DIFFUSION DES CORPS À SYMÉTRIE DE RÉVOLUTION PAR LA MÉTHODE DES ÉQUATIONS INTÉGRALES

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DIFFUSION DES CORPS À SYMÉTRIE DE RÉVOLUTION PAR LA MÉTHODE DES

ÉQUATIONS INTÉGRALES

A. Berthon, J. Houdebine

To cite this version:

A. Berthon, J. Houdebine. DIFFUSION DES CORPS À SYMÉTRIE DE RÉVOLUTION PAR

LA MÉTHODE DES ÉQUATIONS INTÉGRALES. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C3),

pp.C3-101-C3-110. �10.1051/jphyscol:1990311�. �jpa-00230739�

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C3, supplément au 11'17, Tome 51, ler septembre 1990

DIFFUSION DES CORPS

A

SYMÉTRIE DE RÉVOLUTION PAR LA M ~ T H O D E DES ÉQUATIONS INTÉGRALES

A. BERTHON et J. C. HOUDEBINE

Société AERO, 3, avenue de I1Op6ra, F-75001 Paris, France

Résumé

-

La diffusion des ondes par des obstacles conduit à des systèmes d'équations intégrales où les fonctions inconnues sont définies sur des surfaces. On montre qu'en utilisant des opérateurs intégraux et non intégro-différentiels sur des variables, il est possible d'étudier leurs singularités de manière précise. Le problème est explicité dans le cas de structures de révolution où une décomposition en 'série de Fourier par rapport à la variable angulaire, permet de réduire les équations à un problème d'une seule variable. Des méthodes efficaces sont proposées pour évaluer les noyaux des opérateurs compte tenu de leurs singularités. Comme exemples d'application on détermine le diagramme de rayonnement d'un cylindre à extrémités sphériques éclairé par une onde plane, les équations intégrales étant résolues séparément pour chacun des modes azimutaux. On montre comment la méthode peut aussi être utilisée pour calculer le rayonnement de structures élastiques.

S mWave scattering by obstacles leads to sysrems of integral equations for unknown functions defined on a surface. We show that using integral operators instead of integrodifferential allows to study precisely their singularities. The problem is explicirly treated in the case of structures of revolution in which the equations are reduced to a one dimensional problem through a development in Fourier series. Methods taking into account the singularities are proposed to provide an efficient computation of the kernels. As an example we determine the radiation pattern of a spherical terminated cylinder, through a resolution of the integral equations for each azimuthal mode. Then we show how to use this method to compute radiation of elastic structures.

L'invariance par rotation de l'équation de Helmholtz permet de décomposer tout problème de diffusion en milieux homogènes séparés par des surfaces comportant un axe de révolution commun, en un ensemble, éventuellement infini, de problèmes monodimensionnels. Le but de cet article est tout d'abord d'expliciter les noyaux des opérateurs intégraux, puis de discuter des différentes méthodes numériques utilisables pour leur évaluation.

Les auteurs utilisent en général la forme intégro-différentielle des équations car les singularités des noyaux y sont plus faibles, mais lorsqu'on dispose de la symétrie de révolution et qu'on se ramène à des fonctions d'une seule variable, l'abscisse curviligne, les singularités sont calculables analytiquement. C'est pourquoi dans l'approche présentée toutes les dérivations portent sur la fonction de Green, ce qui permet d'écrire les champs inconnus de façon très simple (constant par morceaux) puisque la connaissance de leur dérivée n'est pas nécessaire.

La section 2 contient un bref rappel de la forme des équations intégrales dans le cas des corps à symétrie de rkvolution. La section 3 présente des méthodes de calcul numérique des noyaux d'abord dans les cas courants : hors des singularités, puis deux méthodes de calcul des singularités. La section 4 donne quelques exemples d'applications de la méthode dans le cas de la diffusion d'une onde plane et dans le cas du rayonnement d'un corps vibrant.

2

-

EOUATIONS MTEGRALES 2.1

-

FORME GENERALE

L'équation de Helmholtz vérifiée en acoustique par un champ scalaire représentant la pression acoustique, admet pour fonction de Green :

i kr (p(x,x')=q(r)=e 147cr

où r=lx-x'l. Si l'on considère une surface fermée

C

et n le vecteur normal à

C

orienté vers l'extérieur, le champ total s'écrit à l'extérieur de

C

sous la f o p e :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990311

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C3-102 COLLOQUE DE PHYSIQUE

où af/an est la projection du gradient de f sur le vecteur n et @i est le champ incident.

