[ Baccalauréat STG 2008 \ L’intégrale d’avril à novembre 2008

(1)

Baccalauréat STG 2008

L’intégrale d’avril à novembre 2008

Métropole-La Réunion CGRH juin 2008 . . . 3

Polynésie CGRH juin 2008 . . . 7

Métropole–La Réunion CGRH sept. 2008 . . . 11

Polynésie CGRH sept. 2008 . . . .16

Nouvelle–Calédonie CGRH nov. 2008 . . . 20

Pondichéry Mercatique avril 2008 . . . 25

Antilles–Guyane Mercatique juin 2008 . . . 30

La Réunion Mercatique juin 2008 . . . 35

Métropole Mercatique juin 2008 . . . 40

Polynésie Mercatique juin 2008 . . . 45

Antilles–Guyane Mercatique sept. 2008 . . . 50

Métropole–La Réunion Mercatique sept. 2008 . . . 53

Nouvelle–Calédonie Mercatique nov. 2008 . . . 59

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L’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

2

(3)

23 juin 2008

L’usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu’il aura développée.

Aucun document n’est autorisé

EXERCICE1 6 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un établissement bancaire propose ce placement : Si vous déposez un capital de 10 000 euros, vous obtenez un capital de 15 000 euros au bout de 10 ans.

1. Quel est le taux global de ce placement pour ces 10 ans ?

2. Sachant que ce placement est à intérêts composés, calculer le taux annuel moyen, en pourcentage, à 0,1 % près.

3. Finalement, on place le capital de 10 000 euros à 5 % d’intérêt annuel à inté- rêts composés. Quel capital obtiendra t-on au bout de 10 ans ?

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Un article coûtait 250 euros au 1^erjanvier 2004.

II a subi une inflation de 4,6 % en 2004 et 3,8 % en 2005.

1. Calculer son prix au 1^erjanvier 2005 et au 1^erjanvier 2006.

2. Le tableau ci-dessous donne les indices des prix pour la période 2004/2007.

On prend la référence 100 au 1^erjanvier 2004. Les résultats seront arrondis à 0,1 près.

Date 1/1/2004 1/1/2005 1/1/2006 1/1/2007

Indice 100 104,6 105,9

a. Déterminer l’indice des prix au 1^erjanvier 2006.

b. Déterminer le taux d’inflation (hausse des prix), en pourcentage, pour la période du 1/1/2004 au 1/1/2006.

c. Qu’en est-il pour la période du 1/1/2006 au 1/1/2007 ? Expliquer.

Partie A

Une entreprise a reçu une nouvelle machine dont la complexité nécessite un ap- prentissage progressif. Ainsi, la production évolue en fonction du temps. L’étude se fait sur les cinq premiers mois.

On notexle nombre de mois écoulés depuis l’installation de l’appareil.

La fonction donne le nombre de pièces, en milliers, fabriquées mensuellement par cette machine. Cette fonction est définie par :

f(x)=100x

x+1 pourxvariant dans [0 ; 5].

(4)

1. Montrer que la fonction dérivéef^′def sur [0 ; 5] peut s’écrire sous la forme : f^′(x)= 100

(x+1)².

2. Déterminer le signe de f^′(x) sur [0 ; 5] et en déduire le tableau de variations de la fonction.

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.On arrondira les résultats à l’unité.

x 0 1 2 3 4 5

f(x) 75

4. Représenter graphiquement la fonctionf sur du papier millimétré.On pren- dra pour unités :2cm par mois sur l’axe des abscisses et1cm pour10000pièces sur l’axe des ordonnées.

5. On estime que la machine est rentable si elle produit au moins 80 000 pièces par mois. Déterminer graphiquement sur quelle période la machine est rentable.

Partie B

Pour contrôler la qualité de production, on prélève 250 pièces issues de cette machine.

On s’aperçoit que parmi elles 25 pièces ont une masse inadéquate :

• 10 sont trop lourdes

• 15 sont trop légères.

On admet que cet échantillon est représentatif de l’ensemble de la production.

On prélève une pièce au hasard dans la production de la journée.

1. Quelle est la probabilité que la pièce prélevée ait une masse inadéquate ? 2. Sachant que la pièce prélevée a une masse inadéquate, quelle est la probabi-

lité qu’elle soit trop lourde ?

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées,une seule réponse est correcte. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.

Chaque bonne réponse rapporte1point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Sébastien PIGNOL est un jeune chef d’entreprise qui a créé son entreprise en 2002.

Il désire mettre sur une feuille de tableur les résultats de sa petite société afin de pouvoir les modéliser. Pour cela, il va faire appel à ses souvenirs d’élève et d’étudiant et va devoir remplir la feuille proposée en annexe.

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’exploitation,en milliers d’euros, de son entreprise en fonction de l’année. Il reprend les lignes 3 et 5 de la feuille de calcul proposée en annexe.

Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Chiffre d’affaires 1 250 1 400 1 480 1 600 1 720 1 800 1. Il compte dans un premier temps créer une nouvelle variable appelée an-

cienneté correspondant à la durée de vie de son entreprise : 2002 est la 1^re année et ainsi de suite. Quelle formule doit-il saisir en D4 et recopier sur la ligne 4 pour obtenir l’ancienneté de son entreprise ?

a. =D3−2001 b. $D$3−2001 c. D3+2001

Métropole–La Réunion 4 23 juin 2008

(5)

2. Il désire calculer la droite de régressiony=ax+bdonnant le chiffre d’affaires (y) en fonction de l’ancienneté (x). Avec un arrondi des coefficients à l’unité, quelle est l’équation correcte ?

a. y=109x+1159 b. y=1268x+1159 c. y=109x+1250 3. Sébastien PIGNOL place alors les coefficients obtenusaetbde la droite de

régression respectivement en C2 et F2. Il désire calculer le chiffre d’affaires estimé à l’aide de la droite de régression obtenue à la deuxième question.

