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ﺭﺎـﺘﳐ ﻲـﺟﺎﺑ ﺔـﻌﻣﺎﺟ
ﺔـﺑﺎـﻨﻋ
Université Badji Mokhtar
Annaba
Badji Mokhtar University -
Annaba
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
THESE
Présenté en vue de l’obtention du diplôme de
Doctorat en Mathématiques
Option :
Mathématiques Appliquées
Inégalités intégrales aux échelles de temps
et inégalités intégrales fractionnaires
et leurs applications
Par :
Badreddine Meftah
ENCADREUR : Boukerrioua Khaled MCA Univ. Guelma
CO-ENCADREUR :Ghanem Radouen MCA UBM Annaba
Devant le jury
PRESIDENT :
Guezane-Lakoud Assia Prof. UBM Annaba
EXAMINATEURS :
Djebabla Abdelhak
MCA
UBM Annaba
Badraoui Salah
Ellaggoune Fateh
Prof.
Prof.
Univ. Guelma
Univ. Guelma
Table des matières
Introduction 7
1 Notations et préliminaires sur les échelles de temps 10
1.1 Les échelles de temps . . . 11
1.1.1 Opérateurs de saut . . . 11
1.1.2 Classi cation des points . . . 11
1.1.3 Les sous ensembles dérivés d'une échelle de temps . . . 13
1.1.4 Dérivation sur les échelles de temps . . . 13
1.1.5 Propriétés de la ∆-dérivée . . . 15
1.1.6 Calcul d'intégrales sur les échelles de temps . . . 16
1.1.7 Dérivation des fonctions à plusieurs variables . . . 20
1.2 Rappels d'analyse . . . 21
1.2.1 Quelques classes de fonctions . . . 21
1.2.2 Quelques types de convexité . . . 22
1.2.3 Quelques lemmes importants . . . 29
2 Inégalités intégrales de type Gronwall-Bellman-Bihari 32 2.1 Introduction . . . 32
2.1.1 Quelques célèbres inégalités intégrales de type Gron-wall en dimension une . . . 33
2.1.2 Quelques inégalités intégrales de type Gronwall à noyau en dimension une . . . 39
2.1.3 Quelques célèbres inégalités intégrales de type Gron-wall en dimension deux . . . 42
2.2 Nouvelles généralisations . . . 48
2.2.1 Inégalités intégrales de type Wendro-Bihari . . . 48
2.2.2 Inégalités intégrales de type Pachpatte . . . 56
3 Nouvelles généralisations des inégalités de type eby²ev,
Os-trowski et Hermite-Hadamard 72
3.1 Introduction . . . 72
3.2 Inégalités intégrales célèbres . . . 73
3.2.1 Inégalité de eby²ev . . . 73
3.2.2 Inégalité intégrale de Grüss . . . 73
3.2.3 Inégalité intégrale de Ostrowski . . . 74
3.2.4 Inégalité intégrale de Hermite-Hadamard . . . 74
3.3 Inégalités intégrales de type eby²ev . . . 75
3.3.1 Inégalités intégrales de type eby²ev pour les fonctions dont les modules des dérivées secondes sont à coordon-nées (h1, h2)-convexes . . . 76
3.3.2 Inégalités intégrales de type eby²ev pour les fonctions dont les modules des dérivées secondes sont à coordon-nées (s, r)-convexes . . . 84
3.3.3 Inégalités intégrales de type eby²ev pour les fonctions dont les modules des dérivées secondes sont à coordon-nées (s1, m1)-(s2, m2)-convexes . . . 85
3.3.4 Inégalités intégrales de type eby²ev sur les échelles de temps . . . 88
3.4 Inégalités intégrales de type Ostrowski . . . 89
3.4.1 Inégalités intégrales fractionnaires de type Ostrowski . 89 3.5 Inégalités intégrales de type Hermite-Hadamard . . . 90
3.5.1 Inégalités intégrales de type Hermite-Hadamard pour les fonctions dont les modules des dérivées secondes sont à coordonnées (s1, s2)-prèinvexes . . . 90
Résumé
L'objectif de cette thèse est d'établir, dans un premier temps, de nou-velles inégalités intégrales de type Wendro-Bihari ainsi que celles de type Pachpatte sur les échelles de temps pour les fonctions à deux variables.
Ensuite nous établirons de nouvelles généralisations des inégalités de type eby²ev, Ostrowski et Hermite-Hadamard.
Concernant les inégalités de type eby²ev, dont les modules des dérivées secondes sont à coordonnées (h1, h2)et (s, r)-convexes sont a base de l'identité
établie par Sarikaya et al., donnée par le Lemme 3.1, [130]. Par contre pour les inégalités de type eby²ev pour les fonctions dont les modules des dérivées secondes sont à coordonnées (s1, m1)-(s2, m2)-convexes, sont à base d'une
nouvelle identité donnée par le Lemme 3.2. [78]. En conséquence nous avons établi de nouvelles inégalités de type eby²ev sur les échelles de temps à base du Lemme 3.3 établi par Özkan et al. [109].
Pour les inégalités de type Ostrowski nous avons aussi établi deux nou-velles identités la première est une identité fractionnaire pour les fonctions réelles a une variable, en se basant sur cette identité et jouant sur la convexité de la seconde dérivée nous avons obtenu de nouvelles inégalités intégrales fractionnaire de type Ostrowski. En outre la seconde concerne les fonctions à deux variables indépendantes sur les échelles de temps.
Et pour clore pour les inégalités de type Hermite-Hadamard nous avons introduit de nouvelles classes de fonctions non convexes dont le but d'établir de nouvelles inégalités de ce dernier type.
Cette étude a fait l'objet de quelques publications [76 − 87]. Mots clés :
Echelles de temps, Inégalité de Gronwall, Inégalité de eby²ev, Inégalité de Ostrowski, Inégalité de Hermite-Hadamard, intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville, fonctions convexes.
Abstract
The purpose of this thesis is to initially establish new overall inequalities of the Wendro-Bihari type as well as those of the Pachpatte type on time scales for functions of two independentes variables.
Secondly we shall establish new generalizations of the inequalities of the eby²ev, Ostrowski and Hermite-Hadamard type. As for the inequalities of eby²ev type whose modulus of derivatives are (h1, h2)and (s, r)-convexe on
the coordinates, are the basis of the identity proved by Sarikaya et al. Given by Lemma 3.1. [130]. On the other hand, for the inequalities of eby²ev type for functions whose modulus of derivatives are (s1, m1)-(s2, m2)-convexe
on the coordinates, are based on a new identity given by Lemma 3.2. [78]. Thus, we have established new inequalities of eby²ev type on time scales for functions of two independentes variables.
For the inequalities of Ostrowski type, we have also established two other new identities, the rst one is a fractional identity for functions of one va-riable, based on this identity and by playing on the convexity of the second derivative, we have obtained a new fractional inequalities of Ostrowski type. The second however concerns the functions of two independentes variables on time scales.
As nally for the inequalities of Hermite-Hadamard type, we have intro-duced a new classes of convex functions that enabled us to establish a new inequalities of this latter one.
This study was the subject matter of some publications [76 − 87]. Keywords :
Time scales, Gronwall inequalities, eby²ev type inequalities, Ostrowski type inequalities, Hermite-Hadamard type inequalities, Riemann-Liouville fractio-nal integrals, convex functions.
صخلم
فوردنف عون نم ةيلماكت تاحجارتم ءاشنإب ىلولأا ةلحرملا يف انمق ةركذملا هذه يف
يراهيب
.ةينمزلا لوادجلا ىلع نيريغتم تاذ لاودلل تابشب عون نم كلذكو
ةلحرملا يف امأ
ةيناثلا
انمق
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عون نم تاحجارتم
ةيمره مث يكسفورتسواو فاشيابس
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.
احجارتم صخي ام يف
يتلا فاشيابس ت
ةقتشملل ةقلطملا ةميقلا نوكب زيمتت
عون نم تابكرملا ىلع بدحتب عتمتت ةطلتخملا
(h
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2)
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(s,r)
ةاواسملا ىلع دمتعي اهناهربف
ةئطوتلا يف ةاطعملاو هئلامزو اياكيرس اهمدق يتلا
3.1
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[130]
.
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لا ةميقلا عتمتت يتلا لاود
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Introduction
Les inégalités jouent un rôle important dans diverses branches de ma-thématiques modernes telles que la théorie des espaces de Hilbert, des pro-babilités et des statistiques, l'analyse réelle, l'analyse complexe, l'analyse numérique, ainsi que la théorie qualitative des équations diérentielles et des équations aux diérences,... etc. Elles sont un outil puissant et indispensable. Le fondement mathématique de cette théorie a été établi en partie au cours de 18`eme et 19`eme siècles par d'éminents mathématiciens tels que :
Gauss, Cauchy, Chebyshev dans les années qui suivirent, le sujet attira en-core plus de chercheurs : Poincaré, Lyapunov, Gronwall, Hölder, Hadamard, Pólya, Bellman et Ostrowski. La littérature, dans ce contexte, est très vaste. Parmi les ouvrages descriptifs de l'évolution historique des inégalités, nous pouvons consulter : Pachpatte [110], Burton [22], Miller [89], Corduneanu [25-27], Gripenberg et al. [49], Tricomi [134], Beckenbach et Bellman [10], Lakshmikantham et Leela [63], Filatov et Sharov [46], Mitrinovi¢, Pe£ari¢ et Fink [90-92], Dragomir et Rassias [42], Bainov et Simeonov [8] et Dragomir [36].
Cette théorie ne cesse d'évoluer dans plusieurs directions et dans dif-férents axes. Des nouvelles inégalités ont été établies, des généralisations, des ra nements, des extensions ainsi que des variantes, unidimensionnelles, multidimensionnelles, fractionnaires et discrètes. La plus célèbre parmi ces inégalités est sans doute celle de Gronwall.
L'objectif de cette thèse est d'établir de nouvelles généralisations des in-égalités intégrales de type Gronwall-Belleman-bihari, eby²ev, Ostrowski et Hermite-Hadamard ainsi que leurs applications.