Pour un corps mou, la condition aux limites est @(xl)=O et la distribution inconnue p(x9)=(a@/an)(x') obéit à l'éq~~ation :

r

Pour un corps rigide, la condition aux limites est (a@/an)(x')=O, d'où une équation où l'intégrale doit être définie comme limite lorsque x, extérieur à

1

tend vers x, C; ce qui donne, en notant une intégrale prise en valeur principale :

r

2.2

-

APPLICATION AUX SURFACES DE REVOLUTION

L'axe de révolution étant Oz et x, y, z les vecteurs unitaires portés par les axes d'un trièdre orthonormé, toutes les surfaces que l'on considère sont engendrées par la rotation autour de Oz d'une méridienne que l'on suppose

Fig. 1

-

Notations adoptées pour la description des corps de révolution

deux fois continûment différentiable par morceaux. En coordonnées cylindriques p, 8, z les équations paramétriques de la surface sont z=z(s), p=p(s), s étant une abscisse curviligne de la méridienne. Le point courant est repéré par s et par son angle azimutal 8. La tangente à la méridienne passant par ce point porte le vecteur

qui est unitaire en raison du choix de l'abscisse curviligne comme paramètre.

Développons p, 0 et @i en série de Fourier de l'angle azimutal 8,les coefficients pn, @* et Qi, n sont fonction de l'abscisse curviligne s et les équations s'écrivent :

r

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où L est la longueur de la méridienne.

Soit (z, p, 8) et (2, p', 8') les coordonnées cylindriques des points d'abscisse s et s', soit a=8-8'; la distance entre les points s'écrit r=[(p-p')2+(z-z')2+2pp'(l-c~s(a))]l/2. En posant :

on obtient pour chaque mode azimutal, les équations intégrales à une dimension (pour un corps mou et un corps rigide respectivement) :

p(s')@,,(s')ds' = O,, ,(s)

où on a noté x et z (resp. x' et z') les valeurs de drlds et dzfds au point s (resp. s') 3 - METHODES DE CALCUL NUMERIOLJE

La discrètisation et la résolution des équations intégrales posent trois problèmes : choix des fonctions de base, traitement des singularités, temps de calcul. Le choix des fonctions de base doit être adapté à la géométrie du problème, aussi pour rester dans un cadre général nous n'aborderons pas cet aspect. En ce qui concerne le temps de calcul, tout repose sur la durée nécessaire au calcul des fonctions Gni pour un couple de points quelconques. Nous décrirons ici quelques méthodes rapides et leur domaines d'utilisation.

3.1 - CALCUL HORS DES SINGULARITES 3.1.1

-

Relations de récurrence

La distance entre deux points dépend de trois paramètres seulement, on choisira donc outre l'azimut relatif a, la distance minimale a obtenue pour a=O et la moyenne géométrique b=(pp')lE. On a donc :

2

r2 = a2

+

4bl(sin~)

Pour a2 et b2 fixés, la dérivée de <pi par rapport à a n'est autre que b2sina <pi+r, d'où en intégrant par partie l'équation de définition des fonctions Gni on obtient pour n#O :

i+l i+l 2n

on+, ^-

^Gn-l⁼^7-y^O:

b

Par application de cette récurrence toutes les fonctions Gni s'expriment analytiquement à partir des deux premières Go1 , Gil et des fonctions GnO de n=O à la valeur maximale exigée par le problème.

3.1.2 - Développement en série de Gegenbauer

Dans le développement classique de la fonction de Green, r est interprété comme la longueur de la différence de deux rayons vecteurs faisant un angle a ; ici leurs longueurs sont rk=1/2(.da2+4b2

+

a) et on a :

(5)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

où jq et hq(-) sont les fonctions de Bessel et Hankel sphériques d'ordre q.

