σ
2 10
. ..
σ
2 n
T
−1.
Et enfin, construire la r´ealisation ´equilibr´ee Σ
b(T A
nT
−1, T B
n, C
nT
−1) et la tronquer en
se basant sur la crit`ere σ
rσ
r+1(en g´en´eral un facteur de 10 ou 100 suffit largement).
Apr`es l’application de cette d´emarche au syst`eme (3.1), en fixant l’ordre de
l’approxi-mation `a n = 1000, la Fig. 3.7 montre les valeurs singuli`eres de Hankel qui en r´esultent.
Clairement, il est tout `a fait remarquable que les valeurs singuli`eres d´ecroient tr`es
len-tement sans une chute importante (i.e., tel que σ
rσ
r+1) pouvant indiquer l’ordre r
de la troncature. Tous ce que l’on voit, ce sont deux petits ´ecarts au niveau des ´etats
428 et 868 qui sont peu significatifs car le premiers est de 2,9.10
−3et le deuxi`eme encore
moins 1,2.10
−3. Dans une telle situation, il est donc `a conclure que selon le point de vue
´
energ´etique employ´e dans la troncature ´equilibr´ee, tout les ´etats du syst`eme jouent un
rˆole important dans le transfert d’´energie entr´ees-sorties. D’une mani`ere ´equivalente, ils
sont tous fortement commandables et observables.
Figure 3.7 – Valeurs singuli`eres de Hankel
r´eponse en fr´equence du mod`ele r´eduit obtenu par une troncature `a l’ordre r = 428 qui
correspond au premier ´ecart en Fig. 3.7. Clairement, il fournit une mauvaise approximation
du comportement fr´equentiel du mod`ele DP surtout dans la plage de fr´equence allant
jusqu’`a 7.10
3rad/s. De plus, on remarque qu’`a partir de 10
−4red/s uniquement un pic sur
deux est approxim´e. Par cons´equent, son comportement temporel est assez loin de celui
du mod`ele original. A l’inverse, la troncature au niveau du second gap (i.e., r = 868),
fournit, quant `a elle, de tr`es bons r´esultats que ce soit dans le domaine fr´equentiel ou
temporel mais l’inconv´enient est l’ordre ´elev´e du mod`ele r´eduit qui est ´egal `a 868.
Figure 3.8 – Trac´e de Bode du mod`ele issu de la troncature ´equilibr´ee et du mod`ele DP
Suite `a ces tests, il est d´esormais clair qu’en absence d’une chute significative entre
deux valeurs singuli`eres successives, la troncature via une r´ealisation ´equilibr´ee conduit `a
de tr`es mauvais r´esultats. L’am´elioration n’est attendue que si le nombre de dynamiques
retenues dans le mod`ele r´eduit avoisine celui contenu dans le mod`ele original, ce qui n’est,
bien ´evidement, pas int´eressant d’un point de vue pratique. Ceci implique, qu’au niveau
du choix des dynamiques `a garder dans le mod`ele r´eduit et l’ordre de celui-ci, on est
toujours face `a la mˆeme difficult´e qu’avec la troncature modale sauf qu’ici le probl`eme
vient des valeurs singuli`eres de Hankel et leur utilisation comme le seul moyen d’´evaluation
des dynamiques du syst`eme. De l`a, r´esulte ainsi le fait que la troncature ´equilibr´ee n’est
pas bien adapt´ee au syst`eme ´electrique de la Fig. 3.1, et `a toute la classe particuli`ere
des syst`emes dynamiques qui n’ont pas de chute importante dans leur spectre des valeurs
singuli`eres de Hankel.
3.4 Nouvelle m´ethodologie : une approche mixte
La Section 3.3.2 a d´evoil´e un aspect fondamental dans la r´eduction des syst`emes
´
electriques et quelques classes particuli`eres des syst`emes dynamiques. Cet aspect li´e `a
l’´evaluation des dynamiques d’un syst`eme en vue d’en choisir que les plus importantes,
occupe d´esormais le centre de tous les enjeux ´evoqu´es en Section 3.2.3. En effet, il est `a
pr´esent clair que la pr´eservation de la structure dynamique n´ecessite un choix plus adapt´e
des modes `a pr´eserver afin de surmonter les difficult´es rencontr´ees avec la troncature
mo-dale classique. De mˆeme, pour la pr´eservation de la structure physique, il est indispensable
de connaitre toutes les dynamiques importantes g´en´er´ees par le syst`eme interconnect´e afin
de bien ajuster le mod`ele r´eduit du sous-syst`eme. Ce qui permet, entre autres, de surpasser
les approches par hypoth`eses qui offrent des r´esultats peu fiables. Ainsi, notre d´emarche
pour traiter la question dans un cadre structurel et syst´emique, repose principalement sur
une approche mixte. L’id´ee est de tirer profil des approches modales et ´energ´etiques en
les combinant dans une nouvelle m´ethodologie afin de bien approximer le comportement
entr´ee-sortie du syst`eme tout en pr´eservant sa structure dynamique. Dans la litt´erature,
cette id´ee a d´ej`a fait l’objet d’un usage, e.g., dans [86], o`u la troncature ´equilibr´ee est
appliqu´ee uniquement `a certaines parties de la fonction de transfert du syst`eme original.
