Novembre 2008

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Novembre 2008

1. Calculer :

2

lim

3^x x

e

→+∞

x

2. Pour tout réel x supérieur à 1, comparer :

2 3

e

x

x et e

₂²^x

x x

3. Utiliser les résultats précédents pour déterminer :

2 2

lim 5

2

x x

e x x

→+∞

− +

Analyse

Divers éléments de cours sont passés en revue dans cet exercice (croissance comparée, comparaison, …) pour obtenir un résultat probablement conforme à … votre intuition ?

Résolution

1. Pour pouvoir utiliser le théorème du cours (croissance comparée), il nous faut faire apparaître au dénominateur l’argument de l’exponentielle :

( ) ( )

2 2 2

3

3 3

1 2 8 2

8

x x x

e e e

x x x

= =

Comme : lim 2

x x

→+∞ = +∞, il vient :

( )

2

3 3

lim lim

2

x X

e e

x X

→+∞ = →+∞ = +∞ et, finalement :

2

lim 3 x

x

e

→+∞ x = +∞

2. Pour tout réel x supérieur à 1, on a, la fonction racine carrée étant strictement croissante sur \⁺ : x≥1.

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Novembre 2008

On en déduit, en multipliant par le réel positif x : x≥ x, soit, x étant non nul (puisque supérieur à 1) : 1 1

x≤ x . On en tire alors : 1₂ 1 1₂ 1

x × ≤x x × x, soit : ₃

2

1 1

x ≤ x x . Finalement, l’exponentielle prenant des valeurs strictement positives :

2 2

3 2

x x

e e

x ≤ x x .

[

^1;

[

^,^e²₃^x ^e₂²^x

x x x x

∀ ∈ +∞ ≤

3. Pour tout réel x strictement positif, on a :

2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

5 5

1 1

5

2 2

2 1 1

x

x e x x x

e e e e

x x x x

x x

x x x x

⎛ − ⎞ −

⎜ ⎟

− = ⎝ ⎠ = ×

⎛ ⎞

+ ⎜⎝ + ⎟⎠ +

D’après la question précédente, on a : ^x

[

^1;

[

^,^e²₃^x ₂^e²^x

x x x

∀ ∈ +∞ ≤ . D’après la question 1,

on a :

2

lim 3 x x

e

→+∞ x = +∞. Par comparaison, on en déduit :

2

lim 2 x x

e x x

→+∞ = +∞ (1).

Par ailleurs, on a vu que : lim ²^x

x e

→+∞ = +∞. On en tire immédiatement : 5₂

lim _x 0

x^→+∞e = puis :

2

lim 1 5_x 0

x^→+∞ e

⎛ − ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2).

On a aussi : lim

x x

→+∞ = +∞ et lim ²

x x

→+∞ = +∞. Par produit, il vient alors : lim ²

x x x

→+∞ = +∞ , puis :

2

lim 2 0

x^→+∞x x = et

2

lim 1 2 0

x^→+∞ x x

⎛ + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3).

Les résultats (2) et (3) que nous venons d’obtenir donnent alors (rapport) :

2

1 5

lim 1

1 2

x x

e x x

→+∞

− =

+

On en déduit finalement (produit) en tenant compte de (1) :

2 2 2

2 2

2

1 5

lim 5 lim

2 1 2

x x x

x x

e e e

x x x x

x x

→+∞ →+∞

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

− = ⎜ × ⎟= +∞

+ ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