Module 5

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Module 5

Par Marcos Cherinda

African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana

Géométrie

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Note

Ce document est publié sous une licence Creative Commons.

http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution

http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.

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I. Module 5 : Géométrie ______________________________________ 3 II. Cours ou connaissances préalables ____________________________ 3 III. Temps ___________________________________________________ 3 IV. Matériels _________________________________________________ 3 V. Justification du module _____________________________________ 3 VI. Présentation ______________________________________________ 4 6.1 Plan __________________________________________________ 4 6.2 Organisateur graphique ___________________________________ 5 VII. Enseignement et activité d’apprentissage ________________________ 6 VIII. Activité d’apprentissage ____________________________________ 15 IX. Concepts (glossaire) _______________________________________ 82 X. Lectures obligatoires _______________________________________ 90 XI. Ressources multimédia et liens utiles __________________________ 91 XII. Synthèse du module _______________________________________ 92 XIII. Évaluation sommative ______________________________________ 93 XIV. Références ______________________________________________ 97 XV. Auteur principal du module __________________________________ 98

Table des maTières

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i. module 5 : Géométrie ii. Cours ou connaissances préalables

Géométrie de l’enseignement secondaire

iii. Temps

La durée de ce module est de 120 heures d’étude

iV. matériel

Il est vivement recommandé d’utiliser le logiciel interactif dans les ressources CD-ROM incluses dans votre trousse de matériel d’étude. Le logiciel de Géo- Gebra ou WinGéo vous aidera à explorer le monde de la géométrie d’une ma- nière intéressante et dynamique et avec moins d’utilisation de papier et de temps!

Lors de l’entame de chaque unité que vous devriez visiter, au moins une fois, les documents en ligne dans l’Internet comme indiqué dans les lectures pertinentes.

Presque tous les liens dans les lectures pertinentes ont des contenus hors ligne dans les ressources CD-ROM. Cela comprend les livres électroniques et les logiciels libres mentionnés ci-dessus.

V. Justification du module

Ce module basé sur la géométrie commence par le développement de la connaissance que l’humanité détenait durant des siècles environ 300ans avant J.C et qui est devenue un sujet de mathématique appelé (Géométrie Euclidienne) grâce au super travail d’Euclide. Le raisonnement inductif et déductif qui caractérise la géométrie Euclidienne sera développé à travers l’examen de nos propres hypothèses sur les objets et les propriétés géométriques .Vous étudierez les aspects de la géométrie en utilisant les instruments géométriques de base tels que le compas, la règle et le logiciel. Au fur et à mesure que vous progresserez, vous utiliserez un point référentiel pour localiser un point. Le système orthogonal cartésien que vous connaissez depuis le secondaire est le système de référentiel le plus utilisé et que vous vous en servirez à la fois sur deux ou trois dimensions. Vous apprendrez aussi d’autres systèmes de coordonnées qui vous rendront habiles dans la recherche géométrique et aussi dans d’autres mo- dules mathématiques. De manière approfondie, dans l’analyse de la construction axiomatique de la géométrie euclidienne, vous apprendrez de nouvelles structures géométriques, généralement désignées comme géométrie non euclidienne .Ainsi de manière brève, ce module basé sur la géométrie euclidienne, sera traité à la fois syntaxique et analytique, et renferme une introduction à la géométrie non-euclidienne laquelle sera développée seulement de façon synthétique.

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Vi. Présentation

Le module est divisé en quatre unités. Chaque sous-unité constitue une activité d’apprentissage. Le nombre total d’heures du module est de 120, reparties dans le tableau ci-dessous

Module 5 : Géométrie Temps

Révision de la géométrie euclidienne 24

Géométrie analytique du plan 34

Géométrie analytique dans l’espace 42

Géométrie non-euclidienne 20

Nombre d’heures 120

6.1 Plan : Programme Chaque sous-unité constitue une activité d’apprentissage Unité 1 : Révision de la géométrie euclidienne sur : Temps L’histoire de la géométrie euclidienne 1 Développement axiomatique de la géométrie euclidienne 3 Isométrie du plan euclidien 6 Triangles 5

Cercles 3

Similitudes géométriques 4 Divers exercices 2 Nombre d’heures 34 Unité2 Géométrie analytique dans le plan Temps Espace vectoriel en deux dimensions 6 Linéaire 8 Transformation des coordonnées dans le plan 4

Sections coniques 12 Divers exercices 4

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Unité3 : Géométrie analytique dans l’espace Temps

Vecteurs en trois dimensions 8

Plans et droites 10

Transformations des coordonnées en l’espace 3D 6

Surface quadratique ou quadrique 14

Divers exercices 4

Unité 4 : Géométrie non-euclidienne Temps

Introduction à la géométrie non-euclidienne 6

Transformations affines 4

Transformations projectives 8

Divers exercices 2

6.2 Organisateur graphique

Moudule 5 : Géométrie

N.B : La géométrie euclidienne est le sujet central du module 5.En effet, la première unité est basée sur la révision de la géométrie euclidienne pour l’approche syntaxique.

Par la suite, en utilisant l’algèbre linéaire (module 4) avec le système de coordonnées cartésiennes, la géométrie euclidienne sera traitée pour l’approche analytique cou- vrant deux unités : la géométrie analytique du plan et la géométrie analytique dans l’espace. Suite à ces unités, une construction de nouvelles structures géométriques, généralement désignée comme géométrie non euclidienne sera introduite.

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A B C D

Vii. enseignement et activiés d’apprentissage

Pré-évaluation

UNITÉ 1 : Révision de la géométrie euclidienne Pré-évaluation (60 minutes)

Avant d’aborder les activités d’apprentissage sur la géométrie euclidienne, vous aurez besoin d’actualiser vos connaissances sur certains points de la géométrie apprise à l’école. La pré-évaluation est composée de cinq questions au format à choix multiple.

Chaque question a quatre réponses et vous devriez choisir une seule réponse, que vous considériez être tout à fait correcte. Le signe X devrait être placé dans la boite de votre réponse choisie.

QUESTION 1

Le mot ‘’géométrie’’ signifie : A Géométrie

B ‘’la mesure de la terre’’ où géo signifie ‘’terre’’ et graphie veut dire ’’mesure’’

C ‘’ terre matrice’’ où géo veut dire ‘’terre’’ et métrie veut dire ‘’ matrice’’

D Étude d’un paysage QUESTION 2

Le raisonnement logique est essentiel pour répondre aux questions sur la géométrie euclidienne.

Quelle figure sera la suivante dans l’exemple ci-après :

QUESTION 3

Considérez la figure de gauche, la longueur X est égale à :

A 3.5 B 4 C 3 3 D 5

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QUESTION 4

Considérez le carré inscrit dans le cercle de rayon r .Le quotient de l’aire du cercle par l’aire du carré est égal à :

A 2r B C D r²

QUESTION 5

Sur la figure de droite, le segment PT est tangent au cercle en T.