Cette thèse est structurée comme suit :
Le premier chapitre donne quelques notions concernant la théorie des échelles de temps, ainsi que quelques notions importantes d'analyse qui seront utilisées ultérieurement.
Le second chapitre concerne les inégalités de type Gronwall-Bellman-Bihari, nous commencerons par énoncer quelques résultats classiques, puis nous donnerons de nouvelles généralisations, et nous concluons ce chapitre
par des exemples illustratifs des nouveaux résultats. Ce travail a fait l'objet des publications suivantes :
- B. Meftah and K. Boukerrioua, Explicit estimates on some non-linear integral inequalities in two independent variables on time scales and applications. J. Dyn. Syst. Geom. Theor. 12 (2014), no. 2, 131144.
- B. Meftah and K. Boukerrioua, On some nonlinear integral inequa-lities in two independent variables on time scales and their applications. J. Adv. Res. Dyn. Control Syst. 7 (2015), no. 3, 119133.
Les résultats de ce chapitre ont contribué à l'étude de certaines classes d'équations diérentielles non linéaires dont la solution ne peut être trouvée explicitement ; ainsi nous pourrons établir certaines propriétés qualitatives des solutions des équations diérentielles.
Le troisième chapitre est consacré à l'étude des inégalités intégrales de type eby²ev, Ostrowski et Hermite-Hadamard. Concernant les inégalités de type eby²ev, nous avons établi des ra nements pour les résultats obtenus par Guazene-Lakoud et Aissaoui [52] et ceux de Sarikaya, Budak et Yaldiz [127], ainsi que de nouvelles inégalités sur les échelles de temps. Pour celles d'Ostrowski, nous avons établi de nouvelles inégalités intégrales via l'opéra-teur fractionnaire de Reimann-Liouville et d'autres sur les échelles de temps, tandis que pour les inégalités de type Hermite-Hadamard nous avons intro-duit de nouvelles dé nitions portées sur la convexité, établissant ainsi de nouvelles inégalités de type Hermite-Hadamard généralisant les résultats de [9, 29, 61, 66, 76, 120, 131]. Les résultats obtenus sont publiés dans
- B. Meftah and K. Boukerrioua, New eby²ev Type Inequalities for Functions whose Second Derivatives are (s1, m1)-(s2, m2)-convex on the
coordinates. Theory and Applications of Mathematics & Computer Science 5 (2015), no. 2, 116125.
- B. Meftah and K. Boukerrioua, On some new eby²ev type inequa-lities on time scales for functions of two independent variables. J. Adv. Res. Dyn. Control Syst. 7 (2015), no. 3, 123.
- B. Meftah and K. Boukerrioua, eby²ev type inequalities whose second derivatives are (s, r)-convex on the co-ordinates. J. Adv. Res. Appl. Math. 7 (2015), no. 3, 7687.
- B. Meftah and K. Boukerrioua, On Some eby²ev Type Inequalities for Functions whose Second Derivatives are (h1, h2)- convex on the
coordi-nates. Konuralp Journal of Mathematics. 3 (2015), no. 2, 77 88.
- B. Meftah and K. Boukerrioua, Some new Ostrowski type inequali-ties for functions whose second derivative are h-convex via Riemann-Liouville fractional. Malaya Journal of Matematik. 2(2014), no. 4, 445-459.
- B. Meftah and K. Boukerrioua, Ostrowski type inequalities on time scales for two variables independent. Journal of Interdisciplinary
Mathema-tics. Taru, Taylor & Francis (accépté).
- B. Meftah and K. Boukerrioua and T. Chiheb, New Hadamard's inequalit for (s1, s2)-preinvex functions on coordinates. Kragujevac Journal
of Mathematics. 39 (2015), no. 2, 231254.
- B. Meftah, Hermite-Hadamard's inequalities for functions whose rst derivatives are (s, m)-preinvex in the second sense, JNT, 10(2016), 5465.
Chapitre 1
Notations et préliminaires sur les
échelles de temps
La théorie des échelles de temps est une nouvelle théorie introduite par Stefane Hilger [56] dans sa thèse de doctorat en 1988, dont le but essentiel est d'uni er le cas continu et le cas discret, où il a notamment dé nie la ∆-dérivée. C'est à partir de cette dé nition qu'ont été introduites les équations aux échelles de temps qui ont la même forme qu'une équation diérentielle ou presque, à titre d'exemple : une équation du premier ordre dont la dérivée (u0) est remplacée par la ∆-dérivée ( u∆ ). Nous verrons plus loin que si
T = R, la ∆-dérivée équivaut à la dérivée au sens classique et les équations aux échelles de temps deviennent des équations diérentielles. Si T = Z, les équations aux échelles de temps deviennent des équations aux diérences -nies. D'ailleurs, l'intérêt pour ce dernier type d'équations a connu un essor considérable au cours des dernières années pour expliquer plusieurs phéno-mènes discrets notamment en économie, psychologie, génie et en informa-tique, ainsi les équations aux diérences nies sont abondamment utilisées pour faire avancer cette science. En plus de Z et R, il est possible d'utili-ser toutes sortes d'autres échelles de temps comme par exemple, pour une constante q > 0, l'échelle T := {qz : z ∈ Z}. Pour cette dernière échelle, les équations aux échelles de temps sont appelées les équations aux q-diérences (q-dierence equations) sont utilisées en physique. Ainsi, la théorie des équa-tions aux échelles de temps vient dans un premier temps uni er les résultats des études réalisées dans le domaine des équations diérentielles et des équa-tions aux diérences nies. En travaillant sous l'angle d'une échelle de temps générale, il est possible de faire progresser simultanément ces deux champs de mathématiques. Dans un deuxième temps, la théorie développée autour des échelles de temps permet l'étude des phénomènes se modélisant d'une façon qui fait appel simultanément au discret et au continu. Ainsi, une
équa-tion dé nie sur une échelle de temps de la forme ∪n=0∞ [2n, 2n + 1]est très
utile pour décrire des phénomènes saisonniers. Par exemple : l'étude d'une population d'insectes qui après un certain temps disparaît, pour réapparaître ultérieurement après avoir vécu pendant un certain temps sous forme de larve.
1.1 Les échelles de temps
Dans cette première section nous nous contenterons de donner quelque notions de base concernant cette théorie, pour plus de détails nous pouvons consulter [2, 16, 57].
Dé nition 1.1 Une échelle de temps T est un sous ensemble fermé non vide de R.
Exemple 1.1 Les ensembles Z, [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪ N , R et les ensembles de Cantor sont des échelles de temps.
Exemple 1.2 Les ensembles Q, R\Q, C, (0, 1) ne sont pas des échelles de temps.
Remarque 1.1 La topologie de T est induite par celle de R.
1.1.1 Opérateurs de saut
Dé nition 1.2 Soit T une échelle de temps, pour t ∈ T, l'opérateur de saut avant σ : T → T, est dé ni comme suit :
σ (t) = inf {s ∈ T : s > t} . (1.1) Dé nition 1.3 Soit T une échelle de temps, pour t ∈ T, l'opérateur de saut arrière ρ : T → T, est dé ni comme suit :
ρ (t) = sup {s ∈ T : s < t} . (1.2)
1.1.2 Classi cation des points
Soit T une échelle de temps, t un point de T.
Dé nition 1.4 On dit que T est un point dense à droite de T , t < sup T (resp. un point dense à gauche de T), si σ (t) = t resp. (ρ (t) = t).
Dé nition 1.5 On dit que t est un point dense s'il est simultanément dense à droite et à gauche.
Dé nition 1.6 On dit que t est un point dispersé à droite de T (resp. un point dispersé à gauche de T), si σ (t) > t (resp. ρ (t) < t).
Dé nition 1.7 t est dit point isolé s'il est simultanément dispersé à droite et à gauche.
Dé nition 1.8 On appelle fonction de granulation les fonctions dé nies par :
µ (t) = σ (t) − t et ν (t) = t − ρ (t) . (1.3) Exemples sur la nature des points
Nous illustrons les dé nitions précédentes par les exemples suivants Exemple 1.3 Soit T = R, pour tout t ∈ R, nous avons
σ (t) = inf {s ∈ T : s > t} = inf (t, ∞) = t, ρ (t) = sup {s ∈ T : s < t} = sup (t, ∞) = t.
Ainsi tous les points de R sont denses. Les fonctions de granulation µ, ν valent : µ (t) = 0 et ν (t) = 0.
Exemple 1.4 Soit T = Z, pour tout t ∈ Z, nous avons
σ (t) = inf {s ∈ T : s > t} = inf {t + 1, t + 2, . . . .} = t + 1, ρ (t) = sup {s ∈ T : s < t} = sup {..., t − 2, t − 1} = t − 1.
Ainsi tous les points de Z sont isolés. Les fonctions de granulation µ, ν sont : µ (t) = 1 et ν (t) = 1.
Exemple 1.5 Soit T = [0, 1] ∪ [2, 3] nous avons : σ (t) = t si t ∈ [0, 1[ ∪ [2, 3] 2 si t = 1, et ρ (t) = t si t ∈ [0, 1] ∪ ]2, 3] 1 si t = 2. Ainsi µ (t) = 0 si t ∈ [0, 1[ ∪ [2, 3] 1 si t = 1, et ν (t) = 0 si t ∈ [0, 1] ∪ ]2, 3] 1 si t = 2.
1.1.3 Les sous ensembles dérivés d'une échelle de temps
Nous notons que de chaque échelle de temps nous pouvons extraire les sous ensembles suivants :
Dé nition 1.9 Soit T une échelle de temps, l'ensemble Tk est dé ni comme
suit :
Tk =
T ]ρ (sup T) , sup T] si sup T < ∞
T si sup T = ∞.
Dé nition 1.10 Soient a, b deux points deT, l'intervalle d'échelle de temps est dé ni par :
[a, b]
T = {t ∈ T : a ≤ t ≤ b} .
Remarque 1.2 Nous notons par [a, b]k
= [a, b) = [a, ρ (b)] dans le cas où b est un point dispersé à gauche sinon [a, b]k
= [a, b].
