Figure 4.3.4 Machine optique
«La géométrie projective est toute la géométrie» (Cayley, 1821-1895). Cette affirmation du mathématicien anglais Arthur Cayley est due au fait que, dans la géométrie projective les points à l’infini ne se distinguent pas de points ordinaires et, par conséquent, la géométrie projective présente bien plus de symétrie que la géométrie affine.Les propriétés de la géométrie projective ont été découvertes par les artistes au cours des siècles lors de la tentative de peindre des magnifiques images réalistes de scènes composées d’objets situés à des distances différentes de l’œil. La question posée était: Comment des scènes en trois dimensions sont représentées sur une toile de deux dimensions? La géométrie projective, explique malgré les transformations, comment si les yeux perçoivent le «monde réel» et explique alors comment les ar-tistes peuvent atteindre le réalisme dans leurs peintures. Parmi les mathématiciens qui ont développés cette géométrie, nous pouvons mentionner l’architecte français Girard Desargues (1591-1661) qui a inventé les points à l’infini, ce qui conduit à une approche unifiée et une vision plus approfondie des structures géométriques. Dans de cette activité d’apprentissage, vous allez étudier les transformations projectives dans le plan et les utiliser pour résoudre des problèmes fondamentaux sur la géométrie projective.
Travail 1
Lisez à propos de la géométrie projective dans l’activité d’apprentissage4.3 RR1, sur les sujets suivants:
a) les éléments idéals en géométrie, dans le chapitre d’introduction, pages 12-14;
b) Le principe de la dualité, le chapitre 1, pages 26-28;
c) Configurations géométriques élémentaires, chapitre 2, pages 34-54; d) Primitives géométriques en géométrie projective, chapitre 3, pages 55-74 e) les constructions d’éléments harmoniques et le théorème fondamental de la
géométrie projective, chapitre 1, pages 79-102. Travail 2
Lequel des coordonnées homogènes suivantes représente le même point deRP2 tel que [4, -8, 2]?
A B ; ; C -2;
D E ; - ;
Travail 3
Déterminez laquelle des transformations suivantes t de RP2 sont des transforma-tions projectives?
Écrivez une matrice associée à t pour ces transformations.
a) t : b) t : c) t : d) t :
Travail 4
Pour chacune des séries de points suivantes de points A, B, C, D, calculer le birap-port (ABCD).
a) A[2, 1, 3], B[1, 2, 3], C[8, 1, 9], D[4, -1, 3] b) A[2, 1, 1], B[-1, 1, -1], C[1, 2, 0], D[-1, 4, -2] c) A[-1, 1, 1], B[0, 0, 2], C[5, -5, 3], D[-3, 3, 7] Travail 5
Calculer le birapport (ABCD) des points colinéaires A, B, C et D illustrés ci-dessous, où D est un point idéal.
iX. Concepts (glossaire)
Les éléments d’Euclide : le traité classique en géométrie écrit par Euclide (environ 300 ans avant J.C). Ces éléments sont composés de 465 propositions divisées en 13 livres.
Le papyrus mathématique rhind : c’est un document mathématique antique écrit sur le papyrus (papier).Il dérive du nom Alexander Henry Rhind, un antiquaire écossais, qui acheta le papyrus en 1958 à Louxor (égypt.)
Axiome : est une phrase ou une proposition qui est prise comme vrai.
Théorème : une déclaration qui a été prouvée comme vraie ou proposée comme étant une vérité démontrable.
Conjoncture : est semblable à une hypothèse .Une déclaration tirée d’évidence mais qui n’est pas prouvée.
Raisonnement inductif et déductif : manière de penser commençant par des cas particuliers à la généralisation (induction).
Une fois en ayant des états généraux (prouvés), alors nous avons des implications pour le cas particulier (déduction)
Preuve mathématique : une démonstration minutieuse d’une proposition utilisant la logique de la structure axiomatique de cette proposition.
Isométrie euclidienne du plan : est une transformation du plan qui conserve les propriétés géométriques telles que les longueurs et distances.
Translation : Une translation est une transformation géométrique qui correspond à l’idée intuitive de « glissement » d’un objet, sans rotation, retournement ni défor-mation de cet objet.
Une translation de vecteur est une transformation qui, à tout point M, associe le point M’ tel que:
On dit alors que M’ est le translaté de M.
