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UNIVERSITE BADJI MOKHTAR UNIVERSITE DE PROVENCE ANNABA MARSEILLE
Faculté des Sciences Centre de Mathématiques
Département de Mathématiques et Informatique
Thèse de Doctorat en Mathématiques
(Co-tutelle internationale)
École Doctorale de Mathématiques et Informatique de Marseille : ED 184
Option : Mathématiques Appliquées
Présentée par
M. Hichem RAMOUL
Directeurs de Thèse
Mme Assia BENABDALLAH Professeur Université de Provence, France M. Lahcène CHORFI Professeur Université d’Annaba, Algérie Membres du jury
M. Saïd MAZOUZI Professeur Université d’Annaba, Algérie (Président)
M. Lahcène BENCHEIKH Professeur Université de Sétif, Algérie (Rapporteur)
M. Yves DERMENJIAN Professeur Université de Provence, France (Examinateur)
M. Jérôme Le ROUSSEAU Professeur Université d’Orléans, France (Rapporteur)
Année 2009
INÉGALITÉS DE CARLEMAN POUR DES SYSTÈMES PARABOLIQUES
ET APPLICATIONS AUX PROBLÈMES INVERSES ET À LA
CONTRÔLABILITÉ
CONTRIBUTIONS À LA DIFFRACTION D’ONDES ACOUSTIQUES
DANS UN DEMI-PLAN HOMOGÈNE
Remerciements
Je dois beaucoup plus que de simples remerciements au professeur Lahcène CHORFI qui a accepté de diriger la deuxième partie de cette thèse et qui m’a initié dans le domaine de la diffraction d’ondes et les équations intégrales. En me donnant la chance d’être membre dans un accord programme entre l’université d’Annaba et l’université de Provence, et de s’inscrire en co-tutelle, il m’a permis de m’ouvrir sur d’autres branches des mathématiques. Sans ses conseils avisés, sa grande disponibilité et sa patience, cette thèse n’aurait jamais vu le jour. Ses compétences scientifiques et ses qualités humaines m’ont permis de surmonter les nombreuses difficultés liées à ce travail de recherche. Je le prie de croire à l’expression de ma très profonde gratitude.
Je remercie énormément le professeur Assia BENABDALLAH qui a accepté de diriger la première partie de cette thèse et qui m’a enseigné tout ce que je sais en problèmes inverses et théorie du contrôle. En me faisant l’honneur de m’inscrire en co-tutelle, elle m’a donné la chance d’approfondir mes connaissances et de m’orienter vers plusieurs axes de recherches. Sa grande disponibilité et ses qualités humaines m’ont beaucoup aidé dans ce travail de recherche. Je la prie de croire à l’expression de ma très profonde gratitude.
Je tiens à remercier vivement les professeurs Jérôme LE ROUSSEAU et Lahcène BEN-CHEIKH qui ont bien voulu rapporter ce travail.
Je suis très reconnaissant aux professeurs Yves DERMENJIAN et Said MAZOUZI qui ont accepté de faire partie du jury.
Il me serait impossible de ne pas citer de nouveau le professeur Yves DERMENJIAN dans ces remerciements. Depuis le début de l’accord programme en 2004 , le professeur Yves DERMENJIAN a toujours été disponible aussi bien comme responsable de la partie francaise de l’accord programme que comme ami. Ses qualités humaines et son accueil chaleureux m’ont donné beaucoup de plaisir à séjourner à Marseille.
Je tiens profondément à remercier les docteurs Michel CRISTOFOL et Patricia GAITAN qui m’ont beaucoup aidé à escalader les premières marches dans les problèmes inverses et les inégalités de Carleman. Leurs qualités humaines, leur disponibilité et leur patience m’ont permis d’approfondir mes connaissances. J’ai eu beaucoup de plaisir à travailler avec eux, et c’est entres inégalités et publications que nos liens d’amitiés se sont tissés. J’espère que nos collaborations seront toujours aussi fructueuses.
Je remercie beaucoup le professeur Jérôme LE ROUSSEAU et le docteur Olivier POIS-SON pour leur disponibilité au sein du groupe de travail (CMI). Leurs conseils avisés, durant
les 4 ans de l’accord programme, m’ont été d’une grande utilité.
Mes remerciements vont également au docteur Nadjib BOUSSETILA pour ses encoura-gements, sa disponibilité et son amitié.
Je tiens à remercier aussi les docteurs Leila ALEM et Abdelouahab SALMI et le pro-fesseur Ahmed Salah CHIBI pour les encouragements et l’amitié qu’ils ont manifestés à mon égard.
Mes sincères remerciements à tous les membres de l’administration du département de mathématiques de l’université de Badji Mokhtar ainsi qu’à tous les membres de l’adminis-tration du Centre de Mathématiques et Informatique à Marseille.
Je remercie énormément mon ami Noureddine DADDA du centre universitaire de Khen-chela pour ses encouragements et son soutien.
Mes meilleurs remerciements sont ceux de la fin. Si maintenant j’ai réussi à achever cette thèse, c’est avant tout grâce au soutien et aux encouragements de ma défunte grand-mère (ZAZI), de mon père, de ma mère et de mes deux frères. Mon plus grand remerciement va à ma femme qui a toujours su me comprendre, me supporter et m’encourager quand il le fallait. C’est à cette charmante et solide famille que je dédie cette thèse.
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Résumé
Dans la première partie, on démontre des inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques. Au chapitre 1, on démontre des inégalités de stabilité pour un système parabo-lique 2 × 2 en utilisant des inégalités de Carleman avec une seule observation. Il s’agit d’un problème inverse pour l’identification des coefficients et les conditions initiales du système. Le chapitre 2 est consacré aux inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques dont
les coefficients de diffusion sont de classe 𝒞1 par morceaux ou à variations bornées. A la fin,
on donne quelques applications à la contrôlabilité à zéro.
La seconde partie est consacrée à l’étude d’un problème de diffraction d’ondes acoustiques dans un demi-plan homogène. Il s’agit d’un problème aux limites associé à l’équation de Helmholtz dans le demi-plan supérieur avec une donnée de Neumann non homogène au bord. On apporte des éléments de réponse sur la question d’unicité et d’existence des solutions pour certaines classes de la donnée au bord.
Abstract
In the first part, we prove Carleman estimates for parabolic systems. In chapter 1, we prove stability inequalities for 2 × 2 parabolic system using Carleman estimates with one observation. It is concerns to the identification of the coefficients and initial conditions of the system. The chapter 2 is devoted to th Carleman estimates of parabolic systems for which
the diffusion coefficients are assumed to be of class piecewise 𝒞1 or with bounded variations.
In the end, we give some applications to the null controllability.
The second part is devoted to the study of the scattering problem of acoustics waves in a homogeneous half-plane. It is about a boundary value problem associated to the Helmholtz equation in the upper half-plane with a nonhomogeneous Neumann boundary data. We pro-vide some answers to the question of uniqueness and existence of solutions for some classes of the boundary data.
Table des matières
Notations 4
INTRODUCTION GÉNÉRALE
4
Rappels d’analyse fonctionnelle
9
0.1 Espaces fonctionnels . . . 9
0.1.1 Espaces de Sobolev . . . 12
0.1.2 Transformée de Fourier . . . 13
0.1.3 Fonctions à variation bornée . . . 14
0.2 Théorie de Fredholm . . . 15
0.3 Convexité logarithmique . . . 16
0.4 Régions invariantes . . . 17
Bibliographie 19
Partie I.
Inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques
et applications aux problèmes inverses et à la contrôlabilité
21
INTRODUCTION 21 1 Problèmes inverses pour un système de réaction-diffusion 2 × 2 via une inégalité de Carleman avec une seule observation 26 1.1 Introduction . . . 271.2 Identification du coefficient 𝑏(𝑥) . . . 28
1.2.2 Stabilité et unicité . . . 33
1.3 Identification simultanée des coefficients 𝑏(𝑥) et 𝑐(𝑥) . . . 37
1.3.1 Inégalité de Carleman modifiée . . . 37
1.3.2 Stabilité et unicité . . . 38
1.4 Stabilité et unicité pour les conditions initiales . . . 41
2 Inégalités de Carleman pour un système de 𝑚 equations paraboliques cou-plées à coefficients de diffusion non réguliers en dimension un 45 2.1 Introduction . . . 46
2.2 Inégalité de Carleman globale avec "𝑚 observations" pour des coefficients de diffusion 𝒞1 par morceaux . . . 47
2.3 Inégalité de Carleman globale avec "𝑚 observations" pour des coefficients de diffusion 𝒱ℬ . . . 54
2.3.1 Construction de la fonction 𝛽 . . . 55
2.3.2 Passage à la limite . . . 71
2.4 Inégalité de Carleman globale pour un système parabolique 2 × 2 (𝑚 = 2) avec "une seule observation" . . . 74
2.4.1 Cas des coefficients de diffusion 𝒞1 par morceaux . . . 74
2.4.2 Cas des coefficients de diffusion 𝒱ℬ . . . 75
2.5 Quelques applications à la contrôlabilité . . . 75
2.5.1 Inégalité d’observabilité pour un système de 𝑚 equations paraboliques couplées par 𝑚 contrôles . . . 76
2.5.2 Inégalité d’observabilité pour un système parabolique 2 × 2 avec un seul contrôle . . . 77
2.5.3 Inégalité d’observabilité pour un système parabolique en cascade avec un seul contrôle . . . 77
Conclusion et perspectives . . . 79
Bibliographie 80
Partie II.
Contributions à la diffraction d’ondes acoustiques dans
un demi-plan homogène
84
3 Problème de Neumann pour l’équation de Helmholtz dans un demi-plan. 85 3.1 INTRODUCTION . . . 853.2 Motivations . . . 87
3.2.1 Diffraction par une couche hétérogène . . . 87
3.2.2 Diffraction par une surface rugueuse . . . 88
3.3 Solution formelle . . . 89 3.4 𝐹 ∈ 𝐿2. Solution classique . . . 94 3.4.1 Existence . . . 94 3.4.2 Unicité . . . 97 3.5 𝐹 à support compact . . . 99 3.6 𝐹 périodique . . . 102 3.6.1 Unicité . . . 103
3.7 Cas général : 𝐹 non périodique . . . 104
3.7.1 Etude de la convergence. Existence de la solution . . . 105
3.7.2 Unicité . . . 106
3.8 Conclusion . . . 109
A Rappel sur les fonctions de Bessel 110 A.1 Définitions . . . 110
A.2 Relations de dérivation . . . 111
A.3 Comportement à l’origine . . . 111
A.4 Comportement à l’infini . . . 111
B Théorème de la phase stationnaire 112
Notations
ℝ : Corps des nombres réels. ℂ : Corps des nombres complexes.
𝐼𝑚(𝑧) : Partie imaginaire du nombre complexe 𝑧. 𝑅𝑒(𝑧) : Partie réelle du nombre complexe 𝑧. 𝒞 : Espace des fonctions continues.
