´ e devient difficile ` a analyser et ` a simuler mˆ eme dans les cas des syst` emes les plus simples.

Dans ce contexte, l’entreprise RTE a exprim´ e, en proposant le sujet de cette th` ese, ses diff´ erents besoins en mati` ere de clarification, d’am´ elioration et d’´ evolution des techniques actuelles de mod´ elisation ou de simplification. Le but est d’enrichir les connaissances et acqu´ erir une expertise notable sur les techniques standards de simplification des mod` eles

1. R´eseau de Transport d’Electricit´e : une filiale du groupe EDF, www.rte-france.com

dynamiques. Ensuite, monter en comp´ etences ` a travers la construction d’un savoir-faire m´ ethodologique qui soit plus g´ en´ eral, plus pr´ ecis et s’adapte assez facilement ` a l’´ evolution technologique des syst` emes de transport de l’´ electricit´ e. Cela favorise la capacit´ e d’ex- tension et d’adaptation des approches actuelles aux nouveaux cas d’applications comme les r´ eseaux de distribution de l’´ electricit´ e. Toutes ces attentes ont ´ et´ e motiv´ ees par la rigidit´ e des techniques de simplification, employ´ ees ` a ce jour, et la n´ ecessit´ e de s’affran- chir de la traditionnelle m´ ethode essai-erreur pour la validation des simplifications. En effet, il existe, ` a ce jour, diff´ erentes techniques de simplification qui offrent des classes de mod` eles simplifi´ es qui s’adaptent, principalement, aux probl´ ematiques usuelles des r´ eseaux de transport de l’´ electricit´ e, toutefois les liens entre les degr´ es d’approximation de ces mod` eles et leur validit´ e, au-del` a des applications usuelles, sont peu approfondis.

A titre d’exemple, pour les lignes de transmission, il existe principalement deux types de mod` eles actuellement impl´ ement´ es dans deux logiciels utilis´ es par RTE. Un premier mod` ele, appel´ e mod` ele en π, qui est utilis´ e en grande partie dans le logiciel Eurostag [49] pour diverses applications dont la synth` ese des r´ egulateurs et l’´ etude de certains ph´ enom` enes ´ electrom´ ecaniques de basses fr´ equences comme les oscillations entre les arbres m´ ecaniques des machines distantes (interzones). Un deuxi` eme mod` ele, plus d´ etaill´ e, dit ` a param` etres distribu´ es est utilis´ e dans le logiciel EMTP (ElectroMagnetic Transients Pro- gram) [24] pour reproduire et analyser les ph´ enom` enes ´ electromagn´ etiques ainsi que les dynamiques rapides caus´ ees, par exemple, par des commutations dans le syst` eme. Actuel- lement, l’utilisation de chacun de ces outils d´ epend de l’application et des ph´ enom` enes que l’on souhaite capter ` a travers le mod` ele utilis´ e pour mod´ eliser, entre autres, la ligne de transmission. Toutefois, le choix d’un mod` ele, ou d’un logiciel est g´ en´ eralement guid´ e par une forte connaissance des m´ ecanismes mis en jeux dans l’application trait´ ee, ou par des validations exp´ erimentales a posteriori. De plus, les explications connues sur les rai- sons de l’incapacit´ e du mod` ele en π ` a capter tous les ph´ enom` enes, capt´ es par le mod` ele ` a param` etres distribu´ es, ne sont pas suffisantes pour ´ etablir un lien direct et clair entre ces deux mod` eles dynamiques.

C’est pourquoi RTE a souhait´ e, entre autres, se projeter vers des techniques permet- tant l’ajustement du mod` ele de la ligne aux ph´ enom` enes que l’on souhaite analyser ou reproduire par des simulations num´ eriques. Ceci n’est pas une finalit´ e en soi, mais fait partie d’un processus global par lequel on cherche ` a ajuster aussi les mod` eles d’autres composants du syst` eme ´ electrique tels que les transformateurs ou les liaisons HVDC.

Cela rentre dans le cadre de la volont´ e mentionn´ ee pr´ ec´ edemment. Concernant le volet applicatif, ce savoir-faire recherch´ e, en mati` ere de simplification des mod` eles dynamiques, s’inscrit dans la feuille de route ´ etablie par RTE pour le d´ eveloppement de nouveaux ou- tils de simulation et de gestion des grands syst` emes ´ electriques modernes (Smart Grids).

Dans ce cadre, la mod´ elisation et la simulation num´ erique sont au cœur des projets r´ ecents

comme iTESLA (Innovative Tools for Electrical System Security within Large Areas). Cet

effort montre l’int´ erˆ et de la simplification des mod` eles dynamiques pour acc´ el´ erer les si-

mulations, d’une part, et am´ eliorer, d’autre part, la qualit´ e des r´ esultats ` a travers une

mod´ elisation appropri´ ee.

Parmi tous les objectifs discut´ es pr´ ec´ edement, la priorit´ e, dans cette th` ese, est donn´ ee

`

a la simplification des mod` eles pour une utilisation principale ` a la simulation num´ erique et l’analyse. Pour cause, ces deux applications constituent, entre autres, le cœur du m´ etier des unit´ es de recherche et d´ eveloppement R&D des GRTs. En effet, vu le degr´ e de complexit´ e des mod` eles dynamiques des syst` emes ´ electriques interconnect´ es, il est indispensable de proc´ eder ` a des simulations num´ eriques afin d’´ etudier le comportement du syst` eme et d’identifier, par exemple, les objectifs ` a atteindre par les diff´ erents moyens d’intervention sur le syst` eme. A titre d’exemple, la plupart des actions men´ ees sur le r´ eseau, en cas de perturbations, sont planifi´ ees ` a l’aide des sc´ enarios simul´ es et ´ etudi´ es ` a l’avance. Quant ` a l’analyse, sont int´ erˆ et principal r´ eside dans la compr´ ehension des diff´ erents m´ ecanismes, mis en jeux dans le syst` eme, qui conduisent aux r´ esultats observ´ es en simulation. L’ana- lyse modale, en particulier, constitue l’une des techniques d’analyse les plus importantes car elle permet l’´ etude et la commande de la plupart des ph´ enom` enes li´ es au transport de l’´ energie ´ electrique qui peuvent ˆ etre d´ etect´ es par une analyse lin´ eaire. En effet, les oscillations interzones (e.g., [72]), les oscillations hypo-synchrones, les r´ esonances sous- synchrones (e.g., [59]) sont quelques exemples de ph´ enom` enes qui sont ´ etudi´ es ` a l’aide de l’analyse modale. D’o` u la n´ ecessit´ e de pouvoir repr´ esenter les mod` eles simplifi´ es par une forme d’´ etat afin de pouvoir analyser ce type de ph´ enom` enes. Cet aspect, qui est pris en consid´ eration dans cette th` ese, en plus de la reproduction des ph´ enom` enes qui pr´ esentent un int´ erˆ et dans le syst` eme, s’ajoute aux objectifs li´ es ` a la m´ ethodologie de simplification envisag´ ee.

