2.5 Quelques applications à la contrôlabilité
2.5.3 Inégalité d’observabilité pour un système parabolique en cascade avec
cade avec un seul contrôle
Dans cette sous-section, on considère que la matrice 𝐿 dans le système (2.48) a la sructure suivante 𝐿 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎1𝑚 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎2𝑚 0 𝑎32 𝑎33 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎3𝑚 .. . ... . .. ... ... 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝑚,𝑚−1 𝑎𝑚𝑚 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ et 𝑉 = 𝐷𝑣1, avec 𝐷 = 𝑒1 = (1, 0, ..., 0)𝑡.
Hypothèse 2.5.1 Il existe une constante positive 𝑑0 > 0 telle que
On note 𝑀 = max2≤𝑗≤𝑚∥𝑎𝑘, 𝑘−1∥∞. Alors, sous l’Hypothèse 2.5.1, on obtient, moyennant
l’inégalité de Carleman prouvée dans l’article (cf. [GT]) (toujours valable pour les coefficients
de diffusion 𝒞1 par morceaux et 𝒱ℬ)
𝑚 ∑ 𝑗=1 ∥ 𝑤𝑗(0) ∥2𝐿2(Ω)≤ 𝑒𝐶𝐶𝑇 ∫ 𝑇 0 ∫ 𝜔 ∣𝑤1∣2 𝑑𝑥 𝑑𝑡, (2.52)
avec 𝐶 une constante positive, qui dépend seulement de Ω, 𝜔, 𝑑0, 𝑀 et
𝐶𝑇 = 1 + 𝑇 + 1 𝑇 + max𝑗≤𝑘 (∥𝑎𝑗𝑘∥ 2 3(𝑘−𝑗)+3 ∞ + 𝑇 ∥𝑎𝑗𝑘∥∞).
Comme conséquence des résultats de cette section, on énonce le résultat de contrôlabilité à zéro suivant
Théorème 2.5.1 ([ABDK :05], [GT]) L’inégalité d’observabilité (2.50) (respectivement, (2.51) et (2.52)) entraîne le résultat de contrôlabilité à zéro pour les systèmes (2.48), (2.48)’ et le
système en cascade ; c-à-d, pour tout 𝑦0 ∈ 𝐿2(Ω), ∃ 𝑣𝑗 ∈ 𝐿2(𝜔 × (0, 𝑇 )) (respectivement,
∃ 𝑣2 ∈ 𝐿2(𝜔 × (0, 𝑇 )) et ∃ 𝑣1 ∈ 𝐿2(𝜔 × (0, 𝑇 ))), tels que la solution des systèmes (2.48),
Conclusion et Perspectives
Je conclurai cette partie en donnant le résumé des résultats obtenus ainsi que quelques perspectives pour les années à venir.
- On a démontré des inégalités de stabilités pour les coefficients 𝑏 et 𝑐 et les conditions initiales du système (1.1) en utilisant une inégalité de Carleman avec une seule observation (cf. chapitre 1). On a démontré aussi des inégalités de Carleman pour des systèmes paraboliques
dont les coefficients de diffusion sont de classe 𝒞1 par morceaux ou à variation bornée (cf.
chapitre 2).
- Plusieurs directions de recherches sont envisagées :
1. Démontrer les inégalités de Carleman obtenues dans le chapitre 1 en considérant une observation frontière.
2. Un travail est en cours en collaboration avec P. Gaitan, M. Cristofol et M. Yama- moto qui concerne l’identification des coefficients d’un système 2 × 2 nonlinéaire. Il s’agit d’identifier les coefficients affectés aux termes non linéaires en utilisant le moins d’observations possibles.
3. Généraliser les résulats obtenus dans le chapitre 2 pour la dimension 𝑛 ≥ 2. 4. Généraliser les résultats obtenus dans cette partie dans le cas hyperbolique.
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Partie II
Contributions à la diffraction d’ondes
acoustiques dans un demi-plan homogène
Résumé
Cette partie contient un seul chapitre dans lequel on étudie un problème aux limites pour l’équation de Helmholtz dans un demi-plan. Nous verrons que la condition au bord du type Neumann pose des difficultés d’analyse lorsque la donnée n’est pas dans un espace de Sobolev. Ce qui est le cas dans beaucoup d’applications, par exemple en diffraction d’ondes acoustiques ou éléctromagnétiques par une surface rugueuse ou par une couche non homogène.