𝒞𝑚 : Espace des fonctions 𝑚 fois continûment différentiables.
𝒞∞= ∩
𝑚∈ℕ𝒞𝑚.
𝒞0 : Espace des fonctions continues s’annulant à l’infini.
𝒞𝑐 : Espace des fonctions continues à support compact.
𝒞0, 𝛼 : Espace des fonctions Hölderiennes continues.
𝒞1, 𝛼 : Espace des fonctions dérivables de dérivée Hölderienne.
𝒞ℬ : Espace des fonctions continues et bornées. 𝒱ℬ : Espace des fonctions à variation bornée.
𝒟(ℝ) : Espace des fonctions 𝒞∞
sur ℝ et à support compact dans ℝ (dit aussi ; espace des fonctions test).
𝒟′
(ℝ) : Dual topologique de 𝒟(ℝ) ou espace des distributions. ℰ′
(ℝ) : Espace des distributions à support compact dans ℝ. 𝒮(ℝ) : Espace des fonctions à décroissance rapide dans ℝ. 𝒮′
(ℝ) : Dual topologique de 𝒮(ℝ) ou espace des distributions tempérées sur ℝ. Δ : Opérateur de Laplace.
Cette thèse est constituée de deux parties différentes. La première partie est consacrée aux inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques. La deuxième partie est une continuité d’un travail traité dans mon mémoire de magister qui concerne la diffraction des ondes acoustiques dans un demi-plan homogène.
L’étude des phénomènes dans la nature nous permet de calculer des paramètres phy-siques d’un modèle précis. On distingue alors deux types de problèmes : les problèmes directs et les problèmes inverses. Dans le problème direct, on calcule des données à partir d’un mo-dèle physique. Le problème inverse consiste à reconstruire le momo-dèle physique à partir d’un ensemble de mesures effectuées sur les données isssues du modèle en question.
En science, un problème inverse est une situation dans laquelle on tente de déterminer les causes d’un phénomène à partir des observations expérimentales de ses effets. Par exemple, en sismologie, la localisation de l’origine d’un tremblement de terre à partir de mesures faites par plusieures stations sismiques réparties sur la surface du globe terrestre est un problème inverse. La résolution du problème inverse passe en général par une étape initiale de modélisation du phénomène (problème direct) qui décrit comment les paramètres des modèles se traduisent en effets observables expérimentalement. Ensuite, à partir des mesures obtenues sur le phénomène réel, la démarche va consister à approximer au mieux les paramètres qui permettent de rendre compte de ces mesures. Cette résolution peut se faire par simulation numérique ou de façon analytique. La résolution mathématique est rendue difficile par le fait que les problèmes inverses sont en général des problèmes mal posés. C’est-à-dire que les seules observations expérimentales ne suffisent pas à déterminer parfaitement tous les paramètres du modèle. Il est donc nécessaire d’ajouter des contraintes ou des a priori qui permettent de réduire l’espace des modèles possibles de façon à aboutir à une solution unique.
La mesure de certaine grandeurs physiques des modèles n’est pas toujours possible. Alors, afin de calculer les paramètres, on utilise des données expérimentales qui vont jouer le rôle de mesures intermédiaires observables et qui sont liées à ses grandeurs.
On retrouve des problèmes inverses dans de nombreux domaines scientifiques, en parti-culier dans l’étude de systèmes complexes pour lesquels on n’a accès qu’à un petit nombre de mesures, par exemple : océanographie, restauration des signaux et des images, exploration géophysique (détection de nappes pétrolières), météorologie, imagerie médicale (tomographie électrique), l’univers de la cosmologie, etc... .
L’identification des paramètres dans les problèmes inverses et la théorie du contôle a connu des avancées considérables. Les inégalités de Carleman représentent un outil puissant pour prouver des résultat de stabilité Hölder et Lipschitz dans l’identification des coefficients et des sources et pour démontrer les inégalités d’observabilité qui donnent des résultats de contrôlabilité.
La notion de diffraction d’ondes, signifie les perturbations subies par des ondes progres-sives (ondes planes) lorsqu’elle rencontre un obstacle. Ce type de phénomène est présent dans tous les domaines de la physique : acoustique, élasticité, hydrodynamique navale, électroma-gnétisme, physique des particules, optique, etc... Il s’agit par exemple de la diffraction d’une onde ultrasonore par un organe (échographie), d’une onde sonore par une nappe liquide sou-terraine (détection pétrolière), ou d’un rayon lumineux par un écran. On peut penser encore
à la diffraction d’une onde sismique sur une construction (couplage sol-structure), d’une onde radar sur un objet métallique (furtivité radar), ou de la houle sur un objet flottant (couplage fluide-structure). Le terme de diffraction recouvrira aussi une notion légèrement différente de cette idée de perturbation. C’est la notion de rayonnement, autrement dit, le cas où les ondes qui nous intéressent sont émises par l’obstacle lui-même : un haut parleur en acoustique, une antenne emettrice en électromagnétisme.
La résolution mathématique d’un problème de diffraction d’ondes acoustiques en mode stationnaire est régie par l’équation de Helmholtz. Si on se place dans un domaine non borné, on est obligé de rajouter des conditions de radiation (Sommerfeld, décroissance,...). La résolution peut se faire par simulation numérique (éléments finis frontières) ou de façon analytique (théorie du potentiel et équations intégrales).
La thèse est organisée comme suit :
Dans la première partie de cette thèse, on démontre des inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques. Ces inégalités seront ensuite utilisées pour démontrer des inégalités de stabilité dans des problèmes inverses ou pour retrouver des inégalités d’observabilité et avoir des résultats de contrôlabilité à zéro.
La seconde partie est consacrée à l’étude d’un problème de diffraction d’ondes acoustiques dans un demi-plan homogène. Le problème qu’on étudie est régi par l’équation de Helmholtz dans le demi-plan supérieur avec une donnée de Neumann non homogène. On apporte des éléments de réponse sur la question d’unicité et d’existence pour certaines classes de la donnée au bord. A la fin de cette partie, on donne une conclusion sur les résultats obtenus ainsi que quelques perspectives à envisager.
La seconde partie s’achève par deux annexes. Dans l’annexe A, on donne un bref aperçu sur les fonctions de Bessel et de Hankel. L’annexe B est consacré exclusivement au théorème de la phase stationnaire.
0.1
Espaces fonctionnels
Définition 0.1.1 ([Ad :75]) Soit Ω un ouvert borné de ℝ𝑛. On définit l’espace des fonctions
Hölderienne continues et l’espace des fonctions dérivables de dérivée Hölderienne, notés
res-pectivement, 𝒞0, 𝛼 et 𝒞1, 𝛼 par 𝒞0, 𝛼(Ω) = {Φ ∈ 𝒞(Ω); sup 𝑥, 𝑦 ∈ Ω 𝑥 ∕= 𝑦 ∣Φ(𝑥) − Φ(𝑦)∣ ∣𝑥 − 𝑦∣𝛼 < ∞, 0 < 𝛼 ≤ 1}, 𝒞1, 𝛼(Ω) = {Φ ∈ 𝒞1(Ω); sup 𝑥, 𝑦 ∈ Ω 𝑥 ∕= 𝑦 ∣∇Φ(𝑥) − ∇Φ(𝑦)∣ ∣𝑥 − 𝑦∣𝛼 < ∞, 0 < 𝛼 ≤ 1},
avec leurs normes respectives
∥Φ∥0, 𝛼, Ω= sup 𝑥∈Ω ∣Φ(𝑥)∣ + sup 𝑥, 𝑦 ∈ Ω 𝑥 ∕= 𝑦 ∣Φ(𝑥) − Φ(𝑦)∣ ∣𝑥 − 𝑦∣𝛼 , ∥Φ∥1, 𝛼, Ω= sup 𝑥∈Ω ∣Φ(𝑥)∣ + sup 𝑥∈Ω ∣∇Φ(𝑥)∣ + sup 𝑥, 𝑦 ∈ Ω 𝑥 ∕= 𝑦 ∣∇Φ(𝑥) − ∇Φ(𝑦)∣ ∣𝑥 − 𝑦∣𝛼 .
Théorème 0.1.1 (𝒞0, 𝛼(Ω), ∥Φ∥0, 𝛼, Ω) et (𝒞0, 𝛼(Ω), ∥Φ∥0, 𝛼, Ω) sont des espaces de Banach
pour 0 < 𝛼 ≤ 1.
Théorème 0.1.2 Soit 0 < 𝛼 ≤ 1 et Ω compact. Alors les injections :
𝒞𝑗, 𝛼(Ω) ,→ 𝒞(Ω), 𝑗 = 0, 1,
sont compactes.
Définition 0.1.2 ([B :83]) Soit 𝑝 ∈ ℝ avec 1 ≤ 𝑝 < ∞, on pose
𝐿𝑝(Ω) =
⎧ ⎨ ⎩
Classe des fonctions mesurables 𝑓 : Ω → ℝ;
telle que ∫ Ω ∣𝑓 (𝑥)∣𝑝𝑑 𝑥 < ∞ ⎫ ⎬ ⎭ et on note ∥𝑓 ∥𝐿𝑝(Ω) = ( ∫ Ω ∣𝑓 (𝑥)∣𝑝𝑑 𝑥)1𝑝. Si 𝑝 = ∞
𝐿∞(Ω) ={ Classe des fonctions mesurables 𝑓 : Ω → ℝ;
telle qu’il existe 𝐶; ∣𝑓 (𝑥)∣ ≤ 𝐶 𝑝.𝑝. sur Ω
}
et on note
Soit 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞. On désigne par 𝑞 l’exposant conjugé de 𝑝 (i.e., 1
𝑝 +
1
𝑞 = 1).
Théorème 0.1.3 (Inégalité de Hölder). Soit 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(Ω) et 𝑔 ∈ 𝐿𝑞(Ω), alors 𝑓 𝑔 ∈ 𝐿1(Ω) et
on a
∥𝑓 𝑔∥𝐿1(Ω)≤ ∥𝑓 ∥𝐿𝑝(Ω)∥𝑔∥𝐿𝑞(Ω).
Remarque 0.1.1 Si 𝑝 = 𝑞 = 2, l’inégalité de Hölder s’appelle inégalité de Cauchy-Schwarz.
Théorème 0.1.4 (Théorème de convergence monotone de Beppo Levi). Soit 1 ≤ 𝑝 < ∞ et
(𝑓𝑛) une suite croissante de fonctions de 𝐿𝑝(Ω) telle que sup𝑛∥𝑓 ∥𝐿𝑝 < ∞.
Alors 𝑓𝑛(𝑥) converge 𝑝.𝑝. sur Ω vers une limite finie notée 𝑓 (𝑥) ; de plus 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(Ω) et
∥𝑓𝑛− 𝑓 ∥𝐿𝑝(Ω) → 0.