Enfin, dans la perspective d’offrir un maximum de flexibilit´ e ` a la m´ ethodologie de simplification envisag´ ee, on s’est int´ eress´ e ´ egalement dans cette th` ese ` a la proposition d’un processus d’hi´ erarchisation par lequel on commence d’abord par s´ electionner les entr´ ees du syst` eme. Ensuite, proc´ eder ` a sa simplification afin de g´ en´ erer un mod` ele de taille r´ eduite. Cela minimiserait, par exemple, le risque d’un mauvais choix des variables de commande du syst` eme ou une mauvaise ´ evaluation de leur nombre. A fortiori dans le contexte de la modernisation, ` a court et ` a long terme, des ´ equipements et des outils de gestion des syst` emes de transport de l’´ electricit´ e.

1.2 Probl´ ematiques

Clairement, les diff´ erents objectifs fix´ es dans cette th` ese ont pour finalit´ e une am´ elioration et une meilleure gestion des techniques de mod´ elisation et de simulation des syst` emes de transport d’´ electricit´ e. N´ eanmoins, plusieurs difficult´ es d’ordre m´ ethodologique, th´ eorique et technique y sont associ´ ees. En premier lieu, on peut mentionner la complexit´ e de certains mod` eles dynamiques comme ceux des lignes de transmission qui ne sont sim- plifi´ es usuellement que par des approches bas´ ees sur des hypoth` eses simplificatrices. Ce type d’approches, a donn´ e naissance ` a plusieurs mod` eles simplifi´ es de la ligne (voir, par exemple, [50], [84], [24]), mais ne donnent pas toujours satisfaction. La raison principale

`

a cela est que la structure dynamique du syst` eme, dont le mod` ele complexe fait partie,

n’est pas prise en compte lors de la phase de simplification. Ce qui a pour effet d’accroˆıtre

le risque d’une mauvaise reproduction du comportement du syst` eme dans son ensemble.

Pour pallier ` a cela, les approches structurelles dites de r´ eduction de mod` eles sont une bonne alternative, mais il n’est pas ´ evident de trouver, parmi les techniques standard, celles qui r´ epondent positivement aux objectifs de la simplification tels qu’ils sont fix´ es dans cette th` ese. Pour cause, les aspects pratiques et th´ eoriques sont rarement pris en compte ensemble afin de faire face ` a des enjeux comme l’ordre ´ elev´ e du mod` ele r´ eduit et l’usage auquel il est destin´ e. Cela est dˆ u, en grande partie, au fait que les techniques uti- lis´ ees g´ en´ eralement pour ´ evaluer l’importance des dynamiques d’un mod` ele ne conviennent pas ` a tous les syst` emes de transmission. A cela s’ajoute aussi des probl´ ematiques d’ordre th´ eoriques qui concernent principalement la question du choix des entr´ ees. En effet, si les questions pos´ ees peuvent trouver assez rapidement des r´ eponses lorsque la structure physique d’un composant du syst` eme est bien connue, elles restent toutefois compliqu´ ees

`

a r´ esoudre dans une vision globale. Plus particuli` erement, lorsque le syst` eme comporte des

´

el´ ements mod´ elis´ es par des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles comme les lignes de transmis- sion. Ci-dessous, trois exemples sont pr´ esent´ es pour illustrer l’ensemble des probl´ ematiques soulev´ ees dans cette th` ese.

Exemple 1.1. Le premier exemple met en ´ evidence l’approximation d’un mod` ele dyna- mique ` a param` etres distribu´ es d’une ligne de transmission par un mod` ele en π dont la structure est montr´ ee en Fig. 1.1.

Figure

1.1 – Mod` ele en

de la ligne

Il s’agit d’une approximation qui perdure depuis longtemps dont la validit´ e a toujours

´

et´ e justifi´ ee par une comparaison de trajectoires (voir, e.g., [39]). Plus pr´ ecis´ ement, lorsque le mod` ele complet de la ligne, repr´ esent´ e ici par la structure de la Fig. 1.2, est excit´ e par une tension ` a l’extr´ emit´ e x = 0, la r´ eponse qui en r´ esulte ` a l’autre extr´ emit´ e x = ` est re- produite, sous certaines conditions, par le mod` ele en π. Les principales conditions sont une longueur mod´ er´ ee de la ligne (jusqu’` a 250) et un signal sinuso¨ıdal en entr´ ee de fr´ equence f tel que 2πf √

LC` 1. Une telle approximation est g´ en´ eralement utilis´ ee lorsque les ph´ enom` enes de propagation ont un effet n´ egligeable pour reproduire, par exemple, avec le reste du syst` eme les ph´ enom` enes ´ electrom´ ecaniques qui sont relativement lents comme les oscillations interzones (voir, e.g., [72]). En revanche, pour capter des ph´ enom` enes

´

electromagn´ etiques, qui sont plus rapides, une approximation plus d´ etaill´ ee comme celle pr´ esent´ ee dans [24] doit ˆ etre utilis´ ee.

En outre, l’approximation par le mod` ele en π, tout comme l’approximation cit´ ee

pr´ ec´ edemment, est bas´ ee sur des consid´ erations physiques et une connaissance assez

forte du mode de fonctionnement des lignes ´ electriques. Par cons´ equent, son ad´ equation

Figure

1.2 – Structure physique d’une ligne de transmission ´ electrique

`

a reproduire un ph´ enom` ene donn´ e est g´ en´ eralement valid´ ee a post´ eriori par des tests exp´ erimentaux. De ce fait, pour ˆ etre en mesure de pouvoir lier le mod` ele utilis´ e aux ph´ enom` enes reproduits, la question, d’un point de vue syst` eme, se pose au del` a d’une comparaison des trajectoires qui ne permet pas de conclure sur la nature du lien qui existe entre les structures dynamiques de ces syst` emes.

C’est pourquoi, la priorit´ e dans cette th` ese a ´ et´ e d’abord donn´ ee ` a la clarification et la compr´ ehension de ce lien structurel afin d’ˆ etre capable de bien maˆıtriser l’approximation et de pouvoir l’´ etendre ensuite ` a une ´ echelle plus grande comme c’est fait dans le Chapitre 3. Le r´ esultat issu des investigations met en ´ evidence un lien de troncature entre les deux mod` eles comme il est r´ esum´ e en Section 1.3 et expliqu´ e en d´ etails dans le Chapitre 2.