Chapitre 3
Problème de Neumann pour l’équation
de Helmholtz dans un demi-plan.
3.1
INTRODUCTION
On s’intéresse à la résolution du problème aux limites suivant : ⎧ ⎨ ⎩ Trouver 𝑢 ∈ 𝐻1 𝑙𝑜𝑐(𝑉 ) tel que : Δ𝑢 + 𝑘2𝑢 = 0 dans 𝐷′(𝑉 ), lim 𝑥2→0 ∂𝑢 ∂𝑥2 (𝑥1, 𝑥2) = 𝐹 (𝑥1) sur Σ,
𝑢 satisfait une condition de radiation (𝑅) lorsque ∣𝑥∣ → +∞,
(𝑃 )
avec les notations
𝑉 = ℝ2
+ = {(𝑥1, 𝑥2) ∈ ℝ2, 𝑥2 > 0}, Σ = ℝ × {0} et 𝑟 = ∣𝑥∣ =√𝑥21+ 𝑥22,
𝐻𝑙𝑜𝑐1 (𝑉 ) =: {𝜙 : 𝑉 → ℂ, tel que 𝜙∣𝐾 ∈ 𝐻1(𝐾) pour tout compact 𝐾 ⊂ 𝑉 }.
Le problème (𝑃 ) modélise le phénomène de diffraction d’ondes harmoniques (périodiques en temps) acoustiques (resp. électromagnétiques) dans un demi-espace homogène bidimen- sionnel de section 𝑉 . Le paramètre 𝑘 est le nombre d’onde qui dépend des caractéristiques du fluide (resp. diélectrique) et de la fréquence du mouvement.
Le problème de diffraction par un obstacle borné, plongé dans l’espace homogène, est largement étudié (cf. [CK :83, CK :92] ) du point de vue théorique et numérique. La condition de radiation de Sommerfeld ∂𝑢 ∂𝑟 − 𝑖𝑘𝑢 = ∘( 1 √ 𝑟), 𝑟 → +∞. (𝑆)
joue un rôle dans l’unicité. (𝑆) signifie que l’onde est sortante. Pour l’existence de la solution, on utilise la méthode des équations intégrales qui consiste à chercher la solution sous forme d’un potentiel avec une densité inconnue sur le bord de l’obstacle. Ainsi on obtient une équation intégrale du type de Fredholm, c’est à dire que l’unicité entraîne l’existence. La résolution numérique a été l’objet de plusieurs travaux de l’école française et allemande
durant les années 80 ([Cos :88, St :84]). On utilise l’approche variationnelle dans des espaces de Sobolev qui est à la base d’une discrétisation par éléments finis frontières (cf. [Gi :82]).
L’équation de Helmholtz dans un demi-plan a été abordée dans les situations suivantes.
Duran et al. étudient le problème d’impédance ∂𝑥∂𝑢
2 + 𝑧𝑢 = 𝐹, 𝑧 > 0, avec une donnée 𝐹 à
support compact. Ils proposent une adaptation de la condition de Sommerfeld en divisant le demi-plan en deux régions et imposent sur chacune une condition du type Sommerfeld, ce qui tient compte d’une onde guidée par Σ. On peut mentionner les travaux de Chandler-Wilde
où on résout les problèmes de Dirichlet et d’impédance ∂𝑥∂𝑢
2 + 𝑖𝛽(𝑥1)𝑢 = 𝐹 (𝑥1), 𝛽(𝑥1) ≥
𝛽0 > 0, [CW :97], avec 𝐹 dans la classe 𝐿∞(ℝ) ou 𝒞ℬ(ℝ), la classe des fonctions continues et
bornées. On introduit ici une condition de radiation appelée "Upward Propagating Radiation Condition", notée UPRC qui est basée sur une représentation intégrale de la solution dans le
demi-plan 𝑉ℎ = {(𝑥1, 𝑥2); 𝑥2 > ℎ}. Dans l’article [CWZ :98], les auteurs traitent l’équation
de Helmholtz avec un nombre d’onde variable avec une donnée de Neumann homogène sur le
bord Σ. Le nombre 𝑘 dépend de (𝑥1, 𝑥2) sur une bande et prend une valeur 𝑘+ à l’extérieur
de cette bande, de plus on suppose que 𝐼𝑚 𝑘2 ≥ 𝜆 > 0. Pour l’unicité, on utilise la condition
UPRC. Pour l’existence, on se ramène à une équation intégrale de deuxième espèce posée sur la bande. Sa résolution est basée sur un article antérieur [CWZ :97].
