o` u rad ( · ) symbolise le radical

C) Lien avec le rang du module Soit A

p×q

une matrice `a coefficients dans R, on

d´efinit le rang de cette matrice par le plus grand v tel que D

_v

(A) 6= 0, et on note

rang (A) = v [[55], p. 62]. En tenant compte de cette d´efinition, de la Proposition 4.1 et

de la Section A), on peut ´ecrire sans ambigu¨ıt´e rang(M) =q−v. En posant v =q−n,

la plus grande valeur de v tel que D

_v

(A)6= 0 correspond `a la plus petite valeur de n. Et

comme F

_n

(M)=D

_q−n

(A), alors on peut d´efinir le rang de M comme ´etant le plus petit

n tel que F

_n

(M)6={0}, pour 0≤n ≤q. En particulier si n≥1, et si cet id´eal engendre

tout R, alors le module est projectif de rang n.

4.3.1.5 Notion d’invariants

Les invariants d’un module de pr´esentation finie sont des quantit´es ind´ependantes

d’une r´ealisation particuli`ere de sa matrice de pr´esentation, i.e, intrins`equement li´ees au

module. Ces invariants sont principalement la dimension et la multiplicit´e d’un module.

Tout au long de cette section, on note parR=_K[∂

1

, ∂

2

,· · · , ∂

n

] un anneau des polynˆomes

en n variables `a coefficients dans <sub>K</sub>, (R est une alg`ebre commutative gradu´ee, i.e., R =

L

i≥0

R

i

avec R

0

= _K), M = L

i≥0

M

i

un R-module, I un id´eal de R engendr´e par les

polynˆomes p

1

, p

2

, . . . , p

s

∈R, et A=R/Il’alg`ebre quotient.

A) Polynˆome et s´erie de Hilbert : Soit

HF

_M

:n−→dim

_k

M

_n

, n∈_N (4.10)

une fonction qui fait correspondre `a chaquen la dimension, au sens d’un _K-espace

vecto-riel, deM

_n

. Cette fonction est appel´eefonction de Hilbert deM. On d´efinie ´egalement

la s´erie de Hilbert de M, aussi appel´ee s´erie de Hilbert-Poincar´e, par :

HS

_M

(t) =

∞

X

n=0

HF

_M

(n)t

ⁿ

∈_Z[[t]]. (4.11)

SiM est g´en´er´e pard´el´ements homog`enes de degr´esδ

₁

, δ

₂

, . . . , δ

_d

>0, alors la s´erie (4.11)

s’´ecrit :

HS

_M

(t) = ^{P (t)}

Q

d

i=1

(1−t

δi

)^,

et dans le cas o`u les δ

_i

sont ´egaux `a 1, on a

HS

_M

(t) = ^{P (t)}

(1−t)

^d

^{, (4.12)}

o`uP (t) est un polynˆome `a coefficients entiers. L’entier dest appel´edimension de M sur

R et on note dim

_R

(M) =d.

Remarque 4.1. Il ne faut pas confondre la dimension de M sur R avec la dimension de

M comme un espace vectoriel sur le corps _K, not´ee dim

_K

(M)). La premi`ere, repr´esente

la dimension de krull de M, not´ee dim

_Krull

(M), et elle est n´ecessairement finie si le

nombre d’ind´etermin´ees de l’anneau de polynˆomes R est fini. La deuxi`eme (dim

_K

(M)),

en revanche, peut ne pas ˆetre finie.

4.3.2 Approche syst`eme

Un syst`eme dynamique est un ensemble deqvariables li´ees parprelations (diff´erentielles,

alg´ebro-diff´erentielles, aux diff´erences, aux d´eriv´ees partielles, etc). D’un point de vue

alg´ebrique, ce syst`eme peut ˆetre vu comme un R-module qui a comme g´en´erateurs les

variables physiques du syst`eme et comme relations les ´equations qui lient ces variables.

On aura ainsi ce que l’on appelle unR-module de pr´esentation finie donn´e par g´en´erateurs

et relations.