Exemple 1.2. Comme mentionn´ e pr´ ec´ edemment, l’une des probl´ ematiques les plus im- portantes abord´ ee dans cette th` ese est l’approximation des mod` eles dynamiques des syst` emes ´ electriques interconnect´ es. Il s’agit de r´ eduire la complexit´ e des mod` eles uti- lis´ es pour la simulation et l’analyse en r´ eduisant, principalement, leur nombre d’´ equations et de variables de mani` ere ` a reproduire assez fid` element le comportement dynamique du syst` eme original. Pour cela, il faut avant tout ´ evaluer l’importance de chaque dynamique dans le syst` eme afin de s´ electionner que les plus pertinentes et les garder ensuite dans le mod` ele r´ eduit. A cet effet, chaque m´ ethode de r´ eduction dispose d’un indicateur ou indice qui permet de mesurer quantitativement l’importance d’une dynamique par rapport ` a une autre. Deux classes de syst` emes sont pr´ esent´ es ci-dessous avec comme indices de choix des dynamiques : l’´ energie des variables d’´ etat et l’amplitude maximale entr´ ee-sortie des dynamiques modales.

1) Premi` ere classe (faible d´ ecroissance des indices ´ energ´ etiques) : prenons l’exemple du syst` eme de transmission repr´ esent´ e par la Fig. 1.3.

Figure

1.3 – Un simple syst` eme de transmission

Comme il est indiqu´ e en Section 3.2.1, son mod` ele dynamique est de dimension

infinie (dˆ u au mod` ele (1.4) de la ligne) qui peut s’´ ecrire sous la forme



 

 

 

 

 

 

 

 

∂v(x, t)

∂x = −L ∂i(x, t)

∂t − Ri(x, t)

∂i(x, t)

∂x = −C ∂v(x, t)

∂t

v (x, t) |

= V

(t) − Z

i (x, t) |

v (x, t) |

= Zi (x, t) |

. (1.1)

Le syst` eme (1.1) a un nombre infini de variables d’´ etat et peut ainsi s’´ ecrire sous la forme ´ equilibr´ ee ci-dessous (voir, e.g., [33], [21])

( X ˙

(t) = A

X

(t) + B

u (t)

y (t) = C

X

(t) , (1.2)

o` u les matrices A

, B

et C

peuvent ˆ etre approxim´ es par A

, B

, C

. Les co- efficients de ces derni` eres sont calcul´ es, par exemple, ` a l’aide d’une int´ egration num´ erique bas´ ee sur une approximation de la r´ eponse impulsionnelle comme on peut voir dans [80]. A partir de cette approximation de dimension finie, il est ainsi pos- sible d’approximer les premi` eres valeurs singuli` eres (car th´ eoriquement il existe une infinit´ e) du syst` eme (1.1). La Fig. 1.4 montre une approximation des 1000 premi` eres valeurs singuli` eres (obtenues par la proc´ edure expliqu´ ee en Section C.3) o` u chacune d’elles repr´ esente l’´ energie d’une variable d’´ etat de (1.2).

Figure

1.4 – Valeurs singuli` eres de Hankel du syst` eme de transmission

Notons toutefois, que les valeurs singuli` eres ne repr´ esentent les ´ energies des variables

d’´ etat que si la r´ ealisation du syst` eme est ´ equilibr´ ee. Ainsi, une m´ ethode comme la

troncature ´ equilibr´ ee [52], qui consiste ` a ne garder, dans le mod` ele r´ eduit, que les

variables d’´ etat les plus pertinentes utilise les valeurs singuli` eres de Hankel comme

indice de troncature. Il s’agit en effet de rep´ erer un ´ ecart (chute) significatif entre deux valeurs singuli` eres successives ` a partir duquel le vecteur d’´ etat est tronqu´ e (voir Section C).

Pour le cas pr´ esent´ e ici, on peut clairement remarquer que les valeurs singuli` eres de Hankel d´ ecroient assez lentement avec uniquement deux petits ´ ecarts au niveau des variables d’´ etat 428 et 868 comme le montre la Fig. 1.4. Ainsi, de ce point de vue

´

energique, les dynamiques li´ ees aux variables d’´ etat du syst` eme (1.1) sont toutes importantes et doivent ˆ etre gard´ ees dans le mod` ele r´ eduit afin d’obtenir des bons r´ esultats. Et ceci pour tous les syst` emes qui n’ont pas de chute dans le spectre des valeurs singuli` eres de Hankel. D’un point de vue applicatif, ceci n’est pas tr` es int´ eressant car l’ordre du mod` ele r´ eduit qui en r´ esulte est assez ´ elev´ e ce qui rend son impl´ ementation difficile. C’est pourquoi, dans la nouvelle m´ ethodologie, pr´ esent´ ee en Section 3.4, l’´ evaluation des dynamiques n’est pas bas´ ee uniquement sur les valeurs singuli` eres de Hankel.

2) Deuxi` eme classe (faible d´ ecroissance des indices d’amplitudes entr´ ee- sortie) : consid´ erons la fonction de transfert suivante d’ordre 6 d’un syst` eme lin´ eaire stationnaire :

L (s) = 200s + 2 ∗ 10

s

+ 200s + 2 ∗ 10

+ 182s + 16380

s

+ 180s + 1 ∗ 10

+ 1

s + 1 + 10, 05

s + 9, 8 . (1.3) (1.3) n’a que des pˆ oles simples et peut ainsi s’´ ecrire sous la forme

L (s) =

n

X

i=1

r

s − λ

| {z }

Li(s)

,

avec n = 6. Les valeurs des pˆ oles λ

et des r´ esidus r

associ´ es sont donn´ es dans le Tableau 1.1.

Table

1.1 – Pˆ oles, r´ esidus et normes infinies des fractions

pˆ oles

r´ esidus

(s)k

1

=

100 1, 000 2

=

100i 100 1, 000 3

=

10

91 1, 011 4

=

1

10

91 1, 011

5

=

1 1, 000

6

=

8 10, 05 1, 025

Ainsi, pour une m´ ethode comme la troncature modale (voir, e.g., [76]), l’indice qui

est, g´ en´ eralement, utilis´ e pour ´ evaluer l’importance des dynamiques est la norme

infinie des fractions de (3.9), i.e., les amplitudes maximales des dynamiques li´ ees aux

modes. Ceci est justifi´ e par le fait que les fractions ayant les plus grandes normes

infinies contribuent efficacement ` a la minimisation de la norme infinie de l’erreur de

troncature comme on peut le voir en Section B).

De l` a, il r´ esulte ainsi que toutes les dynamiques de (1.3) ont le mˆ eme niveau d’im- portance car, comme le montre le Tableau 1.1, les normes infinies des fractions sont quasiment toutes ´ egales. Ce qui montre ainsi que, pour cette classe de syst` emes dy- namiques, cet indice d’´ evaluation ne permet pas d’avoir des r´ esultats tr` es utiles pour l’impl´ ementation.

Aux probl´ ematiques li´ ees ` a ces deux classes de syst` emes qu’on vient de pr´ esenter, s’ajoute ´ egalement le besoin de pr´ eserver la structure physique du syst` eme apr` es l’´ etape de r´ eduction. Dans ce cas, il s’agit d’´ evaluer l’importance des dynamiques d’un sous- syst` eme particulier en prenant en compte la structure dynamique de tout le syst` eme dont il fait partie.

