Puisque vous avez appris dans l’unité précédente à opérer avec des vecteurs en deux dimensions, dans cette activité d’apprentissage, vous allez élargir un peu plus vos connaissances dans ce domaine.
Travail 1 Si u=(2, -1, 3), v=(0, 1, 7), w=(1, 4, 5). Calculez: a) u x w b) u x (v x w) c) (u x v) -2w Travail 2
Dans chaque cas, trouvez un vecteur orthogonal à la fois pour u et pour v. a) u = (-7, 3, 1), v = (2, 0, 4)
b) u = (-1, -1, -1), v = (2, 0, 2) Travail 3
Si les sommets du triangle sont A(1, -1, 2), B(5, -6, 2), C(1, 3, -1), trouvez la hau-teur de sommet B.
Travail 4
Dans chaque cas, trouvez l’aire du triangle qui a comme sommets P, Q, et R. a) P(1, 5, -2), Q(0, 0, 0), R(3, 5, 1
b) P(2, 0, -3), Q(1, 4, 5), R(7, 2, 9) Travail 5
Le volume du tétraèdre ABCD est égal à 5.
Si A(2, 1, -1), si B(3, 0, 1), si C(2, -1, 3), et le sommet D appartient à l’axe Y, trouvez les coordonnés de D.
Unité3 : Géométrie analytique dans l’espace
1) Vecteurs en trois dimensions 2) Plans et droites 3) Transformations des coordonnées en l’espace 3D 4) Surfaces quadratiques ou quadriques Maintenant vous travaillerez sur Activité3.2 Plans et droites
Objectifs d’apprentissage
À la fin de l’activité d’apprentissage vous devriez être capable de
• Déduire différentes formes d’équations d’un plan et d’une droite
• Résoudre les problèmes relatifs aux plans et aux droites Résumé
Dans cette activité d’apprentissage, vous commencerez par déduire les différen-tes formes d’équations d’un plan et plus tard, d’une droite. Après avoir déduit les équations d’un plan et d’une droite, vous résoudrez des problèmes relatifs aux deux objets géométriques. En utilisant GéoGebra et WinGéo, Vous serez en mesu-re de visualiser les diffémesu-rentes positions d’un croquis illustrant un problème donné donc vous pourrez mieux le comprendre et le résoudre plus facilement.
Justification
Dans l’unité 2, vous avez vu la ligne droite (Géométrie analytique dans le plan). Maintenant, dans ce chapitre, vous allez élargir vos connaissances en la traitant en trois dimensions. D’ailleurs, vous apprendrez à conduire les équations des plans et à résoudre des problèmes relatifs à ceux-ci et aux droites en trois dimensions. Avant de commencer le chapitre sur la Géométrie analytique dans le cercle, il est très important de bien réviser l’unité 2.
Concepts
Les plans et les droites sont donnés par des équations dans des formes différentes. Voici expliqué brièvement quelques unes des formes. Un plan contenant le point ( x0, y0, z0 ) et ayant un vecteur normal (orthogonal vecteur pour le plan)
peut être représenté sous forme standard par l’équation suivante : a(x – x0) + b (y – y0) + c ( z – z0) =0
En regroupant les termes, vous obtenez la forme générale de l’équation d’un plan Ax+By+Cz+D=0
Une droite parallèle au vecteur et passant par le point P (x0, y0, z0 ) est représentée par les équations paramétriques:
X=x0+ta Y=y0+tb Z=z0+tc
Si les nombres de direction a, b et c sont tous non nuls, vous pouvez éliminer le paramètre t pour obtenir les équations symétriques (ou forme standard) d’une droite:
=
Liste des lectures pertinentes
LA3.2 RR1: Les éléments de la géométrie analytique solide et dans le plan, Candy,
Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904), pages 209-216.
(un fichier PDF dans http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00can -drich)
LA3.2 RR2: Géométrie analytique pour les collèges, les universités, et les éco-les techniques Nichols, E. W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston.
Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.] : Leach, Shewell & Sanborn, (c1892), pages 226-258.
