Ici, on abordera la question de la d´ efinition des entr´ ees des syst` emes dynamiques ` a

param`etres distribu´es (i.e., donn´es par des ´equations aux d´eriv´ees partielles) au sens de

la commande des syst`emes. Cette question intervient dans la plupart des probl`emes li´es

`

a la commande, et il n’est pas toujours ´evident d’avoir une r´eponse claire d`es le d´epart.

Dans le cas des syst`emes ´electriques, par exemple, l’interconnexion entre les composants

mod´elis´es par des ´equations alg´ebro-diff´erentielles et ceux mod´elis´es par des EDP’s tels

que les lignes se fait en empilant toutes les ´equations. Par cons´equent, il est difficile, dans

un tel cas, de d´eduire directement quelles sont les variables `a fixer afin de pouvoir simuler

le comportement du syst`eme ou de reproduire sa r´eponse `a une quelconque perturbation.

De l`a, on d´efinit une entr´ee comme ´etant une variable du syst`eme qui influe

continu-ment (i.e., d´epend du temps) sur son comportement et qu’on peut fixer arbitrairement et

ind´ependamment des autres variables. Ainsi, la dimension d’un ensemble maximal de

va-riables qui v´erifient cette d´efinition est dit le nombre d’entr´ees du syst`eme. Il servira, par

exemple, `a la commande du syst`eme dans un contexte du contrˆole ou, plus g´en´eralement,

comme des variables qu’il faut fixer (associ´ees aux conditions initiales) pour d´eterminer

le comportement du syst`eme (i.e., les trajectoires ou solutions des ´equations). A cela,

s’ajoute ´egalement une question, que nous tenons juste `a mentionner ici, qui est lechoix

des entr´ees, i.e., apr`es avoir d´etermin´e le nombre, il va falloir d´eterminer quelles sont les

variables qui peuvent servir comme entr´ees du syst`eme.

Une fois ces d´efinitions donn´ees, deux cas se distinguent. Le cas de la dimension finie

et celui de la dimension infinie qui nous int´eresse en particulier. Pour les syst`emes de

dimension finie, la question a ´et´e abord´ee dans une approche alg´ebrique qu’on verra le

long de ce chapitre et le nombre d’entr´ees not´edim{u}estintrins`equement d´efinit comme

´

etant lerang du module d´efinissant le syst`eme dynamique (e.g., [28], [69]). Ce nombre est

invariant et ne d´epend pas d’une r´ealisation particuli`ere du syst`eme comme on peut le

voir `a travers l’Exemple 4.4 de la Section 4.2. Ceci, conf`ere `a cette approche alg´ebrique

un caract`ere plus syst´emique et plus intrins`eque, ce qui a fait que la question du choix

des entr´ees a ´et´e aussi formul´ee dans cette approche et r´esolue mˆeme pour les syst`emes

de dimension finie `a temps variant (voir [9] pour plus de d´etails). Les atouts de cette

approche ont servis ´egalement aux syst`emes de dimension infinie (voir, e.g., [63], [96]).

Cependant, la question des entr´ees n’a pas ´et´e abord´ee dans un contexte del’automatique

qui est nourri par les probl´ematiques rencontr´ees dans les applications. A cet effet, les

contributions `a ce sujet n’ont pas ´et´e abondantes et les r´esultats constat´es r´epondent

partiellement `a la probl´ematique telle qu’elle est pos´ee dans cette th`ese. En effet, pour

les syst`emes de dimension infinie, d´ecris par des EDPs, on distingue deux types d’entr´ees.

Les entr´ees dans ledomaine appel´ees contrˆoles internes et les entr´ees aux bords appel´ees

contrˆoles fronti`eres (voir par exemple [5]). Concernant, les contrˆoles internes, ce sont des

commandes (fonctions qui d´ependent du temps et de l’espace) qui sont appliqu´ees soit

dans tout le domaine spatial, soit dans une r´egion de celui-ci (mise-`a-part les fronti`eres).

Leur nombre co¨ıncide avec le rang du module d´efinissant le syst`eme comme dans le cas

de la dimension finie. En revanche, les contrˆoles fronti`eres, quant `a eux, se situent `a

la limite du domaine et constituent une classe `a part. Leur nombre n’est pas clair et

d´epend souvent de la g´eom´etrie du domaine comme le montre l’Exemple 4.2. Ainsi, toute

la question se focalise d´esormais autour de cette classe particuli`ere de commandes qui

n’est pas d´etectable par le rang du module. Dans l’´etat actuel, les questions li´ees `a ces

commandes fronti`eres et leur nombre, ne sont abord´ees ni dans un contexte du contrˆole

des syst`emes, ni dans un contexte d’analyse de trajectoires. Et c’est pour cette raison que

ce chapitre a pour vocation de clarifier et de bien poser la probl´ematique d’un point de

vue th´eorique.