Exemple 1.3. Aux deux probl´ ematiques pr´ ec´ edentes s’ajoute celle du choix des entr´ ees qui consiste ` a d´ enombrer et choisir les variables qui peuvent servir de commandes. En effet, pour un syst` eme dynamique on ne peut pas fixer librement n’importe quel nombre de variables car ces derni` eres sont, avant tout, li´ ees par des ´ equations qui imposent leurs

´

evolutions. Pour donner une illustration, consid´ erons de nouveau la structure en π de la Fig. 1.1. Il est montr´ e dans l’Exemple 4.4, que si l’on fixe deux variables, toutes les autres y d´ ependent et on a ainsi deux commandes. De l` a, si on se limite juste au nombre, on peut fixer, par exemple, les deux tensions ou courants aux extr´ emit´ es ou bien les combiner.

La r´ eponse est obtenue dans ce cas ` a l’aide d’un formalisme alg´ ebrique qui montre que le nombre d’entr´ ees d’un syst` eme de dimension finie est donn´ e par le rang du module d´ efinissant le syst` eme comme c’est expliqu´ e par exemple dans [28] ou [8] et pr´ esent´ e dans le Chapitre 4.

Toutefois, pour les syst` emes auxquels nous nous int´ eressons, et qui sont d´ ecrits par des EDPs, la situation est diff´ erente et plus difficile. Prenons, par exemple, la structure de la Fig. 1.2. Par expertise et comme on connaˆıt le processus physique, on sait tr` es bien qu’on peut imposer, par exemple, ind´ ependamment les deux tensions aux deux extr´ emit´ es de la ligne, i.e., ` a x = 0 et x = `. Cependant, lorsqu’on dispose uniquement des ´ equations math´ ematiques qui d´ ecrivent le fonctionnement du syst` eme sans connaˆıtre sa structure physique, la r´ eponse est moins ´ evidente. Pour mieux voir cela, rappelons les ´ equations ci-dessous



 

 

∂v (x, t)

∂x = −L ∂i (x, t)

∂t − Ri(x, t),

∂i (x, t)

∂x = −C ∂v (x, t)

∂t ,

(1.4) qui d´ ecrivant l’´ evolution du courant et de la tension le long de la structure de la Fig. 1.2.

Le syst` eme (1.4) est d´ etermin´ e (i.e., le nombre de ses inconnues (fonctions) est ´ egal au nombre de ses ´ equations) et il est per¸cu, dans l’approche alg´ ebrique, comme un ensemble de variables reli´ ees par un ensemble d’´ equations. Il est repr´ esent´ e ainsi par la forme ci- dessous

∂x

L

+ R C

| {z }

A

v i

= 0, (1.5)

o` u v et i repr´ esentent les g´ en´ erateurs du module et A sa matrice de pr´ esentation. Le tout, i.e., (1.5) est dit module de pr´ esentation finie donn´ e par g´ en´ erateurs et relations. Pour les entr´ ees, le rang du module (1.5) vaut z´ ero ce qui signifie que ni i (x, t) ni v (x, t) ne peuvent ˆ etre fix´ es librement, i.e., le nombre de commandes de ce syst` eme est ´ egal ` a z´ ero.

Ce qui, bien ´ evidement, ne concorde pas avec le fait qu’on peut imposer la tension aux deux extr´ emit´ es de la ligne. On peut voir cela aussi en discr´ etisant en espace les ´ equations (1.4) o` u on sera contraint de sp´ ecifier les valeurs des variables ` a x = 0 et x = ` (i.e., aux bords) afin de pouvoir int´ egrer les ´ equations.

Formellement, ceci n’est pas contradictoire mais met en ´ evidence le fait que, pour ce type de syst` emes, le rang du module ne permet de renvoyer que le nombre d’entr´ ees dites dans le domaine, i.e., appliqu´ ees en tout point du domaine spacial ou une r´ egion de celui-ci mise ` a part les bords (voir, e.g., [5]). Si l’on regarde le syst` eme (1.4), on constate ainsi qu’il ne poss` ede aucune entr´ ee de ce type. L’autre classe de commandes appel´ ees contrˆ oles fronti` eres qui, quant ` a elle, est appliqu´ ee via les conditions aux bords, n’est donc pas donn´ ee par le rang du module. A ce titre, des investigations doivent encore avoir lieu

`

a propos de cette classe particuli` ere de commandes, ce qui fait l’objet d’une importante

partie du Chapitre 4.

1.3 D´ emarche et contributions

Pour traiter efficacement les probl´ ematiques soulev´ ees pr´ ec´ edemment, notre d´ emarche se base sur la vision syst´ emique comme cadre m´ ethodologique. Ceci permet de surpasser les approches locales et d’offrir une vision plus large et plus g´ en´ erale des questions abord´ ees.

Cela a permis en premier lieu de clarifier le lien structurel entre le mod` ele ` a param` etres distribu´ es des lignes de transmission et leur approximation par un mod` ele en π. L’apport est une mise en ´ evidence d’un lien de r´ eduction entre les structures dynamiques des deux mod` eles qui compl` ete ainsi la comparaison classique des trajectoires. A terme, l’avantage d’un tel r´ esultat est de pouvoir lier les ph´ enom` enes simul´ es aux mod` eles utilis´ es dans les simulateurs num´ eriques.

La question de la r´ eduction a ´ et´ e ensuite plus investie dans cette th` ese, pour aboutir au final ` a une nouvelle m´ ethodologie de troncature plus adapt´ ee aux mod` eles dynamiques des syst` emes de transport de l’´ electricit´ e. Son apport, compar´ e aux techniques existantes, est d’offrir l’avantage de pouvoir ` a la fois faire un tri efficace des dynamiques, mˆ eme dans des situations particuli` eres, et de prendre en consid´ eration des besoins li´ es ` a l’exploita- tion du mod` ele r´ eduit comme la pr´ eservation des structures dynamique et physique. Elle contribue ainsi ` a une meilleure gestion des syst` emes ´ electriques modernes en am´ eliorant les techniques actuelles de simulation et d’analyse. Ce qui permet une prise en compte plus facile et plus efficace des nouvelles technologies de production et du transport de l’´ energie ´ electrique.

Ceci est compl´ et´ e par la question du choix des entr´ ees pour laquelle le cadre syst´ emique, et en particulier l’approche alg´ ebrique, a permis de mieux approfondir la probl´ ematique et de proposer des pistes de solutions encourageantes. En effet, bien qu’une r´ eponse compl` ete

`

a la question n’est toujours pas d´ elivr´ ee, l’apport du travail effectu´ e ici, ` a ce sujet, est la position du probl` eme dans le contexte de la th´ eorie des syst` emes dynamiques.

1.4 Organisation du manuscrit

Le manuscrit est compos´ e de quatre chapitres en plus de la conclusion g´ en´ erale, les perspectives et quatre annexes. L’organisation ainsi que des brefs r´ esum´ es des trois cha- pitres qui restent sont donn´ es comme suit :

Chapitre 2.