Théorème 0.1.5 (Théorème de convergence dominée de Lebesgue). Soit 1 ≤ 𝑝 < ∞ et (𝑓𝑛)
une suite de fonctions de 𝐿𝑝(Ω). On suppose que
(a) 𝑓𝑛(𝑥) → 𝑓 (𝑥) 𝑝.𝑝. sur Ω,
(b) Il existe une fonction 𝑔 ∈ 𝐿𝑝(Ω) telle que pour chaque 𝑛,
∣𝑓𝑛(𝑥)∣ ≤ ∣𝑔(𝑥)∣ 𝑝.𝑝. 𝑠𝑢𝑟 Ω.
Alors 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(Ω) et ∥𝑓𝑛− 𝑓 ∥𝐿𝑝(Ω) → 0.
On rappelle maintenant le produit de convolution (cf. [B :83]).
Théorème 0.1.6 Soit 𝜓 ∈ 𝐿1(ℝ) et 𝜙 ∈ 𝐿𝑝(ℝ) avec 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞. Alors, pour presque tout
𝑠 ∈ ℝ, la fonction 𝑡 7→ 𝜓(𝑠 − 𝑡)𝜙(𝑡) est intégrable sur ℝ et le produit de convolution 𝜓 ∗ 𝜙 est donné par (𝜓 ∗ 𝜙)(𝑠) = ∫ ℝ 𝜓(𝑠 − 𝑡)𝜙(𝑡) 𝑑 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ. De plus, on a 𝜓 ∗ 𝜙 ∈ 𝐿𝑝(ℝ) et ∥𝜓 ∗ 𝜙∥𝐿𝑝(ℝ)≤ ∥𝜓∥𝐿1(ℝ)∥𝜙∥𝐿𝑝(ℝ).
On aura besoin aussi des théorèmes suivants sur la continuité et la dérivation d’une fonction définie par une intégrale (cf. [Vo :72]).
Soit (𝐸, Λ, 𝜇) un espace mesuré et 𝑓 : 𝐸 × 𝐼 → ℝ, une fonction donnée, où 𝐼 est un intervalle de ℝ. On suppose que pour tout 𝑡 ∈ 𝐼, l’application 𝑥 7→ 𝑓 (𝑥, 𝑡) est (Λ, ℬ(ℝ)) mesurable, avec ℬ(ℝ) est la tribu borélienne.
Théorème 0.1.7 (Continuité d’une intégrale par rapport à un paramètre). Si 𝑓 vérifie les hypothèses suivantes :
(ii) Pour tout 𝑡 ∈ 𝐼, 𝑓 (., 𝑡) ∈ 𝐿1(𝐸, Λ, 𝜇),
(iii) Il existe une fonction 𝑔 ∈ 𝐿1(𝐸, Λ, 𝜇), telle que, pour tout 𝑡 ∈ 𝐼,
∣𝑓 (., 𝑡)∣ ≤ ∣𝑔(𝑥)∣. Alors, la fonction 𝑡 7→ 𝐹 (𝑡) = ∫ 𝐸 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑑 𝜇(𝑥) est continue sur 𝐼.
Théorème 0.1.8 (Dérivabilité d’une intégrale par rapport à un paramètre). Si 𝑓 vérifie les hypothèses suivantes :
(i) Pour tout 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑓 (𝑥, .) est dérivable sur 𝐼,
(ii) Pour tout 𝑡 ∈ 𝐼, 𝑓 (., 𝑡) ∈ 𝐿1(𝐸, Λ, 𝜇),
(iii) Il existe une fonction 𝑔 ∈ 𝐿1(𝐸, Λ, 𝜇), telle que, pour tout 𝑡 ∈ 𝐼,
∣∂𝑓 ∂𝑡(., 𝑡)∣ ≤ ∣𝑔(𝑥)∣. Alors, 1. La fonction 𝑡 7→ 𝐹 (𝑡) = ∫ 𝐸 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑑 𝜇(𝑥) est dérivable sur 𝐼.
2. Pour tout 𝑡 ∈ 𝐼, ∂𝑓 ∂𝑡(., 𝑡) ∈ 𝐿 1(𝐸, Λ, 𝜇) et 𝑑𝐹 𝑑𝑡 (𝑡) = ∫ 𝐸 ∂𝑓 ∂𝑡(𝑥, 𝑡) 𝑑 𝜇(𝑥).
Lemme 0.1.1 (Lemme de Gronwall). Soit 𝑇 un réel positif, 𝐶 une constante positive, 𝑓 et 𝑔 deux fonctions vérifiant :
{ 𝑓 ∈ 𝐿∞(0, 𝑇 ), 𝑓 (𝑡) ≥ 0 𝑝.𝑝. 𝑡, 𝑔 ∈ 𝐿1(0, 𝑇 ), 𝑔(𝑡) ≥ 0 𝑝.𝑝. 𝑡, et 𝑓 (𝑡) ≤ ∫ 𝑡 0 𝑔(𝑠)𝑓 (𝑠) 𝑑 𝑠 + 𝐶 𝑝.𝑝. 𝑡. Alors, 𝑓 vérifie : 𝑓 (𝑡) ≤ 𝐶𝑒𝑥𝑝( ∫ 𝑡 0 𝑔(𝑠) 𝑑 𝑠).
De façon générale, on définit les espaces suivants
Définition 0.1.3 ([E :97]) Soit 𝑋 un espace de Banach. On désigne par 𝒞([0, 𝑇 ]; 𝑋) l’es-pace des fonctions continues 𝑢 : [0, 𝑇 ] → 𝑋 que l’on munit de la norme :
∥𝑢∥𝒞([0, 𝑇 ]; 𝑋) = max
Définition 0.1.4 ([E :97]) Soit 𝑋 un espace de Banach. On désigne par 𝐿𝑝(0, 𝑇 ; 𝑋) l’espace
des fonctions mesurables 𝑢 : ]0, 𝑇 [→ 𝑋 telles que :
∥𝑢∥𝐿𝑝(0, 𝑇 ; 𝑋) = ( ∫ 𝑇 0 ∥𝑢(𝑡)∥𝑝𝑋𝑑 𝑡)𝑝1 < ∞, pour 1 ≤ 𝑝 < ∞. Si 𝑝 = ∞ ∥𝑢∥𝐿∞(0, 𝑇 ; 𝑋)= 𝑒𝑠𝑠 sup 0<𝑡<𝑇 ∥𝑢(𝑡)∥𝑋 < ∞,
Proposition 0.1.1 ([DL :88]) Soit (𝑋, 𝑌 ) un couple d’espaces de Banach avec 𝑋 ,→ 𝑌 (injection continue). Alors, on a
𝐿𝑝(0, 𝑇 ; 𝑋) ,→ 𝐿𝑝(0, 𝑇 ; 𝑌 ), 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞,
et
𝒟′(0, 𝑇 ; 𝑋) ,→ 𝒟′(0, 𝑇 ; 𝑌 ),
où 𝒟′(0, 𝑇 ; 𝑋) est l’espace des distributions sur ]0, 𝑇 [ à valeurs dans 𝑋.
Proposition 0.1.2 ([L :69]) Si 𝑢 ∈ 𝐿𝑝(0, 𝑇 ; 𝑋) et ∂𝑢
∂𝑡 ∈ 𝐿
𝑝
(0, 𝑇 ; 𝑋), (1 ≤ 𝑝 ≤ ∞) (au sens des distributions), alors 𝑢 ∈ 𝒞([0, 𝑇 ]; 𝑋).
0.1.1
Espaces de Sobolev
Définition 0.1.5 Pour 𝑚 ∈ ℕ, on note
𝐻𝑚(Ω) = {𝑢 ∈ 𝒟′(Ω); 𝐷𝛼𝑢 ∈ 𝐿2(Ω), ∣𝛼∣ ≤ 𝑚}, où 𝛼 = (𝛼1, ..., 𝛼𝑛), 𝛼𝑗 ∈ ℕ, ∣𝛼∣ = 𝛼1+ ... + 𝛼𝑛, et 𝐷𝛼 = ∂∣𝛼∣ ∂𝑥𝛼1 1 ...∂𝑥𝛼𝑛𝑛 . L’espace est muni de la norme suivante :
∥𝑢∥𝐻𝑚(Ω) = ( ∑ ∣𝛼∣≤𝑚 ∥𝐷𝛼𝑢∥2 𝐿2(Ω)) 1 2.
On note 𝐻0𝑚(Ω), l’adhérence de 𝒟(Ω) dans 𝐻𝑚(Ω).
De façon générale, si 𝑋 est un espace de Banach, on définit l’espace de Sobolev suivant
𝐻𝑚(0, 𝑇 ; 𝑋) = {𝑢; 𝑑
𝑗𝑢
𝑑𝑡𝑗 ∈ 𝐿
2(0, 𝑇 ; 𝑋) au sens des distributions, 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}.
L’espace est muni de la norme suivante :
∥𝑢∥𝐻𝑚(0, 𝑇 ; 𝑋) = ( 𝑚 ∑ 𝑗=0 ∥𝑑 𝑗𝑢 𝑑𝑡𝑗∥ 2 𝐿2(0, 𝑇 ; 𝑋)) 1 2.
Proposition 0.1.3 (Inégalité de Poincaré). On suppose que Ω est un ouvert borné. Alors il existe une constante 𝐶 qui dépend de Ω telle que
0.1.2
Transformée de Fourier
On rappelle dans cette section, la transformée de Fourier sur ℝ et ses propriétés (cf. [Sc :66] et [Vo :72]).
Définition 0.1.6 ([Vo :72]) Si 𝜓 ∈ 𝐿1(ℝ), on définit la transformée de Fourier, notée ˆ𝜓,
par ˆ 𝜓(𝜉) = ∫ +∞ −∞ 𝜓(𝑠)𝑒𝑖𝑠𝜉𝑑 𝑠, 𝜉 ∈ ℝ,
et on a les propriétés suivantes
♣ ˆ𝜓 ∈ 𝒞ℬ(ℝ) et ∥ ˆ𝜓∥𝐿∞(ℝ)≤ ∥𝜓∥𝐿1(ℝ),
♣ ˆ𝜓 ∈ 𝒞0(ℝ) (théorème de Riemann-Lebesgue).
La transformée de Fourier inverse sur ℝ est donnée par
𝜓(𝑠) = 1 2𝜋 ∫ +∞ −∞ ˆ 𝜓(𝜉)𝑒−𝑖𝑠𝜉𝑑 𝜉, 𝑠 ∈ ℝ.
Si on note maintenant ˆ𝜓 par ℱ 𝜓, alors on a les théorèmes suivants :
Théorème 0.1.9 ([Vo :72]) ℱ est un isomorphisme (topologique) de 𝒮(ℝ) sur lui-même
pour les structures d’espaces vectoriels topologiques. L’isomorphisme réciproque est noté ℱ−1;
autrement dit, pour tout 𝜓 ∈ 𝒮(ℝ), on a ℱℱ−1𝜓 = ℱ−1ℱ 𝜓 = 𝜓.