Quelle formule doit-il saisir en C6 et recopier sur la ligne 6 ?

a. =C2*C4+F2 b. =$C$2*C4+$F$2 c. =$C$2*$C$4+$F$2

4. La ligne 6 appelée modèle 1 correspond à la droite de régression linéaire.

Pour obtenir la valeur du chiffre d’affaires modélisé en 2010 sur quelle plage doit-il recopier la formule saisie en C6 ?

a. D6 : K6 b. C6 : K6 c. I6 : K6

5. Sébastien PIGNOL se rend compte que la modélisation avec la droite de ré- gression ne lui permet pas d’obtenir le chiffre d’affaires 2 500 milliers d’euros souhaité pour 2010. Il décide alors d’appliquer, à partir de 2007, un deuxième modèle, dans la ligne 7, donné par une suite arithmétique de raison 250 et de premier terme 1 800, correspondant au chiffre d’affaires de 2007. Quel chiffre d’affaires obtiendra t-il avec ce modèle en 2010 ?

a. 2 300 milliers d’euros b. 2 550 milliers d’euros c. 2 800 milliers d’euros 6. Il saisit en I7 la formule « =H7+250 » et la recopie sur J7 : K7 pour obtenir le

chiffre d’affaires en 2010. En se plaçant dans la cellule K7, quelle formule a t-il ?

a. = J7+250 b. =K7+250 c. =I7+250

(6)

Annexe de l’exercice 3 (QCM)

A B C D E F G H I J K L

1 Modélisation du chiffre d’affaires de l’entreprise Sébastien PIGNOL

2 a= b=

3 Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

4 Ancienneté 1 2

5 Chiffre d’affaires

1 250 1 400 1 480 1 600 1 720 1 800

6 Modèle 1 1268

7 Modèle 2 1 800

(7)

juin 2008

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le formulaire officiel est autorisé.

On a relevé le prix trimestriel, en dollars, de la tonne de blé sur le marché mondial du premier trimestre 2005 au deuxième trimestre 2007. Les prix ont été insérés dans la feuille de calcul ci- contre.

Partie 1 :

1. Calculer le taux d’évolution du prix du blé du 1^er trimestre 2005 au 2^etrimestre 2005.

2. a. Calculer le taux d’évolu- tion global du prix du blé entre le 1^er trimestre 2005 et le 2^etrimestre 2007.

b. En déduire le taux d’évolu- tion trimestriel moyen sur cette période.

A B C

1 Trimestre Rangx_i Prixy_i en dollars par tonne

2 1^er-2005 1 116,1

3 2^e-2005 2 117,7

4 3^e-2005 3 120,0

5 4^e-2005 4 118,3

6 1^er-2006 5 129,7

7 2^e-2006 6 138,0

8 3^e-2006 7 145,5

9 4^e-2006 8 182,6

10 1^er-2007 9 171,6

11 2^e-2007 10 189

12 3ê-2007 11 13 4ê-2007 12 14 1êr-2008 13 15 2ê-2008 14 16 3ê-2008 15 17 4ê-2008 16

(source INSEE) Partie 2

Sur la feuille en annexe 1 on a représenté, par un nuage de points, la série statistique double des rangsxides trimestres et des prixyidu blé.

1. À l’aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression deyenxsous la formey=ax+b, on arrondira les coefficientsaetbà 0,01 près.

2. On décide d’ajuster le nuage avec la droiteDd’équationy=8,7x+95.

TracerDsur l’annexe 1.

3. En utilisant cette droite, estimer graphiquement le prix du blé en dollars par tonne au 4^etrimestre 2008.

Faire apparaître sur le graphique les tracés utiles.

Partie 3

1. Si l’on admet que le prix du blé augmente de 5 % par trimestre après le 2^e trimestre 2007, quelle formule, à recopier vers le bas, faut-il placer en cellule C12 pour obtenir les prix au-delà du 2^etrimestre 2007 ?

2. a. Calculer la valeur contenue dans la cellule C12.

b. Calculer la valeur contenue dans la cellule C17.

(8)

Une étude de marché s’intéresse à l’évolution de l’offre et de la demande d’un cer- tain produit en fonction du prix unitairex, exprimé en euros.

Pour un prix unitaire dexeuros, compris entre 2 et 30 le nombre de produits de- mandés est modélisé par

f(x)=0,05x²−4x+80,8.

et le nombre de produits offerts est modélisé par g(x)=2x+16.

Les courbesC_f etC_g, tracées sur le graphique de l’annexe 2 représentent respectivement les fonctionsf etg.

1. Déterminer graphiquement le nombre de produits offerts et le nombre de produits demandés lorsque que le prix du produit est de 18(.

Vous ferez apparaître sur le graphique les tracés utiles.

2. a. Calculer la dérivéef^′de la fonctionf.

b. Étudier le signe def^′et en déduire les variations de f sur l’intervalle [2

; 30].

c. Donner une interprétation économique des variations def.

3. On appelle prix d’équilibre d’un produit, le prix pour lequel l’offre et la demande sont égales.

a. Déterminer graphiquement le prix d’équilibre de ce produit.

b. On se place au prix d’équilibre, quel est alors le nombre de produits de- mandés (et donc aussi offerts) et le chiffre d’affaires réalisé ?

Un vendeur de jeux vidéo a proposé en 2007 une carte de fidélité à ses clients ; 60 % d’entre eux ont pris la carte.

Parmi les clients munis d’une carte de fidélité, 70 % ont dépensé plus de 300(dans l’année, alors que seuls 40 % des clients sans carte ont dépensé plus de cette somme annuellement.

À la fin de l’année 2007, le vendeur consulte le fichier de tous ses clients.

Il choisit au hasard un des clients de l’année 2007.

On nomme :

Fl’évènement : « le client choisi possède une carte de fidélité »,

Dl’évènement : « le client choisi a dépensé plus de 300(dans l’année 2007 ».

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilités ci-dessous .

F 0,6

. . . D

F

. . . D

Polynésie 8 juin 2008

(9)

2. Montrer que la probabilité de l’événementF∩Dest égale à 0,42.

3. Quelle est la probabilité que la client choisi ne possède pas de carte de fidélité et a dépensé plus de 300(dans l’année 2007 ? En déduire la probabilité, de l’évènement D.

4. Calculer la probabilité deFsachantD.

5. Les évènementsFetDsont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

(10)

Annexe à rendre avec la copie

Annexe 1 Exercice 1

90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

rang du trimestre

prixdelatonnedeblé(endollars)

Annexe 2 Exercice 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

prix en(

nombredeproduits

C_f

C_g

(11)

5 septembre 2008

La calculatrice est autorisée.