1.1.4 Dérivation sur les échelles de temps
Dans cette section nous rappelons la dé nition de la ∆-Dérivée dite aussi la dérivée au sens de Hilger.
Dé nition 1.11 Soit la fonction f : T → R, f est dit ∆-diérentiable en t ∈ Tks'il existe un nombre f∆(t) ∈ R tel que pour tout ε > 0, il existe un
voisinage U de t satisfaisant :
f (σ (t)) − f (s) − f∆(t) (σ (t) − s) ≤ ε |σ (t) − s| ,
pour tout s ∈ U. Si f est ∆-diérentiable en tout point t ∈ T , alors f∆ :
Tk → R est dite la ∆-dérivée de f sur Tk.
Théorème 1.1 ([16, T h´eor`eme 1.16]) Soit f : T → R une fonction et t ∈ T.
(i) Si f est ∆-diérentiable en t, alors f est continue en t.
(ii) Si f est continue en t et si t est dispersé à droite, alors f est ∆-diérentiable en t, de plus nous avons :
f∆(t) = f (σ (t)) − f (t)
µ (t) . (1.4)
(iii)Si t est dense à droite, alors f est ∆-diérentiable en t si et seulement si
lim
s→t
f (t) − f (s) t − s ,
existe et est nie. Dans ce cas nous avons : f∆(t) = lim
s→t
f (t) − f (s) t − s . (iυ) Si f est diérentiable en t, alors
f (σ (t)) = f (t) + µ (t) f∆(t) . (1.5) Exemples de calcul des dérivées
Maintenant, nous donnons quelques exemples concernant le calcul de la ∆-dérivée.
Exemple 1.6 Considérons la fonction f : T → R dé nie par f (t) = t2 où
T =n2, n ∈ N0
.
Pour tout t ∈ T il existe n0 ∈ N0 : t = n20. Donc
σ (t) = n0+ 1 2 , comme f∆(t) = f (σ (t)) − f (t) σ (t) − t , alors f∆(t) = n0+ 1 2 2 −n0 2 2 n0+ 1 2 + n0 2 =n0+ 1 2 + n0 2 =2n0 2 + 1 2. D'où f∆(t) = 2t + 1 2.
Exemple 1.7 Considérons la fonction f : T → R dé nie par f (t) = t2 où
T = { √ n, n ∈ N0}. Pour tout t ∈ T : ∃n0 ∈ N0 : t = √ n0, et donc σ (t) =√n0+ 1,
comme f∆(t) = f (σ (t)) − f (t) σ (t) − t , alors f∆(t) = √ n0+ 1 2 − √n0 2 √ n0+ 1 − √ n0 =√n0+ 1 + √ n0. Ainsi f∆(t) =√t2 + 1 + t.
Remarque 1.3 Si T = R, alors d'après (iii) du théorème précédent la fonc-tion f : R → R est ∆-diérentiable en t ∈ R, si et seulement si
f´(t) = lim
t→s
f (t) − f (s) t − s , existe et de plus f∆(t) = f0(t).
Remarque 1.4 Si T = Z d'après (ii) la fonction f : Z → R est ∆-diérentiable en t ∈ Z et nous aurons :
f∆(t) = f (σ (t)) − f (t) σ (t) − t =
f (t + 1) − f (t)
1 = f (t + 1) − f (t) = ∆f (t).
1.1.5 Propriétés de la ∆-dérivée
Théorème 1.2 ([16, T h´eor`eme 1.20]) Si f, g : T → R sont ∆-diérentiables en t ∈ Tk, alors :
(i) f + g est ∆-diérentiable en t de plus
(f + g)∆(t) = f∆(t) + g∆(t) .
(ii) (αf ) est ∆-diérentiable en t pour tout α ∈ R et nous avons : (αf )∆(t) = αf∆(t) .
(iii) f g est ∆-diérentiables en t et nous avons : (f g)∆(t) =f∆(t) g (t) + f (σ (t)) g∆(t)
=f (t) g∆(t) + f∆(t) g (σ (t)) . (iv) Si g(t)g(σ (t)) 6= 0, alors f
g est ∆-diérentiable en t nous avons : f g ∆ (t) = f ∆(t) g (t) − f (t) g∆(t) g(t)g(σ (t)) .
Théorème 1.3 ([16, T h´eor`eme 1.87]) Soit g : R → R une fonction conti-nue, g : T → R est ∆-diérentiable en t et si f : R → R est continument diérentiable, alors il exist c ∈ [t, σ (t)] satisfaisant
(f ◦ g)∆(t) = f´(g (c)) g∆(t) .
Dé nition 1.12 Une fonction f : T → R est dit rd-continue si elle est continue en tout point dense à droite de T et si la limite lim f(s)s→t− existe
et nie, pour tout point t dense à gauche de T.
Remarque 1.5 L'ensemble de toutes les fonctions rd-continues est noté par Crd ou Crd(T).
Remarque 1.6 L'ensemble de toutes les fonctions ∆-diérentiables et rd-continues est noté par C1
rd ou Crd1 (T).
Exemple 1.8 Considérons l'échelle de temps T = S∞
k=0[2k, 2k + 1]. Nous avons : µ (t) = 0 si t ∈ S ∞ k=0[2k, 2k + 1[ 1 si t ∈ S∞k=0{2k + 1} , nous supposons t ∈ [0, 1] ∩ T, alors nous avons :
f∆(t) = lim
s→t
f (t) − f (s)
t − s , t ∈ [0, 1[ , montrons que cette limite existe, nous avons :
f∆(1) = f (2) − f (1) 2 − 1 ,
montrons que f est continue en t = 1, f est dé nie sur T par f (t) = 1 si t ∈ [0, 1[
2 si t ≥ 1.
En eet pour t = 1, f est rd-continue car (limt→1− f (t) = 1)par contre elle
n'est pas continue en t = 1 car (f (1) = 2).
1.1.6 Calcul d'intégrales sur les échelles de temps
Dé nition 1.13 La fonction F : T → R, est dite primitive de f : Tk → R,
Théorème 1.4 ([16, T h´eor`eme 1.74]) Toute fonction rd-continue f : Tk →
R, admet une primitive F : T → R, et nous notons Z r
s
f (t) ∆t = F (r) − F (s) pour tout r, s ∈ T.
Théorème 1.5 ([16, T h´eor`eme 1.75]) Si f ∈ Crd(Tk), nous avons :
Z σ(t)
t
f (τ ) ∆τ = µ (t) f (t) , t ∈ Tk.
Théorème 1.6 ([16, T h´eor`eme 1.77]) Soit a, b, c ∈ T, λ ∈ R et f, g ∈ Crd Tk alors : Z b a [f (t) + g (t)] ∆t = Z b a f (t) ∆t + Z b a g (t) ∆t. Z b a (λf (t)) ∆t =λ Z b a f (t) ∆t. Z b a f (t) ∆t = − Z a b f (t) ∆t. Z b a f (t) ∆t = Z c a f (t) ∆t + Z b c f (t) ∆t. Z a a f (t) ∆t =0. Si |f (t)| ≤ g (t) sur [a, b]Tk, alors
Rb a f (t) ∆t ≤ Rb ag (t) ∆t.
Proposition 1.1 Pour T = R, nous avons : Z b a f (t) ∆t = Z b a f (t) dt. Proposition 1.2 Pour T = Z, nous avons :
Z b a f (t) ∆t = Pb−1 t=af (t) si a < b 0 si a = b −Pa−1 t=bf (t) si a > b.
Proposition 1.3 Si [a, b] contient des points isolés alors : Z b a f (t) ∆t = P t∈[a,b[µ (t) f (t) si a < b 0 si a = b P t∈[b,a[µ (t) f (t) si a > b.
∆-Intégration par partie
Proposition 1.4 La formule d'intégration par partie est la suivante : Z b a fσ(t) g∆(t) ∆t = [(f g) (t)]t=bt=a− Z b a f∆(t) g (t) ∆t, Z b a f (t) g∆(t) ∆t = [(f g) (t)]t=bt=a− Z b a f∆(t) gσ(t) ∆t.
Dé nition 1.14 Nous appelons polynômes d'échelle de temps les fonctions gk, hk : T2 → R données par la formule récurrente suivante :
g0(t, s) =h0(t, s) = 1, s, t ∈ T, gk+1(t, s) = Z t s gk(σ (τ ) , s) ∆τ, hk+1(t, s) = Z t s hk(τ, s) ∆τ, k ∈ N0, s, t ∈ T.
Dé nition 1.15 Soit p : Tk → R, p est dite régressive si elle véri e :
1 + µ (t) p (t) 6= 0.
Remarque 1.7 Pour tout t ∈ Tk, l'ensemble des fonctions régressives et
rd-continues est noté par <.
Dé nition 1.16 L'ensemble de toutes les fonctions régressives positives est dé ni par :
<+ =p ∈ < : 1 + µ (t) p (t) > 0, pour tout t ∈ Tk . (1.6) Dé nition 1.17 Pour h > 0, la transformation cylindrique : ξ0 : Q → Zn,
est dé nie par :
ξh(z) =
1
hlog (1 + zh) ,
où log est le logarithme principal. Pour h = 0, nous aurons : ξ0(z) = z pour
tout z ∈ C.
Théorème 1.7 Nous supposons que p ∈ < et t0 ∈ T un point xé, alors le
problème à valeur initiale suivant :
y∆(t) = p (t) y (t) , y (t0) = 1, (1.7)
Dé nition 1.18 Soit p ∈ < et t0 ∈ T, la fonction exponentielle est dé nie
comme solution du problème (1.7) et nous avons : y (t) = exp Z t t0 ξµ(τ )(p (τ )) ∆τ , où ξµ(τ )(p (τ )) = 1 µ (τ )log (1 + µ (τ ) p (τ )) , nous la notons souvent par
ep(t, t0) = exp Z t t0 ξµ(τ )(p (τ )) ∆τ . Remarque 1.8 Il est clair que
ep(σ (t) , t0) = (1 + µ (t) p (t)) ep(t, t0) . (1.8)
Remarque 1.9 Pour T = R, la fonction exponentielle est donnée par : ep(t, t0) = exp Z t t0 p (τ ) dτ , où t, t0 ∈ R et p : R → R, une fonction continue.