Si = 4 et = 3

Alors ²est égal à :

A 12 B 25 C 28 D 21

CORRIGÉ

Question 1 2 3 4 5 Réponse B A C B D

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UNITÉ 2 : Géométrie analytique dans le plan Pré-évaluation (60 minutes)

Avant d’aborder les activités d’apprentissage sur la géométrie euclidienne, vous aurez besoin d’actualiser vos connaissances sur certains points de la géométrie apprise à l’école. La pré-évaluation est composée de cinq questions au format à choix multiple .Chaque question a quatre réponses et vous devriez choisir une seule réponse, que vous considériez être tout à fait correcte. Le signe X devrait être placé dans la boite de votre réponse choisie.

QUESTION 1

Considérez les vecteurs a et b de la figure de gauche. Les coordonnées du vecteur a + b sont :

A (2, 3) B (-2, -1) C (4, -1) D (4, 3)

QUESTION2

La distance d entre deux points connus P₁ (x₂, y₁) et P2 (x₂, y₂) est donnée par :

A. d =

B. d = (x₂-y₂) - (x₁-y₁₎ C. d = (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)² D. d =

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QUESTION3

Considérez le graphe ci-dessous l’équation de la ligne droite est :

A. 3y+2x+6=0 B. X- y -3=0 C. 2x-3y-6=0

D. y- x +2 =0 QUESTION4

Considérez le cercle de rayon r et de centre o’

Son équation peut être donnée par

A.

(X-3)² + (Y-2)² =1

B.

(X-2)² + (Y- )² =1

C.

(X- )²+ (Y- )² =1

D.

(X-2)²+ (Y+3)²= 1

−1 1 2 3 4

1 2

x y

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QUESTION5

Considérez le graphe ci-dessous, l’équation de la parabole est : A. Y=2X²

B. Y=-X² C. Y= X² D. Y= X²

CORRIGÉ

Question 1 2 3 4 5 Réponse D A C B C

−2 −1 1 2

1 2

x y

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UNITÉ 3 : Géométrie analytique dans l’espace Pré-évaluation (60 minutes)

QUESTION 1

Considérez les vecteurs a et b de la figure de gauche, la somme a+b est égale à : A. (4, 5,-2)

B. (3, -5,-2) C. (4, -1, 2) D. (3, 5 ,2)

QUESTION2

Considérez la figure de la question précédente, la magnitude de l’angle entre les vecteurs a et b est égale à :

A. 120˚

B. 90˚

C. 245˚

D. 100˚

QUESTION3

La distance d entre deux points connus P1 (x₁, y₁, z₁) et P2 (x₂, y₂, z₂) est donnée par :

A. d = (x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²+ (z₂-z₁)² B d =

C. d =

D.

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QUESTION 4

Considérez la figure ci-dessous, le volume du tétraèdre [OABC] est égal à :

A. 24mètres cube B. 18 mètres cube C. 8 mètres cube D. 10 mètres cube

QUESTION 5

Le graphe ci-dessous montre la projection d’une sphère sur le plan xy et sur le plan yz.

Les coordonnées du centre de la sphère sont : A. (1, 2,1.5)

B. (2, 1,1.5) C. (1,1.5, 2) D. (1.5, 2,1)

CORRIGÉ

Question 1 2 3 4 5 Réponse D B B C A

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UNITÉ 4 : Géométrie non-euclidienne Pré-évaluation (60 minutes)

QUESTION 1

La déclaration suivante:

‘’Soit l une droite quelconque et p un point n’appartenant pas à l. il existe une droite unique m sur le même plan que p et l, passant par p sans rencontrer l.’’

Est-ce :

A. La Définition des droites parallèles B. Un axiome du Plan affine incident C. Le Cinquième postulat d’Euclide D. Le théorème des droites parallèles QUESTION 2

Laquelle de ces déclarations est vraie :

A. La géométrie euclidienne a été inventée par Euclide

B. Les éléments ont été écrits par le père d’Euclide 300 ans avant J.C C. Euclide est né à Rome

D. Les éléments sont composés de treize livres.

QUESTION 3

Considérez le triangle ABC et son image A’B’C’ par la dilatation centrale de centre O. Si le centre O tend vers l’infini, alors

A. Les deux triangles ont tendance à être semblables

B. Le triangle ABC a tendance à être plus gros que le triangle A’B’C’

C. Le triangle A’B’C’ a tendance à être plus gros que le triangle ABC D. La relation de taille de deux triangles ne change pas.

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QUESTION 4

Considérez le triangle quelconque ABC .Si T est le centre de gravité (le centre de gravité d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes. Les droites joignant chaque sommet et le milieu des cotés opposés de ces sommets), alors la mesure des segments est toujours :

A. =

B. =

C. =

D. + + =

QUESTION 5

L’inverse de la matrice A =

est : A. A^-1=

B. A^-1= C. A^-1= D. N’existe pas

CORRIGÉ

Question 1 2 3 4 5 Réponse C D A A B

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Viii. activités d’apprentissage

Unité 1 : Révision de la géométrie euclidienne sur : Cette unité comporte six activités d’apprentissage

1. L’histoire de la géométrie euclidienne 2. Développement axiomatique de la géométrie euclidienne 3. Isométrie euclidienne du plan 4. Triangles 5. Cercles

6. Similitudes géométriques

Maintenant vous aborderez

Activité1.1 L’histoire de la géométrie euclidienne

Objectifs d’apprentissage

À la fin de l’activité d’apprentissage l’élève devrait être capable de :

• Expliquer le développement de la connaissance géométrique pendant l’histoire de différentes civilisations

• Indiquer les lieux, les périodes, les remarquables géomètres et leur contribution dans le développement de la géométrie euclidienne

Résumé

Dans cette activité d’apprentissage, vous apprendriez comment la pensée géométrique fut développée en tant que produit de l’interaction de l’humanité avec la nature pendant des siècles. Vous serez à mesure de connaitre les lieux, les périodes des remarquables géomètres et leur contribution dans le développement de la connaissance qui est devenue une sujet de mathématiques appelé la géométrie euclidienne.

Vous découvrirez que à l’exception des grecs, des babyloniens, des romains, des indiens, des chinois et des anciens égyptiens, une ancienne civilisation d’Afrique possédait déjà des connaissances mathématiques remarquables qu’incarnaient les pratiques célèbres d’Euclide il y a environ 4000 ans

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Justification

On se pose souvent des questions sur l’origine des théorèmes, ou comment a-t-elle été découverte par les mathématiciens? Il est important pour vous en tant qu’éducateur de répondre à de telles questions à nos élèves. Le fait de savoir comment l’humanité a développée la géométrie, les motivera à faire des recherches personnelles. S’ils peuvent se sentir des chercheurs, ils seront plus confiants en faisant les mathématiques ainsi vous serez fier de votre métier d’enseignant

Concepts

Les éléments d’Euclide : le traité classique en géométrie écrit par Euclide (en- viron 300 ans avant J.C). Ces éléments sont composés de 465 propositions divisées en 13 livres.

Le papyrus mathématique rhind : c’est un document mathématique antique écrit sur le papyrus (papier).Il dérive du nom Alexander Henry Rhind, un antiquaire écossais, qui acheta le papyrus en 1958 à Louxor (égypt.)