Un lac contient exclusivement trois sortes de poissons : 40 % des poissons sont des brochets, 25 % des poissons sont des truites et le reste est constitué de sandres.

50 % des brochets de ce lac sont de taille réglementaire ainsi que 60 % des truites et 45 % des sandres.

On pêche un poisson de ce lac : tous les poissons ont la même probabilité d’être pêchés.

On considère les évènements suivants :

• B: « le poisson pêché est un brochet » ;

• T : « le poisson pêché est une truite » ;

• S: « le poisson pêché est un sandre » ;

• R: « le poisson pêché est de taille réglementaire » ;

• R: l’évènement contraire deR.

1. Décrire par une phrase l’évènementRpuis l’évènementT∩R.

2. Compléter l’arbre de probabilité fourni sur l’annexe I

Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis au centième.

3. a. Justifier que la probabilité que le poisson pêché soit un brochet de taille réglementaire est égale à 0,20.

b. Calculer la probabilité que le poisson pêché soit un sandre de taille régle- mentaire.

c. Montrer que la probabilité que le poisson pêché soit de taille réglemen- taire est sensiblement égale à 0,51.

d. En déduirep³ R´

.

4. Sachant que le poisson pêché n’est pas de taille réglementaire, quelle est la probabilité que ce soit une truite ?

Le tableau ci-dessous donne l’évolution des ventes d’appareils de chauffage au bois dans l’habit individuel en France entre 2001 et 2005.

Nombre d’appareils de

Année Rangx_i chauffage au bois vendus

en milliersy_i

2001 1 273

2002 2 292

2003 3 337

2004 4 360

2005 5 430

D’après Dossier de presse ADEME « L’éolien, une énergie en plein essor »novembre 2006

Partie A

1. Quel était le nombre d’appareils de chauffage au bois vendu en France en 2000 sachant qu’il a augmenté de 5 % entre 2000 et 2001 ?

2. On construit un tableau d’indices en prenant comme base 100 l’année 2001

(12)

a. Compléter l’extrait de feuille de calcul reproduit dans l’annexe 2.On don- nera des valeurs décimales arrondies au dixième.

A B C D E F

1 ^Année 2001 2002 2003 2004 2005

2 Nombre d’appareils de

chauffage au bois vendus 273 292 337 360 430

3 ^Indices 100 157,5

b. Quelle formule, à recopier sur la plage D3:F3, peut-on saisir dans la cellule C3 ?

3. Déterminer le taux d’évolution du nombre d’appareils de chauffage au bois vendu entre les années 2001 et 2005.

4. Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’appareils de chauffage au bois entre 2001 et 2005.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère le tableau ci-dessus. Le nuage de points de coordonnées¡ xi ;yi¢

est donné dans l’annexe 2 On souhaite réaliser un ajustement affine.

1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront donnés à 0,1 près.

2. À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l’aide de la droite D d’équationy=38x+224.

Tracer la droite D sur le graphique de l’annexe 2.

3. En supposant que ce modèle reste valable pour 2006 et 2007, prévoir le nombre d’appareils de chauffage au bois vendus pour 2007. Justifier la réponse.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées,une seule réponse est correcte.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte1point, chaque réponse incorrecte retire0,25point, une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l’exercice est0.

Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

On donne le tableau de variations d’une fonctionf définie et dérivable sur [−10 ; 14].

Métropole–La Réunion 12 septembre 2008

(13)

Valeurs dex −10 −3 5 14

Signe def^′(x) + 0 − 0 +

Variations def

2

5

−4

−1

1. On a :

A) f positive sur [5 ; 14]

B) f positive sur [−10 ;−3]

C) f négative sur [−10 ; 5]

2. On considère l’équationf(x)=0. Sur l’intervalle [−10 ; 14]

A) elle n’admet aucune solution

B) elle admet une unique solution

C) on ne peut pas ré- pondre

3. On cherche à comparerf(−1) etf(1) :

A)f(−1)>f(1) B)f(−1)<f(1) C) on ne peut pas ré- pondre

4. La courbe représentative de la fonctionf admet au point d’abscisse−3 A) une tangente hori-

zontale

B) une tangente dont le coefficient directeur est négatif

C) une tangente dont le coefficient directeur est positif

5. Une équation de la tangente à la courbe représentative def au point d’abscisse−10 est :

A)y= −10x+2 B)y=x+2 C)y=x+12

6. Une équation de la tangente à la courbe représentative def au point d’abscisse 5 est :

A)y= −4 B)x= −4 C)y=0

(14)

Annexe 1 à rendre avec la copie

Exercice 1

B

R

T

R

S

R

Exercice 2

A B C D E F

1 Année 2001 2002 2003 2004 2005

2 Nombre d’appareils de

chauffage au bois vendus 273 292 337 360 430

3 Indices 100 157,5

(15)

Annexe 2 à rendre avec la copie

Exercice 2

200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500

0 1 2 3 4 5 6

r r r r r

Nombred’appareilsdechauffage

Rang

(16)

[ Baccalauréat STG CGRH Polynésie \ septembre 2008

La calculatrice est autorisée.

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte vaut1point. Une réponse inexacte enlève0,5point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l’exercice est ramenée à0.

On donneC_f la représentation graphique d’une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle

·

−3 ; 3 2

¸ .

C_f admet une tangente hori- zontale aux points A(−2 ; 0) et C(0 ;−4).

Dest la tangente à C_f au point B(−1 ;−2).

Dpasse par le point de coordon- nées (0 ;−5).

-4 -3 -2 -1 0 1 2

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2

−1

−2

−3

−4

A

B

C C_f

D

O

b b b

1. Le nombre de solutions sur l’intervalle

·

−3 ; 3 2

¸

de l’équationf(x)=0 est :

a. 1 b. 2 c. 3

2. Les solutions sur l’intervalle

·

−3 ; 3 2

¸

de l’équationf^′(x)=0 sont :

a. −2 et 1 b. −2 et 0 c. −3 et 0.

3. Le nombre dérivéf^′(−1) est égal à :

a. 1,5 b. −2 c. −3

4. Une équation de la droiteDest :

a. y= −3x b. y= −3x−5 c. y= −2x−5.