Remarque 1.10 Pour T = Z, la fonction exponentielle est donnée par : ep(t, t0) =
τ =t
Y
τ =t0
[1 + p (τ )] , où t, t0 ∈ Z, t0 < t et p : Z → R, une suite véri ant :
p (t) 6= −1 pour tout t ∈ Z.
Théorème 1.8 ([16, T h´eor`eme 1.117]) Soit a ∈ Tk, b ∈ T et L : T×Tk→
R, est continue en (t, t), pour t ∈ Tk, t > a et L∆(t, .) est rd-continue dans [a, σ (t)], nous supposons que pour tout ε > 0, ∃ U voisinage de t indépendant de τ ∈ [a, σ (t)] telle que :
L (σ (t) , τ ) − L (s, τ ) − L∆(t, τ ) (σ (t) − s) ≤ ε |σ (t) − s| , ∀s ∈ U, où f∆dénote la dérivée de f par rapport à la 1i`ere variable alors nous avons :
g (t) = Z t a L (t, τ ) ∆τ ⇒ g∆(t) = Z t a L∆(t, τ ) ∆τ + L (σ (t) , τ ) , et h (t) = Z b t L (t, τ ) ∆τ ⇒ h∆(t) = Z b t L∆(t, τ ) ∆τ − L (σ (t) , τ ) .
Théorème 1.9 ([16, T h´eor`eme 1.90]) Soit f : R → R, une fonction conti-nue et diérentiable et g : T → R, ∆-diérentiable sur Tk, alors f ◦ g est
∆-diérentiable et nous avons : (f ◦ g)∆(t) = Z 1 0 f´ g (t) + hµ (t) g∆(t) dh × g∆(t) , t ∈ Tk. Lemme 1.1 Supposons que u, b ∈ Crd et a ∈ <+. Si
u∆(t) ≤ a (t) u (t) + b (t) , t ≥ t0, t ∈ Tk, (1.9) alors u (t) ≤ u (t0) ea(t, t0) + Z t t0 ea(t, σ (s)) b (s) ∆s, t ≥ t0, t ∈ Tk. (1.10)
1.1.7 Dérivation des fonctions à plusieurs variables
Soient T1 et T2 deux échelles de temps, σ1, σ2les opérateurs de saut avant
par rapport à T1et T2 respectivement et ∆1, ∆2 les opérateurs de dérivation.
Supposons a < b deux points de T1, c < d deux points de T2.
Soit f une fonction à valeurs réelles sur T1× T2.
Dé nition 1.19 On dit que f admet une dérivée partielle f∆1(s, t)au point
(s, t) ∈ T1× T2 (par rapport à s) si pour chaque ε > 0, il existe un voisinage
Us de s tel que nous avons :
f (σ1(s) , t) − f (α, t) − f∆1(s, t) (σ1(s) − α)
≤ ε |σ1(s) − α| , pour tout α ∈ Us.
Dé nition 1.20 On dit que f admet une dérivée partielle f∆2(s, t)au point
(s, t) ∈ T1× T2 (par rapport à t) si pour chaque ε > 0, il existe un voisinage
Ut de t tel que nous avons :
f (s, σ2(t)) − f (s, β) − f∆2(s, t) (σ2(t) − β)
≤ ε |σ2(t) − β| , pour tout β ∈ Ut.
Dé nition 1.21 Soit f une fonction à valeurs réelles sur T1× T2. f est dite
rd-continue en t si pour chaque α ∈ T1, la fonction f (α, t) est rd-continue
sur T2. La fonction f est dite rd-continue en s, si pour chaque β ∈ T2, la
Dé nition 1.22 Toute fonction f dé nie sur T1 × T2, est dite de classe
CCrd, si elle véri e les conditions suivantes :
(i) f est rd-continue en s. (ii) f est rd-continue en t.
(iii) f est continue en (s, t) ∈ T1× T2 où s, t sont des points denses à
droite ou maximal.
(iv) Si s et t sont des points denses à gauche, et la limite de f (α, β) existe quand (α, β) approche (s, t) par n'importe quel chemin de la région {(α, β) : α ∈ [a, s] ∩ T1, β ∈ [c, t] ∩ T2}.
Dé nition 1.23 On note par CC1
rd l'ensemble de toute les fonctions CCrd
dont les dérivées partielles f∆1 et f∆2 existent et appartiennent à CC
rd.
1.2 Rappels d'analyse
Dans cette section nous donnerons un petit rappel concernant quelques classes de fonctions, types de convexité ainsi que quelques inégalités utiles à notre étude.
1.2.1 Quelques classes de fonctions
Dé nition 1.24 ([132]) Deux fonctions f : X → R et g : X → R sont dites d'ordre similaire si l'inégalité
(f (x) − f (y)) (g (x) − g (y)) ≥ 0, est satisfaite pour tout x; y ∈ X.
Dé nition 1.25 ([28]) Soit g une fonction continue positive et croissante dé nie sur R+, g est dite de classe S, si elle véri e
1
ag(x) ≤ g( x
a) pour tout x ≥ 0 et a ≥ 1. (1.11) Dé nition 1.26 ([XXX??]) Soit g une fonction continue et positive sur R+, g est dite de classe T , si elle véri e
1
ag(x) ≥ g( x
a) pour tout x ≥ 0 et a ≥ 1. (1.12) Dé nition 1.27 ([75]) La fonction ω(u) est dite sous additive, si elle satis-fait
Dé nition 1.28 ([71]) La fonction ω(u) est dite sous multiplicative, si elle satisfait
ω(uv) ≤ ω(u)ω(v) pour u, v ≥ 0. (1.14)
1.2.2 Quelques types de convexité
Dans ce qui suit, nous notons I un intervalle de R, K un sous ensemble de Rn, η : K × K → Rn une fonction continue, ∆ intervalle de [0, ∞)2 où
∆ =: [a, b] × [c, d] avec a < b, c < d, k = (b − a) (d − c) et par fλα la dérivée
mixte ∂2f
∂λ∂α.
Dé nition 1.29 ([122]) Une fonction f : I → R, est dite convexe, si l'in-égalité
f (tx + (1 − t) y) ≤ tf (x) + (1 − t) f (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.30 ([122]) Une fonction strictement positive f : I → R, est dite logarithmique convexe, si l'inégalité
f (tx + (1 − t)y) ≤ [f (x)]t[f (y)](1−t), est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.31 ([21]) Une fonction positive f : I ⊂ [0, ∞) → R, est dite s-convexe au second sens pour un certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité
f (tx + (1 − t)y) ≤ tsf (x) + (1 − t)sf (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.32 ([4]) Une fonction strictement positive f : I ⊂ [0, ∞) → R, est dite logarithmique s-convexe au second sens pour un certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité
f (tx + (1 − t)y) ≤ [f (x)]ts[f (y)](1−t)s, est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.33 ([121]) Une fonction strictement positive f : I → R, est dite r-convexe sur I, où r ≥ 0, si l'inégalité
f (tx + (1 − t)y) ≤ (
[tfr(x) + (1 − t) fr(y)]1r , r 6= 0
[f (x)]1−t[f (y)]t, r = 0, est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.34 ([30]) Une fonction positive f : I → R, est dite P -fonction, si l'inégalité
f (tx + (1 − t) y) ≤ f (x) + f (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.35 ([47]) Une fonction f : I → R, est dite Godunova-Levin fonction ou Q-fonction, si l'inégalité
f (tx + (1 − t) y) ≤ f (x)
t +
f (y) 1 − t , est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.36 ([93]) Une fonction strictement positive f : I → R, est dite logarithmique Q-convexe, si l'inégalité
f (tx + (1 − t) y) ≤ [f (x)]1t [f (y)] 1 1−t ,
est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.37 ([31]) Une fonction f : I → R, est dite s-Godunova-Levin fonction au second sens pour un certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité
f (tx + (1 − t) y) ≤ f (x) ts +
f (y) (1 − t)s, est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.38 ([94]) Une fonction strictement positive f : I → R, est dite logarithmique s-Q-convexe au second sens pour un certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité
f (tx + (1 − t) y) ≤ [f (x)]ts1 [f (y)] 1 (1−t)s ,
est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.39 ([135]) Soit h : J ⊆ R → R, une fonction positive, où (0, 1) ⊆ J. La fonction positive f : I → R, est dite h-convexe sur I, si l'inégalité
f (tx + (1 − t)y) ≤ h(t)f (x) + h(1 − t)f (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.40 ([106]) Soit h : J ⊆ R → R, une fonction positive, où (0, 1) ⊆ J. La fonction strictement positive f : I → R, est dite logarith-mique h-convexe, si l'inégalité
f (tx + (1 − t)y) ≤ [f (x)]h(t)[f (y)]h(1−t), est satisfaite pour tout x, y ∈ I et tout t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.41 ([133]) Une fonction f : [0, b] → R, (b > 0), est dite m-convexe, où m ∈ (0, 1], si l'inégalité
f (tx + m (1 − t) y) ≤ tf (x) + m(1 − t) f (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ [0, b] et t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.42 ([88]) Soit f : [0, b] → R, (b > 0), f est dite (s, m)-convexe, où (s, m) ∈ (0, 1]2, si l'inégalité
f (tx + m (1 − t) y) ≤ tsf (x) + m(1 − ts)f (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ [0, b] et t ∈ [0, 1].
Nous notons aussi que dans [55], Hanson a introduit une nouvelle classe de fonctions convexes dite classe des fonctions invexes qui est une généralisation de cette dernière. D'autres chercheurs ont introduit le concept de fonctions préinvexes qui représente un cas spécial des fonctions invexes ainsi qu'une généralisation des fonctions convexes. Pour plus de détails concernant les propriétés de base et le rôle que joue ce type de fonctions, se référer aux articles [96, 97, 125, 138, 139] .