Théorème 0.1.10 ([Vo :72]) ℱ est prolongeable en un opérateur de 𝐿2(ℝ) sur 𝐿2(ℝ), c’est
la transformée de Fourier-Plancherel. Celle-ci et son inverse, notées encore ℱ et ℱ−1, sont
données respectivement, ∀ 𝜓, 𝜙 ∈ 𝐿2(ℝ), par
ℱ 𝜓(𝜉) = 𝐿2(ℝ) − lim 𝜆→∞ ∫ +𝜆 −𝜆 𝜓(𝑠)𝑒𝑖𝑠𝜉𝑑 𝑠, 𝜉 ∈ ℝ, ℱ−1𝜙(𝑠) = 𝐿2(ℝ) − lim 𝜆→∞ 1 2𝜋 ∫ +𝜆 −𝜆 𝜙(𝜉)𝑒−𝑖𝑠𝜉𝑑 𝜉, 𝑠 ∈ ℝ.
𝐿2(ℝ)− signifie la convergence dans 𝐿2(ℝ). De plus ℱℱ−1𝜓 = ℱ−1ℱ 𝜓 = 𝜓 pour tout 𝜓 ∈
𝐿2(ℝ)
De façon analogue, on définit la transformée partielle de Fourier et son inverse par rapport à
la variable 𝑥1, notées respectivement ℱ𝑥1→𝜉 et ℱ
−1 𝜉→𝑥1, comme suit ℱ𝑥1→𝜉[𝜓(𝑥1, 𝑥2)] = 𝐿 2 (ℝ) − lim 𝜆→∞ ∫ +𝜆 −𝜆 𝜓(𝑥1, 𝑥2)𝑒𝑖𝑥1𝜉𝑑 𝑥1, 𝜉 ∈ ℝ, ℱ𝜉→𝑥−1 1[𝜙(𝜉, 𝑥2)] = 𝐿2(ℝ) − lim 𝜆→∞ 1 2𝜋 ∫ +𝜆 −𝜆 𝜙(𝜉, 𝑥2)𝑒−𝑖𝑥1𝜉𝑑 𝜉, 𝑥1 ∈ ℝ.
Théorème 0.1.11 (Théorème de Plancherel- Parseval). Si 𝜓 ∈ 𝐿2(ℝ), alors ℱ𝜓 ∈ 𝐿2(ℝ), et on a ∥𝜓∥𝐿2(ℝ) = 1 √ 2𝜋∥ℱ 𝜓∥𝐿2(ℝ).
Définition 0.1.7 ([Vo :72]) Nous définissons la transformée de Fourier d’une distribution
tempérée 𝐿 sur ℝ, notée ˆ𝐿, par
⟨ˆ𝐿, 𝜙 ⟩ = ⟨𝐿, ˆ𝜙 ⟩, ∀ 𝜙 ∈ 𝒮(ℝ),
et on a les propriétés suivantes :
ˆ (𝑑 𝛼𝐿 𝑑𝑠𝛼) = (−𝑖𝜉) 𝛼 ˆ 𝐿, 𝛼 ∈ ℕ, 𝑑𝛼𝐿ˆ 𝑑𝜉𝛼 = (𝑖) 𝛼 ˆ 𝑠𝛼𝐿, 𝛼 ∈ ℕ.
Si on note ˆ𝐿 par ℱ (𝐿), alors on a
Théorème 0.1.12 ℱ est un isormophisme (topologique) de 𝒮′(ℝ) sur lui même.
Proposition 0.1.4 Si 𝜙 ∈ ℰ′(ℝ) et 𝐿 ∈ 𝒮′(ℝ), alors 𝜙 ∗ 𝐿 est dans 𝒮′(ℝ) et
ˆ
𝜙 ∗ 𝐿 = ˆ𝜙.ˆ𝐿.
On peut enfin définir, pour 𝑠 ∈ ℝ, l’espace de Sobolev sur ℝ, à l’aide de la transformée de Fourier :
𝐻𝑠(ℝ) = {𝑢 ∈ 𝒮′(ℝ), (1 + 𝜉2)2𝑠
ˆ
𝑢 ∈ 𝐿2(ℝ)}.
La norme qui lui est associée est donnée par
∥𝑢∥𝑠= (
∫
ℝ
(1 + 𝜉2)𝑠∣𝑢(𝜉)∣ˆ 2𝑑 𝜉)12.
0.1.3
Fonctions à variation bornée
On s’intéresse dans cette sous-section aux fonctions à variation bornèe et à quelques unes de leurs propriétés fondamentales (cf. [BR :00], [C :80], [HS :65] et [KF :70]).
Définition 0.1.8 On dit qu’une fonction 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → ℝ est à variation bornée, notée 𝒱ℬ([𝑎, 𝑏]), s’il existe une constante 𝐶 > 0 telle que pour toute partition
△ = (𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 <, ..., < 𝑥𝑛= 𝑏) de [𝑎, 𝑏], 𝑛 ∈ ℕ, on a
𝑛
∑
𝑖=1
Définition 0.1.9 Soit 𝑓 ∈ 𝒱ℬ([𝑎, 𝑏]). On définit la variation totale de 𝑓 sur [𝑎, 𝑏], notée 𝑉𝑎𝑏(𝑓 ), par 𝑉𝑎𝑏(𝑓 ) = sup △ 𝑛 ∑ 𝑖=1 ∣𝑓 (𝑥𝑖) − 𝑓 (𝑥𝑖−1)∣.
Théorème 0.1.13 (Théorème de Helly). Soit une suite de fonction 𝑓𝜇 : [𝑎, 𝑏] → ℝ, 𝜇 ∈ ℕ∗
telle qu’il existe des constantes 𝐶 et 𝑀 vérifiant
𝑉𝑎𝑏(𝑓𝜇) ≤ 𝐶 et ∣𝑓𝜇(𝑥)∣ ≤ 𝑀, pour tout 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] et 𝜇 ∈ ℕ∗.
Alors, il existe une fonction 𝑓 et une sous-suite (𝑓𝜈) telles que
lim
𝜈→+∞𝑓𝜈(𝑥) = 𝑓 (𝑥), pour tout 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏],
𝑉𝑎𝑏(𝑓 ) ≤ 𝐶 et ∣𝑓 (𝑥)∣ ≤ 𝑀, pour tout 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
Lemme 0.1.2 ([BR :00]) Soit 𝑓 ∈ 𝒱ℬ([𝑎, 𝑏]). Alors, pour chaque 𝜀 > 0, il existe une fonc-tion 𝑔 constante par morceaux telle que
𝑉𝑎𝑏(𝑔) ≤ 𝑉𝑎𝑏(𝑓 ) et ∥𝑔 − 𝑓 ∥𝐿∞([𝑎, 𝑏]) ≤ 𝜀.
0.2
Théorie de Fredholm
Dans cette section, on énonce l’alternative de Fredholm qui représente un résultat fon-damental dans la théorie de Fredholm. L’alternative de Fredholm est souvent utilisée pour démontrer l’existence des solutions pour les équations intégrales de seconde espèce.
Soit 𝑋 et 𝑌 deux espaces normés.
Définition 0.2.1 ([CK :83]) Une forme bilinéaire ⟨., .⟩ : 𝑋 ×𝑌 → ℝ est dite non dégénérée, si
∀ Φ ∈ 𝑋, Φ ∕= 0, ∃ Ψ ∈ 𝑌, telle que ⟨Φ, Ψ⟩ ∕= 0, ∀ Ψ ∈ 𝑌, Ψ ∕= 0, ∃ Φ ∈ 𝑋, telle que ⟨Φ, Ψ⟩ ∕= 0.
On appelle système dual, deux espaces normés équipés de la forme bilinéaire non dégénérée ⟨., .⟩ et on le note ⟨𝑋, 𝑌 ⟩.
Définition 0.2.2 ([CK :83]) Soit ⟨𝑋, 𝑌 ⟩ un système dual et 𝐴 : 𝑋 → 𝑋 un opérateur linéaire.
L’opérateur 𝐵 : 𝑌 → 𝑌 est appelé opérateur adjoint de l’opérateur 𝐴 si ∀ Φ ∈ 𝑋, ∀ Ψ ∈ 𝑌, ⟨𝐴Φ, Ψ⟩ = ⟨Φ, 𝐵Ψ⟩.
Pour un opérateur linéaire 𝐿 : 𝑋 → 𝑋, on note 𝑁 (𝐿) = {𝑥 ∈ 𝑋; 𝐿𝑥 = 0}.
Théorème 0.2.1 (Alternative de Fredholm). Soit ⟨𝑋, 𝑌 ⟩ un système dual, 𝐴 : 𝑋 → 𝑋 un
opérateur linéaire compact et 𝐴∗ : 𝑌 → 𝑌 son adjoint compact. Alors on a
ou bien, 𝑁 (𝐼 − 𝐴) = {0} et 𝑁 (𝐼 − 𝐴∗) = {0}, (𝐼 − 𝐴)(𝑋) = 𝑋 et (𝐼 − 𝐴∗)(𝑌 ) = 𝑌, ou bien dim 𝑁 (𝐼 − 𝐴) = dim 𝑁 (𝐼 − 𝐴∗) ∈ ℕ∗, (𝐼 − 𝐴)(𝑋) = {𝑓 ∈ 𝑋, ⟨𝑓, Ψ⟩ = 0, ∀ Ψ ∈ 𝑁 (𝐼 − 𝐴∗)}, (𝐼 − 𝐴∗)(𝑌 ) = {𝑔 ∈ 𝑌, ⟨Φ, 𝑔⟩ = 0, ∀ Φ ∈ 𝑁 (𝐼 − 𝐴)},
où 𝐼 est l’opérateur identité.
0.3
Convexité logarithmique
Dans cette section, on cite un résultat démontré dans le livre ([I :98]) qui concerne une généralisation de l’inégalité de convexité logarithmique.
Soit 𝐴 = 𝐴(𝑡) un opérateur linéaire non borné de domaine 𝐷(𝐴) dans l’espace de Hilbert (complexe) 𝐻. On note ici ∥.∥ (respectivement, (., .)) la norme (respectivement, le produit scalaire) dans 𝐻.