Pour les milieux stratifiés, il faut citer les travaux de [DG :86] où on démontre le principe d’absoption limite basé sur l’utilisation d’une transformation de Fourier partielle. Celle-ci permet de diagonaliser la partie transversale de l’opérateur de Helmholtz non perturbé puis d’en déduire une transformation de Fourier généralisée diagonalisant tout l’opérateur non perturbé. Il existe aussi les travaux de Xu [GHX :07], où on décompose l’onde diffractée en une somme finie de modes guidés et d’une onde evanescente (libre) en imposant pour chacune d’elles une condition de type Sommerfeld avec un nombre d’onde approprié.
Si on revient à notre problème (𝑃 ), on peut se ramener, grâce à un relèvement, à la résolution
de l’équation de Helmholtz dans le plan ℝ2 avec second membre (non homogène). Cela
dépendra de la régularité locale et de la décroissance à l’infini de la donnée au bord 𝐹 . En effet,
si 𝐹 appartient à l’espace de Sobolev à poids 𝐻𝑠, 𝜎(ℝ) = {𝜙 ∈ 𝑆′
(ℝ); (1 + ∣𝑥1∣)𝜎𝜙 ∈ 𝐻𝑠(ℝ)},
𝑠 > 1 2, 𝜎 >
1
2, il existe alors un relèvement dans 𝐻
𝑠+32, 𝜎(ℝ2), par suite on peut utiliser le
principe d’absorption limite, pour plus de détails on peut consulter la thèse [DR :98]. On peut citer aussi l’article [BL :01] qui considère un relèvement dans les espaces de Besov.
Il faut remarquer que le problème de Neumann dans un demi-plan avec une donnée irrégulière n’a pas été considéré dans la littérature. C’est pour cela que nous allons élucider ce cas en examinant différentes hypothèses sur 𝐹 .
Ce chapitre est organisé comme suit :
- On commence d’abord par les motivations physiques en considérant le phénomène de diffraction d’ondes.
- Ensuite on cherche la solution formelle en supposant que la donnée 𝐹 est à décroissance
rapide (dans 𝒮(ℝ)). En utilisant la transformée de Fourier partielle dans la direction 𝑥1,
ˆ
𝑢(𝜉, 𝑥2) = ℱ𝑥1→𝜉[𝑢(𝑥1, 𝑥2)] , on obtient une formule de représentation de la forme 𝑢 = 𝐴𝐹
où 𝐴 : 𝒮 → 𝒮′ est un opérateur pseudodifférentiel du type 𝐴𝜙(𝑥1, 𝑥2) = ℱ𝜉→𝑥−1 1(𝑎(𝜉, 𝑥2)ℱ 𝜙(𝜉))
avec un symbole 𝑎(., 𝑥2) ∈ 𝒮′(ℝ). On montrera que 𝐴 est un opérateur de convolution. On
- Puis on étend cette formule lorsque 𝐹 ∈ 𝐿1(ℝ) ∩ 𝐻𝑠(ℝ), 𝑠 > 1
2. On étudiera aussi la
question d’unicité.
- On traite ensuite le cas où 𝐹 est une fonction régulière à support compact. Dans ce cas on se ramène à un problème extérieur qu’on résout par la théorie du potentiel [CK :83, CK :92].
- Enfin, si 𝐹 est dans 𝐿∞(ℝ) et périodique, on verra que la solution est une superposition
d’ondes planes et d’ondes de surface (évanescente suivant la direction 𝑥2). Dans le cas non
périodique on donnera une représentation intégrale de la solution (intégrale de Sommerfeld). Pour l’unicité de la solution on ajoutera des hypothèses suffisantes sur le comportement de
𝑢 dans la direction horizontale 𝑥1.