Cela donne g´en´eralement de bons r´esultats au niveau des trajectoires mais ne permet pas
pour autant de pr´eserver la structure dynamique du syst`eme. Plus pr´ecis´ement,
l’applica-tion directe de la troncature ´equilibr´ee `a des parties de la fonction de transfert ne garantie
pas la pr´eservation des modes du syst`eme original tel qu’on la mentionn´e pr´ec´edemment.
De l`a, r´esulte une perte du lien physique (voir Section 3.2.3.1) entre le mod`ele r´eduit qui
en r´esulte et le mod`ele original.
Une autre mani`ere de combiner les approches modales et ´energ´etique est ´egalement
propos´ee `a travers l’algorithme [66], o`u l’utilisateur choisit les modes `a pr´eserver, et
l’al-gorithme fournit un mod`ele r´eduit qui les pr´eserve avec des performances optimales au
sens de la norme H
2. Bien entendu, ceci pr´eserve la structure dynamique, puisque les
modes choisis sont pr´eserv´es `a l’identique, mais la difficult´e est de connaitre `al’avance les
modes importants du syst`eme qui conduisent `a une bonne approximation de son
compor-tement dynamique. C’est pourquoi, le lien entre les modes et l’´energieE
Hde la r´eponse
impulsionnelle est largement approfondi ici afin de trouver les modes du syst`eme qui ont
le plus fort impact dans son comportement entr´e-sortie. La d´emarche consiste `a trouver
d’abord les variables d’´etat qui contribuent le plus dans E
H, puis utiliser les facteurs de
participation pour remonter jusqu’aux modes. Plus de d´etails sont donn´es dans le reste
de cette section ainsi que le cadre th´eorique de cette nouvelle approche.
3.4.1 Cadre th´eorique : outils et d´efinitions
D’un point de vue th´eorique, le lien entre les modes du syst`eme et l’´energie E
Hde sa
r´eponse impulsionnelle, est appr´ehend´e ici d’une mani`ere assez g´en´erale qui fait intervenir,
essentiellement, des notions issues de la th´eorie des syst`emes dynamiques. Il s’agit, d’une
part, de la notion d’´energie qui est exploit´ee ici pour quantifier la contribution de chaque
variable d’´etat du syst`eme dans son comportement dynamique et, d’autre part, celle des
facteurs de participation qui permet de relier les ´etats aux modes et vice versa. C’est
cette combinaison qui permet de trouver les modes `a garder dans le mod`ele r´eduit, mais
avant d’entamer les d´eveloppements techniques, on tient tout d’abord `a pr´esenter ces deux
notions ainsi que leurs essences math´ematiques.
3.4.1.1 Energie de la r´´ eponse impulsionnelle : relation avec la norme H
2Pour d´efinir et calculer l’´energie de la r´eponse impulsionnelle, la premi`ere condition est
d’avoir une repr´esentation entr´ee-sortie du mod`ele dynamique du syst`eme. Celle prise ici
est d´eduite `a partir d’une approximation `a l’ordre n de la forme (3.2), car cette derni`ere
fait intervenir des op´erateurs et, par cons´equent, elle est assez complexe pour ˆetre exploit´ee
directement (voir les explications en Section 3.2.1). Une telle approximation se pr´esente
ainsi sous la forme d’un syst`eme lin´eaire de grande taille qui est obtenu en utilisant la
tech-nique de discr´etisation expliqu´ee en Section B.1). A partir de l`a, tous les d´eveloppements
et les r´esultats qui suivent ont pour point de d´epart la forme d’´etat ci-dessous
(
˙
x
n(t) =A
nx
n(t) +B
nu(t)
y(t) = C
nx(t) , (3.23)
avec A ∈ R
n×n, B = [b
1| · · · |b
p] ∈ R
n×pet C = [c
T1| · · · |c
T q]
T∈ R
q×n. La r´eponse
impul-sionnelle H(t) de (3.23) est donc une matrice de taille (p×q) obtenue par l’application
d’une s´equence de p impulsions de Dirac, i.e.,
U
1p×1=
δ(t)
0
..
.
0
, U
2p×1=
0
δ(t)
..
.
0
,· · · , U
pp×1=
0
0
..
.
δ(t)
,
avec des conditions initiales nulles, i.e., x
n(0) = 0 dans (3.23). Ceci conduit ainsi `a la
r´eponse suivante des variables d’´etat
X(t) =x
1|,· · · ,|x
p,
o`u
x
i(t) =e
Antb
ni. (3.24)
Dans le document
Modélisation et analyse structurelle du fonctionnement dynamique des systèmes électriques
(Page 74-77)