Dé nition 1.43 ([138]) L'ensemble K est dit invexe au point x par rapport à η, si
x + tη (y, x) ∈ K, est valide pour tout x, y ∈ K et t ∈ [0, 1].
Remarque 1.11 K est dit ensemble invexe par rapport à η, si il l'est pour tout point x de K.
Dé nition 1.44 ([138]) Une fonction f sur l'ensemble invexe K est dite préinvexe par rapport à η, si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ (1 − t) f (x) + tf (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.45 ([96]) Une fonction strictement positive f sur l'ensemble invexe K est dite logarithmique préinvexe par rapport à η, si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ [f (x)](1−t)[f (y)]t, est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.46 ([136]) Une fonction positive f sur l'ensemble invexe K ⊆ [0, ∞) est dite s-préinvexe au second sens par rapport à η, certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ (1 − t)sf (x) + tsf (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.47 ([137]) Une fonction strictement positive f sur l'ensemble invexe K ⊆ [0, ∞), est dite s-logarithmique préinvexe au second sens par rapport à η pour un certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ [f (x)](1−t)s[f (y)]ts, est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.48 ([98]) Une fonction positive f : K → [0, ∞), est dite fonc-tion P -préinvexe par rapport à η, si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ f (x) + f (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.49 ([99]) Une fonction f : K → (0, ∞), est dite logarithmique P-préinvexe par rapport à η, si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ f (x) f (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.50 ([98]) Une fonction f : K → (0, ∞), est dite Q-préinvexe par rapport à η, si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ f (x) 1 − t +
f (y) t , est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.51 ([99]) Une fonction f : K → (0, ∞), est dite logarithmique Q-préinvexe par rapport à η, si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ [f (x)]1−t1 [f (y)] 1 t ,
est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.52 ([100]) Une fonction f : K → (0, ∞), est dite s-Q-préinvexe par rapport à η, pour un certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ f (x) (1 − t)s +
f (y) ts ,
est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.53 ([100]) Une fonction f : K → (0, ∞), est dite logarithmique s-Q-préinvexe au second sens par rapport à η, pour un certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ [f (x)](1−t)s1 [f (y)] 1 ts,
est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.54 ([6]) Une fonction strictement positive f sur l'ensemble in-vexe K, est dite r-préinin-vexe par rapport à η, où r ≥ 0, si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ (
[(1 − t) fr(x) + tfr(y)]1r , r 6= 0
[f (x)]1−t[f (y)]t, r = 0, est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.55 ([73]) Soit h : [0, 1] → R, une fonction positive h 6= 0. Une fonction positive f sur l'ensemble invexe K est dite fonction h-preinvexe par rapport à η, si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ h(1 − t)f (x) + h(t)f (y), est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.56 ([99]) Soit h : [0, 1] → R, une fonction positive h 6= 0. Une fonction strictement positive f sur l'ensemble invexe K est dite fonction logarithmique h-préinvexe par rapport à η, si l'inégalité
f (x + tη (y, x)) ≤ [f (x)]h(1−t)[f (y)]h(t), est satisfaite pour tout x, y ∈ K et t ∈ (0, 1).
Dé nition 1.57 ([32]) Une fonction f : ∆ → R, est dite convexe sur ∆, si l'inégalité :
f (λx + (1 − λ)z, λy + (1 − λ)w) ≤ λf (x, y) + (1 − λ)f (z, w), est satisfaite pour tout (x, y), (z, w) ∈ ∆ et λ ∈ [0, 1].
Dé nition 1.58 ([64]) Une fonction f : ∆ → R, est dite à coordonnées convexes sur ∆, si l'inégalité :
f (λx + (1 − λ) t, αy + (1 − α) v) ≤λαf (x, y) + λ (1 − α) f (x, v)
+ (1 − λ) αf (t, y) + (1 − λ) (1 − α) f (t, v), est satisfaite pour tout λ, α ∈ [0, 1] et (x, y), (x, v), (t, y), (t, v) ∈ ∆.
Dé nition 1.59 ([5]) Une fonction positive f : ∆ ⊂ [0, ∞)2
→ R, est dite s-convexe au second sens sur ∆, pour un certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité :
f (λx + (1 − λ)z, λy + (1 − λ)w) ≤ λsf (x, y) + (1 − λ)sf (z, w), est satisfaite pour tout (x, y), (z, w) ∈ ∆ et λ ∈ [0, 1].
Dé nition 1.60 ([5]) Une fonction f : ∆ → R, est dite à coordonnées s-convexes sur ∆ au second sens pour un certain nombre xé s ∈ (0, 1], si l'inégalité :
f (λx + (1 − λ) t, αy + (1 − α) v) ≤λsαsf (x, y) + λs(1 − α)sf (x, v)
+ (1 − λ)sαsf (t, y) + (1 − λ)s(1 − α)sf (t, v), est satisfaite pour tout λ, α ∈ [0, 1] et (x, y), (x, v), (t, y), (t, v) ∈ ∆.
Dé nition 1.61 ([65]) Soit h : J ⊆ R → R, une fonction strictement posi-tive. Soit f : ∆ → R, f est dite h-convexe sur ∆, si l'inégalité :
f (αx + (1 − α)t, αy + (1 − α)v) ≤ h(α)f (x, y) + h(1 − α)f (t, v), est satisfaite pour tout (x, y), (t, v) ∈ ∆ et α ∈ (0, 1).
Dé nition 1.62 ([65]) Une fonction f : ∆ → R, est dite à coordonnées (h1, h2)-convexes sur ∆, si l'inégalité :
f (λx + (1 − λ) t, αy + (1 − α) v) ≤h1(λ)h2(α)f (x, y) + h1(λ)h2(1 − α) f (x, v)
+ h1(1 − λ) h2(α)f (t, y)
+ h1(1 − λ) h2(1 − α) f (t, v),
Dé nition 1.63 ([7]) Une fonction f : ∆0 → R, est dite à coordonnées
(s1, m1)-(s2, m2)-convexes sur ∆0, si l'inégalité :
f (tx + m1(1 − t)u, αy + m2(1 − α)w) ≤ts1αs2f (x, y) + m2ts1(1 − αs2)f (x, w)
+ m1(1 − ts1)αs2f (u, y)
+ m1m2(1 − ts1)(1 − αs2)f (u, w),
est satisfaite pour tout t, α ∈ [0, 1], s1, m1, s2, m2 ∈ (0, 1]et (x, y), (x, w), (u, y),
(u, w) ∈ ∆0.
Dé nition 1.64 ([107]) Une fonction f : ∆ → R, est dite à coordonnées r-convexes sur ∆, si l'inégalité
f (tx + (1 − t) u, λy + (1 − λ) v) ≤ [tλfr(x, y) + t (1 − λ) fr(x, v) + (1 − t) λfr(u, y) + (1 − t) (1 − λ) fr(u, v)]1r si r 6= 0
ftλ(x, y)ft(1−λ)(x, v)f(1−t)λ(u, y)f(1−t)(1−λ)(u, v) si r = 0,
est satisfaite pour tout t, λ ∈ [0, 1] et (x, y), (x, v), (u, y), (u, v) ∈ ∆.
Dé nition 1.65 ([119]) Une fonction f : ∆ → R, est dite à coordonnées (s, r)-convexes au premier sens sur ∆, si l'inégalité
f (tx + (1 − t) u, λy + (1 − λ) v) ≤ [tsλsfr(x, y) + ts(1 − λ)sfr(x, v) + (1 − t)sλsfr(u, y) + (1 − ts) (1 − λs) fr(u, v)]1r si r 6= 0
ftsλs(x, y)fts(1−λs)(x, v)f(1−ts)λs(u, y)f(1−ts)(1−λs)(u, v) si r = 0, est satisfaite pour tout t, λ ∈ [0, 1], r ≥ 0, s ∈ (0, 1] et (x, y), (x, v), (u, y), (u, v) ∈ ∆.
Dé nition 1.66 ([75]) Soient K1, K2 deux sous ensembles non vides de Rn,
(u, v) ∈ K1× K2. On dit que K1× K2 est invexe au point (u, v) par rapport
à η1 et η2, si pour chaque (x, y) ∈ K1× K2 et t, s ∈ [0, 1], nous avons
(u + tη1(x, u) , v + sη2(y, v)) ∈ K1× K2,
K1 × K2 est dit ensemble invexe par rapport à η1 et η2, s'il est invexe pour
Dé nition 1.67 ([67]) Soit K1 × K2 un ensemble invexe par rapport à η1
: K1× K1 → Rn et η2 : K2× K2 → Rn. Soit la fonction f : K1× K2 → R, f
est dite préinvexe, si l'inégalité
f (u + tη1(x, u) , v + tη2(y, v)) ≤ (1 − t)f (u, v) + tf (x, y),
est satisfaite pour tout (x, y), (u, v) ∈ K1× K2 et t ∈ [0, 1].
Dé nition 1.68 ([67]) Soit K1 × K2 un ensemble invexe par rapport à η1
: K1× K1 → Rn et η2 : K2× K2 → Rn. Soit la fonction f : K1× K2 → R, f
est dite à coordonnées préinvexes, si l'inégalité
f (u + λη1(x, u) , v + tη2(y, v)) ≤(1 − λ)(1 − t)f (u, v) + (1 − λ)tf (u, y)
+ (1 − t)λf (x, v) + λtf (x, y),
est satisfaite pour tout (x, y), (x, v), (u, y), (u, v) ∈ K1× K2 et λ, t ∈ [0, 1].
1.2.3 Quelques lemmes importants
Lemme 1.2 ([91]) Soient a ≥ 0 et b ≥ 0, les inégalités suivantes sont satis-faites
(a + b)λ ≤ 2λ−1 aλ+ bλ , si λ ≥ 1
et
(a + b)λ ≤ aλ + bλ, si 0 ≤ λ ≤ 1.
Lemme 1.3 ([59]) Supposons a ≥ 0, p ≥ q ≥ 0 et p 6= 0, nous avons aqp ≤ q pK q−p p a +p−q p K q p, pour tout K > 0.