Bien que la question n’est pas compl`etement r´esolue, vu la complexit´e du probl`eme,

les notions donn´ees dans ce chapitre constituent une contribution `a la formulation du

probl`eme d’un point de vue th´eorique. En effet, la bibliographie exhaustive, faite autour

du sujet, nous a conduit `a bien poser et positionner le probl`eme d’un point de vue de la

commande des syst`emes en se mettant dans le cadre alg´ebrique qui se veut plus g´en´eral

est plus intrins`eque. Quelques propri´et´es structurelles sont tout de mˆeme d´egag´ees, mais

au del`a des d´efinitions proprement dites, des questions appuy´ees par des exemples sont

pos´ees le long du chapitre et dont les r´eponses pourront faire progresser le raisonnement et

apporter plus d’´eclaircissement au sujet. In fine, la m´ethodologie et la d´emarche propos´ees

serviront de support aux futurs travaux sur le sujet.

4.2 Position du probl`eme et exemples de motivation

L’int´erˆet de cette section est de poser le probl`eme des entr´ees dans un contexte de

la commande des syst`emes. En s’appuyant sur diff´erents exemples dont certains

sont physiques, diverses questions apparaissent notamment d’ordre th´eorique.

4.2.1 Probl`eme g´en´eral

D’une mani`ere g´en´erale, tous les syst`emes dynamiques mod´elis´es par des ´equations

aux d´eriv´ees partielles lin´eaires `a coefficients constants peuvent s’´ecrire sous la forme

ci-dessous (voir, e.g., [37])































F

₁

u

₁

, u

₂

, . . . , u

_k

,^∂u

¹

∂t ^,

∂u

₁

∂x

₁

^{, . . . ,}

∂

^ri

u

_i

∂

βi

t∂

α1

x

₁

, . . . , ∂

αn

x

_n

= 0,

..

.

F

_m

u

₁

, u

₂

, . . . , u

_k

,^∂u

¹

∂t ^,

∂u

₁

∂x

₁

^{, . . . ,}

∂

ri

u

_i

∂

βi

t∂

α1

x

₁

, . . . , ∂

αn

x

_n

= 0,

(4.1)

o`u (u

₁

, . . . , u

_k

) (t, x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

) sontkfonctions d´ependantes de (n+ 1) variables ind´ependantes,

i.e., (t, x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

), et qui sont reli´ees par m relations lin´eaires (F

₁

, . . . , F

_m

). Ainsi, la

question que l’on se pose dans cette th`ese est de savoir,d’un point de vue de la commande

des syst`emes, quel serait le nombre de commandes du syst`eme (4.1) ? D’une mani`ere

´

equivalente, on cherche `a connaˆıtre le nombre de fonctions u

_j

, j ∈ {1, .., k} et le nombre

maximum et/ou minimum de conditions aux bords qu’on peut ou qu’on doit fixer

(as-soci´ees aux conditions initiales) pour d´eterminer les trajectoires du syst`eme (4.1). Afin

d’´etayer plus cette questions, des exemples d’illustration et de motivation sont propos´es

ci-apr`es.

4.2.2 Exemples de motivation

Exemple 4.1. (syst`eme de dimension finie) Les ´equations physiques ci-dessous d´ecrivent

le comportement du circuit en π pr´esent´e en Section 2.2.3.1.















































C

2^`

dV

_e

dt ⁼ⁱ

¹

^,

C

2^`

dV

_s

dt ⁼ⁱ

³

^,

V

_e

=R`(I

_e

−i

₁

) +L`^d

dt^(I

^e

−i

₁

) +V

_s

,

I

_e

−i

₁

=I

_s

+i

₃

,

I

_e

−i

₁

=i

₂

.

(4.2)

Le m´elange d’´equations diff´erentielles et alg´ebriques ci-dessus, forme ce qu’on appel

un syst`eme alg´ebro-diff´erentielle ou plus g´en´eralement DAE (Diff´erential Algebraic

Equa-tions). Si l’on s’int´eresse, d´esormais, `a d´enombrer ses entr´ees, on doit d´eterminer le nombre

de variables n´ecessaires `a fixer afin que toutes les autres variables s’´ecrivent en fonction

de celles-ci. En premier lieu, on peut appliquer une r`egle simple qui consiste `a faire la

diff´erence entre le nombre d’´equations et le nombre d’inconnues. Cela donnerait pour le

syst`eme (4.2),

]variables−]´equations= 7−5 = 2.

Ce r´esultat est tout `a fait correct car on peut facilement v´erifier que si on fixe deux

variables dans (4.2), toutes les autres vont en r´esulter, ce qui signifie que le nombre

d’entr´ees est ´egal `a deux. Toutefois, ce simple calcul est sensible `a la repr´esentation du

syst`eme et peut conduire `a des r´esultats erron´es. Pour illustrer ceci, ajoutant par exemple

l’´equation,

au syst`eme (4.2). D’un point de vue physique, cela ne change rien au syst`eme car il

s’agit d’une combinaison lin´eaire des deux derni`eres ´equations de (4.2) qui est v´erifi´ee

physiquement. Ainsi, le mˆeme calcul que le pr´ec´edent donne, dans ce cas l`a, une seule

entr´ee (i.e., 7−6 = 1) ce qui n’est pas correct du fait que le syst`eme n’a pas chang´e.