Liste des lectures pertinentes LA1.1 RR1: Les éléments d’Euclide

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html LA1.1 RR2: Géométrie euclidienne

http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry LA1.1 RR3: La géométrie euclidienne dans le plan http://mathworld.wolfram.com/Euclidean.html

LA1.1 RR4: Éléments – Les traitements classiques en géométrie écrit par Eucli- de

http://mathworld.wolfram.com/Elements.html LA1.1 RR5:Mathématiques Égyptiennes anciennes

http://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egyptian_mathematics Liste des ressources pertinentes

Particulièrement pour le début de cette activité d’apprentissage de l’unité 1, à part les Ressources CD-ROM que vous recevrez dans votre trousse de matériel d’étude, vous aurez besoin de visiter les sites Internet, au moins une fois, au cours de l’étude de l’activité d’apprentissage.

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Développement de l’activité d’apprentissage Sur l’histoire de la géométrie euclidienne

Vous vous êtes surement posé les questions suivantes :

• Qui a créé (ou inventé) la géométrie euclidienne?

• Quel était le mérite d’Euclide en tant que géomètre ?

• Est que les civilisations africaines ont développées la connaissance géomé- trique?

Image 1.1.1

Les centres antiques de développement de la connaissance géométrique

Dans cette activité vous en saurez plus sur le développement de la connaissance géométrique and vous serez capable de répondre aux questions semblables à celles posées au-dessus. En effet la géométrie euclidienne que vous connaissez depuis l’école secondaire est une leçon de mathématiques qui a été développée par différentes civilisations partout dans le monde depuis les temps antiques. Vous en saurez plus de la géométrie euclidienne, pourquoi a- t- elle été impressionnante et influencée la manière de penser en mathématique et d’autres disciplines scientifiques quand Euclide a écrit le fameux livre intitulé les (éléments) il y a environ 300 ans avant J.C

Travail 1

Lire à propos du développement de la géométrie euclidienne (LA1.1 RR2 – RR5) durant l’histoire de différentes civilisations .Découvrez comment de différentes civilisations durant des siècles ont contribuées à la construction de la connaissance de nos jours en tant que géométrie euclidienne et rédigez un essai (500-700 mots) sur cette question

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Figure 1.1.2 :

les pyramides de Giza un magnifique signe de la connaissance géométrique de l’Égypte antique

Travail 2

Lire à propos des mathématiques égyptiennes antiques (LA1.1 RR5) et écrivez sur certaines contributions égyptiennes à la géométrie euclidienne

Travail 3

Lire à propos des mathématiques égyptiennes antiques (LA1.1 RR5) et écrivez sur certaines contributions égyptiennes à la géométrie euclidienne

Image 1.1.3

Une portion du papyrus Rhind

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Travail 4

Quand Euclide a-t-il écrit les ‘’Éléments’’ décrivez brièvement le contenu des 13 livres des ’’éléments’’

1. L’histoire de la géométrie euclidienne 2. Développement axiomatique de la géométrie euclidienne 3. Isométrie euclidienne du plan 4. Triangles 5. Cercles 6. Similitudes géométriques

Maintenant vous aborderez

Activité1.2 Développement axiomatique de la géométrie euclidienne

• Expliquer le développement de la géométrie euclidienne dans un exemple concret dans l’application des axiomes, théorèmes et d’autres concepts géométriques

• Affirmez vos propres conjectures en explorant solid manipulative aids ou d’un logiciel.

• dessiner des figures géométriques en utilisant des instruments de base et / ou un ordinateur.

• Prouvez des théorèmes euclidiens simples et classiques.

Résumé

Dans cette activité d’apprentissage, vous apprendriez comment la pensée géométri- que fut développée en tant que produit de l’interaction de l’humanité avec la nature pendant des siècles. Le but essentiel de cette activité est de vous rendre capable de développer les raisonnements inductifs et déductifs et vous encourager à faire des investigations approfondies en géométrie et en mathématiques .Par conséquent, vous devrez indiquer les conjectures en l’explorant les questions qui vous seront posées à travers l’activité .Vous développerez des preuves mathématiques formelles basées sur vos propres conjectures. Vous apprendrez aussi certains théorèmes classiques et courants de la géométrie euclidienne. Vous serez aussi demandé de les appliquer dans des problèmes concrets. Vous êtes fortement recommandés d’utiliser des outils géométriques (au moins une règle et un compas) là où nécessaire

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Justification

Il est important de réfléchir sur la manière dont la géométrie euclidienne comme toute autre structure mathématique fut construite, vous trouverez ce qui caractérise la fondation de la géométrie et quelles sont les innovations d’axiomes de la géométrie euclidienne de David Hilbert (1862-1943). Sur la base d’une telle réflexion, vous pourriez mieux comprendre ce qui distingue la géométrie des autres géométries que vous apprendrez plus tard dans l’unité 4(la géométrie non-euclidienne)

Concepts

Axiome : est une phrase ou une proposition qui est prise comme vrai.

Théorème : une déclaration qui a été prouvée comme vraie ou proposée comme étant une vérité démontrable.

Conjoncture : est semblable à une hypothèse .Une déclaration tirée d’évidence mais qui n’est pas prouvée.

Raisonnement inductif et déductif : manière de penser commençant par des cas particuliers à la généralisation (induction).

Une fois en ayant des états généraux (prouvés), alors nous avons des implications pour le cas particulier (déduction)

Preuve mathématique : une démonstration minutieuse d’une proposition utilisant la logique de la structure axiomatique de cette proposition.

Liste des lectures pertinentes

LA1.2 RR1: Les Éléments d’Euclide, by D. E. Joyce (1997) http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html LA1.2 RR2: Géométrie euclidienne.

http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry LA1.2 RR3: La géométrie du plan

http://mathworld.wolfram.com/Euclidean.html

LA1.2 RR4: Éléments – Les traitements classiques en géométrie écrit par Eucli- de

http://mathworld.wolfram.com/Elements.html

LA1.2 RR5: La fondation de la Géométrie, by D. Hilbert (ed. 2007) http://www.gutenberg.org/etext/17384

LA1.2 RR6: Système de l’axiome

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiomatic_system

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Listes de ressources pertinentes

WinGéo et GéoGebra sont des logiciels libres, multiplateformes et dynamiques de mathématiques similaires à Cabri géométrie et tous sont de très haute qualité. Ils présentent aussi la fonction, les graphes et créent une relation dynamique entre le graphe et la fonction. Vous pouvez télécharger WinGéo et GéoGebra à partir du lien : http://freestatistics.altervista.org/math.php

Modèle WinGéo Modèle GéoGebra Figure 1.2.2

Images prises des modèles WinGéo et GéoGebra

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Développement de l’activité d’apprentissage

Développement axiomatique de la géométrie euclidienne

Figure 1.2.1

Un immeuble en construction

Vous avez surement vu des gens construire une maison. Essayez de réfléchir sur les questions suivantes :

• Quels sont les matériaux utilisés pour élever un mur?

• Connaissez-vous des règles, des précautions que les constructeurs appliquent pour s’assurer que les murs ne tomberont pas?