Lemme 1.4 ([67]) Soit K1×K2 un sous ensemble ouvert et invexe de R2 par
rapport à η1 : K1× K1 → R et η2 : K2× K2 → R. Soit f : K1× K2 → R, une
fonction deux fois diérentiable telle que ∂2f
∂t∂s ∈ L1([a, a + η1(b, a)] × [c, c + η2(d, c)])
et η1(b, a) 6= 0, η2(d, c) 6= 0où a, b ∈ K1 et c, d ∈ K2. Alors l'égalité suivante
a lieu 1 4[f (a, c) + f (a, c + η2(d, c)) + f (a + η1(b, a) , c) + f (a + η1(b, a) , c + η2(d, c))] + 1 η1(b, a) η2(d, c) a+η1(b,a) Z a c+η2(d,c) Z c f (x, y) dxdy − A
=η1(b, a) η2(d, c) 4 1 Z 0 1 Z 0 (1 − 2t) (1 − 2s) ∂ 2f ∂t∂s(a + tη1(b, a) , c + sη2(d, c))dtds, (1.15) où A = 1 2η1(b, a) a+η1(b,a) Z a [f (x, c) + f (x, c + η2(d, c))] dx + 1 2η2(d, c) c+η2(d,c) Z c
[f (a, y) + f (a + η1(b, a) , y)] dy.
Lemme 1.5 ([9]) Soit K ⊆ R, un sous ensemble ouvert et invexe, η : K × K → R et a, b ∈ K avec a < a + η (b, a). Soit f : K → R, une fonction diérentiable telle que f0 ∈ L ([a, a + η (b, a)]), Alors l'égalité suivante a lieu
1 η (b, a) a+η(b,a) Z a f (x)dx − f (a) + f (a + η (b, a)) 2 =η (b, a) 2 1 Z 0 (1 − 2t) f0(a + tη(b, a))dt. (1.16) Lemme 1.6 ([109]) Soient a, b ∈ T1, c, d ∈ T2 et f, g ∈ CCrd1 ([a, b] × [c, d] , R) .
Alors pour tout (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], nous avons f (x, y) =1 k b Z a d Z c f (σ1(s) , σ2(t)) ∆2t∆1s + b Z a d Z c q (y, t)∂f (σ1(s) , t) ∆2t ∆2t∆1s b Z a d Z c p (x, s)∂f (s, σ2(t)) ∆1s ∆2t∆1s + b Z a d Z c p (x, s) q (y, t)∂ 2f (s, t) ∆1s∆2t ∆2t∆1s , (1.17) où p : [a, b] × [a, b] → R et q : [c, d] × [c, d] → R, sont dé nies comme suit
p (x, s) = s − a si s ∈ [a, x] s − b si s ∈ (x, b] , q (y, t) = t − c si t ∈ [c, y]
t − d si t ∈ (y, d] , et k = (b − a) (d − c) .
Dé nition 1.69 ([60]) Soit f ∈ L1[a, b], les intégrales au sens de
Riemann-Liouville Jα
a+f (x), Jbα−f (x) d'ordre α > 0, où a > 0 sont dé nies par
Jaα+f (x) = 1 Γ(α ) x Z a (x − t)α−1f (t)dt, x > a Jbα−f (x) = 1 Γ(α ) b Z x (t − x)α−1f (t)dt, x < b, et J0 a+f (x) = Jb0−f (x) = f (x).
Chapitre 2
Inégalités intégrales de type
Gronwall-Bellman-Bihari
2.1 Introduction
L'une des méthodes les plus utiles pour étudier un système d'équations diérentielles non linéaires est de comparer ce système à une équation de premier degré. Cependant il est di cile d'estimer explicitement les solutions données par la méthode de comparaison. En eet, dans plusieurs applications les estimations explicites sont plus utiles lors de l'étude du comportement des solutions de tels systèmes. Il s'avère que l'utilisation des inégalités intégrales donne des bornes explicites pour les fonctions inconnues. Pour ces raisons l'introduction des inégalités intégrales dans l'étude des propriétés des solu-tions des équasolu-tions diérentielles est indispensable.
L'inégalité de Gronwall qui est un outil fondamental en mathématiques a attiré l'attention de plusieurs mathématiciens, plusieurs généralisations sont apparues dans la littérature mathématique. Inspiré par cette inégalité, Bell-man, en 1943, a introduit une inégalité plus générale qui porte le nom de inégalités de Gronwall-Bellman et en 1956, Bihari a généralisé cette dér-nière.
Nous aborderons ce chapitre en citant quelques résultats classiques concer-nant la célèbre inégalité de Gronwall ainsi que quelques unes de ces générali-sations en dimension une, dans un premier lieu puis nous énoncerons quelques résultats concernant cette dernière en dimension deux en suite nous donne-rons des nouvelles généralisations concernant les inégalités de type Gronwall-Bellman-Bihari en dimension deux sur des échelles de temps. Ces nouveaux résultats ont fait l'objet des publications :
Nonli-near Integral Inequalities In Two Independent Variables on Time Scales And Applications. Journal of Dynamical Systems & Geometric Theories, Volume 12, Number 2 (2014).
B. Meftah and K. Boukerrioua, On Some Nonlinear Integral Inequa-lities in Two Independent Variables on Time Scales and Their Applications, jardcs, Volume 7, Issue 3, 2015, pp.119-133.
2.1.1 Quelques célèbres inégalités intégrales de type
Gron-wall en dimension une
En 1919, Gronwall a démontré une remarquable inégalité qui ne cesse de soulever la curiosité des chercheurs dont l'énoncé est le suivant :
Théorème 2.1 ([50]) Soit u(t) une fonction continue sur I = [α, α + h], a et b deux constantes positives. Si l'inégalité
0 ≤ u(t) ≤ Z t
α
[bu(s) + a] ds, t ∈ I, est véri ée, alors
0 ≤ u(t) ≤ ah exp(bh), t ∈ I.
En 1943, Bellman généralisa le résultat de Gronwall dans le cas où b est une fonction qui dépend de la variable t, son résultat fut le suivant :
Théorème 2.2 ([12]) Soient u et f deux fonctions continues positives sur I = [α, β] ⊂ R et c ≥ 0. Si
u(t) ≤ c + Z t
α
f (s)u(s)ds, t ∈ I, est satisfaite, alors
u(t) ≤ c exp( Z t
α
f (s)ds), t ∈ I.
En 1956, Bihari prouva une inégalité encore plus générale que celles de Gronwall et de Bellman, dont l'énoncé est le suivant :
Théorème 2.3 ([15]) Soient u et f deux fonctions continues positives sur [0, +∞[, w une fonction croissante et continue sur [0, +∞[, véri ant w(x) > 0 pour tout x > 0 et c une constante strictement positive. Si
u(t) ≤ c +
t
Z
t0
est satisfaite pour tout t ≥ 0, alors u(t) ≤ G−1 G (c) + t Z t0 f (s)ds pour tout 0 ≤ t ≤ T,
où G est solution de l'équation intégrale suivante G(t) = t Z t0 1 w(s)ds, t > t0 > 0,
G−1 est la fonction inverse de G, T est choisi de telle sorte que G (c) + t Z t0 f (s)ds
∈ DomG−1 pour tout 0 ≤ t ≤ T.
En 1957, Ou-Iang démontra une variante du Théorème 2.1 dans un cadre non linéaire, dont l'énoncé est :
Théorème 2.4 ([105]) Soient u et g deux fonctions continues et stric-tement positives sur R+ et soit u0 une constante strictement positive. Si
l'inégalité
u2(t) ≤ u20+ 2 Z t
0
g(s)u(s)ds, est satisfaite, alors
u(t) ≤ u0+
Z t
0
g(s)ds.
En 1958, Bellman généralisa son propre théorème (Théorème 2.2) comme suit :
Théorème 2.5 ([13]) Soient u et g deux fonctions continues et positives sur I = [α, β] et soit n(t) une fonction continue, strictement positive et croissante dé nie sur I. Si l'inégalité
u(t) ≤ n(t) + Z t
α
g(s)u(s)ds, t ∈ I, est satisfaite, alors
u(t) ≤ n(t) exp( Z t
α
En 1969, Gollwitzer prouva une inégalité encore plus générale que celle de Bellman donnée par le théorème suivant :
Théorème 2.6 ([48]) Soient u, f, g et h des fonctions continues et positives sur I = [α, β]. Si l'inégalité
u(t) ≤ f (t) + g(t) Z t
α
h(s)u(s)ds, t ∈ I, est satisfaite, alors
u(t) ≤ f (t) + g(t) Z t α h(s)f (s) exp( Z t s h(σ)g(σ)dσ)ds, t ∈ I.
Des variantes du Théorème de Gollwitzer ont été élaborées par : Pachpatte [111] et Beesack [11].
Théorème 2.7 ([111]) Soient u, g et h des fonctions continues et positives sur I = [α, β], f une fonction continue, strictement positive et croissante dé nie sur I. Si l'inégalité
u(t) ≤ f (t) + g(t) Z t
α
h(s)u(s)ds, t ∈ I, est satisfaite, alors
u(t) ≤ f (t) 1 + g(t) Z t α h(s)f (s) exp( Z t s h(σ)g(σ)dσ)ds , t ∈ I. Théorème 2.8 ([11]) Soient u et h deux fonctions continues, f et g deux fonctions Riemann intégrable sur I = [α, β], telles que g et h sont positives sur I. Si
u(t) ≤ f (t) + g(t) Z t
α
h(s)u(s)ds, t ∈ I, est satisfaite, alors
u(t) ≤ f (t) + g(t) Z t α f (s)h(s) exp( Z t s h(σ)g(σ)dσ)ds, t ∈ I. I. Györi, généralisa le Théorème 2.3 comme suit
Théorème 2.9 ([54]) Soient u et β deux fonctions continues et positives sur I = [t0, ∞), et soient f, g et α des fonctions diérentiables où f est positive, g
est strictement positive et croissante et gα positive et décroissante. Supposons que u(t) ≤ f (t) + α(t) Z t t0 β(s)g (u(s)) ds. Si f0(t) 1 g (η (t)) − 1 ≤ 0, sur I, pour toute fonction continue et positive η (t), alors
u(t) ≤ G−1 G (f (t0)) + Z t t0 [α(s)β(s) + f0(s)] ds , où G est solution de l'équation intégrale suivante
G(t) = t Z t0 1 g(s)ds, t > t0 > 0, G−1 est la fonction inverse de G, et
G (f (t0)) + Z t t0 [α(s)β(s) + f0(s)] ds ∈ DomG−1.