Soit 𝛼 une constante positive. On considère l’inégalité différentielle suivante
∥∂𝑡𝑢 + 𝐴𝑢∥ ≤ 𝛼∥𝑢∥, sur (0, 𝑇 ), (1)
On suppose que
𝐴 = 𝐴++ 𝐴−, (2)
avec 𝐴+ est un opérateur linéaire symétrique dans 𝐻 et 𝐴− un opérateur antisymétrique. De
plus, on suppose que les opérateurs 𝐴+ et 𝐴− satisfont la condition suivante :
∥𝐴−𝑢∥2 ≤ 𝛼(∥𝐴+𝑢∥∥𝑢∥ + ∥𝑢∥2) (3)
et
∂𝑡(𝐴+𝑢, 𝑢) ≤ 2𝑅𝑒(𝐴+𝑢, ∂𝑡𝑢) + 𝛼(∥𝐴+𝑢∥∥𝑢∥ + ∥𝑢∥2). (4)
Théorème 0.3.1 Soit 𝑢(𝑡) ∈ 𝐷(𝐴), 𝑢 ∈ 𝒞1([0, 𝑇 ]; 𝐻) une solution de l’inégalité
différen-tielle (1), avec l’opérateur 𝐴 qui satisfait les conditions (2), (3) et (4). Alors
où 𝐶1 ≤ exp((2𝛼 + 2)𝑇 + 2𝑒𝐶𝑇/𝐶) et 𝜆(𝑡) = 1 − 𝑒 −𝐶𝑡 1 − 𝑒−𝐶𝑇
avec 𝐶 qui dépend de 𝛼.
0.4
Régions invariantes
La méthode des régions invariantes est un outil puissant pour démontrer l’existence globale des solutions dans quelques systèmes de réaction-diffusion (cf. [S :83]). Le principe de cette méthode se résume comme suit : si la donnée au bord ainsi que la donnée initiale, d’un système d’EDPs, sont dans une région fermée, alors la solution du système reste elle aussi dans cette région.
Soit Ω un ouvert de ℝ𝑛. 𝐷 = 𝐷(𝑣, 𝑥) et 𝑀 = 𝑀 (𝑣, 𝑥) des matrices de fonctions définies
sur un ouvert 𝑈 × 𝑈 ⊂ ℝ𝑛× Ω avec 𝑣 = (𝑣
1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛) et 𝑣0 = (𝑣10, 𝑣02, ..., 𝑣𝑛0). 𝑓 est une
fonction vectorielle de 𝑈 × ℝ+ dans ℝ𝑛. On considère alors le système suivant
⎧ ⎨ ⎩ ∂𝑣 ∂𝑡 = 𝐷Δ𝑣 + 𝑀 ∇𝑣 + 𝑓 (𝑣, 𝑡), dans Ω × ℝ+, 𝐵𝑣 = 𝑔 sur ∂Ω, 𝑣(𝑥, 0) = 𝑣0(𝑥), dans Ω. (5)
L’opérateur 𝐵 représente ici un opérateur de bord (Dirichlet, Neumann,...) avec 𝑔 = (𝑔1, 𝑔2, ..., 𝑔𝑛).
Définition 0.4.1 On dit qu’un ensemble fermé Σ ⊂ ℝ𝑛 est une région invariante pour toute
solution v(x, t) du système (5), si pour tout 𝑔 et 𝑣0 dans Σ, 𝑣(𝑥, 𝑡) ∈ Σ pour tout 𝑥 ∈ Ω et
pour tout 𝑡 ∈ [0, 𝛿[, 𝛿 > 0.
La région invariante Σ est souvent caractérisée sous la forme d’une intersection finie de demi-espaces, i.e.,
Σ = ∩𝑚𝑖=1{𝑣 ∈ 𝑈 : 𝐺𝑖(𝑣) ≤ 0}, (6)
avec 𝐺𝑖 des fonctions régulières sur l’ouvert 𝑈 telles que pour chaque 𝑖, le gradient de 𝐺𝑖,
noté, ∇𝐺𝑖, ne s’annule jamais sur 𝑈 .
Pour des raisons de simplicité, on énonce seulement les résultats dans le cas où les matrices 𝐷 et 𝑀 sont diagonales.
Théorème 0.4.1 On suppose que les matrices 𝐷 et 𝑀 sont diagonales. Alors, pour certaines
constantes 𝑐𝑖, le demi-espace
est une région invariante pour le système (5) si
𝑓𝑖(𝑣1, 𝑣2..., 𝑣𝑖−1, 𝑐𝑖, 𝑣𝑖+1..., 𝑣𝑛) < 0 (respectivement 𝑓𝑖(𝑣1, 𝑣2..., 𝑣𝑖−1, 𝑐𝑖, 𝑣𝑖+1..., 𝑣𝑛) > 0),
(7)
où 𝑓𝑖 est la 𝑖ème composante de 𝑓 .
Le théorème ci-dessus entraîne le résultat suivant :
Corollaire 0.4.1 On suppose que les matrices 𝐷 et 𝑀 sont diagonales. Alors, toute région de la forme
Σ = ∩𝑚𝑖=1{𝑣 : 𝑎𝑖 ≤ 𝑣𝑖 ≤ 𝑏𝑖}
est une région invariante pour le système (5) si
∇𝐺𝑘
𝑖.𝑓 < 0 en 𝑣0, 𝑔 ∈ ∂Σ, 𝑘 = 1, 2
Bibliographie
[Ad :75] R. Adams, Sobolev spaces, Academic Press, 1975. [B :83] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson, Paris, 1983.
[BR :00] A. Bressan, Optimal hperbolic systems of conservation laws : The one dimensional Cauchy problem, Oxford Univ. Press 2000.
[C :80] S. B. Chae, Lebesgue integration, Dekker, 1980.
[CK :83] D. Colton and R. Kress, Integral equation methods in scattering theory, John Wiley, New York, 1983.
[DL :88] R. Dautray et J. L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques, Volume 2, 4 et 8 , Masson, 1988.
[E :97] L. C. Evans, Partial differential equations, American Mathematical Society, 1997. [HS :65] E. Hewitt and K. Stromberg, Real and abstract analysis, Springer, 1965.
[I :98] V. Isakov, Inverse problems for partial differential equations, Springer-Verlag, 1998. [KF :70] A. Kolmogorov and S. Fomin, Introductory real analysis, Prentice Hall, 1970. [L :69] J. L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires,
Dunod Gautier-Villars, Paris 1969.
[S :83] J. Smoller, Shock waves and reaction-diffusion equations, Springer-Verlag, 1983. [Sc :66] L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, Paris, 1966.
[Vo :72] K. Vo-Khac, Distribution, Analyse de Fourier, Opérateurs aux dérivées partielles, Tomes 1 et 2, Vuibert, Paris, 1972.
Partie I
Inégalités de Carleman pour des
systèmes paraboliques et applications
aux problèmes inverses et à la
contrôlabilité
INTRODUCTION
On considère l’opérateur différentiel linéaire 𝑃 (𝑥, 𝐷) sur ℝ𝑛 d’ordre 𝑚
𝑃 (𝑥, 𝐷) := ∑
∣𝛼∣≤𝑚
𝑎𝛼(𝑥)𝐷𝛼𝑥,
où 𝛼 = (𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛) est un multi-indice positif de longueur ∣𝛼∣ :=
∑𝑛 𝑖=1𝛼𝑖 et 𝐷𝑥 = −𝑖∂𝑥. On note 𝑃 (𝑥, 𝜉) := ∑ ∣𝛼∣≤𝑚 𝑎𝛼(𝑥)𝜉𝛼
le symbole de l’opérateur 𝑃 . On appelle 𝑥 la variable spaciale et 𝜉 la variable de Fourier.
Le symbole principal 𝑝𝑚 de l’opérateur 𝑃 est donné par
𝑝𝑚(𝑥, 𝜉) :=
∑
∣𝛼∣=𝑚
𝑎𝛼(𝑥)𝜉𝛼
Soit Ω ouvert régulier de ℝ𝑛. Soit 𝜑 ∈ 𝒞2(Ω) une fonction réelle, 𝑥
0 ∈ Ω et Σ est une
hypersurface orientée définie par
Σ = {𝑥 ∈ Ω, 𝜑(𝑥) = 𝜑(𝑥0)} avec ∇𝜑 ∕= 0 sur Σ.
On note le crochet de Poisson des fonctions 𝑓 et 𝑔 :
{𝑓, 𝑔} = 𝑛 ∑ 𝑗=1 (∂𝑓 ∂𝜉𝑗 ∂𝑔 ∂𝑥𝑗 − ∂𝑓 ∂𝑥𝑗 ∂𝑔 ∂𝜉𝑗 ).
On définit alors la notion de pseudo-convexité suivante :
Définition 1([H :63]) Soit 𝑃 (𝑥, 𝐷) un opérateur différentiel d’ordre 𝑚 de symbole principal
𝑝𝑚(𝑥, 𝜉) et soit 𝜑 ∈ 𝒞2(Ω; ℝ). On dit que la fonction 𝜑 est pseudo-convexe en 𝑥 ∈ Ω par
rapport à 𝑃 si
(1) 𝜑′(𝑥) ∕= 0,
(2) pour tout 𝜉 ∈ ℝ𝑛∖{0},
La fonction 𝜑 est dite pseudo-convexe en 𝑥 ∈ Ω par rapport à Ω et 𝑃 si (1) et (2) sont vérifiées pour tout 𝑥 ∈ Ω.
Définition 2([H :63])Soit 𝑃 (𝑥, 𝐷) un opérateur différentiel d’ordre 𝑚 de symbole principal
𝑝𝑚(𝑥, 𝜉) et soit 𝜑 ∈ 𝒞2(Ω; ℝ). On dit que la fonction 𝜑 est fortement pseudo-convexe en
𝑥 ∈ Ω par rapport à 𝑃 si
(1) 𝜑 est pseudo-convexe en 𝑥 ∈ Ω par rapport à 𝑃 ,
(2) pour tout 𝜁 = 𝜉 + 𝑖𝜏 𝜑′(𝑥), 𝜉 ∈ ℝ𝑛, 𝜏 ∕= 0,
𝑝𝑚(𝑥, 𝜁) = 0 et {𝑝𝑚, 𝜑}(𝑥, 𝜁) = 0 ⇒
1
2𝑖𝜏𝑅𝑒{𝑝𝑚(𝑥, 𝜁), 𝑝𝑚(𝑥, 𝜁)} > 0.
La fonction 𝜑 est dite fortement pseudo-convexe en 𝑥 ∈ Ω par rapport à Ω et 𝑃 si (1) et (2) sont vérifiées pour tout 𝑥 ∈ Ω.
Pour un opérateur différentiel 𝑃 (𝑥, 𝐷) d’ordre 𝑚, la forme générale d’une inégalité de Car-leman est donnée par (cf. [H :V4]) :
Théorème 1 (Inégalité de Carleman locale) Soit Ω un domaine borné dans ℝ𝑛et ∂Ω sa
fron-tière supposée assez régulière. On suppose que la fonction 𝜑 est fortement pseudo-convexe par
rapport à 𝑃 . Alors, il existe des constantes 𝐶 > 0, 𝜆0 > 0, telles que pour toutes fonctions
𝑢 ∈ 𝒞0∞(Ω) et tout 𝜆 > 𝜆0, l’inégalité suivante est satisfaite
∑
∣𝛼∣<𝑚
𝜆2(𝑚−∣𝛼∣)−1∥𝑒𝜆𝜑𝐷𝛼𝑢∥2
𝐿2(Ω) ≤ 𝐶∥𝑒𝜆𝜑𝑃 𝑢∥2𝐿2(Ω) (𝐼)
Remarque 1 Si on change dans le membre de droite de l’inégalité (𝐼), la norme sur Ω par une norme sur une partie de la frontière Γ ⊂ ∂Ω ou 𝜔 ⊂ Ω, l’inégalité (𝐼) est appelée inégalité de Carleman globale.