Dans ce chapitre sont pr´ esent´ es tout d’abord les diff´ erents mod` eles des lignes dont il est fait usage dans cette th` ese avec une description des propri´ et´ es de chacun. Un rappel est fait ensuite sur la comparaison classique entre les trajectoires issues du mod` ele

`

a param` etres distribu´ es de la ligne et le mod` ele en π afin de montrer le besoin de se

tourner vers un cadre plus syst´ emique. A l’aide de ce dernier, les structures dynamiques

des mod` eles sont compar´ es et il est montr´ e, principalement, que le mod` ele en π est proche

d’une troncature modale ` a l’ordre 1 du mod` ele complet de la ligne. Ce r´ esultat est obtenu

suite ` a une utilisation des outils d´ evelopp´ es pour les syst` emes de dimension infinie comme

les op´ erateurs et les semi-groupes.

Chapitre 3.

Il constitue le chapitre central de cette th` ese o` u une nouvelle m´ ethodologie de r´ eduction qui s’adapte mieux aux syst` emes modernes de transport d’´ electricit´ e est d´ evelopp´ ee. C’est une approche mixte qui est bas´ ee ` a la fois sur le principe de la tron- cature modale et l’´ evaluation des dynamiques via l’´ energie de la r´ eponse impulsionnelle.

Son d´ eveloppement est motiv´ e par la p´ enurie de m´ ethodes permettant d’´ evaluer efficace- ment les dynamiques du syst` eme, lorsque le spectre des valeurs singuli` eres de Hankel ne pr´ esente pas une chute significative, et de satisfaire des objectifs de r´ eduction, que sont essentiellement la pr´ eservation des structures dynamique et physique. En effet, lorsque le syst` eme pr´ esente un nombre assez ´ elev´ e de dynamiques qui sont difficiles ` a ´ evaluer, l’ordre du mod` ele r´ eduit issu des m´ ethodes standards ne favorise pas son implantation. A l’aide des diff´ erents exemples et applications industrielles trait´ es, il est montr´ e que la m´ ethode propos´ ee permet d’obtenir des r´ esultats assez satisfaisants.

Chapitre 4.

La probl´ ematique abord´ ee dans ce chapitre concerne le nombre et le choix des entr´ ees des syst` emes ` a param` etres distribu´ es. Il s’agit, du point de vue de l’automa- tique, de savoir quel est le nombre d’entr´ ees (i.e., les variables qui servent de commandes) de ce type de syst` emes qui a la particularit´ e de pouvoir ˆ etre command´ e par les bords, e.g., les extr´ emit´ es d’une ligne. Le cadre propos´ e ` a cet effet est une approche alg´ ebrique qui consiste ` a appliquer des th´ eories alg´ ebriques comme celle des modules pour ´ etudier et mettre en ´ evidence des propri´ et´ es structurelles des syst` emes dynamiques. Vu la difficult´ e de la tˆ ache et la p´ enurie de travaux ` a ce sujet, la contribution se pr´ esente sous forme d’une

´

etude d´ etaill´ ee de l’´ etat de l’art et une mise en ´ evidence de deux types de commandes ainsi que la proposition d’une piste pour r´ esoudre le probl` eme.

Au final, une conclusion g´ en´ erale ainsi que la mani` ere dont nos r´ esultats peuvent ˆ etre exploit´ es sont pr´ esent´ es ` a la fin du document avant une liste de r´ ef´ erences bibliographiques.

Le tout suivi de quatre annexes qui contiennent principalement la liste des publications

obtenues dans cette th` ese, les preuves et les d´ emonstrations ainsi qu’une description des

mod` eles utilis´ es dans les applications industriels trait´ es.

Liens entre les mod` eles utilis´ es pour une ligne ´ electrique : une analyse

syst´ emique

2.1 Introduction

Dans un syst` eme ´ electrique, les lignes de transmission jouent un rˆ ole pr´ epond´ erant car elles assurent l’acheminement de l’´ energie ´ electrique depuis sa production, par les machines, jusqu’` a sa consommation par les charges. Leur structure guide ainsi le cou- rant et la tension qui se propagent avec une vitesse limit´ ee d’un bout ` a l’autre. La dynamique de cette propagation est d´ ecrite par un mod` ele ` a param` etres r´ epartis qui consiste en deux ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. Il est ainsi dit de dimension infinie.

Une fois ce mod` ele connect´ e au reste du circuit ´ electrique, il conduit ` a une description compl` ete des ph´ enom` enes induits par les interconnexions. Et ceci, en allant des plus rapides tels que les ph´ enom` enes ´ electromagn´ etiques jusqu’au plus lents comme les oscilla- tions ´ electrom´ ecaniques. Toutefois, pour analyser et ´ etudier tous ces ph´ enom` enes, on ne peut gu` ere compter sur une solution analytique car elle ne peut ˆ etre obtenue que pour des cas de figures qui restent loin des situations r´ eelles. De l` a est venue l’id´ ee, qui est mˆ eme devenu une n´ ecessit´ e, d’approximer le mod` ele ` a param` etres r´ epartis des lignes.

A cet effet, plusieurs mod` eles simplifi´ es ont ´ et´ e propos´ es dont l’utilisation reste tr` es attach´ ee aux besoins. Pour reproduire les ph´ enom` enes ´ electromagn´ etiques, par exemple, il est sugg´ er´ e d’utiliser le mod` ele ` a retard [24] qui d´ ecoule d’une solution, dans des condi- tions particuli` eres, des ´ equations de la ligne. Il trouve ainsi place dans des simulateurs comme EMTP [24] o` u il est combin´ e a une int´ egration par trap` ezes pour d´ elivrer l’allure des trajectoires de tout le syst` eme ´ electrique. On trouve ´ egalement ce mod` ele dans la Sim- Power Toolbox de Matlab (see [82]). Par ailleurs, lorsqu’on consid` ere que les ph´ enom` enes de propagation sont n´ egligeables (notamment pour les lignes courtes), les lignes sont repr´ esent´ ees par la structure dite en π de la Fig. 1.1. Le mod` ele qui en r´ esulte est de di- mension finie donn´ e par des ´ equations diff´ erentielles ordinaires. Il est int´ egr´ e ` a l’ensemble du syst` eme soit seul soit dupliqu´ e, i.e., sous forme d’une s´ eries de mod` eles en π (voir Fig.

2.4). Cela permet de reproduire des ph´ enom` enes lents comme les oscillations interzones,

les dynamiques de tension ou encore, sous certaines conditions suppl´ ementaires, les oscil- lations hyposynchrones. On s’en sert, par exemple, dans [49] pour l’analyse de la stabilit´ e transitoire, la stabilit´ e en petits mouvement ou la synth` ese des r´ egulateurs.