Même si vous ne connaissez pas les règles qu’utilisent les constructeurs pour construire une maison, vous êtes sur qu’il est nécessaire de respecter certaines règles physiques.

La construction de notre sujet (la géométrie euclidienne peut être comparée à la construction d’une maison. (Les pierres et les briques) de la géométrie euclidienne sont des phrases ou des propositions prises pour acquis comme vraies) dont nous nous en servons comme point de départ pour en déduire d’autres vérités. On les appelle les axiomes .Il existe d’autres matériaux de base supplémentaire appelés théorèmes.

Un théorème une déclaration qui a été prouvée comme vraie ou proposée comme étant une vérité démontrable.

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Alors avec tout ce matériel, avec les définitions des concepts géométriques, vous connaissez déjà depuis l’école secondaire, commençons donc à construire une maison (la géométrie euclidienne) en utilisant les pierres et les briques (les axiomes, les théorèmes, les définitions) et en respectant les règles de la construction d’une maison (la logique, le raisonnement inductif et déductif) en mettant tous ces matériaux ensemble, de telle manière que les murs puissent s’élever solidement.

En maintenant la construction, nous assistons à la fois aux règles de la géométrie nous aurons finalement une maison entière composée de chambres, de cuisines, de salle de bain, de portes, de fenêtres etc. Comme les pierres et les briques d’une maison, les ensembles d’axiomes de la géométrie euclidienne respectent les règles et principes suivants :

• Intégralité : Un système d’axiomes est entier si toutes ses propositions (dans le cas de la géométrie euclidienne) peuvent être déduites

• Indépendance : Il n’est pas permis de considérer une quelconque déclaration comme étant un axiome si celle-ci est déduite de l’autre axiome.

• Non-contradiction : Il n’est pas permis qu’à travers la conclusion déductive des axiomes, le négatif d’un axiome ou d’une proposition peut être déclaré.

Ce sont les principes du système d’axiomes de la géométrie euclidienne .Ainsi depuis que nous sommes impliqués dans la construction d’une théorie géométrique sur la base d’un tel ensemble d’axiomes, notre activité portera sur le développement axiomatique de la géométrie euclidienne.

Maintenant vous avez une idée de ce que une idée de ce que votre activité sera .En effet, la géométrie euclidienne a fasciné le monde et la manière de penser dans d’autres domaines scientifiques il y a environ 300 ans avant J.C quand Euclide écrivit ses fameux éléments.

Travail 1

Lisez sur la fondation de la géométrie choisissez deux groupes et présentez leurs axiomes parmi les cinq groupes d’axiomes.

Travail 2

Lisez sur la géométrie euclidienne

Expliquez la différence d’un axiome et d’un théorème. Donnez trois exemples des deux.

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Travail 3

Lisez sur les éléments d’Euclide, particulièrement les titres suivants : - Introduction (sur les éléments d’Euclide)

- Livre I (Les fondamentaux de la géométrie)

- Livre IV (Les constructions pour les figures inscrites et circonscrites)

Choisir un des logiciels (GéoGebra ou WinGéo) pour illustrer trois propositions du livre I et cinq du livre IV

Travail 4

Lisez sur le système d’axiomes de la géométrie euclidienne et expliquer ses pro- priétés

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Unité 1 : Révision de la Géométrie Euclidienne

Cette unité a 6 activités d’apprentissage 1. Sur l’histoire de la géométrie euclidienne 2. Développement de la géométrie euclidienne 3. L’isométrie euclidienne dans le plan

4. Les triangles 5. Les Cercles

6. La similitude géométrique

Maintenant vous travaillerez sur :

Activité 1.3 Isométrie euclidienne dans le plan

Les objectifs d’apprentissage

À la fin de cette activité d’apprentissage vous serez capable de :

• Définir tous les quatre types de l’isométrie euclidienne plane

• Dessiner des exemples de l’isométrie euclidienne plane en utilisant du papier, crayon et en utilisant le logiciel GéoGebra ou WinGéo

Résumé

Dans cette activité vous réviserez les transformations géométriques que vous connaissez depuis l’école secondaire. Les quatre types de l’isométrie euclidienne plane sont : les translations, les rotations, les réflexions et les réflexions glissées.

Fondamentalement vous serez stimulés à réviser ces transformations en explorant le logiciel informatique de votre CD-ROM.

Justification

Cette activité vous aidera à mettre à niveau vos connaissances sur les transformations isométriques que vous avez apprises depuis le secondaire. C’est important de recon- naitre et classifier les différents types d’isométrie plane dans votre environnement géographique et culturel.

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Concepts

Isométrie euclidienne du plan : est une transformation du plan qui conserve les propriétés géométriques telles que les longueurs et distances.

Translation : Une translation est une transformation géométrique qui correspond à l’idée intuitive de « glissement » d’un objet, sans rotation, retournement ni défor- mation de cet objet.

Une translation de vecteur est une transformation qui, à tout point M, associe le point M’ tel que:

On dit alors que M’ est le translaté de M.

Rotation: C’est un mouvement circulaire d’un objet. Soit θ un réel et O un point du plan.

La rotation de centre O et d’angle θ est une isométrie du plan : c’est la transformation du plan qui à tout point M du plan associe le point M’ tel que :

Réflexion : Une réflexion du plan euclidien est une symétrie orthogonale par rapport à une droite (droite vectorielle s’il s’agit d’un plan vectoriel euclidien). Dans l’espace euclidien de dimension 3, il s’agit d’une symétrie orthogonale par rapport à un plan.

Plus généralement, en géométrie euclidienne, une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, c’est-à-dire à un sous-espace de codimension 1.

Réflexion glissée :En géométrie euclidienne, une réflexion glissée est une sorte d’isométrie du plan euclidien : la composée d’une réflexion par rapport à une droite et d’une translation dans la direction de cette droite.

Similitude géométrique : deux ensembles de points sont appelés semblables, si et seulement si, l’un peut être appliqué sur l’autre par une isométrie (une combinaison de translations, rotations et symétries). De manière moins formelle, deux figures sont semblables si elles ont la même forme et la même taille, mais ont des positions différentes.

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LA1.3 RR1: Euclidean plane isometry

http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_plane_isometry

LA1.3 RR2: Theory of symmetry and ornament, by Slavik V. Jablan (1995) http://www.emis.de/monographs/jablan/index.html

LA1.3 RR3

http://mathworld.wolfram.com/GeometricCongruence.html

Liste de ressources pertinentes

Les ressources pertinentes pour cette activité d’apprentissage sont les suivants:

- Instruments de base des dessins géométriques (règle et compas). Plus loin les instruments de dessin à la main pourraient être utiles.

- GéoGebra ou WinGéo

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DEVELOPPEMENT DES ACTIVITÉS D’APPRENTISSAGE

Isométrie euclidienne du plan

Partout dans notre environnement, nous avons l’opportunité d’apprécier la beauté des objets naturels et artificiels. Il existe des plantes, des animaux. Les humains fabriquent des objets, dont la beauté se caractérise par l’affichage des modèles de façon répétitive tout en gardant les formes et les tailles inchangea- bles. C’est cette caractéristique qui est le travail de notre activité d’apprentissage.