4.3.2.1 D´efinition d’un R-syst`eme

A) D´efinition g´en´erale Compte tenu des propos pr´ec´edents, il existe alors une

ma-trice A ∈ R

^p×q

`a coefficients dans R, appel´ees matrice de pr´esentation, tel qu’on est la

repr´esentation ci-dessous pour un syst`eme lin´eaire

Aw= 0, (4.13)

o`u w = [w

₁

, w

₂

, ..., w

_q

]

^T

joue le rˆole de g´en´erateurs. Contrairement au module M, la

matrice A n’est pas un objet intrins`eque puisque elle n’est pas unique. En effet, on peut

changer, par exemple, la position de deux lignes de la matrice A sans que cela ne change

le module M. On a donc la suite suivante

R

^p

−→

^•A

R

^q

−→

^φ

M −→0, (4.14)

qui est exacte puisque Ker (φ) = Im

_R

(•A) ou d’une mani`ere ´equivalente (•A) est une

injection et (φ) et une surjection canonique. A partir de l`a, on peut d´efinir le R-module

M, li´e au syst`eme dynamique, comme ´etant le conoyau du morphisme (•A), et, on ´ecrit

formellement

M ∼_=R

q

/Im

_R

(•A),coker

_R

(•A).

Pour plus de d´etails sur ces d´efinitions nous renvoyons le lecteur `a [56, 9, 53, 63], o`u elles

sont largement discut´ees.

A.1) Cas de la dimension finie _{Etant donn´}´ _{e que les syst`emes dynamiques continus}

de dimension finie font intervenir que des ´equations diff´erentielles ordinaires, le R-module

correspondant peut ˆetre d´efinit sur un anneau de polynˆomes `a une seule ind´etermin´ee,

i.e.,

_dt^d

≡ ∂

t

. On aura ainsi, un module d´efinit sur un anneau principal, R = _C[∂

t

], dont

les propri´et´es associ´ees sont pr´esent´ees en Section 4.3.1.3. Notons ´egalement que

l’ana-lyse des syst`emes discrets peut aussi b´en´eficier de ce cadre alg´ebrique en consid´erant,

comme ind´etermin´ee de l’anneau, l’op´erateur de d´ecalage. Le cadre math´ematique

em-ploy´e, g´en´eralement, dans ce cas ce sont les alg`ebres de Ore (voir, par exemple, [18]).

A.2) Cas de la dimension infinie : Pour les syst`emes continus de dimension

infi-nie, la particularit´e r´eside dans la multitude des arguments dont d´ependent les fonctions

d´efinissant le comportement du syst`emes ainsi que les diff´erentes d´eriv´ees partielles qui y

sont associ´ees. De l`a, l’anneau sur lequel est d´efinit le module correspondant au syst`eme

(tel que (4.1)) comporte plusieurs ind´etermin´ees,

_∂t^∂

≡∂

_t

,

_∂x^∂

1

≡∂

_x1

,· · · ,

_∂x^∂

n

≡∂

_xn

. C’est

ce qui conduit `a consid´erer le syst`eme sur l’anneau R=_C[∂

_t

, ∂

_x1

,· · · , ∂

_xn

] qui n’est plus

principal et poss`ede quelques propri´et´es diff´erentes (voir Section 4.3.1.3) par rapport au

cas d’une seule ind´etermin´ee. L`a encore, on peut reprendre la remarque faite plus haut

pour les syst`emes discrets en consid´erant, cette fois-ci, plusieurs op´erateurs de d´ecalage

en se mettant dans le cadre des alg`ebres de Ore (voir, par exemple, [18] pour plus de

d´etails).

4.3.3 Approche comportementale

Une autre mani`ere de repr´esenter un syst`eme lin´eaire est de consid´erer ses solutions

plutˆot que ses ´equations. Dans le cas 1−D, cette approche a ´et´e d´evelopp´ee par Willems

[87, 62], o`u on d´efinit un syst`eme lin´eaire par un triplet (A, q,B), o`u A d´esigne l’espace

des signaux, q ∈ _Z

+

est le nombre de composantes et B ⊆ A

q

est le comportement

(behaviour) dont les ´el´ements sont appel´estrajectoires. L’espace des signaux A, qui peut

ˆ

etre un espace quelconque (de fonctions, de distributions, d’hyperfonctions, etc), est aussi

un R-module `a gauche, i.e., chaque relation entre les ´el´ements de A donne un ´el´ement

deA (par exemple, dans l’espace des fonctions d´erivables,f(x

1

, .., x

n

) et

_∂x^∂f

1

sont dans le

Dans le document Modélisation et analyse structurelle du fonctionnement dynamique des systèmes électriques (Page 128-131)