Bien que tous ces mod` eles que l’on vient de mentionner d´ ecoulent du fonctionnement dynamique de la structure physique des lignes, leur ad´ equation aux ph´ enom` enes simul´ es reste, la plupart du temps, guid´ ee par des validations exp´ erimentales. C’est ce qui nous a incit´ e ` a comparer les structures dynamiques de tous ces mod` eles afin de mieux comprendre les liens entre les mod` eles utilis´ es pour la simulation et les ph´ enom` enes ` a reproduire. La comparaison est syst´ emique et repose principalement sur une analyse modale. Cela d´ egage plus de propri´ et´ es dynamiques qu’une analyse de trajectoires classique. En effet, le mod` ele en π, par exemple, fut longtemps utilis´ e comme une approximation avant qu’une similitude des trajectoires (voir e.g., [39]) avec le mod` ele complet ne soit trouv´ ee. Ici, il est montr´ e que ce mod` ele en π est tr` es proche d’une troncature modale ` a l’ordre un du mod` ele complet. Ce r´ esultat, ainsi que cette vison syst´ emique, se r´ ev´ eleront d’autant plus utiles dans le prochain chapitre o` u des questions relatives ` a l’approximation du syst` eme tout entier seront abord´ ees.

2.2 Pr´ esentation et classement des mod` eles des lignes ´ electriques

Les mod` eles repr´ esentatifs des lignes ´ electriques sont g´ en´ eralement class´ es en fonction de la longueur de la ligne, car ce param` etre joue un rˆ ole important dans la proroga- tion des ondes ` a travers la ligne. On distingue ainsi des mod` eles pour les lignes dites courtes dont la longueur ne d´ epasse g´ en´ eralement pas 80 Km, des mod` eles pour les lignes de longueurs mod´ er´ ees qui sont entre 80 Km et 250 Km. Et enfin, des mod` eles pour les lignes longues dont la longueur d´ epasse 250 Km. Toutes ces classes de mod` eles ont

´

et´ e d´ evelopp´ ees en ad´ equation avec le fonctionnement r´ eel de la ligne et les hypoth` eses simplificatrices que l’on peut faire dans chaque situation. Ainsi, pour chaque classe de mod` eles correspond une gamme de ph´ enom` enes que l’on peut capter. De ce fait, l’utilisa- tion de chaque mod` ele d´ epend de l’application et des ph´ enom` enes que l’on veut analyser ou reproduire par simulation num´ erique. On note aussi que, d’un point de vue de la mod´ elisation, les mod` eles utilis´ es pour repr´ esenter les lignes a´ eriennes conviennent aussi aux lignes souterraines (dites cˆ ables) mais avec des valeurs diff´ erentes des param` etres (r´ esitance, inductance, capacitance, conductance transverse). Cela est dˆ u au fait que les cˆ ables n’ont pas les mˆ emes caract´ eristiques physiques que les lignes a´ erienne, notamment au niveau de l’isolation entre les conducteurs et la distance entre eux (voir, par exemple, [39] pour plus de d´ etails). Pour les syst` emes de transport d’´ electricit´ e, les lignes a´ eriennes sont g´ en´ eralement les plus utilis´ ees. Mais l` a aussi, les valeurs des param` etres d´ ependent de la fr´ equence et du niveau de la tension auxquels les lignes sont soumises

(voir [39], page 209, pour quelques valeurs num´ eriques). On donne ci-dessous un tableau

qui montre les diff´ erents niveaux de tension, appel´ es domaines de tension, auxquels les installations des

1. En France, le transport de l’´electricit´e se fait `a une fr´equence de 50 Hz et un niveau de tension entre 63 kV et 400 kV.

2. Ce tableau ne contient que les domaines HTA et HTB, car ils sont li´es au transport de l’´electricit´e, mais un tableau plus exhaustive est pr´esent´e, par exemple, dans [78].

r´ eseaux de transport et de distribution de l’´ electricit´ e fonctionnent habituellement.

Table

2.1 – Domaines de tension selon la norme NF C18-510 Domaine de tension Valeur de la tension nominale Usage

Courant alternatif Courant continu

HTA (haute tension A) 1kV<Un≤ 50kV 1.5Kv<Un≤ 50kV Distribution HTB (haute tension B) Un> 50kV Un> 75kV Transport

En outre, pour chaque type de lignes a´ eriennes, un aper¸cu sur les mod` eles les plus utilis´ es est pr´ esent´ e ci-dessous :

Lignes courtes :

Pour ce type de lignes, les ph´ enom` enes li´ es ` a la propagation (comme le retard par exemple) ont tr` es peu d’effet sur les trajectoires du courant et de la tension.

Ainsi, le mod` ele qui est g´ en´ eralement utilis´ e pour mod´ eliser ces lignes est constitu´ e d’une r´ esistance en s´ erie avec une inductance, car on fait l’hypoth` ese qu’il n’est pas n´ ecessaire de prendre en compte le caract` ere distribu´ e des param` etres. Ce mod` ele est fr´ equemment utilis´ e pour repr´ esenter certaines lignes du r´ eseau de transport, mais il convient mieux aux lignes courtes du r´ eseau de distribution car ` a des tensions inf´ erieures ` a 20kV, la capacitance et la conductance transverse sont consid´ er´ ees n´ egligeables pour une ligne courte. Lorsqu’il est utilis´ e dans les syst` emes de transport d’´ electricit´ e, ce mod` ele suffit pour reproduire, avec le reste du syst` eme, des ph´ enom` enes de basses fr´ equences comme les modes interzones qui son g´ en´ eralement entre 0.1 Hz et 0.7 Hz. Il est aussi utilis´ e pour un calcul d’´ ecoulement de charges (load-flow). Cependant, ce mod` ele peut ne pas convenir pour des cˆ ables de longueurs similaires (inf´ erieurs ` a 80 Km) car la capacitance et la conductance transverse peuvent avoir un effet non n´ egligeable.

Lignes de longueurs mod´er´ees :

Dans ce cas, on fait aussi l’hypoth` ese que les ph´ enom` enes de propagation n’ont pas beaucoup d’influence sur le comportement des tensions et des courants aux points terminaux de la ligne. Cependant, par rapport aux lignes courtes, on consid` ere que l’effet de la capacitance n’est plus n´ egligeable dans ce cas, car ces lignes acheminent l’´ energie sur des distances plus grandes avec un niveau de tension qui d´ epasse g´ en´ eralement les 50kV (elles font partie du r´ eseau de transport). Ce qui fait apparaˆıtre des ph´ enom` enes que l’on peut pas capter avec le mod` ele pr´ ec´ edent. Par cons´ equent, le mod` ele qui est le plus utilis´ e, pour repr´ esenter ces lignes, est le mod` ele en π de la Fig. 1.1. Un tel mod` ele convient, par exemple, ` a l’´ etude de la stabilit´ e transitoire et des ph´ enom` enes

´

electrom´ ecaniques comme indiqu´ e pr´ ec´ edemment.