Figure 1.3.1

Exemples de transformations isométriques dans la nature et dans l’art.

Travail 1

Lisez sur l’isométrie euclidienne dans le plan, trouvez dans votre environnement deux exemples pour chaque type d’isométrie euclidienne dans le plan et esquissez- les à la main.

Travail 2

Enquêtez sur la question suivante : dans une réflexion glissée G, commençant par translation suivie de la réflexion, en résulte t-elle de même que par la réflexion suivie de la translation?

Travail 3

dessinez trois exemples de chaque type d’isométrie euclidienne dans le plan en utilisant GéoGebra

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Unité 1 : Révision de la Géométrie Euclidienne Cette unité a 6 activités d’apprentissage

1. Sur l’histoire de la géométrie euclidienne 2. Développement de la géométrie euclidienne 3. L’isométrie euclidienne plane

6. Similitude géométrique Maintenant vous travaillerez sur : Activité 1.4 Les triangles

À la fin de cette activité d’apprentissage vous devriez être capable de :

• Démontrer quelques théorèmes courants sur les triangles

• Construire un triangle en donnant trois de ses éléments en utilisant seulement la règle et le compas ou en utilisant GéoGebra ou WinGéo

Résumé

Dans cette activité, vous démontreriez synthétiquement certains des théorèmes les plus courants sur les triangles .Ce sont des propositions portant sur les points, les droites et les cercles associés à un triangle. Pour les constructions de triangle, excep- tée l’utilisation des instruments classiques (règles et compas), vous serez stimulés à résoudre les problèmes en explorant GéoGebra ou WinGéo ; le logiciel de informatique dans votre CD-ROM.

Justification

Un triangle est le polygone ayant le moins nombre de côtés. Chaque polygone peut être divisé en plusieurs triangles. Par conséquent, en connaissant les propriétés des triangles, vous serez capable de résoudre des problèmes liés aux différentes formes de polygones. Des formes triangulaires sont très utilisées pas des ingénieurs parce qu’elles sont les formes les plus simples à construire des structures physiques solides pour plusieurs applications techniques.

(31)

Concepts

Triangle : Un triangle est une forme de base de la géométrie : un polygone ayant trois sommets et trois côtés qui sont des segments de ligne droite.

Circonscrit : Le circonscrit (ou cercle circonscrit) d’un triangle est un cercle comprenant tous les sommets du triangle. Le centre du cercle est appelé le centre circonscrit.

Inscrit : L’inscrit ou (cercle inscrit) d’un triangle est le cercle le plus grand d’un triangle ; il touche (est tangent) les trois côtés. Le centre de l’inscrit est appelé le centre inscrit

Centre de gravité : Le centre d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes (les droites qui joignent chaque sommet avec le point médian du coté opposé.

Orthocentre : Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un point unique, appelé l’orthocentre

Cercle des neuf points : Le cercle des neuf points (aussi connu sous le nom de cer- cle de Feuerbach, cercle d’Euler, cercle de Terquem) est un cercle qui peut être construit pour un triangle quelconque donné. On l’appelle ainsi parce qu’il passe par neuf points importants, six points sur le triangle même (sauf si le triangle est obtus).

Ils comprennent : le milieu de chaque côté du triangle, le pied de chaque hauteur, et le milieu du segment de chaque hauteur du sommet à l’orthocentre.

Liste des lectures pertinentes LA1.4 RR1: Triangle

http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle LA1.4 RR2: Triangle

http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html

(32)

Introduction aux activités d’apprentissage

Triangle

Figure1.4.1

Un exemple d’application des formes triangulaires dans la construction (technologie)

Vous commencerez ces activités en rappelant les points spéciaux, les droites et cir- conférences relatives à un triangle :

Hauteur du triangle est un segment d’un sommet perpendiculaire au côté opposé.

Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un point unique, appelé l’orthocentre du triangle

Médiane d’un triangle est un segment d’un sommet au milieu du côté opposé. Le centre de gravité ou l’isobarycentre d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes.

Bissectrice d’un angle d’un triangle est un segment de rayon qui coupe un angle en deux et le prolonge vers le côté opposé. L’intersection des bissectrices des angles donne lieu au centre du cercle inscrit.

Médiatrice d’un côté d’un triangle est une droite qui coupe en deux un côté du triangle et est perpendiculaire à celui-ci. Les trois médiatrices d’un triangle se croisent en un point unique : le centre du cercle circonscrit; ce point est le centre du circonscrit, le cercle passant par les trois sommets du triangle. Après la révision, vous utiliserez ces éléments en relation avec un triangle en déclarant les conjectures et les proprié- tés lesquelles vous conduiront à apprendre les théorèmes qui vous permettront de résoudre des problèmes sur les constructions des triangles, à l’aide de compas et de règle. En utilisant GéoGebra ou WinGéo vous découvrirez aussi des propositions intéressantes sur les triangles.

(33)

Travail 1

Lisez à propos des triangles

En général, un triangle est défini par ces trois éléments CAC (côté, angle, côté), ACA (angle, côté, angle), CCC (côté, côté, côté) qui fournissent trois exemples bien connus. Mais il en existe plusieurs. Utilisant un compas et une règle, construisez un triangle pour chacun des cas CAC, ACA, et CCC.

Travail 2

Théorème de Thalès (Thalès de Milet) déclare que si A, B et C sont des points d’un cercle tel que la droite AC est le diamètre du cercle, alors l’angle ABC est un angle droit.

Prouvez la réciproque du Théorème de Thalès

Travail3

La droite d’Euler (Leonhard Euler). En géométrie, la droite d’Euler d’un triangle est la droite passant par l’orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité ou isobarycentre et le centre du cercle d’Euler de ce triangle. Le centre du cercle d’Euler est situé au milieu du segment formé par l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit. D’autre part, la distance entre le centre de gravité et l’orthocentre est le double de celle entre le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit. Dessinez la droite d’Euler d’un triangle ABC.

Travail4

Enquêtez sur le théorème de Ceva .C’est le plus connu de la géométrie élémentaire. Soit un triangle ABC et des points D, E et F appartenant respectivement aux droites BC, CA et AB. Selon le théorème de Ceva, les droites AD, BE et CF sont concourantes si et seulement si ce théorème est prouvé :

=1

Travail 5

Soit un triangle ABC, dessinez le cercle Feuerbach en utilisant le compas et la rè- gle

(34)

6. Similitude géométrique

Maintenant vous travaillerez sur Activité 1.5 Les cercles

À la fin de votre activité d’apprentissage vous devriez être capable de :

• Démontrez quelques théorèmes communs sur les cercles

• Explorez les propriétés des cercles en utilisant GéoGebra et WinGéo Résumé

Dans cette activité, vous montrerez de manière synthétique quelques théorèmes des plus populaires des triangles. Certains de ces théorèmes sont liés à l’activité d’apprentissage précédente (sur les triangles)

Les constructions et les problèmes sur les triangles seront résolus en utilisant le compas et la règle aussi bien qu’avec GéoGebra et WinGéo

Justification

Dans cette activité vous apprendrez les propriétés du cercle avec des segments et des angles. Par conséquent, c’est important de réviser quelques théorèmes sur les cercles circonscrits et inscrits.