Pour la première fois, de telles inégalités ont été proposées par T. Carleman en 1939 (cf. [C :39]) pour démontrer des résultats d’unicité pour des problèmes de Cauchy. On peut citer [H :63] et [H :V4] pour les estimations de Carleman locales. Pour les inégalités de Carleman globales on peut se référer à [A :93], [FG :06] et [FI :96].
Depuis les années 80, les inégalités de Carleman ont été utilisées pour démontrer des résultats de stabilité et d’unicité pour des problèmes inverses. Cette méthode a été introduite pour la première fois dans le livre [BK :81]. Dans les travaux [K :84] et [K :92], on retrouve les inégalités de Carleman locales et leurs rôles dans les résultats d’unicité et les estimations de stabilité de type Hölder. Dans l’article [K :04], on trouve un résultat d’unicité pour un terme source non linéaire dans une équation parabolique qui sera redémontré via une inégalité de stabilité de type Hölder dans l’article [EEK :05]. En suivant la même démarche entreprise dans livre [BK :81] (ou [B :99]), les auteurs, dans l’article [PY :96], prouvent un résultat de stabilité de type Lipschitz pour l’équation des ondes avec une condition de Dirichlet. Pour la condition de Neumann, on peut se référer à [IY :01] et [IsY :00]. Pour l’opérateur de Schrödinger, on cite le travail [BP :02] où les auteurs prouvent un résultat de stabilité pour l’identification d’un potentiel. Dans l’article [CCG :07], on démontre un résultat de stabilité pour le coefficient de diffusion pour l’opérateur de Schrödinger dans une bande non bornée.
Concernant les problèmes paraboliques, les auteurs du livre [FI :96] on montré comment l’obtention des inégalités de Carleman globales pour des opérateurs paraboliques permettait
de prouver des inégalités d’observabilité de la forme : ∥𝑞∥2 𝐿2 ≤ 𝐶 ∫ ∫ (0, 𝑇 )×𝜔 ∣𝑞∣2𝑑𝑥 𝑑𝑡.
Ces mêmes inégalités de Carleman ont été utilisées par la suite pour l’identification des paramètres pour un problème parabolique. On peut citer le travail [IY :98] qui donne un résultat de stabilité pour un problème inverse de détermination d’une source.
Les systèmes paraboliques représentent une branche très importante dans le domaine des équations aux dérivées partielles car ils modèlisent plusieurs phénomènes en chimie et en biologie (cf. [CD :98], [CH :05], [M :89] et [T :52]). De nombreux auteurs se sont intéressés à l’identification de coefficients pour des systèmes paraboliques ; on cite par exemple [CGR :06] et [R :07] pour l’identification de coefficients et des conditions initiales pour des systèmes de réaction-diffusion faiblement couplées. Pour des résultats de contrôlabilité, on cite le travail [BN :02] dans le cadre de la thermoelasticité des plaques. Concernant les systèmes hyperbo-lique, on cite [IIY :03], où les auteurs démontrent un résultat de stabilité pour l’identification de coefficiens du système de Lamé. Il existe aussi des résultats ([A :01], [A :03]) qui donnent des résultats de contrôlabilité pour des systèmes hyperboliques sur une partie du bord pour un temps assez grand.
Pour la première fois, les inégalités de Carleman avec une seule observation (i.e., l’obser-vartion se fait par rapport à une seule variable du système) dans les systèmes paraboliques ont été introduites dans [ABD :06] et [ABDK :05]. Dans ces travaux, les auteurs démontrent des résultats de contrôlabilité. Dans la même direction, on peut citer aussi le travail [GP :05]. En-suite les auteurs dans l’article [CGR :06] ont amélioré ces inégalités de Carleman afin qu’elle puissent leur servir pour l’identification des coefficients et des conditions initiales dans un problème inverse pour un système parabolique 2 × 2 en utilisant une région d’observation intérieure. L’identification de coefficients dans des systèmes couplés, avec une observation frontière, reste une question ouverte.
Récemment, l’identification des coefficients de diffusion discontinus dans les problèmes paraboliques a fait l’objet de nombreux articles. L’inégalité de Carleman dans le cas où les
coefficients de diffusion sont 𝒞1 par morceaux a été établie par [DOP :02]. Dans ce travail,
les auteurs obtiennent des résultats de contrôlabilité à zéro. Dans la même direction, on peut citer le travail [BY :06] qui a utilisé l’inégalité de Carleman obtenue par [DOP :02] pour démontrer un résultat de détermination de source et l’article [BGL :07] qu’il a utilisé pour l’identification du coefficient de diffusion et de la conditon initiale. Ce dernier travail a été amélioré dans [P1 :08] et [P2 :08]. Depuis, une nouvelle inégalité de Carleman, en dimension un d’espace, a été démontrée dans l’article [BDL :07]. Cette inégalité a permis de relaxer les hypothèses, sur les coefficients de diffusion, du travail [DOP :02]. L’existence d’une telle inégalité dans le cas 𝑛 ≥ 2 est une question ouverte. Ensuite le travail [BDL :07] a été généralisé par [L :07] dans le cas où le coefficient de diffusion est à variation bornée (𝒱ℬ).
La partie I est organisée comme suit :
Dans le chapitre 1, on démontre des résultats de stabilité pour l’identification des
suivant : ⎧ ⎨ ⎩ ∂𝑡𝑢 = Δ𝑢 + 𝑎(𝑥)𝑢 + 𝑏(𝑥)𝑣 dans 𝑄0, ∂𝑡𝑣 = Δ𝑣 + 𝑐(𝑥)𝑢 + 𝑑(𝑥)𝑣 dans 𝑄0, 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥, 𝑡) sur Σ0, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0 et 𝑣(𝑥, 0) = 𝑣0 dans Ω, (𝑃1)
avec Ω ⊂ ℝ𝑛un domaine borné de ℝ𝑛 avec 𝑛 ≤ 3 et Γ = ∂Ω ∈ 𝒞1. Pour 𝑇 > 0 et 𝑡0 ∈ (0, 𝑇 ),
on note 𝑄0 = Ω × (0, 𝑇 ) et Σ0 = Γ × (0, 𝑇 )
En utilisant des inégalités de Carleman globales avec une seule observation(voir (1.8) et (1.18)), on obtient les inégalités de stabilité suivantes :
Si (𝑢, 𝑣) (resp. (𝑢,˜ ˜𝑣)) solution de (𝑃1) associée à (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑢0, 𝑣0) (resp. (𝑎, ˜𝑏, 𝑐, 𝑑,˜𝑢0,˜𝑣0)),
on a ∥𝑏 − ˜𝑏∥2𝐿2(Ω) ≤ 𝐶∥∂𝑡𝑣 − ∂𝑡˜𝑣∥ 2 𝐿2(𝜔×(𝑡 0, 𝑇 ))+ 𝐶∥Δ𝑢(⋅, 𝑇 ′ ) − Δ𝑢(⋅, 𝑇˜ ′)∥2𝐿2(Ω) +𝐶∥𝑢(⋅, 𝑇′) −𝑢(⋅, 𝑇˜ ′)∥2𝐿2(Ω)+ 𝐶∥𝑣(⋅, 𝑇′) − ˜ 𝑣(⋅, 𝑇′)∥2𝐿2(Ω).
Si (𝑢, 𝑣) (resp. (𝑢,˜ ˜𝑣)) solution de (𝑃1) associée à (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑢0, 𝑣0) (resp. (𝑎, ˜𝑏,˜𝑐, 𝑑, ˜𝑢0,˜𝑣0)),
on a ∥𝑏 − ˜𝑏∥2𝐿2(Ω)+ ∥𝑐 − ˜𝑐∥ 2 𝐿2(Ω) ≤ 𝐶∥∂𝑡𝑣 − ∂𝑡˜𝑣∥ 2 𝐿2(𝜔×(𝑡 0, 𝑇 ))+ 𝐶∥Δ𝑢(⋅, 𝑇 ′ ) − Δ𝑢(⋅, 𝑇˜ ′)∥2𝐿2(Ω) + 𝐶∥Δ𝑣(⋅, 𝑇′) − Δ˜𝑣(⋅, 𝑇′)∥𝐿22(Ω)+ 𝐶∥𝑢(⋅, 𝑇′) −˜𝑢(⋅, 𝑇′)∥2𝐿2(Ω)+ 𝐶∥𝑣(⋅, 𝑇′) −˜𝑣(⋅, 𝑇′)∥2𝐿2(Ω).
Pour les conditions initiales, on a ∥𝑢0−˜𝑢0∥ 2 𝐿2(Ω)+ ∥𝑣0−˜𝑣0∥ 2 𝐿2(Ω) ≤ 𝐶 ∣ ln 𝐸∣, pour 0 < 𝐸 < 1, avec 𝐸 = ∥∂𝑡𝑣 − ∂𝑡˜𝑣∥ 2 𝐿2(𝜔×(𝑡 0, 𝑇 ))+ ∥𝑢(⋅, 𝑇 ′ ) −˜𝑢(⋅, 𝑇′)∥2𝐻2(Ω)+ ∥𝑣(⋅, 𝑇′) − ˜ 𝑣(⋅, 𝑇′)∥2𝐻2(Ω). et 𝑇′ = 𝑡0+𝑇 2
Le chapitre 2 est consacré à la généralisation des travaux [BDL :07] et [L :07] pour un système composé de 𝑚 équations paraboliques couplées. Il s’agit ici de démontrer des inégalités de Carleman pour le système linéaire parabolique suivant :
⎧ ⎨ ⎩ ∂𝑡𝑦1 = ∂𝑥(𝑘1∂𝑥𝑦1) + 𝑎11𝑦1+ 𝑎12𝑦2+ ... + 𝑎1𝑚𝑦𝑚+ 𝑓1 dans 𝑄, ∂𝑡𝑦2 = ∂𝑥(𝑘2∂𝑥𝑦2) + 𝑎21𝑦1+ 𝑎22𝑦2+ ... + 𝑎2𝑚𝑦𝑚+ 𝑓2 dans 𝑄, ∂𝑡𝑦3 = ∂𝑥(𝑘3∂𝑥𝑦3) + 𝑎31𝑦1+ 𝑎32𝑦2+ ... + 𝑎3𝑚𝑦𝑚+ 𝑓3 dans 𝑄, . . . ∂𝑡𝑦𝑚 = ∂𝑥(𝑘𝑚∂𝑥𝑦𝑚) + 𝑎𝑚1𝑦1+ 𝑎𝑚2𝑦2+ ... + 𝑎𝑚𝑚𝑦𝑚+ 𝑓𝑚 dans 𝑄, 𝑦1 = 0, 𝑦2 = 0, ... et 𝑦𝑚= 0 sur Σ, 𝑦1(𝑥, 0) = 𝑦0, 1(𝑥), 𝑦2(𝑥, 0) = 𝑦0, 2(𝑥), ... et 𝑦𝑚(𝑥, 0) = 𝑦0,𝑚(𝑥) dans Ω,
avec Ω = (0, 1), 𝑄 = Ω × (0, 𝑇 ) et Σ = Γ × (0, 𝑇 ). Les coefficients de diffusions 𝑘𝑗, (𝑗 =
1, ..., 𝑚) sont supposés non réguliers (𝒞1 par morceaux, à variations bornées (𝒱ℬ)). 𝑎𝑗𝑘 =
𝑎𝑗𝑘(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐿∞(𝑄), (1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑚), 𝑦0, 𝑗 ∈ 𝐿2(Ω), (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚) et 𝑓𝑗 = 𝑓𝑗(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐿2(𝑄),
(1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚).