Martynyuk et Kosolapov, ont élaboré une extension du Théorème 2.5 donnée par le théorème suivant :
Théorème 2.10 ([72]) Soient u, a et b des fonctions continues, positives sur I = [α, β] et 0 < p < 1. Si u(t) ≤ a(t) + Z t α b(s)up(s)ds, t ∈ I, alors u(t) ≤ a(t) + up0 Z t α b1q(s)ds q ,
où q = 1 − p et u0 et l'unique racine strctement positive de l'équation x − a −
bxp = 0 avec a = Rαβa(t)dt et b = Rαβ Rt αb 1 q(s)ds q dt.
Perov, prouva une autre forme dans un cadre non linéaire de l'inégalité de Gronwall
Théorème 2.11 ([124]) Soient u, a et b des fonctions continues et posi-tives. Si l'inégalité u(t) ≤ c + Z t t0 [a(s)u(s) + b(s)up(s)] ds, t ≥ t0,
est satisfaite pour tout c ≥ 0 et p ≥ 0, alors u(t) ≤ c1−pexp (1 − p) Z t t0 a(s)ds + (1 − p) Z t t0 b(s) exp (1 − p) Z t s a(τ )dτ ds 1−p1 , pour 0 ≤ p < 1 : u(t) ≤ c exp Z t t0 [a(s) + b(s)] ds , pour p = 1, et p > 1 : u(t) ≤ c exp (1 − p) Z t t0 a(s)ds −c−1(p − 1) Z t t0 b(s) exp (1 − p) Z t s a(τ )dτ ds 1−p1 , c, doit satisfaire pour le cas où p > 1, la condition suivante
c < exp (1 − p) Z t0+h t0 a(s)ds 1 p−1 (p − 1) Z t0+h t0 b(s)ds − 1 p−1 , pour tout t ∈ [t0, t0+ h] où h > 0.
B.G. Pachpatte discuta une inégalité similaire à celle de Perov donnée par les théorèmes suivants :
Théorème 2.12 ([112]) Soient u, a, b, g, h des fonctions continues et stric-tement positives. Si l'inégalité
up(t) ≤ a(t) + b(t) Z t
0
[g(s)up(s) + h(s)u(s)] ds, t ∈ R+,
est satisfaite pour p > 1, alors u(t) ≤ a(t) + b(t) Z t 0 (g(s)a(s) + h(s)ha(s)p +p−1p i × exp Z t s b(σ)hg(σ) + h(σ)p idσ )ds 1p .
Théorème 2.13 ([112]) Supposons que les hypothèses du Théorème 2.12 sont véri ées. Soit c une fonction continue, croissante et strictement positive sur R+. Si l'inégalité
up(t) ≤ cp(t) + b(t) Z t
0
[g(s)up(s) + h(s)u(s)] ds, est satisfaite, alors
u(t) ≤c(t) 1 + b(t) Z t 0 (g(s) + h(s)c(s)1−p × exp Z t s b(σ)hg(σ) + h(σ)p idσ ds 1p .
Des généralisations du Théorème 2.13, ont été eectuées par : Jiang et Meng [59], ainsi que par : Boukerrioua et Guezane-Lakoud [17], dont les énoncés sont ci-dessous
Théorème 2.14 ([59]) Sous les hypothèses du Théorème 2.13 et si l'inéga-lité
up(t) ≤ a(t) + b(t) Z t
0
[g(s)uq(s) + h(s)ur(s)]ds, est satisfaite, alors nous avons
u(t) ≤ a(t) + b(t) Z t 0 h g(s)(qpa(s) + p−qp ) + h(s)(rpa(s) + p−rp )i × exp Z t s b(σ)hqpg(σ) + rph(σ)idσ ds 1 p , où p 6= 0 , 0 ≤ q ≤ p et 0 ≤ r ≤ p.
Théorème 2.15 ([59]) Sous les hypothèses du Théorème 2.13 et si l'inéga-lité
up(t) ≤ cp(t) + b(t) Z t
0
[g(s)uq(s) + h(s)ur(s)] ds, est satisfaite, alors
u(t) ≤c(t)( 1 + b(t) Z t 0 g(s)cq−p (s) + h(s)cr−p(s) × exp Z t s b(σ) q pg(σ) + r pc r−p (σ)h(σ) dσ ds 1 p ,
où c(t) est une fonction croissante et strictement positive et p 6= 0, 0 ≤ q ≤ p, 0 ≤ r ≤ p.
Théorème 2.16 ([17]) Sous les hypothèses du Théorème 2.13 et supposons que fonction a+pr
b est croissante, si l'inégalité
up(t) ≤ a(t) + b(t) Z t
0
[g(s)uq(s) + h(s)ur(s)] ds, est satisfaite, alors
u(t) ≤(a(t) + pr) 1 p × 1 − (qp − 1) Z t 0 b(s)(g(s) +prh(s))(a(s) + pr) q p−1ds p−q1 , pour tout t < βp,q,r, où 0 < r < p < q et
βp,q,r = sup t ∈ R+/ (qp − 1) Z t 0 b(s)(g(s) + rph(s))(a(s) + pr) q p−1ds ≤ 1 .
Pour plus de détails, se référer à [8, 11, 19, 36, 92, 110] .
2.1.2 Quelques inégalités intégrales de type Gronwall à
noyau en dimension une
En 1967, Chu and Metcalf ont établi une variante de l'inégalité de Gronwall-Bellman (Théorème 2.5) dans le cas où la fonction g dépendra du paramètre t (i.e. g(s) = k (t, s)), dont l'énoncé est le suivant :
Théorème 2.17 ([24]) Soient u et f deux fonctions continues et positives sur I = [α, β] et k (t, s) une fonction continue et positive sur le triangle ∆ : α ≤ s ≤ t ≤ β. Si u(t) ≤ f (t) + Z t α k (t, s) u(s)ds, t ∈ I, alors u(t) ≤ f (t) + Z t α H(t, s)f (s)ds, où H(t, s) = ∞ X i=1 ki(t, s) , (t, s) ∈ ∆,
Norbury et Stuart 1987, donnèrent une autre variante du théorème pré-cédent
Théorème 2.18 ([102]) Soient u et k (t, s) dé nies comme dans le Théo-rème 2.17 telle que k (t, s) est croissante par rapport à t pour tout s ∈ I.
i) Si
u(t) ≤ c + Z t
α
k (t, s) u(s)ds, t ∈ I, est satisfaite pour toute constante c ≥ 0, alors
u(t) ≤ c exp Z t α k (t, s) ds , t ∈ I,
ii) Soit n(t) une fonction continue, positive et croissante pour tout t ∈ I. Si
u(t) ≤ n(t) + Z t
α
k (t, s) u(s)ds, t ∈ I, est satisfaite, alors
u(t) ≤ n(t) exp Z t α k (t, s) ds , t ∈ I,
B. G. Pachpatte, généralisa les résultats du théorème précèdent comme suit
Théorème 2.19 ([112]) Soient u, p, q, r et f des fonctions continues et po-sitives dé nies sur I = [α, β] et soit k (t, s) et sa dérivée partielle ∂
∂sk(t, s) deux fonctions positives et continues, pour α ≤ s ≤ t ≤ ∞. Si l'inégalité
u(t) ≤ p(t) + q(t) Z t
0
k(t, s) [r(s)u(s) + f (s)] ds, est satisfaite, alors
u(t) ≤ p(t) + q(t) Z t α B(σ)(exp Z t σ A(τ )dτ )dσ , où A(t) = k(t, t)r(t)q(t) + Z t 0 ∂ ∂tk(t, s)r(s)q(s)ds et B(t) = k(t, t) [r(t)p(t) + f (t)] + Z t 0 ∂ ∂tk(t, s) [r(s)p(s) + f (s)] ds.
Théorème 2.20 ([112]) Supposons que les hypothèses du Théorème 2.19 sont véri ées. Soit k(t, s) et sa dérivée partielle ∂
∂sk(t, s)deux fonctions stric-tement positives et continues, pour 0 ≤ s ≤ t ≤ ∞. Si l'inégalité
up(t) ≤ a(t) + b(t) Z t
0
k(t, s) [g(s)up(s) + h(s)u(s)] ds, est satisfaite, alors nous avons
u(t) ≤ a(t) + b(t) Z t 0 A(σ)(exp Z t σ B(τ )dτ )dσ 1 p , où
A(t) =k(t, t)ng(t)a(t) + h(t)ha(t)p + p−1p io + Z t 0 ∂ ∂sk(t, s) n g(s)a(s) + h(s) h a(s) p + p−1 p io ds et B(t) = K(t, t)b(t) h g(t) + h(t)p i + Z t 0 ∂ ∂sk(t, s)b(s) h g(s) + h(s)p i ds. F. Jiang et F. Meng ont établi une généralisation du Théorème 2.20 comme suit :
Théorème 2.21 ([59]) Sous les hypothèses du Théorème 2.19. Si l'inégalité up(t) ≤ a(t) + b(t)
Z t
0
k(t, s) [g(s)uq(s) + h(s)ur(s)] ds, est satisfaite, pour p 6= 0, 0 ≤ q ≤ p et 0 ≤ r ≤ p, nous avons alors
u(t) ≤ a(t) + b(t) Z t 0 A(σ)(exp t Z σ B(τ )dτ )dσ 1 p , où A(t) =k(t, t) h g(t)(qpa(t) + p−qp ) + h(t)(rpa(t) + p−rp ) i + Z t 0 ∂ ∂sk(t, s) h g(s)(qpa(s) + p−qp ) + h(s)(rpa(s) + p−rp )ids et B(t) = k(t, t)b(t)hqpg(t) +prh(t)i+ Z t 0 ∂ ∂sk(t, s)b(s) h q pg(s) + r ph(s) i ds.