(35)

Concepts

Cercle : Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d’un point nommé centre.

Circonférence: une circonférence d’un cercle est le périmètre du cercle.

Rayon: Le rayon d’un cercle est un segment de droite quelconque reliant son centre à un point du cercle.

Note : Par abus, le rayon d’un cercle est la longueur de chacun de ces segments. Le rayon est la moitié du diamètre.

Corde: Une CORDE d’un cercle est un segment dont les extrémités sont sur le cercle.

Diamètre: Dans un cercle, le diamètre est un segment de droite passant par le centre.

Le diamètre est aussi la longueur de ce segment.

Arc: Un arc de cercle est une portion de cercle délimité par deux points.

Liste des lectures pertinentes LA1.5 RR1: Cercle

http://en.wikipedia.org/wiki/Circle LA1.5 RR2: Cercles

http://mathworld.wolfram.com/topics/Circles.html LA1.5 RR3: Théorèmes du cercle

http://www.mathsrevision.net/gcse/pages.php?page=13

(36)

Introduction aux activités d’apprentissage

Cercles

Quelle forme est l’ensemble de tous les points restant à la même distance d’un point fixe?

Le cercle est une forme très commune que nous trouvons dans notre environnement de façon naturelle et artificielle.

Figure 1.5

Exemple d’application de formes circulaires

Travail1

Lire à propos des cercles et prouvez trois des théorèmes suivants

(1) Des angles sous-tendus par un arc de cercle et situés d’un même côté d’un segment sont égaux

(2) L’angle qu’un arc sous-tend au centre d’un cercle est le double de l’angle que l’arc sous-tend aux points sur le reste de la circonférence.

(3) Un angle sous-tendu à la circonférence par un demi-cercle est un angle droit (4) Si deux tangentes sont tracées à un cercle à partir d’un point externe P alors: (a)

Les tangentes ont la même longueur; (b) Les tangentes sous-tendent des angles égaux au centre du cercle; (c)La droite du point au centre divise l’angle en deux entre les tangentes.

(5) Si une tangente PA et une sécante PBC sont tracées à un cercle à partir d’un point externe P, alors :

PA²=PB×PC.

(6) Si deux cordes AB et CD s’intersectent en un point Y, alors AY×BY=CY×DY.

(37)

Travail 2

Considérez les figures ci-dessous, trouvez x et y.

A B C

Travail3

Résolvez l’un des problèmes suivant

(1) Construisez un cercle de rayon donné et tangent à deux droites données qui se croisent.

(2) Construisez un cercle de rayon donné et tangent à une droite et au cercle donné.

(38)

6. Similitude géométrique

Maintenant vous travaillerez sur

Activité 1.6 Les Similitudes géométriques

À la fin de votre activité d’apprentissage vous devriez être capable de :

• Démontrer quelques théorèmes communs sur les cercles

• Explorer les propriétés des cercles en utilisant GéoGebra et WinGéo Résumé

Dans cette activité, vous vous apprendrez la similarité géométrique et établirez un rapport entre cette transformation avec la transformation isométrique que vous avez apprise depuis l’activité d’apprentissage 1.3. Particulièrement, vous en saurez aussi plus sur les triangles semblables. Exceptés les instruments classiques pour la construction géométrique, vous utiliserez aussi GéoGebra et WinGéo.

Justification

La similitude géométrique inclue les transformations isométriques comme cas particulier. Par conséquent, il est important que vous vous rappeliez des propriétés de transformation apprises depuis l’activité d’apprentissage 1.3.C’est aussi important de réviser les principes de proportion de base en particulier ceux en relation aux triangles semblables.

(39)

Concepts

Similitude géométrique En géométrie, une similitude est une transformation qui, à toute figure, fait correspondre une figure semblable, c’est-à-dire de même forme.

Ainsi, par une similitude, tout carré a pour image un carré, tout triangle équilatéral un triangle équilatéral, tout cercle a pour image un cercle, etc. Les similitudes conservent donc les barycentres et les cercles. Réciproquement, toute transformation bijective du plan qui conserve les cercles est une similitude.

Rapport de similitude: Un rapport de similitude est un rapport constant par lequel toutes distances sont augmentées (ou diminuées) dans une similitude .Une similitude dont le rapport est égal à 1 est appelé une isométrie.

Dilatation centrale: Une transformation de similarité qui transforme chaque droite en droite parallèle dont la longueur est un multiple fixe de la longueur de la droite originale. La dilatation la plus simple est en conséquent une translation et toute dilatation qui n’est pas simplement une translation est appelée dilatation centrale Directement semblables: Deux figures sont directement semblables quand tous les angles correspondants sont égaux et représentés dans le même sens de rotation Inversement semblables : Deux figures sont inversement semblables quand tous les angles correspondants sont égaux et représentés dans le sens de rotation opposé.

Liste des lectures pertinentes

LA1.6 RR1: Similitude (géométrique)

http://en.wikipedia.org/wiki/Similarity_(geometry) LA1.6 RR2:Similitude géométrique

http://mathworld.wolfram.com/SimilarityTransformation.html

Liste des ressources pertinentes

Les ressources pertinentes de cette activité sont :

- Les instruments de la géométrie classique : le compas et la règle.

- GéoGebra ou WinGéo.

(40)

Introduction aux activités d’apprentissage

Similitude géométrique

Figure 1.5

Des exemples aux formes géométriques semblables

Travail 1

Lire à propos de la similitude géométrique (LA1.6 RR1, LA1.6 RR2 et LA1.6 RR3).

Supposez qu’un triangle ABC est similaire au triangle DEF de telle manière que l’angle au sommet A est congruent avec l’angle au sommet D, l’angle à B est congruent avec l’angle à E,et l’angle à C est congruent avec l’angle à F. Ensuite, une fois que cela est acquis, prouvez une des proportionnalités entre les côtés correspondants aux deux triangles :

= ; = ; = ; = =

Travail 2

Considérez qu’un triangle ABC dont l’aire est égale à 3 unités carrées. Si ABC est transformé en A’B’C’ par la dilatation centrale dont le rapport de similitude est égale à Quelle sera l’aire de A’B’C’?

(41)

Travail 3

Trouvez les longueurs des cotés du triangle droit dont l’hypoténuse a une longueur c si ces cotés ont un rapport de

(a) 3:4 et c=15; (b) 5:12 et c=26 (c) 1:2 et c=10.

Unité 2 : Géométrie analytique du plan.

Cette unité a 4 activités d’apprentissage.