Rotation: C’est un mouvement circulaire d’un objet. Soit θ un réel et O un point du plan. La rotation de centre O et d’angle θ est une isométrie du plan : c’est la transformation
Réflexion : Une réflexion du plan euclidien est une symétrie orthogonale par rapport à une droite (droite vectorielle s’il s’agit d’un plan vectoriel euclidien). Dans l’espace euclidien de dimension 3, il s’agit d’une symétrie orthogonale par rapport à un plan. Plus généralement, en géométrie euclidienne, une réflexion est une symétrie orthogo -nale par rapport à un hyperplan, c’est-à-dire à un sous-espace de codimensions 1. Réflexion glissée :En géométrie euclidienne, une réflexion glissée est une sorte d’isométrie du plan euclidien : la composée d’une réflexion par rapport à une droite et d’une translation dans la direction de cette droite.
Similtude géométrique: En géométrie, deux ensembles de points sont appelés sem-blables, si et seulement si, l’un peut être appliqué sur l’autre par une isométrie (une combinaison de translations, rotations et symétries). De manière moins formelle, deux figures sont semblables si elles ont la même forme et la même taille, mais ont des positions différentes.
Triangle : Un triangle est une forme de base de la géométrie : un polygone ayant trois sommets et trois côtés qui sont des segments de ligne droite.
Circonscrit : Le circonscrit (ou cercle circonscrit) d’un triangle est un cercle comprenant tous les sommets du triangle. Le centre du cercle est appelé le centre circonscrit.
Inscrit : L’inscrit ou (cercle inscrit) d’un triangle est le cercle le plus grand d’un triangle ; il touche (est tangent) les trois côtés. Le centre de l’inscrit est appelé le
centre inscrit
Centre de gravité : Le centre d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes (les droites qui joignent chaque sommet avec le milieu du coté opposé.
Orthocentre : Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un point unique, appelé l’orthocentre
Cercle des neuf points : Le cercle des neuf points (aussi connu sous le nom de cer-cle de Feuerbach, cercer-cle d’Euler, cercer-cle de Terquem) est un cercle qui peut être construit pour un triangle quelconque donné. On l’appelle ainsi parce qu’il passe par neuf points importants, six points sur le triangle même (sauf si le triangle est obtus). Ils comprennent : le milieu de chaque côté du triangle, le pied de chaque hauteur, et le milieu du segment de chaque hauteur du sommet à l’orthocentre
Un cercle : est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d’un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle
Circonférence: est le périmètre du cercle.
Rayon: Le rayon d’un cercle ou d’une sphère est un segment de droite quelconque re-liant son centre à sa circonférence. Par extension, le rayon d’un cercle ou d’une sphère est la longueur de chacun de ces segments. Le rayon est la moitié du diamètre.
Corde: Une CORDE d’un cercle est un segment dont les extrémités sont sur le cercle.
Diamètre: Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment.
Arc: Un arc de cercle est une portion de cercle délimité par deux points.
Similitudegéométrique : En géométrie, une similitude est une transformation qui, à toute figure, fait correspondre une figure semblable, c’est-à-dire de même forme. Ainsi, par une similitude, tout carré a pour image un carré, tout triangle équilatéral un triangle équilatéral, tout cercle a pour image un cercle, etc. Les similitudes conservent donc les barycentres et les cercles. Réciproquement, toute transformation bijective
du plan qui conserve les cercles est une similitude.
Rapport de similitude: un rapport de similitude est un rapport constant par lequel toutes distances sont augmentées (ou diminuées) dans une similitude .Une similitude dont le rapport est égal à 1 est appelé une isométrie.
Dilatation centrale: Une transformation de similarité qui transforme chaque droite en droite parallèle dont la longueur est un multiple fixe de la longueur de la droite originale. La dilatation la plus simple est en conséquent une translation et toute dila-tation qui n’est pas simplement une translation est appelée centrale diladila-tation
Directement semblables: Deux figures sont directement semblables quand tous les angles correspondants sont égaux et représentés dans le même sens de rotation
Inversement semblables : Deux figures sont inversement semblables quand tous les angles correspondants sont égaux et représentés dans le sens de rotation opposé.
Espace vectoriel : un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d’effectuer des combinaisons linéaires.
Vecteur : un vecteur est un élément d’un espace vectoriel, ce qui permet d’effectuer des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire.
Multiplication scalaire : C’est la multiplication du scalaire par un vecteur.
Norme d’un vecteur : Soit A et B deux points du plan ou de l’espace. La norme du
vecteur , notée || ||, est la distance de A à B : || ||=AB.
Soit un vecteur du plan ou de l’espace. La norme du vecteur est la norme de l’un quelconque de ses représentants :
si = , alors || ||=|| ||=AB.
|| ||=0 ; un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.La norme d’un vecteur est un
Produit scalaire : le produit scalaire est une opération algébrique s’ajoutant aux lois s’appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet d’exploiter les notions de la géométrie euclidienne
traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et aux espaces vectoriels complexes.