Cela montre bien la difficult´e de la tˆache, a fortiori, pour les grands syst`emes o`u diff´erents

types de mod´elisations tels que les ´equations aux diff´erences, les retards et autres peuvent

coexister. Pour cette raison, la question est trait´ee dans un formalisme plus g´en´eral et

plus adapt´e en Section 4.4.2.1.

Exemple 4.2. (syst`eme de dimension infinie)La propagation des ondes dans le plan est

mod´elis´ee par un syst`eme `a param`etres distribu´es qui peut ˆetre donn´e g´en´eralement par

l’EDP lin´eaire suivante

∂

2

u(x, t)

∂

2

t −c

²

^∂

2

u(x, t)

∂

2

x ^{=f(x, t), (4.3)}

o`u u(x, t) est le d´eplacement vertical, c est la vitesse de propagation, x est la variable

d’espace et f une fonction dite source. Comme pour l’exemple pr´ec´edent, il s’agit de

d´eterminer le nombre de variables `a fixer dans l’´equation (4.3) pour que toutes les autres

s’´ecrivent en fonction de ces derni`eres. A premi`ere vue, la question est plus compliqu´ee

dans ce cas puisque il n’est pas claire si on doit fixer les variables (i.e., les fonctions)

partout, i.e., `a tout points d’espace, ou uniquement dans certaines r´egions d’espace. Mise

`

a part la question de causalit´e, on peut fixer, par exemple, la fonction u(x, t) pour tout

couple (x, t) et d´eduire par la suite la fonction f(x, t). On d´eduit ainsi que f s’´ecrit

uniquement en fonction de u ce qui laisse entendre que le nombre d’entr´ees est ´egale `a

1. N´eanmoins, si on fixe la fonction f(x, t), faudrait-il encore fixer la fonction u en des

endroits d’espace particuliers ou pas ? Autrement dit, pourrons-nous int´egrer l’´equation

(4.3) et fixer la trajectoire (en sp´ecifiant les conditions initiales) sans prendre en compte

la g´eom´etrie du domaine spatial. Cette question est le centre de ce chapitre car plusieurs

r´esultats peuvent ˆetre distingu´es en fonction de la g´eom´etrie du domaine dans lequel

le syst`eme est d´efinit. Par exemple, pour (4.3), trois cas sont possibles, soit le syst`eme

est d´efinit sur toute la droite r´eelle, i.e., x ∈ ]−∞ +∞[, soit sur une semi-droite, i.e.,

x ∈]−∞ x

₀

] ou x ∈[x

₁

+∞[, soit sur un segment, x∈[x

₀

x

₁

]. Pour simplifications, si

l’on suppose que la fonctionf(x, t) est fix´ee `a z´ero, la solution g´en´erale (i.e., ind´ependante

de la forme du domaine) de (4.3) s’´ecrit

u(x, t) =h(x+ct) +g(x−ct), (4.4)

o`u h(·) et g(·) sont des fonctions arbitraires d’une variable chacune. A partir de l`a, le

domaine joue un rˆole important dans la d´etermination de ces fonctions. Par exemple dans

le cas o`u x ∈ ]−∞ +∞[ et en y ajoutant les conditions initiales u(x, t)|

_t=0

=φ

₀

(x) et

∂u(x,t)

∂t

|

_t=0

=φ

₁

(x), la fonction u(x, t) de (4.4) est donn´ee par la solution de D’Alembert

suivante :

u(x, t) = ¹

2^φ

⁰

^(x−ct) + ¹

2^φ

⁰

^{(x+ct) +}

1

2

Z

x+ct x−ct

φ

1

(τ)dτ. (4.5)

Selon la d´efinition g´en´erale des entr´ees donn´ee en Section 4.1, on voit bien qu’il n’y

a aucune fonction (mise `a part f qu’on a fix´e `a z´ero) d´ependante du temps (i.e., influe

continument sur la trajectoire) qu’on peut fixer arbitrairement dans (4.5). Ainsi, u est

fonction uniquement de f et des conditions initiales φ

0

(·), φ

1

(·) qui sont fix´ees au d´ebut

et ne d´ependent que de x. Cela dit, on a pu trouver une trajectoire u, i.e., int´egrer le

syst`eme (4.3), sans avoir besoin de fixer u dans des endroits particuliers d’espace. Dans

ce cas, la seule entr´ee du syst`eme est la fonction f. En revanche, quand x∈]−∞ x

0] ou

x ∈ [x

1

+∞[, on peut voir, par exemple dans [23], que la trajectoire u(x, t) d´epend de

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