5. La représentation graphique de la fonction dérivéef^′de la fonctionf est :

(17)

-3 -2 -1 0 1 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1 1 O C₁

-3 -2 -1 0 1 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1 1 O C₂

-3 -2 -1 0 1 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1 1 O

C₃

a. b. c.

Le tableau ci-dessous donne le nombre d’habitants en France, exprimé en millions.

Année 1985 1990 1995 2000 2005

Nombre d’habitants (en millions) 56,6 58,2 59,4 60,8 62,8 (Source INSEE) Partie A

1. Calculer le taux d’évolution du nombre d’habitants de 1985 à 2005. Arrondir à 0,01 %

2. En déduire le taux moyen annuel entre 1985 et 2005. Arrondir à 0,01 %.

3. Calculer une estimation, en millions d’habitants, du nombre d’habitants en 2010 si le taux moyen annuel après 2005 est de 0,5 %.

Partie B

1. Construire le nuage de pointsMi¡ xi ;yi¢

associé au tableau ci-dessous dans le repère orthogonal donné en annexe.

Année 1985 1990 1995 2000 2005

Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5

Nombre d’habitants (en millions) 56,6 58,2 59,4 60,8 62,8 2. On décide d’ajuster cette série statistique à deux variables par la méthode des

moindres carrés.

a. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droiteDde ré- gression deyenxsous la formey=ax+b, oùaetbsont des nombres réels à déterminer à 10⁻¹près.

Aucune justification n’est demandée.

Construire la droiteDdans le repère donné en annexe.

b. On suppose que l’évolution de la population active se poursuit selon le modèle donné par la droite d’ajustement obtenue à la question précé- dente.

Déterminer graphiquement une estimation du nombre d’habitants en 2010.

Anne et Bastien comparent les étrennes qu’ils reçoivent chaque année. En 2000, Anne a reçu 80(et Bastien 100(.

Polynésie 17 septembre 2008

(18)

Chaque année, les étrennes d’Anne augmentent de 6(et celles de Bastien de 3 %.

Pour tout entiern, on noteUnetVnles étrennes reçues par Anne et Bastien l’année 2000+n.

On a doncU0=80 etV0=100.

1. a. Calculer les étrennes qu’ont reçues Anne et Bastien en 2001, puis en 2002.

b. Donner la nature de la suite (Un). Justifier.

En déduireU_nen fonction den.

c. Donner la nature de la suite (Vn). Justifier.

En déduireVnen fonction den.

d. À l’aide de la calculatrice, déterminer en quelle année Anne reçoit pour la première fois davantage que Bastien.

2. On noteS_netT_nla somme des étrennes reçues per Anne et Bastien de l’an- née 2000 jusqu’à l’année 2000+n.

On a doncSn=U0+U1+ · · · +UnetTn=V0+V1+ · · · +Vn. CalculerS₁₅etT₁₅.

Formulaire :

— La sommeSdesn+1 premiers termes d’une suite arithmétique (un) est donnée par :

S=u0+u1+ · · · +un=(n+1)×u0+un

2

— La sommeT desn+1 premiers termes d’une suite géométrique (un) de raisonq6=1 est donnée par :

T=u0+u1+ · · · +un=u0×1−qⁿ⁺¹ 1−q

3. On donne ci-dessous l’extrait d’une feuille de calcul réalisée à l’aide d’un tableur :

A B C D E F

1 n Année Un Vn Sn Tn

2 0 2000 80 100 80 100

3 1 2001

4 2 2002

5 3 2003

... ... ... ... ... ... ...

17 15 2015

a. Quelle formule, à recopier sur la plage C4 :C17, peut-on entrer dans la cellule C3 ?

b. Quelle formule, à recopier sur la plage D4 :D17, peut-on entrer dans la cellule D3 ?

c. Quelle formule, à recopier sur la plage E4 :E17, peut-on entrer dans la cellule E3 ?

(19)

ANNEXE À RENDRE

0 1 2 3 4 5 6 7

56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

0 1 2 3 4 5 6 7

Rang

Nombred’habitantsenmillions

(20)

[ Baccalauréat STG CGRH Nouvelle-Calédonie \ novembre 2008

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, une seule des trois réponses est correcte. Écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte1point, une réponse fausse enlève0,25point et l’absence de réponse ne rapporte, ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l’exercice est0.

1. Une quantité augmente 3 fois de suite de 2 %. Quel est le pourcentage d’augmentation global ?

a. 6 % b. 6,120 8 %

c. Cela dépend de la valeur de départ.

2. Une quantité augmente 3 fois de suite de 20 %. Quel est le pourcentage d’augmentation global ?

a. 60 % b. 61,208 % c. 72,8 %

3. Quel est, à 0,01 % près, le taux mensuel moyen équivalent à un taux annuel de 12 % ?

a. 0,95 % b. 1,00 % c. 1,23 %

4. On lance un dé cubique non truqué trois fois de suite. Quelle est la probabi- lité de l’évènement « La face « six » sort les trois fois » ?

a. La même probabilité que celle de l’évènement « La face « deux » sort les trois fois »

b. 1/18 c. 1/6

5. On a lancé un dé cubique non truqué trois fois. On a obtenu à chaque fois un

« six ». On lance le dé une quatrième fois. Que peut-on dire sur la sortie du

« six » pour ce quatrième lancer ?

a. Le « six » est déjà beaucoup sorti, donc il a moins de 1 chance sur 6 de sortir.

b. Le « six » a exactement 1 chance sur 6 de sortir.

c. Le « six » est déjà beaucoup sorti, donc il a plus de 1 chance sur 6 de sortir.

Dans cet exercice en particulier, toute trace de recherche ou d’initiative, même incom- plète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Ce tableau donne l’évolution de l’âge moyen au premier mariage en France métro- politaine :

(21)

Année 1980 1985 1990 1995 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Hommes 25,1 26,3 27,6 28,9 30,2 30,2 30,4 30,6 30,8 31,1 Femmes 23 24,2 25,6 26,9 28 28,1 28,3 28,5 28,8 29,1

Source Insee, Bilan démographique 2006, Mariages et nuptialité

Lecture du tableau :en 2000, l’âge moyen des femmes à leur premier mariage était de 28 ans.