Il est possible d'étendre cette décomposition aux fonctions 96) en remarquant que : 2rdr = -2b2 d(cosa). 11 suffit donc pour obtenir les termes Gni de calculer les termes Inq : intégrales de O à 2n de Pq(cosa)cos(na). Ces intégrales sont calculées une fois pour toute au début du programme en utilisant les propriétés des polynômes de Legendre. On obtient alors :

Limites de la méthode :

Lorsque n est grand et pour r fixé on peut appliquer l'approximation des fonctions de Bessel jn et hn au terme général des séries précédemment définies :

n+ 1 /2

jn(rJhn(rd

- ^i(f)

( 2 n + l ) G r+

La convergence est donc liée au rapport r-/r+=f(b/a). En pratique la limite de convergence compte tenu des difficultés de calcul des fonctions de Bessel est au voisinage de b/a<0.16,

Malheureusement l'approximation précédente n'est plus valable lorsque r est grand. Le nombre de termes nécessaire croît rapidement avec r à alb furé :

Une autre liniite de convergence apparaît : kbd0.

3.1.3 - Expression approchée au grandes distances

Lorsque la distance a entre les points x et x' est grande par rapport à b, la variation de r lorsque l'angle azimutal u varie entre O et 2n devient inférieure à la longueur d'onde, la phase de e - k varie peu et l'on peut utiliser l'approximation de Fraunhofer en reprenant la définition précédente de r+ et r- :

En écrivant également les puissances négatives de r au premier ordre en r-/r+, on obtient des fonctions linéaires en cosa; l'intégrale du produit d'un polynôme en cosa par la phase e(-k-cosa) s'exprime à l'aide des fonctions de Bessel cylindriques de

(k).

On'obtient :

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où Jo,Jl ,J2 sont les fonctions de Bessel cylindriques d'ordre 0, 1 et 2 respectivement.

Les calculs des fonctions de Bessel cylindriques ne posant pas de problème majeur, la seule limitation est le domaine de validité de l'approximation de Fraunhofer ; celui-ci dépend du rapport b/a et donne en pratique une limite en b/a < 0.125

.

3.1.4

-

Développement basse fréquence

Si I'on suppose kr suffisamment faible le développement de la fonction de Green en série de puissances de kr converge rapidement. L'intégration suivant l'azimut du terne générai de la série est de la forme :

où p est entier ou demi entier et r~ est la distance maximale entre x et x' : rM=a2+4b2. On notera r, la distance minimale entre x et x' : r,=a.

En écrivant r2 comme une fonction linéaire de cosa, on obtient deux relations de récurrence pour les fonctions

Les termes d'initialisation de ces récurrences sont donnés par :

diD(0) et dID(0) intégrales elliptiques de première et deuxième espèce.

A partir du développement de la fonction de Green, on obtient des expressions des termes Gni :

Les séries ci-dessus convergent théoriquement quelle que soit la valeur de k r ~ , mais numériquement les limites sont rapidement atteintes. En effet Ies fonctions Gni sont inférieures à 2xtr,, or le termé le plus grand des séries précédentes est de l'ordre de : ek4Jkn.l , donc si Son désire 4 chiffres significatifs, v étant le nombre de chiffres significatifs de la machine, le domaine d'utilisation de la mkthode est limité par krM < 2(v-4), ce qui donne pour un codage des réels sur 64 bits : krM < 24.

D'autre part, les formules de récurrence employées sont peu précises lorsque rJrM est proche de 1 car elles font intervenir des différences de termes du même ordre. Ceci limite en particulier l'indice le plus élevé des modes azimutaux accessibles par cette mkthode.

3.1.5 - Transformée de Fourier

L'utilisation d'une décomposition des champs en modes de Fourier de la variable azimut, fait immédiatement pcnser à utiliser la transformée de Fourier rapide pour le calcul des coefficients G,i. Le nombre de modes

~iécessaire à une bonne reconstitution des champs acoustiques dépasse rarement vingt compte tenu des précisions de calcul obtenues sur chacun des modes, c'est donc l'étalement du spectre de la fonction cp(a,b,a) (lui va déterminer le nombre de points d'échantillonnage nécessaires à la FFT. Compte tenu du fait que seul le

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C3-106 COLLOQUE DE PHYSIQUE

restent relativement lourds. Dans le cas où Son n'a besoin que de quelques modes azimutaux, il est préférable d'utiliser une intégration par la méthode des trapèzes, ce qui correspond exactement à une trafisformée de Fourier et évite le calcul inutile des modes d'indice trop élevé.