La pente d’une droite (non parallèle à l’axe Oy) correspond au rapport entre la va-riation de y et la variation correspondante de x. Cela correspond donc également à la tangente de l’angle que fait la droite avec l’axe Ox
La forme linéaire y = ax + b est appelé la pente à l’origine forme de l’équation d’une ligne droite, où a est la pente de la droite, et b est l’ordonnée à l’origine. Forme générale: La forme linéaire ax + by + c = 0 où A, B, C sont des entiers, est appelle la forme générale de l’équation d’une droite.
Transformation de coordonnées: une transformation de coordonnées est une conversiond’un système à un autre, pour décrire le même espace.
Translation des axes de coordonnées: Une translation des axes de coordonnées est l’opération de déplacement des axes de coordonnées dans le repère du plan à une position différente de sorte que les nouveaux axes sont parallèles aux axes pré-cédents, respectivement, et dirigé de façon similaire.
Rotation des axes de coordonnées: Une rotation des axes de coordonnées est l’opération de déplacer les axes de coordonnées par un tour sur leur origine comme un point fixe.
Section conique Une section conique (ou juste conique) est une courbe qui peut être obtenu en faisant une section plane d’un cône circulaire droit.
Ellipse: une ellipse est une courbe plane fermée obtenue par la projection d’un cercle
sur un plan - à condition que la direction de la projection ne soit pas parallèle au plan du cercle - , ou par l’intersection d’un cône droit avec un plan.
Parabole: La parabole est l’intersection d’un plan avec un cône lorsque le plan est
parallèle à l’une des génératrices du cône
Hyperbole : une hyperbole est une figure géométrique de la famille des coniques
caractérisée par une excentricité supérieure à 1.Il peut également être défini comme le lieu géométrique des points où la différence de la distance à deux points fixes est constante.
Produit vectoriel : C’est une opération vectorielle effectuée dans les espaces eucli-diensorientés de dimension trois.
Produit scalaire triple: Il est défini comme le produit scalaire de l’un des vecteurs avec le produit vectoriel des deux autres. C’est aussi un scalaire (plus précisément, il peut être soit un scalaire ou un PSEUDOSCALAIRE). Géométriquement, ce produit est le volume du parallélépipède formé par les trois vecteurs donnés. Il peut être apprécié numériquement en utilisant l’une des quelconques caractérisa-tions équivalentes suivantes:
a . (b× c) = b. (c × a) = c. (a ×b)
Produit vectoriel triple : Il est défini par le produit vectoriel d’
un vecteur avec le produit croisé des deux autres comme dans les relations suivan-tes :
a × (b× c) = b (a . c) - c(a. b); (a ×b)× c = -c × (a ×b) -a(b. c) + b(a. c)
Les plans et les droites sont donnés par des équations sous différentes formes. Ici sont brièvement expliquées certaines de ces formes.
Un plan contenant le point ( x0, y0, z0) et ayant un vecteur normal (vecteur orthogo-nal au plan) = peut être représenté sous forme standard par l’équation:
a(x-x0)+ b(y-y0) + c(z-z0 ) = 0.
En regroupant les termes, vous obtenez la forme générale de l’équation d’un plan: Ax +By +Cz = 0.
Une droite parallèle à un vecteur = et passant par le point P(x0,y0,z0) est représentée par ces équations paramétriques suivantes:
x = x0 + ta y = y0 + tb z = z0 + tc
Si les valeurs des directions a, b et c sont tous non nuls, vous pouvez éliminer le paramètre t pour obtenir les équations symétriques (ou formulaire standard) d’une droite:
= =
Les concepts sont les mêmes que ceux étudiés dans l’activité d’apprentissage sur les transformations de coordonné dans un plan (unité 2, activité d’apprentissage 3), mais maintenant ils sont étudiés dans un espace tridimensionnel.
Transformation de coordonnées : Une transformation de coordonnées est une conver-sion d’un système à un autre système pour décrire le même espace.
Translation des axes de coordonnées : C’est l’opération de déplacer les axes du système de coordonnées dans une autre position afin que les axes nouveaux soient parallèles aux anciens axes et qu’ils aient la même dirigé.
Rotation des axes de coordonnés : c’est l’opération de déplacer les axes de coordon-nées par un tour sur leur Origine qui agit comme un point fixe.
Surface quadratique : une quadrique, ou surface quadratique, est une surface de l’espace euclidien de dimension 3, lieu des points vérifiant une équation cartésienne
de degré 2.