1. Étude concernant les hommes

a. Représenter sur le graphique en annexe le nuage de points de la série concernant les hommes.

b. Déterminer à l’aide de la calculatrice, sans justification, une équation sous la formey=ax+bde la droite d’ajustement du nuage de points de la série concernant les hommes par la méthode des moindres carrés. On arron- diraaetbà 10⁻²près.

c. Tracer cette droite sur le graphique.

d. Par lecture graphique, donner une estimation de l’âge moyen des hommes au premier mariage en 2008, si la tendance actuelle se poursuivait jusque- là. Tracer les éléments permettant cette lecture.

2. Étude concernant les femmes

On suppose qu’à partir de l’année 2005, l’âge moyen des femmes à leur premier mariage augmente de 0,24 année par an. On noteu0cet âge pour l’an- née 2005,u1pour l’année 2006, et de façon généraleun pour l’année 2005+n.

a. Donneru0, calculeru1.

b. La suite (un) est-elle arithmétique ou géométrique ? Exprimerunen fonction den.

c. Selon cette supposition, quel serait l’âge moyen des femmes à leur premier mariage en 2008 ?

On donne la fonctionf définie sur l’intervalle [0 ; 7] par f(x)=x³−11x²+39x−20.

On donne la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [0 ; 7] par g(x)=x³−11x²+23x+52.

(Sa courbe représentativeC_g, est tracée en annexe).

Étude de la fonctionf.

1. Compléter le tableau de valeurs donné en annexe.

2. Calculerf^′(x) oùf^′désigne la fonction dérivée def.

3. Montrer à l’aide d’un développement quef^′(x)=(x−3)(3x−13).

4. En utilisant un tableau de signes, étudier le signe def^′et donner le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 7].

5. Compléter le graphique donné en annexe par le tracé de la courbe représen- tativeC_f de la fonctionf.

Intersection de deux courbes

6. a. Résoudre par le calcul l’équationf(x)=g(x).

Nouvelle-Calédonie 21 novembre 2008

(22)

b. Déduire de la question précédente, les coordonnées du point d’intersection des deux courbesC_f etC_g.

c. Tracer sur le graphique en annexe les éléments permettant de retrouver graphiquement ces coordonnées.

(23)

Annexe à rendre avec la copie

Exercice 2

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Année Âge

Exercice 3

x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) −20 9 22 25 24 25 34 57

(24)

10 20 30 40 50 60

-10

-20

1 2 3 4 5 6 7

C_g

b b

x y

(25)

15 avril 2008

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Pour chaque question trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Au- cune justification n’est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire0,5point. Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l’exercice est ramenée à zéro.

I.On considère l’arbre de probabilité suivant, dans lequel A et E sont les évènements contraires respectivement des évènements A et E.

b b

A 0,15

b E

0,3

b

A

b E

0,25

b E

1. La probabilité de l’évènementA∩Eest

a. 0,85 b. 0,105 c. 0,142 5

2. La probabilité de l’évènementEest :

a. 0,212 5 b. 0,95 c. 0,317 5

II.On place 300 euros à intérêts composés au taux annuel de 4 %. À l’aide du tableau ci-dessous, répondre aux questions suivantes.

A B C

1 Annéen Taux Capital

2 0 4 300

3 1 312

4 2 324,48

5 3 3 374 592

6 4 350,957 568

7 5 364,995 871

8 6 379,595 706

9 7 394,779 534

10 8 410,570 715

1. Dans la cellule C3, on a entré une formule que l’on a recopiée vers le bas.

Cette formule est :

a. C2*(1+$B$2/100) b. C$2*(1+B2/100) c. $C$2*(1+$B$2/100)

(26)

Mercatique L’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

2. Les intérêts, arrondis au centime d’euro, acquis au bout de 7 ans s’élèvent à :

a. 94,78 b. 379,60 c. 394,78

II.L’inéquation e^x⁻³64 a pour ensemble de solutions dansR:

a. S=]− ∞; 4+ln(3)] b. S=]− ∞; 7] c. S=]− ∞; 3+ln(4)]

Hélène est salariée de la même entreprise depuis maintenant quinze ans. Elle re- garde l’évolution de son salaire qui dépend à la fois de la variation des cotisations, des changements d’échelons et des augmentations occasionnelles. Elle observe les résultats suivants sur les huit dernières années.

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5 6 7 8

Salaire mensuel

moyenyi(en() 1 650 1 725 1 740 1 750 1 825 1 850 1 950 1 960 1. Tracer le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère d’uni-

tés graphiques :

1 cm pour une année sur l’axe des abscisses,

2 cm pour 100(sur l’axe des ordonnées (graduer l’axe des ordonnées à partir de 1600(.

2. a. Déterminer les coordonnées du point moyen G et le placer dans le repère précédent.

b. Avec la calculatrice, déterminer une équation de la droite (∆) d’ajustement deyenxde ce nuage de points par la méthode des moindres car- rés : les coefficients de l’équation seront arrondis à l’unité.

c. Tracer la droite (∆) dans le repère de la question 1.

3. On considère que cette droite permet un ajustement de la série statistique valable jusqu’en 2015.

a. Estimer, à l’aide du graphique, le salaire moyen mensuel d’Hélène en 2010 en laissant apparents sur le graphique les traits de rappel(arrondir à la dizaine d’euros).

b. Son salaire atteindra-t-il 2 400(avant 2015 ? Justifier la réponse.

Partie A

Sur la figure 1 donnée enannexe(à rendre avec la copie), on a tracé les droites : d1d’équationy=5 ; d2d’équationy= −3x

7 +250 21 ; d3d’équationy= −x+17 ; d4d’équationx=4.

Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l’ensemble des pointsMdu plan dont les coordonnées (x; y) vérifient le système

suivant : 









x > ₄ y > 5 y 6 −x+17 y 6 ⁻^3x

7 +250 21

Pondichéry 26 15 avril 2008

(27)

Partie A

Les propriétaires d’un magasin situé en bord de mer souhaitent acheter des planches à voile pour les proposer à la location. Ils doivent acheter deux types de planche à voile :

— des planches, au coût unitaire de 900(, destinées aux débutants ;

— des planches, au coût unitaire de 2 100(, destinées aux utilisateurs confir- més.

Les contraintes sont les suivantes :

• Ils doivent avoir au moins 4 planches pour débutants et 5 planches pour utilisateurs confirmés.