Ensuite, pour le cas d’un système 2 × 2 (i.e., 𝑚 = 2), on déduit des inégalités de Carleman
globales avec une seule observation dans les deux cas : 𝒞1 par morceaux et à variations bornées
(𝒱ℬ). On conclut ce chapitre par des applications à la contrôlabilité à zéro.
Ce chapitre s’achève par une conclusion sur les résultats obtenus ainsi que quelques perspectives à envisager.
Chapitre 1
Problèmes inverses pour un système de
réaction-diffusion
2 × 2 via une inégalité
de Carleman avec une seule observation
RésuméDans ce chapitre, nous présentons des résultats de stabilité pour l’identification de quelques coefficients et des conditions initiales dans un système de réaction-diffusion 2 × 2, et ce en utilisant le moins d’observations possibles. L’idée principale pour obtenir ces résultats est basée essentiellement sur une estimation de Carleman globale avec une seule observation. Ce chapitre est tiré des articles [CGR :06] et [R :07].
1.1
Introduction
Dans ce chapitre, on s’intéresse à des problèmes inverses pour un système de réaction-diffusion 2 × 2. Il s’agit ici de l’identification de quelques coefficients du système ainsi que les conditions initiales en utilisant le moins d’observations possibles.
Dans l’article [ABDK :05], les auteurs démontrent un résultat de contrôlabilité avec un seul contrôle en utilisant une inégalité de Carleman avec une seule observation. L’inégalité de Carleman qu’ils obtiennent ne peut être utilisée pour traiter le problème inverse de l’iden-tification de coefficients, car les fonctions poids dans le membre de droite et le membre de gauche de leur estimation sont différentes. Dans les travaux [CGR :06] et [R :07], nous avions obtenu des inégalités de Carleman avec une seule observation avec les mêmes poids à gauche et à droite. Dans ce chapitre, on utilise ces nouvelles estimations de Carleman pour démontrer à la fois un résultat de stabilité pour un coefficient, deux coefficients et pour les conditions initiales.
Soit Ω ⊂ ℝ𝑛 un domaine borné de ℝ𝑛 avec 𝑛 ≤ 3. On note 𝜈 la normale unitaire
extérieure à Ω sur Γ = ∂Ω ∈ 𝒞1. Soit 𝑇 > 0 et 𝑡
0 ∈ (0, 𝑇 ). Nous utilisons aussi les notations
suivantes : 𝑄0 = Ω × (0, 𝑇 ), 𝑄 = Ω × (𝑡0, 𝑇 ), Σ = Γ × (𝑡0, 𝑇 ) et Σ0 = Γ × (0, 𝑇 ). Considérons
le système de diffusion-réaction suivant ⎧ ⎨ ⎩ ∂𝑡𝑢 = Δ𝑢 + 𝑎(𝑥)𝑢 + 𝑏(𝑥)𝑣 dans 𝑄0, ∂𝑡𝑣 = Δ𝑣 + 𝑐(𝑥)𝑢 + 𝑑(𝑥)𝑣 dans 𝑄0, 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥, 𝑡) sur Σ0, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0 et 𝑣(𝑥, 0) = 𝑣0 dans Ω. (1.1)
Le probème inverse que nous traitons est le suivant :
Est-il possible de déterminer les coefficients 𝑏(𝑥), 𝑐(𝑥) et les conditions initiales 𝑢0(𝑥), 𝑣0(𝑥)
pour 𝑥 ∈ Ω à partir des mesures suivantes :
∂𝑡𝑣∣𝜔×(𝑡0,𝑇 ) et Δ𝑢(⋅, 𝑇
′), Δ𝑣(⋅, 𝑇′), 𝑢(⋅, 𝑇′), 𝑣(⋅, 𝑇′)
dans Ω pour 𝑇′ = 𝑡0+ 𝑇
2 ,
où 𝜔 est un sous domaine de Ω ?
On considère dorénavant que le système (1.1) est défini sur (𝑡0, 𝑇 ) au lieu de (0, 𝑇 ) afin
qu’on puisse avoir plus de régularité pour les solutions du système (1.1) et ainsi résoudre notre problème inverse.
Nous supposons que 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) ,𝑐(𝑥) et 𝑑(𝑥) ∈ Λ(𝑅) = {Φ ∈ 𝐿∞(Ω); ∥Φ∥𝐿∞(Ω)⩽ 𝑅} où
𝑅 est une constante positive donnée.
Si nous supposons, de plus, que les conditions initiales (𝑢0, 𝑣0) appartiennent à (𝐻2(Ω))2
et 𝑔, ℎ sont suffisamment régulières (e.g. ∃ 𝜀 > 0 tel que 𝑔, ℎ ∈ 𝐻1(𝑡0, 𝑇 ; 𝐻2+𝜀(Σ)) ∩
1.2
Identification du coefficient 𝑏(𝑥)
Dans cette section, il s’agit de démontrer une inégalité de stabilité de type Lipschitz pour le coefficient 𝑏.
Soit (𝑢, 𝑣) (resp. (𝑢,˜ ˜𝑣)) solution de (1.1) associée à (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑢0, 𝑣0) (resp. (𝑎, ˜𝑏, 𝑐, 𝑑,
˜
𝑢0, ˜𝑣0)).
Nous démontrons une inégalité de Carleman globale pour le système (1.1) avec une seule
observation, i.e., en mesurant ∂𝑡𝑣 sur 𝜔 × (𝑡0, 𝑇 ) avec 𝑡0 ∈ (0, 𝑇 ) et Δ𝑢, 𝑢 et 𝑣 dans Ω au
temps 𝑇′ ∈ (𝑡0, 𝑇 ). Nous considérons les solutions (𝑢, 𝑣) et (𝑢,˜ ˜𝑣) associées aux systèmes
suivants ⎧ ⎨ ⎩ ∂𝑡𝑢 = Δ𝑢 + 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 dans 𝑄, ∂𝑡𝑣 = Δ𝑣 + 𝑐𝑢 + 𝑑𝑣 dans 𝑄, 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥, 𝑡) sur Σ, 𝑢(𝑥, 𝑡0) = 𝑢0 et 𝑣(𝑥, 𝑡0) = 𝑣0 dans Ω, (1.2) et ⎧ ⎨ ⎩ ∂𝑡˜𝑢 = Δ˜𝑢 + 𝑎˜𝑢 + ˜𝑏˜𝑣 dans 𝑄, ∂𝑡˜𝑣 = Δ˜𝑣 + 𝑐𝑢 + 𝑑˜ ˜𝑣 dans 𝑄, ˜ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥, 𝑡), ˜𝑣(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥, 𝑡) sur Σ, ˜ 𝑢(𝑥, 𝑡0) =𝑢˜0 et ˜𝑣(𝑥, 𝑡0) = ˜𝑣0 dans Ω. (1.3) Nous posons 𝑈 = 𝑢 −𝑢, 𝑉 = 𝑣 −˜ ˜𝑣, 𝑦 = ∂𝑡(𝑢 −˜𝑢), 𝑧 = ∂𝑡(𝑣 −𝑣) et 𝛾 = 𝑏 − ˜˜ 𝑏.
Alors (𝑦, 𝑧) est solution de ⎧ ⎨ ⎩ ∂𝑡𝑦 = Δ𝑦 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 + 𝛾∂𝑡˜𝑣 dans 𝑄, ∂𝑡𝑧 = Δ𝑧 + 𝑐𝑦 + 𝑑𝑧 dans 𝑄, 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑧(𝑥, 𝑡) = 0 sur Σ, 𝑦(𝑥, 𝑡0) = Δ𝑈 (𝑥, 𝑡0) + 𝑎𝑈 (𝑥, 𝑡0) + 𝑏𝑉 (𝑥, 𝑡0) + 𝛾˜𝑣(𝑥, 𝑡0), dans Ω, 𝑧(𝑥, 𝑡0) = Δ𝑉 (𝑥, 𝑡0) + 𝑐𝑈 (𝑥, 𝑡0) + 𝑑𝑉 (𝑥, 𝑡0) dans Ω. (1.4)
Remarque 1.2.1 Notons qu’on peut réécrire les conditions initiales ci-dessus pour tout 𝑇′ ∈
(0, 𝑇 ). En effet (1.2) et (1.3) peuvent determiner 𝑦(𝑥, 𝑇′), 𝑧(𝑥, 𝑇′) et ainsi obtenir
𝑦(𝑥, 𝑇′) = Δ𝑈 (𝑥, 𝑇′) + 𝑎𝑈 (𝑥, 𝑇′) + 𝑏𝑉 (𝑥, 𝑇′) + 𝛾˜𝑣(𝑥, 𝑇′),
𝑧(𝑥, 𝑇′) = Δ𝑉 (𝑥, 𝑇′) + 𝑐𝑈 (𝑥, 𝑇′) + 𝑑𝑉 (𝑥, 𝑇′).
1.2.1
Inégalité de Carleman avec une "seule observation"
Nous prouvons ici une estimation de Carleman avec une seule observation agissant sur un sous domaine 𝜔 de Ω dans le membre de droite de l’estimation.
Soit 𝜔′ ⋐ 𝜔 et ˜𝛽 ∈ 𝒞2(Ω) une fonction telle que
˜
𝛽 > 0, dans Ω, ˜𝛽 = 0 sur Γ, min{∣∇ ˜𝛽(𝑥)∣, 𝑥 ∈ Ω ∖ 𝜔′} > 0 et ∂
On définit alors 𝛽 = ˜𝛽 + 𝐾 avec 𝐾 = 𝑚∥ ˜𝛽∥∞ et 𝑚 > 1. Pour 𝜆 > 0 et 𝑡 ∈ (𝑡0, 𝑇 ) et
considérons les fonctions poids suivantes
𝜑(𝑥, 𝑡) = 𝑒 𝜆𝛽(𝑥) Φ(𝑡), 𝜂(𝑥, 𝑡) = 𝑒2𝜆𝐾 − 𝑒𝜆𝛽(𝑥) Φ(𝑡) , avec Φ(𝑡) = (𝑡 − 𝑡0)(𝑇 − 𝑡).