Lignes longues :

Lorsque la longueur de la ligne d´ epasse 250 Km, l’effet distribu´ e des

param` etres devient important ` a prendre en compte et les ph´ enom` enes ´ electromagn´ etiques

deviennent plus significatifs. C’est la raison pour laquelle d’autres mod` eles, dits ` a pa-

ram` etres distribu´ es, sont utilis´ es. Ils diff` erent de ceux cit´ es ci-dessus par le fait que les

param` etres physiques de la ligne (comme la r´ esistance) ne sont plus agr´ eg´ es en un seul

param` etre (par exemple, r´ esistance ´ equivalente), mais distribu´ es le long de la ligne. Ce

qui permet de capter la dynamique de propagation des ondes ainsi que les ph´ enom` enes qui lui sont associ´ ees comme le retard. Il est aussi possible, avec de tels mod` eles, de cap- ter des dynamiques tr` es rapides comme les ph´ enom` enes transitoires ou encore l’effet de peau. Par ailleurs, il arrive aussi que les lignes longues soient mod´ elis´ ees par plusieurs mod` eles en π connect´ es en s´ erie comme le montre la Fig. 2.4. Cela repose sur le fait que le caract` ere distribu´ e des param` etres peut ˆ etre pris en compte en subdivisant la ligne en plusieurs sections (th´ eoriquement une infinit´ e) de longueur tr` es petite o` u chacune d’elles est mod´ elis´ ee par un mod` ele en π. Toutefois, cette mod´ elisation est souvent r´ eserv´ ee ` a des cas particuliers o` u on sait, par l’exp´ erience, qu’elle permet de reproduire les ph´ enom` enes recherch´ es. En effet, il est tr` es difficile de connaˆıtre, a priori, le nombre de mod` eles en π qui doit ˆ etre utilis´ e et quelle gamme de ph´ enom` enes cela permet de capter. G´ en´ eralement, la fr´ equence des signaux auxquels la ligne est soumise ainsi que sa longueur sont des fac- teurs d´ eterminants pour trouver le mod` ele ad´ equat. A titre d’exemple, un tableau est pr´ esent´ e dans [97] montrant le nombre de mod` eles en π ` a utiliser afin de couvrir une plage de fr´ equence donn´ ee. Dans les syst` emes de transmission, ce genre de mod` eles est utilis´ e par exemple pour ´ etudier la stabilit´ e du syst` eme ainsi que les ph´ enom` enes g´ en´ er´ es suite

`

a des d´ efauts ou des commutations rapides (hautes fr´ equences) dans le syst` eme.

Au final, tous les mod` eles que l’on vient de mentionner se divisent en deux cat´ egories.

D’une part, les mod` eles de dimension finie, comme le mod` ele en π ou en s´ erie de π, qui sont d´ ecrits par des ´ equations diff´ erentielles ordinaires ,car ils n’incluent pas l’effet de la dimension spatiale. D’autre part, les mod` eles de dimension infinie (` a param` etres distribu´ es) dans lesquels les courants et les tensions le long de la ligne sont fonction, ` a la fois, du temps et de l’espace. Une description math´ ematique de l’ensemble de ces mod` eles est pr´ esent´ ee ci-dessous.

2.2.1 Mod` eles ` a param` etres distribu´ es

Comme mentionn´ e pr´ ec´ edemment, dans une ligne de transmission, la dynamique de propagation des tensions et des courants est mod´ elis´ ee par des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. Cela conduit principalement ` a deux types de mod` eles ` a param` etres distribu´ es.

Un premier mod` ele dont les param` etres varient en fonction de la fr´ equence et un second

mod` ele dont les param` etres sont constants et uniform´ ement (ne d´ ependent pas de la

distance) r´ epartis sur toute la longueur de la ligne. Tous les deux ont leurs utilit´ es res-

pectives dans les syst` emes de transmission, mais celui ` a param` etres constants est le plus

utilis´ e, car il est g´ en´ eralement suffisant pour ´ etudier les diff´ erents ph´ enom` enes qui appa-

raissent dans les syst` emes de transport d’´ electricit´ e. Par ailleurs, lorsque la fr´ equence des

signaux qui traversent la ligne sont de l’ordre du GHz, ce qui n’arrive pas g´ en´ eralement

dans les syst` emes de transmission, il est important de prendre en compte la d´ ependance

fr´ equentielle des param` etres. En effet, ` a de telles fr´ equences, des ph´ enom` enes comme l’ef-

fet de peau, qui ne sont pas capt´ es par le mod` ele ` a param` etres constants, peuvent avoir

un impact consid´ erable.

2.2.1.1 Mod`ele `a d´ependance fr´equentielle

Pour une ligne monophas´ ee, dont la structure est montr´ ee en Fig. 1.2, les deux ´ equations d´ ecrivant l’´ evolution de la tension v (x, t) et le courant i (x, t) ` a chaque point x et ` a chaque instant t sont donn´ ees par



 

 

∂v(x, t)

∂x = −L (w) ∂i(x, t)

∂t − R (w) i(x, t)

∂i(x, t)

∂x = −C (w) ∂v(x, t)

∂t − G (w) v(x, t)

, (2.1)

o` u les param` etres R (w), L (w), C (w) et G (w) sont, respectivement, la r´ esistance, l’induc- tance, la capacitance et la conductance transverse par unit´ e de longueur. Leur d´ ependance de la pulsation w = 2πf est li´ ee ` a certains ph´ enom` enes ´ electromagn´ etiques, comme l’ef- fet de peau, qui apparaissent lorsque la ligne est soumise ` a des signaux de tr` es hautes fr´ equences. Ceci r´ esulte d’une mod´ elisation assez d´ etaill´ ee des conducteurs de la ligne en se basant sur les ´ equations de Maxwell [50]. Notons que, pour les lignes a´ eriennes, la conductance transverse G (w) est souvent n´ eglig´ ee ` a cause de son faible impact. Par cons´ equent, elle sera omise dans tous les mod` eles des lignes consid´ er´ es dans cette th` ese.

D’une mani` ere g´ en´ erale, les param` etres R (w), L (w) et C (w) peuvent ˆ etre des fonc- tions tr` es complexes dont on ne connaˆıt que des expressions asymptotiques (voir, par exemple, [50]). Ainsi, selon la gamme de ph´ enom` enes auxquels on s’int´ eresse, des sim- plifications peuvent ˆ etre faites au niveau de la mod´ elisation. Par exemple, lorsqu’on ne consid` ere que l’effet de peau pour les lignes a´ eriennes, la mod´ elisation peut ˆ etre simplifi´ ee pour aboutir au mod` ele ci-dessous dont les param` etres L (w) et C (w) sont constants



 

 

∂v(x, t)

∂x = −L

∂i(x, t)

∂t − ∂

∂t

R

(t) ∗ i(x, t)

∂i(x, t)

∂x = −C

∂v(x, t)

∂t

, (2.2)

et (∗) symbolise le produit de convolution. R

(t) est une r´ esistance transitoire qui peut ˆ

etre approxim´ ee par la r´ eponse impulssionnelle d’un filtre lin´ eaire ayant un nombre assez important (en fonction de la plage de fr´ equence ` a prendre en compte) de pˆ oles et z´ eros (voir, par exemple, [68]). Elle mod´ elise ainsi l’effet de la fr´ equence sur la distribution des charges au niveau de la surface des conducteurs de la ligne.