2.1 Espace vectoriel (en deux dimensions) 2.2 La ligne droite 2.3 Transformation des coordonnées dans le plan 2.4 Sections coniques

Maintenant nous allons travailler sur :

Activité 2.1 Espace vectoriel (en deux dimensions)

À la fin de cette activité d’apprentissage, vous devriez être capable de :

• Définir le concept de vecteur

• Fonctionner avec les vecteurs (addition, multiplication scalaire et produit scalaire)

Résumé

Dans cette activité vous apprendrez le concept du mot vecteur. Il convient de relever qu’un vecteur est défini par les aspects suivants : magnitude et direction. Les opéra- tions fondamentales des vecteurs que vous commencerez dans cette Unité 2 seront : l’addition, la multiplication par un scalaire et le produit scalaire. Plus tard dans l’unité3 vous apprendrez différents types de produits de deux vecteurs.

Justification

Les règles d’opération dans l’espace vectoriel sont similaires aux règles des opérations de l’algèbre scalaire. Alors il est important de réviser les principes d’opérations de base dans le module portant sur l’algèbre linéaire.

(42)

Concepts

Espace vectoriel : un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d’effectuer des combinaisons linéaires.

Vecteur : un vecteur est un élément d’un espace vectoriel, ce qui permet d’effectuer des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire.

Multiplication scalaire : C’est la multiplication du scalaire par un vecteur.

Norme d’un vecteur : Soit A et B deux points du plan ou de l’espace. La norme du vecteur , notée || ||, est la distance de A à B :

|| ||=AB.

Soit un vecteur du plan ou de l’espace. La norme du vecteur est la norme de l’un quelconque de ses représentants :

si = , alors || ||=|| ||=AB.

|| ||=0 ; un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.La norme d’un vecteur est un réel positif.

Produit scalaire : le produit scalaire est une opération algébrique s’ajoutant aux lois s’appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet d’exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et aux espaces vectoriels complexes.

LA2.1 RR1: Analyse vectorielle, un livre pour l’utilisation des mathématiques et de la Physique, fondé sur les lectures de J. Willard Gibbs, c1929 (un fichier

PDF

dans http://www.archive.org/details/117714283 ) LA2.1 RR2: Vecteur (espace)

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial) LA2.1 RR3: Espace vectoriel

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space LA2.1 RR4: Vecteur

http://mathworld.wolfram.com/Vector.html

(43)

Liste des ressources pertinentes

Les ressources pertinentes de cette activité d’apprentissage sont : - La règle et le rapporteur

- WinGéo et GéoGebra

Introduction aux activités d’apprentissage

Espace vectoriel (dans deux dimensions)

Dans le monde des mathématiques et de la physique nous pouvons considérer deux types de quantités. Certaines, faciles à décrire de par leur magnitude. D’autres parts

.

il existent des quantités qu’en plus de leur magnitude, une direction doit être donnée force est donnée par une grandeur avec une instruction à laquelle elle se dirige. Le vent est également présenté par une magnitude avec direction nord, sud, est, ouest ou une direction intermédiaire. Cette quantité possédant une ampleur et d’une direction, sont appelés vecteurs

Figure 2.1.7

Une couche de grille de vecteurs.

Mathématiquement, un espace où des quantités de ce type sont étudiées est appelé espace vectoriel et il est formellement défini comme suit:

Soit F un corps (comme les nombres réels ou complexes), dont les éléments seront appelés scalaires. Un espace vectoriel sur le corps F est un ensemble V muni de deux opérations binaires.

• Addition vectorielle: V × V → V notée v + w, où v, w ∈ V, et

• Multiplication par un scalaire: F × V → V notée av , où a ∈ F et v ∈ V, satisfaisant aux axiomes ci-dessous. Quatre autres exigent l’addition vectorielle pour laquelle V est un groupe abélien, et deux sont des lois de distribution.

(44)

1. L’addition vectorielle est associative:

Pour tout u, v, w ∈ V, nous avons u + (v + w) = (u + v) + w.

2. L’addition vectorielle est commutative:

Pour tout v, w ∈ V, nous avons v + w = w + v.

3. L’addition vectorielle a un élément neutre:

Il existe un élément 0 ∈ V, appelé le vecteur nul, tel que v + 0 = v pour tout v ∈ V

4. L’addition vectorielle permet l’opposé d’un élément:

Pour tous V ∈ V, il existe un élément w ∈ V, appelé l’élément opposé de v, tel que v + w = 0.

5. La multiplication scalaire est distributive par rapport à l’addition vectorielle:

Pour tout a ∈ F et v, w ∈ V, nous avons a(v + w) = av + a w.

6. L’addition dans le corps est distributive par rapport à la multiplication par un scalaire:

Pour tous a, b ∈ F et v ∈ V, nous avons (a + b) v = av + bv.

7. La multiplication par un scalaire est compatible avec la multiplication dans le corps :

Pour tous a, b ∈ F et v ∈ V, nous avons a( bv) = (ab) v.

8. La multiplication par un scalaire a un élément d’identité:

Pour tous V ∈ v, nous avons 1 v = v, où 1 désigne l’identité multiplicative dans F.

Formellement, ce sont les axiomes pour un module, un espace vectoriel peut être précisément décrit comme un module sur un corps.

Notez que l’axiome septième ci-dessus, indiquant a (b v) = (ab) v, n’est pas l’affir- mation d’une associativité d’une opération, puisqu’il ya deux opérations en ques- tion, une multiplication scalaire: b v, et la multiplication sur le corps: ab à partir de Certaines sources choisissent d’inclure également deux axiomes de fermeture:

1. V est fermé pour l’addition vectorielle:

Si u, v ∈ V, alors u + v ∈ V.

2. V est fermé pour la multiplication scalaire:

Si a ∈ F, v ∈ V, alors av ∈ V.

(45)

Travail 1

Lisez à propos de la notion de vecteur, ses propriétés et les opérations dans les lectures

LA2.1 RR1, chapitre I, pages 1-17, 51-52, chapitre II, pages 55-60

Travail 2

Esquisser les vecteurs V suivant avec les points de départ situé à l’origine:

(a) v1 = (3, 5) (b) v2 = (-2, 7) (c) v3 = (-5, -4)

Travail 3

Trouvez les composantes du vecteur ayant point P1 et P2 initial point d’arrivée.

(a) P₁(2, 3), P₂ (3, -5) (b) P₁ (7, -2) P₂ (0, 0) Travail 4

Résoudre les exercices 1, 3, 5, 11-16, sur LA2.1 RR1, chapitre II, pages 113-114.

(46)

Unité 2 Géométrie analytique du plan

Cette unité a quatre activités d’apprentissage

2.1) Espace vectoriel en deux dimensions

2.2) La ligne droite 2.3) Transformation des coordonnées dans le plan

2.4) Sections coniques Maintenant vous aborderez.2 The straight line

Activité 2.2 La ligne droite Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette activité d’apprentissage, vous devriez être capable de:

• Présenter une définition de travail d'une ligne droite à travers les différentes formes d’équations.

• Transformer une forme d’équation donnée d'une ligne droite à une autre forme d’équation

• Résoudre des problèmes des lignes droites et des points, des angles ou des distances

Résumé

Une ligne droite peut être représentée par des formes d’équations différentes, certains d’entre elles, vous savez déjà depuis l’école secondaire. Dans cette activité d’apprentissage, vous apprendrez plus des formes d’équations, en utilisant le système de coordonnées polaires et cartésiennes.