• Pour des raisons de difficulté de stockage, ils ne peuvent acheter au maximum que 17 planches.

• Le budget maximum pour l’achat de l’ensemble des planches est de 25 000(. On notexle nombre de planches pour débutants etyle nombre de planches pour utilisateurs confirmés achetées par les propriétaires.

1. Justifier que les contraintes d’achat sont caractérisées par le système de la partie A avecxetyentiers.

2. Le magasin peut-il acheter 6 planches pour débutants et 10 planches pour utilisateurs confirmés ?

Justifier la réponse

3. Les planches pour débutants seront louées 15(l’heure ; les planches pour utilisateurs confirmés seront louées 20(l’heure.

On suppose que toutes les planches seront louées.

a. Exprimer, en fonction dexetyle chiffre d’affaire horaireRdu magasin.

b. Les propriétaires souhaitent déterminer le couple (x; y) qui fournira le chiffre d’affaire horaire maximum.

À l’aide d’un tableur, ils obtiennent la feuille de calcul donnée en annexe.

Parmi les formules. suivantes, indiquer celle qui est à saisir dans la cellule B2 afin de compléter le tableau par recopie :

Formule 1 : 15*$A$2+20*$B$1 Formule 2 : 15*A$2+20*B$1 Formule 3 : 15*$A2+20*$B1

c. Donner, parmi les couples (x; y) qui vérifient les contraintes, celui qui correspond au chiffre d’affaire maximum. Quel est ce chiffre d’affaire maximum ?

Partie A

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0 ; 15] par f(x)=2ln(x+1)+1.

1. On désigne parf^′la fonction dérivée def sur l’intervalle [0 ; 15].

a. Calculer f^′(x) et étudier son signe sur l’intervalle [0 ; 15].

b. Établir le tableau de variations def sur l’intervalle [0 ; 15].

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au dixième) :

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

f(x) 3,2 4,2 4,6 4,9 5,2 5,8 6,1 6,3

(28)

3. Tracer la courbeC représentative de la fonctionf dans un repère orthonor- mal (unité : 1 cm).

4. Soit (D) la droite d’équationy=0,8x. Tracer la droite (D) dans le repère pré- cédent.

Partie B

Une entreprise fabrique des pièces pour avions. On notexle nombre de pièces fa- briquées par mois (06x615). Chaque mois, les coûts de production, exprimés en milliers d’euros, sont donnés par :f(x)=2ln(x+1)+1.

Le prix de vente d’une pièce est 0,8 millier d’euros.

1. Si l’entreprise vendxpièces, déterminer la recette exprimée en milliers d’euros.

2. Vérifier que le bénéfice mensuel est :B(x)=0,8x−1−2ln(x+1).

3. Calculer une valeur approchée deB(3) etB(14), puis préciser pour chacun de ces cas si l’entreprise est bénéficiaire.

4. En justifiant graphiquement la réponse, donner le nombre minimal de pièces qu’il faut fabriquer et vendre pour que l’entreprise soit bénéficiaire.

(29)

ANNEXE À rendre avec la copie

EXERCICE 3 Figure 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 4 6 8 10 12 14 16 18

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

2 4 6 8 10 12 14 16 18

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

d1

d2

d3

d4

O

Question 3. b. Feuille de calcul

A B C D E F G H

1 x

y 5 6 7 8 9 10 11

2 4 160 180 200 220 240 260 280

3 5 175 195 215 235 255 275 295

4 6 190 210 230 250 270 290 310

5 7 205 225 245 265 285 305 325

6 8 220 240 260 280 300 320 340

7 9 235 255 275 295 315 335 355

8 10 250 270 290 310 330 350 370

9 11 265 285 305 325 345 365 385

10 12 280 300 320 340 360 380 400

(30)

[ Baccalauréat STG Antilles-Guyane juin 2008 \ Mercatique, Comptabilité et Finance d’Entreprise,

Gestion des systèmes d’information

Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte.

Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire0,5point, une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l’exercice est ramenée à zéro.

I.Le nombre e²³×e¹³ est égal à :

a. e b. 1 c. e²⁹

II.Une société de crédit propose un prêt à intérêts composés dont le taux mensuel

est de 0,9 %. Le taux annuel correspondant, arrondi à 0,1 %, est : a. 10,8 % b. 12,1 % III.Le tableau ci-dessous donne les résultats d’un groupe de candidats à un examen

en fonction de l’étude de leur première langue vivante.

Anglais Allemand Russe

Admis 117 68 33

Refusé 16 9 7

On rencontre au hasard un candidat. Il dit qu’il est admis. La probabilité que sa pre- mière langue étudiée soit l’allemand est à 10⁻³près :

a. 0,272 b. 0,883 c. 0,312

IV.Une entreprise étudie l’évolution du nombre de ses clients. Elle a recensé les ré- sultats dans le tableau suivant :

Année 2002 2003 2004 2005 2006

Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5

Nombre de clientsyi 120 126 130 135 142

1. Une équation de la droite d’ajustement deyenxpar la méthode des moindres carrés est :

a. y= −0,19x+21,44 b. y=5,3x+114,7 c. y=5,3x−10490,6 2. On choisit de réaliser un ajustement du nuage de points de la série précé-

dente par la courbe d’équationy=115,44×1,04^x. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, une estimation du nombre de clients en 2008 est de :

a. 158 b. 152 c. 840

Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à 2 000 pièces. Le prix de vente de 100 pièces est fixé à 15 000(.

(31)

La recette en milliers d’euros, obtenue pour la vente dexcentaines de pièces est doncR(x)=15x.

Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphiqueR1de la fonction Ret la représentation graphiqueC1de la fonction coût de production notéeC sur l’intervalle [0 ; 20].

Partie A : lectures graphiques

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : 1. Quel est le coût de production de 900 pièces ?

2. Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de 90 000(?

3. Combien l’entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être béné- ficiaire ?

Partie B

On admet que la fonctionCdéfinie sur l’intervalle [0 ; 20] est donnée par : C(x)=0,5x²+6,5x+10+4,5ln(x+1).

On rappelle que le coût de production, en milliers d’euros, est le nombreC(x),x étant le nombre de centaines de pièces produites (xest compris entre 0 et 20 centaines de pièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues.