3.1.6

-

Domaines d'emploi

Pour fixer les domaines d'emploi des différentes méthodes de calcul nous avons pris comme référence le calcul des fonctions ~ , i par intégration numérique. Dans la limite des capacités de chacune des méthodes et pour une exigence de précision donnée le mode de calcul choisi est celui assurant le temps d'exécution le plus court.

Le schéma effectué ci dessous dépend évidemment du calculateur sur lequel nous avons effectué les mesures et des modules de calcul des fonctions mathématiques employés (fonctions de Bessel et intégrales elliptiques) niais il donne une idée de la forme générale des domaines d'utilisation des méthodes de calcul des premiers termes : GoO, G1O,

Gel,

Gll.

k b A g u'

Diveloppement en fonctions de Bessel

I I 1

-

7

O 10 20 ₃₀ _ka

Fig. 2

-

Domaines d'utilisation des méthodes de calcul : optimisation du calcul des termes GOO, GIO, Go1, Gll, Go2, G12.

3.2 - TRAITEMENT

DES

SINGULARI'IES

3.2.1

-

Développement limité des coefficients de Fourier de la fonction de Green

Les fonctions G,i, en temps que fonctions de a et b, sont analytiques sauf sur Saxe a 4 . Pour obtenir la forme de ces fonctions au voisinage de la singularité on peut effectuer un développement limité en puissance de a. Ce dkveloppement est obtenu en remarquant que le changement de cos(na) par cos(cr/2) dans la définition de G,i

lie change pas la nature des singularités mais conduit à une intégration explicite des parties singulières. On peut alors écrire au voisinage de a=O :

~ a a , b ) = L ~ o ~ l k a ~ + O(1) 2xb

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Le terme régulier est ensuite assimilé à un terme constant et obtenu à l'aide des méthodes de calcul précédemment définies appliquées au voisinage de la singularité.

Les limites de ces calculs sont liées à la forme du développement limité effectué; en effet, ce développement contient des puissances négatives de b, y compris dans le terme que nous considérons comme constant, le développement ne sera donc pas valable lorsque b est faible, donc au voisinage de l'axe de révolution du corps.

3.2.2

-

Singularités au voisinage de I'axe de révolution

Pour éviter les problèmes posés par le développement limité, il est possible de reprendre les calculs en considérant l'inté ation élémentaire dans son ensemble

F

: ^r

Y (s', B')'<pl(r)p(sl) r.n de'ds' ou 9') qo(r)p(s') de'ds'

où Y est la fonction élément fini sur l'intervalle d'intégration considéré.

Cette méthode étant employée essentiellement au voisinage de l'axe de révolution, on utilise pour isoler les singularités le développement basse fréquence des fonctions <pi qui dans ce cas converge rapidement. On sépare alors chaque fonction en deux parties : l'une contenant les termes en puissances négatives de r, l'autre contenant les termes en puissances positives ou nulles de r.

Les termes Bo et B1 sont continus, on reprend donc les calculs utilisés dans la méthode de développement basse fréquence.

Les intégrales contenant Ag et Ai sont calculées en commençant par intégrer sur l'abscisse curviligne. Pour cela on pose o = s-s' différence entre les abscisses curvilignes du point courant et du point d'intégration. On intègre donc en o entre -& et &. La méridienne étant représentée par un petit segment, on a :

r2 = s2

+

2 (pz

+

^po)(l

-

cos(a))

On peut alors intégrer les différents termes en puissance négative de r, ce qui permet de disposer d'une expression analytique F(a) des intégrandes fonctions de a. Comme F est singulière en a=O on utilise un développement limité 5 l'ordre O :

F(a) = KI log(a)

+

Kg

+

^f(a)

où Son a : lim f(a) = O a -> O

Les termes en log(a) sont intégrés analytiquement.

La fonction Ko+f(a) est intégrée numériquement car il s'agit d'une fonction continue.

Comme la méthode utilise le développement basses fréquences de la fonction de Green nous retrouvons ici les mêmes liitations, en particulier la limite sur la valeur maximale de k r ~ .

Le temps de calcul obtenu est légèrement plus important que par la méthode précédente, mais la précision ait voisinage de l'axe de révolution est nettement meilleure.