Boukerrioua a généralisé le résultat de Chu and Metcalf sur les échelles de temps, donné par le théorème suivant
Théorème 2.22 ([20]) Soient u(t), a(t), b(t) et hi(t)(i = 1, ...n) ∈ Crd ,
a(t) > 0 et croissante pour t ∈ T , il existe une suite de nombres réels strictement positifs p1, p2, ...., pn telle que p ≥ pi > 0, i = 1, ...n. Si L(t, .)
est dé ni comme dans le Théorème 1.8, avec L(t, s) ≥ 0 et L∆(t, s) ≥ 0pour
t, s ∈ T et s ≤ t, si up(t) ≤ a(t) + b(t) Z t t0 L(t, s) i=n X i=1 hi(s)upi(s)∆s, t ∈ Tk,
est satisfaite, alors
u(t) ≤ (a(t) + b(t) Z t t0 eB(t, σ(s))A(s)∆s) 1 p, t ∈ Tk, où A(t) = L(σ(t), t) i=n X i=1 hi(t) pi pK pi−p p a(t) +p − pi p K pi p + Z t t0 L∆(t, s) i=n X i=1 hi(s) pi pK pi−p p a(s) + p − pi p K pi p ∆s et B(t) = b(t)L(σ(t), t)( i=n X i=1 hi(t)ppiK pi−p p ) + Z t t0 b(s)L∆(t, s) i=n X i=1 hi(s)ppiK pi−p p ∆s.
Pour plus de détails, se référer aux ouvrages et articles [8,14,20,24,36,59,92, 102,112].
2.1.3 Quelques célèbres inégalités intégrales de type
Gron-wall en dimension deux
L'analogue de l'inégalité de Gronwall pour les fonctions à deux variables dite aussi l'inégalité de Wendro est donnée par le théorème suivant :
Théorème 2.23 ([10]) Soient u(x, y), c(x, y) deux fonctions positives et conti-nues dé nies pour x, y ∈ R+, a(x), b(y) deux fonctions strictement positives,
continues et croissantes sur R+. Si l'inégalité
u(x, y) ≤ a(x) + b(y) + Z x
0
Z y
0
est satisfaite, alors
u(x, y) ≤ E(x, y) exp Z x 0 Z y 0 c(t, s)dtds , où
E(x, y) = [a(x) + b(0)] [a(0) + b(y)] a(0) + b(0) .
T. Nurimov, généralisa le résultat obtenu par Wendro comme suit Théorème 2.24 ([103]) Soient u(x, y), a(x, y), b(x, y) et c(x, y) des fonc-tions positives et continues dé nies sur D = [0, x0] × [0, y0]. Si l'inégalité
u(x, y) ≤ a(x, y) + b(x, y) Z x 0 Z y 0 c(t, s)u(t, s)dtds, est satisfaite, alors
u(x, y) ≤a(x, y) + b(x, y) Z x 0 Z y 0 exp Z x τ Z y η c(t, s)b(t, s)dtds ×a(τ, η)c(τ, η)] dτ dη.
Bainov et Simeonov, ont établi l'analogue du Théorème de Bihari dans le cadre des fonctions à deux variables comme suit
Théorème 2.25 ([8]) Soient I = [0, a], J = [0, b], où a, b ≤ ∞. Soient c ≥ 0 et ϕ ∈ C ([0, ∞) , [0, ∞)) une fonction croissante véri ant ϕ (r) > 0 pour r > 0, u et f ∈ C (I × J, [0, ∞)). Si u(x, y) ≤ c + Z x 0 Z y 0 f (t, s)ϕ (u(t, s)) dtds, (x, y) ∈ I × J, est satisfaite, alors
u(x, y) ≤ Φ−1 Φ (c) + Z x 0 Z y 0 f (t, s)dtds , pour tout (x, y) ∈ [0, x1] × [0, y1], où
Φ (r) = Z r
1
1
ϕ (s)ds, r > 0,
Φ−1 est l'inverse de Φ et (x1, y1) ∈ I × J est choisi de telle sorte que
Φ (c) + Z x 0 Z y 0 f (t, s)dtds ∈ Dom Φ−1 .
L'analogue de l'inégalité de Bihari à noyau en dimension deux est donné par le théorème suivant, établi par Pachpatte
Théorème 2.26 ([113]) Soient u(x, y) et a(x, y) deux fonctions strictement positives continues dé nie sur R2
+, k(x, y, s, t), D1k(x, y, s, t), D1k(x, y, s, t)
et D1D2k(x, y, s, t) ∈ C (G2, R+) et c une constante positive où
G2 =(x, y, s, t) ∈ R4 : 0 ≤ s ≤ x < ∞ et 0 ≤ t ≤ y < ∞ .
(b1) Soit g (u) une fonction continue diérentiable véri ant pour u ≥ 0,
g (u) > 0 de plus g0(u) ≥ 0 pour tout u ≥ 0 et soit G (r) = Rrr
0 ds g(s), r > 0, G−1 l'inverse de G. Si u(x, y) ≤ c + x Z 0 y Z 0 k(x, y, s, t)g (u(s, t)) dtds,
est satisfaite pour tout x, y ∈ R+, alors pour 0 ≤ x ≤ x1, 0 ≤ y ≤ y1,
x, x1, y, y1 ∈ R+, nous avons u(x, y) ≤ G−1 G (c) + x Z 0 y Z 0 P (s, t)dtds , où P (x, y) =k(x, y, x, y) + x Z 0 D1k(x, y, σ, y)dσ + y Z 0 D2k(x, y, x, τ )dτ + x Z 0 y Z 0 D1D2k(x, y, σ, τ )dσdτ,
pour x, y ∈ R+ et x1, y1 ∈ R+ sont choisis de telle sorte que
G (c) + x Z 0 y Z 0 P (s, t)dtds ∈ Dom G−1 ,
pour tout x, y dans [0, x1], [0, y1] respectivement.
(b2)Soient g, G et G−1 des fonctions dé nies comme dans (b1), supposons
que g est sous additive. Si u(x, y) ≤ a(x, y) + x Z 0 y Z 0 k(x, y, s, t)g (u(s, t)) dtds,
est satisfaite pour tout x, y ∈ R+, alors pour 0 ≤ x ≤ x2, 0 ≤ y ≤ y2, x, x2, y, y2 ∈ R+, on a u(x, y) ≤ a(x, y) + G−1 G (E (x, y)) + x Z 0 y Z 0 P (s, t)dtds ,
où P est dé nie comme dans (b1), et
E (x, y) = x Z 0 y Z 0 k(x, y, s, t)g (a(s, t)) dtds,
pour tout x, y ∈ R+ et x2, y2 ∈ R+ où x2, y2 sont choisis de telle sorte que
G (E (x, y)) + x Z 0 y Z 0 P (s, t)dtds ∈ Dom G−1 ,
pour tout x, y dans [0, x2] , [0, y2] respectivement.
Par le biais du Théorème 2.27, l'auteur de [62] a généralisé la partie (b2)
du Théorème 2.26, dont l'énoncé est donné ci dessous Théorème 2.28. Théorème 2.27 ([62]) Soient u (x, y) , a (x, y) , b (x, y) et f (x, y) des fonc-tions positives et continues dé nies sur R+ et w (u) une fonction positive,
croissante et continue sur R+ véri ant w (u) > 0 pour u > 0. Supposons que
a (x, y) et b (x, y) sont croissantes par rapport à chacune de leurs variables. Si u(x, y) ≤ a(x, y) + b (x, y) x Z 0 y Z 0 f (s, t)w (u(s, t)) dtds, est satisfaite pout tout x, y ∈ R+, alors
u(x, y) ≤ G−1 G (a(x, y)) + b(x, y) x Z 0 y Z 0 f (s, t)dtds , pour 0 ≤ x ≤ x1, 0 ≤ y ≤ y1. G (r) = R r r0 ds w(s), r ≥ r0 > 0, G −1 l'inverse de
G et x1, y1 ∈ R+ sont choisis de telle sorte que
G (a(x, y)) + b(x, y) x Z 0 y Z 0 f (s, t)dtds ∈ Dom G−1 .
Théorème 2.28 ([62]) Soient ψ (x, y) , p (x, y) et q (x, y) des fonctions posi-tives et continues dé nies sur R+. Soient k(x, y, s, t), D1k(x, y, s, t), D1k(x, y, s, t)
et D1D2k(x, y, s, t)des fonctions positives et continues pour tout 0 ≤ s ≤ x <
∞ et 0 ≤ t ≤ y < ∞ et w est dé nie comme dans le Théorème 2.14 de plus nous supposons qu'elle est sous additive et sous multiplicative. Si
ψr(x, y) ≤ p(x, y) + q (x, y) x Z 0 y Z 0 k(x, y, s, t)w (ψ(s, t)) dtds,
est satisfaite pour tout x, y ∈ R+ et r ≥ 1, alors
ψ(x, y) ≤ p(x, y) + q (x, y) G−1 G x Z 0 y Z 0 A(σ, τ )dτ dσ + x Z 0 y Z 0 B(σ, τ )dτ dσ 1 r , pour 0 ≤ x ≤ x2, 0 ≤ y ≤ y2, où A(x, y) =k(x, y, x, y)w 1 rK 1−r r w (p(x, y)) + k(x, y, x, y)w r − 1 r K 1 r + w 1 rK 1−r r Zy 0 D2k(x, y, x, t)w (p(x, t)) dt + w r − 1 r K 1 r Zy 0 D2k(x, y, x, t)dt + w 1 rK 1−r r Zx 0 D1k(x, y, s, y)w (p(s, y) dt + w r − 1 r K 1 r Zx 0 D1k(x, y, s, y)dt + w 1 rK 1−r r Zx 0 y Z 0 D1D2k(x, y, s, t)w (p(s, t)) dtds + w 1 rK 1−r r Zx 0 y Z 0 D1D2k(x, y, s, t)dtds,