1. a. Montrer que le bénéfice est donné par la fonctionB, définie sur [0 ; 20]

par :

B(x)= −0,5x²+8,5x−10−4,5ln(x+1).

On noteB^′la fonction dérivée deBsur l’intervalle [0 ; 20].

b. CalculerB^′(x).

c. Vérifier que, pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 20],B^′(x)=(x+0,5)(8−x) x+1 . 2. a. Justifier que le signe deB^′(x) est celui de (8−x) sur l’intervalle [0 ; 20].

b. En déduire le signe deB^′(x) puis le tableau de variation deBsur l’intervalle [0 ; 20].

3. Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l’euro près ?

L’entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950.

La première année d’extraction l’entreprise a récupéré 20 000 tonnes de fer. Cepen- dant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d’extraction, de l’appauvris- sement du filon, les quantités extraites diminuent de 1 % par an.

On appelleTnle nombre de tonnes extraites l’année (1950+n). On a donc T0=20000.

Les résultats seront arrondis à la tonne.

1. Justifier queT1=19800 puis calculerT2etT3. 2. ExprimerTn+1en fonction deTn.

3. Quelle est la nature de la suite (Tn) ? En déduire l’expression deTn en fonction den.

4. Quelle est la quantité extraite en 2008 ?

Antilles-Guyane 31 juin 2008

(32)

5. Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l’année (1950+n) est : S_n=2000000×¡

1−0,99ⁿ⁺¹¢ .

6. En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait 1 000 000 de tonnes de métal, En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé ?

Formulaire :

— La sommeSdes (n+1) premiers termes d’une suite arithmétique (un) est donnée par :

S=u₀+u₁+ · · · +u_n=(n+1)×u0+u1

2 .

— La somme S des (n+1) premiers termes d’une suite géométrique (un) de raisonq(q>1) est donnée par :

S=u0+u1+ · · · +un=u0×1−qⁿ⁺¹ 1−q .

Évolution de la population en France

Le tableau ci-dessous est extrait d’une feuille de calcul d’un tableur.

Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.

A B C D E F

1 Populations urbaine et rurale en France métropolitaine

2 Population Population Population Taux de Indice de

3 urbaine rurale totale population population

(en millions)

urbaine (en %)

urbaine

4 1954 24,5 18,2 42,7 57,4 100

5 1962 29,4 17,1

6 1968 34,8 14,9

7 1975 38,4 14,2

8 1982 39,9 14,5

9 1990 41,9 14,7

10 1999 44,2 14,3

11

12 Source INSEE, recensement de la population

Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les in- dices et les pourcentages au dixième.

1. Calculer pour l’année 1962 le taux de population urbaine en France par rap- port à la population totale.

2. On fixe l’indice de population urbaine à la base 100 en 1954. Quel est l’indice de population urbaine en 1962 ? En 1982 ?

3. On s’intéresse dans cette question à l’évolution de la population totale.

a. Montrer qu’avec l’arrondi fixé le taux d’évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est 37 %.

(33)

b. En déduire le taux annuel moyen d’augmentation entre 1954 et 1999.

c. Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers le bas d’obtenir la plage des cellules D5 : F10.

(34)

ANNEXE

Exercice 2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 x y

Nombre de centaines de pièces

milliersd’euros

R1

C1

(35)

juin 2008

Selon l’institut national de la statistique et des études économiques (INSEE) un indice des prix a suivi, en France, l’évolution suivante entre les années 2000 et 2006.

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5 6 7

Indiceyi 100 101,5 102,8 104,0 107,1 109,4 113,5

INSEE : formation brute de capital fixe L’exercice a pour objet d’étudier l’évolution de cet indice en utilisant deux modèles mathématiques.

Une représentation graphique du nuage de pointsMi de coordonnées¡ xi ;yi¢

est donnée en annexe 3, à rendre avec la copie.

1. Ajustement affine

a. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement deyenx, obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).

b. À partir des calculs effectués ci-dessus, on retient comme ajustement affine du nuage de points la droite d’équationy=2,2x+96,8.

Tracer la droiteDsur le graphique donné en annexe 3, à rendre avec la copie.

c. En supposant que ce modèle reste valable pour l’année 2007, donner une prévision de la valeur de l’indice pour 2007. Indiquer la méthode utilisée.

2. Ajustement à l’aide d’un logiciel Un logiciel de calcul propose d’ajuster le nuage de points à l’aide d’une partie de la courbe d’équation y =0,3x²+ 0,1x+99,9.

La courbeC est tracée en annexe 3, à rendre avec la copie.

a. Déterminer l’ordonnée du point de la courbeC d’abscisse 8.

b. On suppose que le modèle défini par la courbeC reste valable pour l’an- née 2007.

Donner, selon ce modèle, la valeur de l’indice pour 2007.

L’extrait de feuille de calcul ci-dessous donne partiellement le nombre de SMS* interpersonnels émis par téléphone en France lors des années 2001 à 2007. Le format d’affichage sur la plage de cellules B3 :H3 est un format numérique à zéro décimale.

(*) Un SMS ou Short Message Service est un message texte, également appelé texto, envoyé d’un téléphone à un autre.

A B C D E F G H

1 Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

2 Nombre de SMS interpersonnels (en millions)

3 234 5 877 8 410 12 712 15 023 17 546

3 Indice 100 182 260 335 465 543

Source ARCEP Volumes de la messagerie interpersonnelle

(36)

1. a. Calculer le nombre de millions de SMS interpersonnels émis au cours de l’année 2004 (arrondir à l’unité).

b. Calculer l’indice de l’année 2005 (arrondir à l’unité).

2. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d’obtenir la plage de cellules C3 :H3.

3. Dans cette question les résultats seront arrondis à 1 %.

a. Donner le taux d’évolution du nombre de SMS interpersonnels émis de l’année 2001 à l’année 2007.

b. Calculer le taux d’évolution moyen annuel du nombre de SMS interpersonnels émis de l’année 2001 à l’année 2007.

Une entreprise comprend 375 salariés. Elle dispose d’un restaurant d’entreprise.

Une enquête a été réalisée sur la fréquentation de ce restaurant par les salariés de cette entreprise.