De l` a, il est int´ eressant de noter, ` a propos du mod` ele (2.2), qu’il admet une forme d’´ etat (dont les matrices sont ind´ ependantes de la fr´ equence) moyennant une discr´ etisation spatiale. Ainsi, d’un point de vue syst` eme, il peut ˆ etre approxim´ e par un mod` ele lin´ eaire

`

a param` etres constants ayant un nombre assez important de variables d’´ etat.

2.2.1.2 Mod`ele `a param`etres constants

Apr` es avoir vu le mod` ele ` a d´ ependance fr´ equentielle, celui ` a param` etres constants

admet des ´ equations analogues aux (2.1) sauf que les param` etres sont, dans ce cas, tous

constants, i.e., R (w) = R, L (w) = L et C (w) = C, ce qui donne

Figure

2.1 – Structure en quadripˆ ole de la ligne



 

 

∂v (x, t)

∂x = −L ∂i (x, t)

∂t − Ri(x, t)

∂i (x, t)

∂x = −C ∂v (x, t)

∂t

. (2.3)

Dans le milieu industriel, l’utilisation du mod` ele (2.3) est assez fr´ equente car il est suffisam- ment d´ etaill´ e pour reproduire la plupart des ph´ enom` enes li´ es au transport de l’´ electricit´ e.

Ainsi, il fera l’objet d’une analyse assez d´ etaill´ ee par la suite.

2.2.1.3 Insertion dans le syst`eme

Pour qu’un mod` ele comme (2.3), (2.2) ou (2.1) puisse ˆ etre connect´ e ` a d’autre ´ el´ ements

´

electriques, il faut d’abord lui fixer des conditions aux bords. Ces derni` eres servent ` a d´ efinir le syst` eme au niveaux des bords et jouent le rˆ ole de ports de connexion ` a travers lesquels il interagit avec les autres composants (du circuit ´ electrique) auxquels il est connect´ e. Ceci peut ˆ etre formul´ e, d’une mani` ere plus g´ en´ erale, comme un syst` eme Port-Hamiltonien (voir, par exemple, [36]). Dans notre cas, et en se basant sur la structure physique de la Fig. 1.2, on peut constater qu’` a x = 0 on peut d´ efinir un courant i (x, t) |

= i

(t) et une tension v (x, t) |

= v

(t). De mˆ eme pour l’extr´ emit´ e x = `, on d´ efinit i (x, t) |

= i

(t) et v (x, t) |

= v

(t). Cela conduit au final ` a la structure en quadripˆ ole de la ligne avec deux ports de connexions comme le montre la Fig. 2.1.

L’´ evolution de i

(t) , i

(t) , v

(t) et v

(t) d´ epend du circuit dans lequel la ligne est ins´ er´ ee. Pour une ligne ouverte, par exemple, i.e., branch´ ee ` a une source de tension V

(t)

`

a x = 0 et laiss´ ee libre ` a x = `, on fixe, comme conditions aux bords : ( v (x, t) |

= V

(t)

i(x, t) |

= 0 , (2.4)

ce qui donne v

(t) = V

(t), i

(t) = 0 et enfin i

(t) , v

(t) qui r´ esultent d’une int´ egration du syst` eme d’´ equations (2.3)-(2.4).

Par ailleurs, il est important de noter que, pour aboutir ` a la structure de la Fig. 2.1,

le nombre de commandes aux bords doit ˆ etre connu au pr´ ealable. En effet, comme les

variables d’interconnexion sont d´ efinies ` a partir des conditions aux bords, le nombre de

ces derni` eres doit ˆ etre connu ` a l’avance. Ceci est li´ e ` a la question du nombre et choix des

entr´ ees qui est abord´ ee dans le Chapitre 4.

2.2.2 Mod` ele ` a retard

Dans les applications r´ ealistes, le mod` ele ` a param` etres distribu´ es, (2.3), de la ligne est g´ en´ eralement remplac´ e par un mod` ele ` a retard qui offre plus d’avantages au niveau de la simulation num´ erique. En effet, il est relativement facile de prendre en compte un retard lors de l’int´ egration num´ erique des ´ equations comme cela se fait, par exemple, dans EMTP ou Matlab/Simulink via une int´ egration par la m´ ethode des trap` ezes. Ainsi, le mod` ele ` a retard de la ligne, utilis´ e dans ces deux simulateurs, r´ esulte de la solution des ´ equations (2.3) dans le cas o` u R = 0 (ligne sans pertes). Dans ce cas, le courant i (x, t) et la tension v (x, t) s’´ ecrivent sous la forme g´ en´ erale de d’Alembert comme suit

i (x, t) = f

(x − vt) + f

(x + vt) , v (x, t) = Z

f

(x − vt) − Z

f

(x + vt) , o` u Z

=

r L

C est dite imp´ edance caract´ eristique et f

(·) , f

(·) sont deux fonctions arbi- traires. D’un point de vue physique, cela montre que le courant et la tension, dans une ligne sans pertes, sont tous les deux la somme d’une onde incidente f

(x − vt) qui se pro- page dans le sens des valeurs positives de x avec une vitesse constante v = 1

√

LC , et d’une onde r´ efl´ echie f

(x + vt), qui se propage dans le sens oppos´ e avec la mˆ eme vitesse. Cela conduit au mod` ele connu sous le nom de mod` ele de Bergeron obtenu par la m´ ethode des caract´ eristiques (voir par exemple [24] pour plus de d´ etails). Il est bas´ ee sur le fait que les tensions (v (0, t) + Z

i (0, t)) et (v (`, t) + Z

i (`, t)), ` a chaque bout de la ligne, co¨ıncident apr` es une dur´ ee de τ = ` √

LC sec. Plus pr´ ecis´ ement, (v (0, t) + Z

i (0, t)) ` a x = 0 conserve sa valeur durant la propagation (de x = 0 ` a x = `) et arrive ` a x = ` apr` es un temps de retard (de propagation) ´ egal ` a τ . Le mˆ eme raisonnement s’applique aussi pour la tension (v (`, t) + Z

i (`, t)) qui se propage de x = ` vers x = 0. Math´ ematiquement, cela s’´ ecrit

v (0, t) + Z

i (0, t) = v (`, t − τ) + Z

i (`, t − τ ) , v (`, t) + Z

i (`, t) = v (0, t − τ ) + Z

i (0, t − τ ) . A partir de l` a, on d´ eduit le sch´ ema repr´ esentatif ci-dessous

Figure

2.2 – Repr´ esentation du mod` ele ` a retard de la ligne

dans lequel I

(t − τ ) et I

(t − τ) repr´ esentent deux sources de courant re-