Justification

Nous pouvons considérer une ligne droite comme la plus simple «courbe», puisqu’elle est représentée par une équation du premier degré. Plus tard dans cette unité, vous apprendrez les courbes dont les équations sont du second degré. Il est important de maîtriser la déduction des différentes équations d’une ligne droite avant d’arriver à des lignes courbes.

(47)

Concepts

La pente d’une droite (non parallèle à l’axe Oy) correspond au rapport entre la va- riation de y et la variation correspondante de x. Cela correspond donc également à la tangente de l’angle que fait la droite avec l’axe Ox

La forme de la pente à l’origine : la forme linéaire y = ax + b est appelé la forme de la pente à l’origine de l’équation d’une ligne droite, où a est la pente de la droite, et b est l’ordonnée à l’origine.

Forme générale: La forme linéaire Ax + By + C = 0 où A, B, C sont des entiers, est appelle la forme générale de l’équation d’une droite.

LA2.2 RR1: Les éléments de la géométrie analytique solide et dans le plan, Candy, Albert

L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904)

(un fichier PDF file dans http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00can- drich)

LA2.2 RR2: Géométrie analytique pour les collèges, les universités, et les écoles techniques

Nichols, E. W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.] : Leach, Shewell &

Sanborn, (c1892)

(un fichier PDF dans http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich ) LA2.2 RR3: Droite

http://en.wikipedia.org/wiki/Line_(mathematics) LA2.2 RR4: Droite

http://mathworld.wolfram.com/Line.html Liste des ressources pertinentes

Les ressources pertinentes de cette activité d’apprentissage sont : - La règle et le rapporteur

- WinGéo et GéoGebra

(48)

Introduction aux activités d’apprentissage

La ligne droite

Figure 2.2.7 Lignes droites

Travail 1

Lisez à propos la représentation d’une ligne droite par des formes différentes dans l’équation activité d’apprentissage A2.2

Travail 2

Résolvez les exercices suivants:

activité d’apprentissage 2.2 RR1, page 51, Exercices 1-15 (résoudre les 8 exercices seulement);

page 52, Exercices 1-13 (résoudre des 7 exercices seulement);

page 54, Exercices 1-11 (résoudre 6 exercices seulement);

page 57, Exercices 1-18 (résoudre des exercices 9 seulement);

pages 63-66, Exercices 1-39 (résoudre 20 exercices seulement

Travail 3

activité d’apprentissage 2.2 RR2, pages 27-29, Exercices 1-15 (résoudre les 8 exercices seulement);

pages 30-31, Exercices 1-12 (résoudre des 7 exercices seulement);

page 34, Exercices 1-7 (résoudre 4 exercices seulement);

(49)

Unité 2 Géométrie analytique plane

Cette unité a quatre activités d’apprentissage 2.1) Espace vectoriel en deux dimensions

2.2) La ligne droite 2.3) Transformation des coordonnées dans le plan

2.4) Sections coniques

Maintenant vous aborderez

Activité 2.3) Transformation des coordonnées dans le plan

définir les deux motions (translation, rotation) de transformation de coordonnées dans le plan; trouver pour un objet géométrique étant donné les nouvelles coor- données d'une traduction et / ou rotation des axes originaux.the plane

Résumé

Une équation d’un objet géométrique pourrait être compliquée et pas facile à analyser comme donnée. Par une transformation de coordonnées, cette équation devient plus simple.

La simplification peut être réalisée par une ou deux opérations distinctes: d’une translation et / ou une rotation des axes. Dans cette activité d’apprentissage, vous apprendrez comment déduire les nouvelles coordonnées du cadre d’origine.

Justification

La transformation de coordonnées constitue un dispositif qui nous permet de simplifier une équation d’un objet géométrique à la forme la plus reconnue- la forme canonique.

Ainsi, Une fois que vous êtes capable de transformer les coordonnées, vous pouvez ensuite analyser les propriétés de cet objet géométrique facilement.

Concepts

Transformation de coordonnées: une transformation de coordonnées est une conversion d’un système à un autre, pour décrire le même espace.

Translation des axes de coordonnées: Une translation des axes de coordonnées est l’opération de déplacement des axes de coordonnées dans le repère du plan à une position différente de sorte que les nouveaux axes sont parallèles aux axes précédents, respectivement, et dirigé de façon similaire.

(50)

Rotation des axes de coordonnées: Une rotation des axes de coordonnées est l’opération de déplacer les axes de coordonnées par un tour sur leur origine comme un point fixe.

LA2.3 RR1: Les éléments de la géométrie analytique solide et dans le plan, Candy,

Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904)

(un fichier PDF dans http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00can- drich)

LA2.3 RR2: Géométrie analytique pour les collèges, les universités, et les écoles techniques

Nichols, E. W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early Ameri- can

mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.]: Leach, Shewell & Sanborn, (c892)

(PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich )

Liste de ressources pertinentes

Les ressources pertinentes pour cette activité d’apprentissage sont les suivants:

- La règle et le rapporteur - GéoGebra ou WinGéo.

(51)

Introduction aux activités d’apprentissage

Transformation de coordonnées dans le plan

Figure 2.3.7

Exemple d’une transformation de coordonnées dans le plan (une translation suivie d’une rotation)

Travail 1

Lisez à propos de transformation de coordonnées dans le plan en LA2.3 RR1, chapitre

IV, pages 67-69, et activité d’apprentissage 2.3 RR2, chapitre IV, pages 50-58.

Travail 2

Activité d’apprentissage 2.3 RR1, page 69, Exercices 1-24 (résoudre 15 exercices seulement).

Travail 3

Activité d’apprentissage 2.3 RR2, page 54, Exercices 1-13 (résoudre les 8 exercices seulement); pages 57-58, Exercices 1-24 (résoudre 15 exercices seulement).

(52)

Unité 2 Géométrie analytique plane

Cette unité a quatre activités d’apprentissage

1) Espace vectoriel en deux dimensions

2) La ligne droite 3) Transformation des coordonnées dans le plan

4) Sections coniques

Maintenant vous travaillerez sur

Activité 2.4 sections coniques

• Définir des sections coniques en termes de lieu géométrique de points et en présentant leurs équations;

• Résoudre les problèmes relatifs aux sections coniques;

• Établir des sections coniques en main libre et utilisant GéoGebra ou Win- Géo.

e

Résumé

Dans cette activité d’apprentissage, vous définirez les sections coniques (ellipse, parabole, hyperbole) et appliquerez leurs propriétés dans la résolution problèmes connexes. D’une part vous commencerez par le traitement de l’équation générale du second degré et les formes standard auxquelles elle peut être transformée tandis que d’une autre part, il sera présentée le lieu géométrique d’une telle équation qui est toujours une courbe pouvant être obtenue en faisant une coupe du cône circulaire droit par un plan.

Justification

Les sections coniques ont des propriétés avec plusieurs applications techniques. Il est important pour vous de savoir sur ces propriétés, en particulier, car vous aurez besoin de les utiliser dans la prochaine activité d’apprentissage lors du traitement des surfaces générées par les sections coniques