Soit 𝜏 ∈ ℝ et 𝑠 > 0. On pose 𝜓 = 𝑒−𝑠𝜂𝜑𝜏2𝑞 et on introduit les opérateurs suivants
𝑀1(𝜏 )𝜓 = −Δ𝜓 − 𝜆2𝜑2∣∇𝛽∣2(𝑠2+𝜏2 4 )𝜓 + ( 𝜏 2 − 𝑠𝜂)(∂𝑡ln Φ)𝜓 𝑀2(𝜏 )𝜓 = ∂𝑡𝜓 + 2𝜆(𝑠𝜑 + 𝜏 2)∇𝛽.∇𝜓 + 2𝑠𝜆 2𝜑∣∇𝛽∣2(1 −𝜏 2)𝜓.
Alors l’estimation de Carleman associée à l’opérateur ∂𝑡− Δ est donnée par le théorème
suivant :
Théorème 1.2.1 ([FI :96]) Il existe 𝜆0 = 𝜆0(Ω, 𝜔) > 0, 𝑠0 = 𝑠0(𝜆0, 𝑇 ) > 0 et une constante
positive 𝐶0 = 𝐶0(Ω, 𝜔, 𝑇 ) > 0 telles que, pour tout 𝜆 ≥ 𝜆0 et tout 𝑠 ≥ 𝑠0, l’inégalité suivante
est satisfaite : ∥𝑀1(𝜏 )(𝑒−𝑠𝜂𝜑𝜏2𝑞)∥2 𝐿2(𝑄)+ ∥𝑀 (𝜏 ) 2 (𝑒 −𝑠𝜂 𝜑𝜏2𝑞)∥2 𝐿2(𝑄)+ 𝑠𝜆2 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂(𝑠𝜑)𝜏 +1∣∇𝑞∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (1.5) +𝜆4 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂(𝑠𝜑)𝜏 +3∣𝑞∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ≤ 𝐶0 [∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜆4(𝑠𝜑)𝜏 +3∣𝑞∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂(𝑠𝜑)𝜏∣∂𝑡𝑞 − Δ𝑞∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] , pour tout 𝑞 ∈ 𝐻1(𝑡 0, 𝑇 ; 𝐻2(Ω)) avec 𝑞 = 0 sur Σ. Si on note 𝐼(𝜏, 𝑞) = ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂(𝑠𝜑)𝜏 −1(∣∂𝑡𝑞∣2+ ∣Δ𝑞∣2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑠𝜆2 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂(𝑠𝜑)𝜏 +1∣∇𝑞∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (1.6) +𝜆4 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂(𝑠𝜑)𝜏 +3∣𝑞∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡,
alors à partir du théorème ci-dessus, on a le résultat suivant
Proposition 1.2.1 ([F :00], [IY :98]) Il existe 𝜆0 = 𝜆0(Ω, 𝜔) > 0, 𝑠0 = 𝑠0(𝜆0, 𝑇 ) > 0 et
une constante positive 𝐶0 = 𝐶0(Ω, 𝜔, 𝑇 ) > 0 telles que, pour tout 𝜆 ≥ 𝜆0 et tout 𝑠 ≥ 𝑠0,
l’inégalité suivante est satisfaite :
𝐼(𝜏, 𝑞) ≤ 𝐶0 [∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜆4(𝑠𝜑)𝜏 +3∣𝑞∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂(𝑠𝜑)𝜏∣∂𝑡𝑞 − Δ𝑞∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] , (1.7)
Théorème 1.2.2 On suppose que 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ Λ(𝑅) et qu’il existe une constante positive
𝑐0 > 0 telle que 𝑐 ≥ 𝑐0 dans 𝜔. Alors, il existe 𝜆1 = 𝜆1(Ω, 𝜔) ≥ 1, 𝑠1 = 𝑠1(𝜆1, 𝑇 ) > 1 et une
constante positive 𝐶1 = 𝐶1(Ω, 𝜔, 𝑐0, 𝑅, 𝑇 ) > 0 tels que, pour tout 𝜆 ≥ 𝜆1 et tout 𝑠 ≥ 𝑠1,
l’inégalité suivante est satisfaite :
𝐼(0, 𝑦) + 𝐼(0, 𝑧) ≤ 𝐶1 [ 𝑠7𝜆8 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑7∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂 ∣𝛾∂𝑡˜𝑣∣ 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] , (1.8)
pour toute solution (𝑦, 𝑧) de (1.4).
Démonstration. En utilisant l’estimation de Carleman (1.7), la solution (𝑦, 𝑧) de (1.4) vérifie 𝐼(0, 𝑦) + 𝐼(0, 𝑧) ≤ 𝐶0[𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (1.9) +𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂 (∣𝑎𝑦∣2+ ∣𝑏𝑧∣2+ ∣𝛾∂𝑡˜𝑣∣ 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂 (∣𝑐𝑦∣2+ ∣𝑑𝑧∣2) 𝑑𝑥 𝑑𝑡]
Soit 𝜉 une fonction de troncature de classe 𝒞∞(ℝ) qui satisfait
⎧ ⎨ ⎩ 𝜉(𝑥) = 1 ∀𝑥 ∈ 𝜔′, 0 < 𝜉(𝑥) ≤ 1 ∀𝑥 ∈ 𝜔′′, 𝜉(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ ℝ𝑛∖ 𝜔′′, où 𝜔′ ⋐ 𝜔′′ ⋐ 𝜔 ⋐ Ω.
On va maintenant estimer les trois termes suivants
𝐼 := 𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡, 𝐽 := ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂 ∣𝑏𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 où ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂 ∣𝑑𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡, 𝐾 := ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂 ∣𝑎𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 où ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂 ∣𝑐𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡.
La difficulté principale se présente au niveau du terme 𝐼, car la valeur de la fonction 𝑦(𝑥, 𝑡)
est inconnue pour (𝑥, 𝑡) ∈ 𝜔 × (𝑡0, 𝑇 ). C’est pourquoi on est obligé de considérer l’hypothèse
que 𝑐(𝑥) ≥ 𝑐0 où 𝑐0 est une constante positive.
Pour le premier terme 𝐼, nous multiplions la deuxième équation de (1.4) par 𝑠3𝜆4𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3𝑦
et nous intégrons sur 𝜔 × (𝑡0, 𝑇 ). On obtient
𝐼′ := 𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑐 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3∣𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3(∂𝑡𝑧 − Δ𝑧 − 𝑑𝑧)𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡
= 𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3(∂𝑡𝑧)𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3(Δ𝑧)𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 −𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑑𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3𝑧𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝐼1+ 𝐼2 + 𝐼3.
Par une intégraion par parties par rapport à la variable temps, le terme 𝐼1 est donné par
𝐼1 = −𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3𝑧(∂𝑡𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑠4𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3(∂𝑡𝜂) 𝑧𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 −3𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑2(∂𝑡𝜑) 𝑧𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡.
On écrit donc 𝐼1 = 𝐼11+ 𝐼12 avec
𝐼11 = −𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3𝑧(∂𝑡𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑡, 𝐼12 = 2𝑠4𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3(∂𝑡𝜂) 𝑧𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 3𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑2(∂𝑡𝜑) 𝑧𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡.
Moyennant l’inégalité de Young, nous estimons les deux intégrales 𝐼11 et 𝐼12.
On a ∣𝐼1 1∣ ≤ 𝑠 3𝜆4 [ 𝐶𝜀𝑠4𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉2𝜑7∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜀𝑠−4 𝜆−4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑−1∣∂𝑡𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] ≤ 1 2𝜀𝑠 7𝜆8 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑7∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜀 2𝑠 −1 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂𝜑−1∣∂𝑡𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡.
Le dernier terme dans la précédente inégalité est "absorbé" par les termes dans 𝐼(0, 𝑦) pour 𝜀 suffisamment petit.
En utilisant les estimations suivantes
∣∂𝑡𝜑∣ ≤ 𝐶(Ω, 𝜔)𝑇 𝜑2, ∣∂𝑡𝜂∣ ≤ 𝐶(Ω, 𝜔)𝑇 𝜑2, 𝜑 ≤ 𝐶(Ω, 𝜔)𝑇4𝜑3. on obtient ∣𝐼2 1∣ ≤ 𝐶𝑠 4𝜆4 [ 𝑠𝜆 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜉2𝜑(𝜑2∣∂𝑡𝜂∣2+ ∣∂𝑡𝜑∣2)∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝑠−1𝜆−1 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] ≤ 𝐶 [ 𝑠5𝜆5 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑7∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑠3𝜆3 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] .
Le dernier terme dans la précédente inégalité est "absorbé" par les termes dans 𝐼(0, 𝑦) pour 𝑠 et 𝜆 suffisamment grands.
Finalement, on obtient ∣𝐼1∣ ≤ 𝐶𝑠7𝜆8 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔
𝑒−2𝑠𝜂𝜑7∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + "des termes absorbés" ,
où 𝐶 est une constante générique qui dépend de Ω, 𝜔 et 𝑇 .
En intégrant par parties la seconde integrale 𝐼2 par rapport à la variable spaciale, on a
𝐼2 = −𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 Δ(𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3𝑦)𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑡.
Si on note 𝑃 = 𝑒−2𝑠𝜂𝜉𝜑3, alors on obtient
𝐼2 = −𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 (𝑃 Δ𝑦 + 2∇𝑃 ∇𝑦 + 𝑦Δ𝑃 )𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑡.
Le développement de ∇𝑃 et Δ𝑃 donne l’estimation suivante pour 𝐼2
∣𝐼2∣ ≤ 𝑠3𝜆4 [ 𝜀𝑠−4𝜆−4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑−1∣Δ𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝐶𝜀𝑠4𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑7∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝜀𝑠−2𝜆−2 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑∣∇𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝐶𝜀𝑠2𝜆2 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑5∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝜀 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝐶 𝜀 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] . Par conséquent ∣𝐼2∣ ≤ 𝜀 [ 𝑠−1 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂𝜑−1∣Δ𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑠𝜆2 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂𝜑∣∇𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝑠3𝜆4 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] + 𝐶𝜀 [ 𝑠7𝜆8 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑7∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝑠5𝜆6 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑5∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑠3𝜆4 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ] .
La première des trois intégrales qui se trouve dans le membre de droite de l’inégalité précé-dente est "absorbée" par les termes dans 𝐼(0, 𝑦) pour 𝜀 suffisamment petit.
Finalement, nous avons
∣𝐼2∣ ≤ 𝐶𝑠7𝜆8
∫ 𝑇
𝑡0
∫
𝜔
𝑒−2𝑠𝜂𝜑7∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + "des termes absorbés" .
Pour la dernière intégrale 𝐼3, nous avons
∣𝐼3∣ ≤ 𝐶𝑠3𝜆4 [ 𝐶𝜀 ∫ 𝑇 𝑡0 ∫ 𝜔 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑧∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜀 ∫ ∫ 𝑄 𝑒−2𝑠𝜂𝜑3∣𝑦∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ]