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Hommes Femmes Total Nombre de salariés qui mangent régulièrement au

restaurant d’entreprise

110 55 165

Nombre de salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d’entreprise

42 33 75

Nombre de salariés qui ne mangent jamais au restaurant d’entreprise

58 77 135

Nombre total de salariés 210 165 375

On choisit au hasard un salarié dans la liste des 375 salariés de cette entreprise. Tous les salariés ont la même probabilité d’être choisis.

On considère les évènements suivants : F : « Le salarié choisi est une femme » ;

R : « Le salarié choisi mange régulièrement au restaurant d’entreprise » ; O : « Le salarié choisi mange occasionnellement au restaurant d’entreprise ».

1. Traduire par une phrase l’évènement F∩R, puis calculer sa probabilité (arrondir le résultat au millième).

2. Traduire par une phrase l’évènement R∪O, puis calculer sa probabilité.

3. Calculer la probabilité que, sachant qu’il mange occasionnellement au restaurant d’entreprise, le salarié choisi soit une femme (donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible).

4. Les évènements F et O sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.

Cet exercice a pour objet une étude de marché pour un article donné. Cette étude de marché a montré que le nombre de personnes désirant acheter cet article est fonction du prixx, en euros, auquel il est proposé à la vente.

Pour cet article et pour un prixx, on notef(x) le nombre de milliers d’acheteurs. La fonctionf est la fonction de demande.

Une entreprise décide de fabriquer cet article. Cette entreprise pourra fabriquerg(x) milliers d’articles au prixx. La fonctiongest la fonction d’offre.

Les courbes représentativesC_f etC_g des fonctionsf etgsont données en annexe 1.

La Réunion 36 juin 2008

(37)

1. On suppose que pour cet article la fonctionf est définie sur l’intervalle [1 ; 12]

par :

f(x)=10−3ln(x).

a. Soitf^′la fonction dérivée de la fonctionf. Calculerf^′(x).

b. Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle [1 ; 12].

c. En déduire le sens de variation de la fonctionf sur l’intervalle [1 ; 12].

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On suppose que pour cet article la fonctiongest définie sur l’intervalle [1 ; 12]

par

g(x)=2ln(x).

L’entreprise pourra-t-elle vendre tous les articles qu’elle aura fabriqués si le prix de vente est fixé à 8(?

3. On se propose de déterminer, à l’aide d’un tableur, la valeur dexpour la- quellef(x)=g(x).

Cette valeur est appelée prix d’équilibre de l’article.

La feuille de calcul de l’annexe 2, donne les valeurs de f(x), les valeurs de g(x) et les valeurs deg(x)−f(x), pourxvariant de 7 à 7,5 au pas 0,01.

Sur ce tableur la fonction logarithme népérien se note LN( ) et pour les co- lonnes B, C et D le format d’affichage est un format numérique à trois déci- males.

a. Donner une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d’obtenir la plage de cellules B2 :B52.

b. Donner une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d’obtenir la plage de cellules D2 :D52.

c. Donner la valeur du prix d’équilibre (arrondir au centime d’euro).

d. Déterminer le nombre d’articles qui seront achetés si le prix de vente est égal au prix d’équilibre.

(38)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 10 11 1210 11 12 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ANNEXE 1

O

C_f

C_g

ANNEXE 2

A B C D

1 x f(x) g(x) g(x)−f(x)

2 7, 00 4, 162 3, 892 −0, 270 3 7, 01 4, 158 3, 895 −0, 263 4 7, 02 4, 154 3, 898 −0, 256 5 7, 03 4, 149 3, 900 −0, 249 6 7, 04 4, 145 3, 903 −0, 242 7 7, 05 4, 141 3, 906 −0, 235 8 7, 06 4, 137 3, 909 −0, 228 9 7, 07 4, 132 3, 912 −0, 221 10 7, 08 4, 128 3, 915 −0, 234 11 7, 09 4, 124 3, 917 −0, 207 12 7, 10 4, 320 3, 920 −0, 200 13 7, 11 4, 115 3, 923 −0, 192 14 7, 12 4, 111 3, 926 −0, 185 15 7, 13 4, 107 3, 929 −0, 178 16 714 4, 103 3, 931 −0, 171 17 7, 15 4, 099 3, 934 −0, 164 18 7, 16 4, 094 3, 937 −0, 157 19 7, 17 4, 090 3, 940 −0, 150 20 7, 18 4, 086 3, 943 −0, 144 21 7, 19 4, 082 3, 945 −0, 137 22 7, 20 4, 078 3, 948 −0, 130 23 7, 21 4, 074 3, 951 −0, 123 24 7, 22 4.069 3, 954 −0, 116 25 7, 23 4, 065 3, 956 −0, 109 26 7, 24 4, 061 3, 959 −0, 102 27 7, 25 4, 057 3, 962 −0, 095 28 7, 26 4, 053 3, 965 −0, 088 29 7, 27 4, 049 3, 968 −0, 081 30 7, 28 4, 045 3, 970 −0, 074 31 7, 29 4, 040 3, 973 −0.067 32 7, 30 4, 036 3, 976 −0, 061 33 7, 31 4, 032 3, 978 −0, 054 34 7, 32 4, 028 3, 981 −0, 047 35 7, 33 4, 024 3, 984 −0, 040 36 7, 34 4, 020 3, 987 −0, 033 37 7, 35 4, 016 3, 989 −0, 026 38 7, 36 4, 012 3, 992 −0, 020 39 7, 37 4, 008 3, 995 −0, 013 40 7, 38 4, 004 3, 998 −0, 006 41 7, 39 4, 000 4, 000 0, 001 42 7, 40 3, 996 4, 003 0, 007 43 7, 41 3, 992 4, 006 0, 014 44 7, 42 3, 987 4, 008 0, 023 45 7, 43 3, 983 4, 011 0, 028 46 7, 44 3, 979 4, 014 0, 034 47 7, 45 3, 975 4, 016 0, 041 48 7, 46 3, 971 4, 019 0, 048 49 7, 47 3, 967 4, 022 0, 054 50 7, 48 3, 963 4, 024 0, 061 51 7, 49 3, 959 4, 027 0, 068 52 7, 50 3, 955 4, 030 0, 075

(39)

ANNEXE 3

À RENDRE AVEC LA COPIE

99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 99

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122