(un fichier PDF dans http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich ) Liste de ressources pertinentes
Les ressources pertinentes pour cette activité d’apprentissage sont les suivants: - GéoGebra ou WinGéo
Les plans et les droites
Dans cette unité vous utiliserez des vecteurs pour conduire des équations des plans et droites en l’espace 3D, et vous vous en servirez de ces équations pour résoudre des problèmes géométriques de base. Dans la géométrie analytique du plan une droite peut être spécifiée en donnant sa pente et l’un de ses points. De même, un plan dans l’espace à trois dimensions peut être déterminé en donnant son incli-naison et en spécifiant un de ses points. Les plans et de droites sont donnés par des équations dans des formes différentes. Dans les lectures pertinentes pour cette unité, vous trouverez des explications sur la façon de conduire l’ensemble des formes différentes. Avant de résoudre un problème algébrique, essayez de faire un croquis qui vous permettra à interpréter plus facilement la cause du problème. Travail 1
Lisez à propos des plans et des droites dans l’activité d’apprentissage3.2 RR1, chapitre XIV, pages 209-216; et l’activité d’apprentissage3.2 RR2, chapitre II-III, pages 226-252.
Travail 2
Résolvez les exercices suivants:
l’activité d’apprentissage33.2 RR1, page 216, d’exercices de 1-12, il vos faut résoudre les neuf exercices seulement.
Travail 3
Résolvez les exercices suivants:
l’activité d’apprentissage33.2 RR2, dans chaque lot de pages 234-235, et 240-242, il vous faut de résoudre les quinze exercices seulement.
Unité 3 : Géométrie analytique dans l’espace Cette unité comporte 4 activités d’apprentissage
1) Vecteurs en trois dimensions 2) Plans et droites 3) Transformations des coordonnées en l’espace 3D 4) Surfaces quadratiques ou quadrique Maintenant vous travaillerez sur
Activité 3.3 Transformations des coordonnées en l’espace 3D
Objectifs d’apprentissage
À la fin de cette activité d’apprentissage, vous devriez être capable de:
• Réduire les formes générales des équations en trois dimensions à des formes standard d'une traduction et / ou par la rotation des axes des coordonnées. Résumé
Comme pour la transformation de coordonnées dans un plan que vous avez vu dans l’unité précédente, dans cette activité d’apprentissage, vous apprendrez à ré-duire des équations de formes générales et de formes standards par une translation et/ou une rotation des axes de coordonné en trois dimensions. À l’aide de croquis à la main ou le logiciel GéoGebra ou WinGéo, vous pourrez visualiser un problème donné avant de le résoudre algébriquement.
Justification
Vous connaissez déjà les transformations de coordonnées dans un plan. Main-tenant, il est important d’apprendre les mêmes transformations (translation et rotation), mais cette fois ci dans un espace tridimensionnel. Ces opérations sont nécessaires pour résoudre les problèmes de la prochaine activité d’apprentissage sur des surfaces quadratiques.
Concepts
Les concepts sont les mêmes que ceux étudiés dans l’activité d’apprentissage sur les transformations de coordonné dans un plan (unité 2, activité d’apprentissage 3), mais maintenant ils sont étudiés dans un espace tridimensionnel.
Transformation de coordonnées : Une transformation de coordonnées est une conversion d’un système à un autre système pour décrire le même espace.
Translation des axes de coordonnées : C’est l’opération de déplacer les axes du système de coordonnées dans une autre position afin que les axes nouveaux soient parallèles aux anciens axes et qu’ils aient la même dirigé.
Rotation des axes de coordonnés : c’est l’opération de déplacer les axes de coor-données par un tour sur leur Origine qui agit comme un point fixe.
Liste des lectures pertinentes
LA3.3 RR1: Les éléments de la géométrie analytique solide et dans le plan, Candy,
Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904), pages 217-218.
(un fichier PDF dans http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00can -drich)
LA3.3 RR2: Géométrie analytique pour les collèges, les universités, et les écoles techniques
Nichols, E. W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.]: Leach, Shewell & Sanborn, (c1892), pages 247-249.
(un fichier PDF dans http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich ) Liste de ressources pertinentes
Les ressources pertinentes pour cette activité d’apprentissage sont les suivants: - GéoGebra ou WinGéo