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy + Gx + Hy + Iz + J = 0 Les coefficients A à J étant réels, avec A, B, C, D, E, F non tous nuls.
Sources d’illustrations Unité 1, LA1
Figure 1.1.1: Centre antique du développement de la connaissance géométrique (Source: Dessiné par l’auteur utilisant le programme Adobe illustration) Figure 1.1.2: Pyramides Giza – un signe magnifique de la connaissance géomé
-trique de l’Égypte antique
(Source: http://office.microsoft.com/clipart/results.aspx?lc=en-us&Scope= MP&Query=pyramid )
Figure 1.1.3: Une portion du papyrus Rhind
(Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus ) Unité 1, LA2
Figure 1.2.1: Un immeuble en construction (Source: Photograph by the author)
Figure 1.2.2: Écran photographié des modèles GéoGebra et WinGéo (Source: Modèle photographié par l’auteur)
Unité 1, LA3
Figure 1.3.1: Exemples des transformations géométriques dans la nature et dans l’ art
(Source: butterfly: http://keithclan.com/buterfly.gif ; woven basket: photograph by the author; flower: http://i1.treknature.com/photos/3302/ foto0010.jpg )
Unité 1, LA4
Figure 1.4.1: Un exemple d’application de forme triangulaire dans la construction technologique
(Source: http://www.cnllanca.cat/images/Grua.jpg ) Unité 1, LA5
Figure 1.5.1: Exemple d’application des formes circulaires
Assiette tricotée (Source: Photographié par l’ auteur); roue d’un vélo (Source: http://home.subnet.at/peter/wp-content/scott_speedster.jpg ); Horloge circu-laire
Unité 2, LA1
Figure 2.1.7:Une couche de grille de vecteur
(Source: http://www.jhlabs.com/maps/doc/vector_grid_layer.html ) Unit 2, LA2
Figure 2.2.7: Lignes droites
(Source: http://www.coral-lab.org/~arm1/digital/arlington/arlington-Images/31.jpg ,
http://www.sitemason.com/files/d7HNCg/ncstLRR.JPG , http://www. toweringflat.com/straight%20not.JPG )
Unit 2, LA3
Figure 2.3.7: Exemple de transformation des coordonnées dans le plan
(Source: Dessiné par l’auteur en utilisant le programme Adobe illustration ) Unité 2, LA4
Figure 2.4.7: Sections coniques
(Source: http://www.andrews.edu/~calkins/math/webtexts/conicsl.jpg) Unité 4, LA1
Figure 4.1.1: Un écran photographié de NonEuclid
Figure 4.1.2: Dans une sphère, la somme des angles d’un triangle n’est pas égale à 180°. Une sphère n’est pas un espace Euclidien
(Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Triangle_on_globe.jpg ) Unité 4, LA3
Figure 4.3.1: Un quadrangle complet (à gauche) et un quadrilatère (à droite).
(Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Complete-quads.png ) Figure 4.3.2: Configuration de Desargues
(Source: http://mathworld.wolfram.com/DesarguesTheorem.html ) Figure 4.3.3: Configuration de Pappus
(Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:PappusConfiguration.PNG ) Figure 4.3.4: Machine optique
X. lectures Obligatoires
Lecture #1Les éléments de la géométrie dans le plan et dans l’espace, Candy, Albert L.; Bos-ton, D.C. Heath & co, (1904)
(PDF file in http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00candrich)
Résumé/Justification : un manuel d’histoire de la géométrie. Celui-ci est mentionné tout au long du module comme un texte de base.
Lecture #2
La géométrie analytique pour les collèges, les universités et les écoles techniques, Nichols, E. W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early Ameri-can mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.]: Leach, Shewell & Sanborn, (c892)
(PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich )
Résumé/Justificationt: un manuel d’histoire de la géométrie. Celui-ci est mentionné tout au long du module comme un texte de base.
Lecture #3
Géométrie projective, Veblen, Oswald, Boston and Young, John W.; Ginn &Co. (1938), pages 1-108;
(PDF file in http://www.archive.org/details/117714799_001)
Résumé/Justification: un manuel d’histoire de la géométrie. Celui-ci est mentionné tout au long du module comme un texte de base.
Lecture # 4
Wolfram MathWorld (visité 03.11.06)
Référence complète: http://mathworld.wolfram.com
Résumé: Wolfram MathWorld est une encyclopédie en ligne spécialisée sur les mathématiques
Justification: des références détaillées sont fournies dans le texte. Lecture # 5
Wikipédia (visité 03.11.06)
Référence complète: http://en.wikipedia.org/wiki
Résumé: Wikipédia est une encyclopédie en ligne.