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

4

-

EXEMPLES D'APPLICATION

Les calculs ont été effectués en utilisant sur la méridienne des fonctions de base constantes par morceaux. Dans ce cas, le nombre de point par longueur d'onde nécessaire à une reconstitution correcte du champ est supérieur à 10 points par h.

Pour un tel problème le temps de calcul consacré à la résolution des systèmes linéaires est faible devant celui qu'il faut pour déterminer les coefficients de la matrice. De même, une fois obtenu les champs sur la surface du solide, le temps de calcul du diagramme de rayonnement est négligeable.

4.1

-

DIFFUSION PAR UNE S P H E E ET UN CYLINDRE A EXTEMITES HEMISPHERIQUES Les calculs effectués dans le cas de la sphère permettent de vérXer deux aspects de la méthode :

- décomposition des chanips en modes de Fourier : l'axe de révolution de la sphère étant choisi arbitrairement par rapport à l'onde plane incidente, le résultat doit être indépendant de ce choix,

- comparaison des résultats avec la littérature et avec les calculs analytiques.

Fig. 3

-

Diffusion d'une onde plane par une sphère (champ lointain en fonction du gisement d'observation kR =

4), comparaison avec la littérature : courbe supérieure, valeurs théoriques [5]; courbe inférieure, résolution des équation intégrales.

Fig. 4

-

Calcul de la diffraction d'une onde plane par une sphère effectué en choisissant l'axe de rtvolution rio:i

colinéaire-avec la direction d'incidence de l'onde plane (champ lointain en fonction de la directioii d'observation). kR = 4.

(10)

Fig. 5

-

diffraction d'une onde plane par un cylindre à extrémités sphériques (champ lointain en fonction de direction d'observation). kR = 4.

4.2

-

APPLICATION AU RAYONNEMENT DE

STRUCTURES

ELASTIQUES

Si l'on suppose que les modes de vibration dans le vide d'un corps élastique sont peu modifiés par l'immersion de ce solide dans un liquide, il est possible d'utiliser les méthodes précédemment défmies pour caIcu1er le diagramme de rayonnement de chacun des modes à une constante multiplicative près. On suppose les modes propres connus sous la forme : n nombre azimutal du mode, un,,, déplacement normal le long de la méridienne et F la fréquence de résonance. On a alors la condition aux limites : (aP/an)=u,,,. Ce qui permet d'écrire l'équation intégrale suivante :

cas des corps à syrnéme de révolution :

pr~:-p'p~+l;G~-l

~ ( Z - Z ~ ) G ~ ] p(sr)a,(sf)ds1 =

Ces calculs ont été mis en pratique dans le cas des premiers modes de vibration du cylindre à extrémités sphériques. Ces modes propres ont été obtenus par calcul numérique.

(11)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Fig. 6

-

Rayonnement d'un mode de flexion d'un cylindre à extrémités sphériques (champ lointain en fonction de la direction d'observation). kR = 4,73.

5

-

CONCLUSION

On a décrit une méthode d'équations intégrales à une dimension pour les problèmes à géoméme de révolution, basée sur une décomposition en modes de Fourier. Dans le cas du rayonnement d'un corps élastique, seul le nombre azimutal du mode propre considéré intervient, dans le cas de la diffusion par une onde plane au contraire tous les modes apparaissent. En pratique, on peut en général se limiter 21 un nombre de modes de l'ordre de kR, R étant le plus grand rayon de la structure.

Le système à résoudre pour chaque mode comporte une mamce pleine, il est donc difficile de traiter des systèmes de dimension supérieur à quelques centaines. Si l'on tient compte du fait que l'échantillonnage de la méridienne doit comporter approximativement une dizaine de points par longueur d'onde, le domaine d'utilisation de la méthode ne dépasse pas quelques dizaines de

1.

En pratique les tests effectués ont permis de calculer des diagrammes de rayonnement pour des kR de l'ordre de 30.

Enfin, il faut remarquer que l'utilisation de la symétrie de révolution pour découpler les différents modes azimutaux serait de peu d'utilité si l'on ne disposait pas des méthodes rapides exposées ici. Celles-ci permettent en effet de gagner un facteur 10 à 20 sur le temps d'exécution par rapport à une intégration numérique des coefficients de Fourier de la fonction de Green et de ses dérivées.

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