A720 Toutes fausses sauf une
On dispose de 9 pièces de monnaie toutes de même apparence et une seule d’entre elles est vraie. Quatre pièces de même poids sont plus légères que la pièce vraie et les quatre dernières également de même poids sont plus lourdes.
Q₁ Trouver la pièce vraie en 7 pesées avec une balance Roberval à deux plateaux.[**]
Q₂ Même question que précédemment avec 6 pesées seulement [****]
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁ On désigne par L une pièce lourde, l une pièce légère et v la pièce vraie. On partage les 9 pièces en trois lots A,B,C de trois pièces chacun et on pèse A contre B, A contre C et B contre C.
1) Si deux lots ont le même poids (par exemple L+L+l = L+L+l ou L+l+l = L+l+l) alors le troisième lot est du type l,l,v ou L,L,v et en trois pesées ( une pièce dans chaque plateau à chaque pesée), on établit les classements : v > l = l ou L = L > v et la vraie pièce est identifiée à l’issue de la sixième pesée.
2) Si les trois lots sont de poids différents, par exemple A > B > C, on mesure les poids relatifs des pièces appartenant à B à l’aide de trois pesées avec pour chaque pesée une pièce dans chaque plateau.
2-1) Si B contient la vraie pièce, B est nécessairement du type L,l,v (les configurations L,L,v ou l,l,v sont incompatibles avec A > B > C) et comme précédemment en trois pesées on identife v avec l < v < L, soit six pesées au maximum.
2-2) Si B ne contient pas la vraie pièce, le contenu de B est du type L,L,l ou L,l,l.
A l’issue de trois pesées avec une pièce dans chaque plateau à chaque pesée , on détermine le contenu de B.
2-2-1) Si B est du type L,L,l, la vraie pièce est nécessairement dans A dont le contenu est L,L,v. Une seule pesée avec une pièce dans chaque plateau permet de repérer v dans A.
2-2-2) Si B est du type L,l,l, la vraie pièce est nécessairement dans C dont le contenu est l,l,v. Une seule pesée avec une pièce dans chaque plateau permet de repérer v dans C.
Au total il y a au maximum 3 + 3 + 1 = 7 pesées.
Q₂ Avec le partage en trois lots, le nombre de 7 pesées paraît incompressible. On essaie alors un partage en 5 lots dont 4 lots A,B,C,D de 2 pièces chacune + la neuvième pièce mise à part. On effectue 4 pesées successives avec une pièce de chacun des lots A,B,C,D contre la seconde pièce du même lot.
Si l’une quelconque des pesées est équilibrée alors les deux pièces correspondantes du lot sont nécessairement fausses et sont du type L,L ou l,l.
Si à l’inverse un pesée est déséquilibrée, alors le lot est du type L,v ou L,l ou v,l.
Les quatre pesées donnent cinq résultats possibles :
1) Les quatre pesées sont équilibrées. Dès lors la vraie pièce est la neuvième pièce.
Quatre pesées suffisent.
2) Trois pesées sont équilibrées (A,B,C, sans perte de généralité-spdg) et la quatrième est déséquilibrée (D, spdg) . D est du type (L,v) ou (v,l) et la neuvième pièce est l ou L . D contient donc nécessairement la pièce vraie et une seule pesée suffit à déterminer v, soit cinq pesées au total.
3) Deux pesées sont équilibrées (A et B, spdg) et deux autres sont déséquilibrées (C et D, spdg). On a nécessairement A = (L,L) et B = (l,l) ou vice-versa. Dès lors on a les configurations possibles de C,D et de la neuvième pièce :
lot C lot D 9ième pièce 3-1) (L,v) (L,l) l
3-2) (L,l) (L,l) v 3-3) (L,l) (L,v) l 3-4) (L,l) (v,l) L 3-5) (v,l) (L,l) L
Au cours de la quatrième pesée, on pèse la pièce la plus lourde de C contre la 9ième pièce.
Si cette pesée est équilibrée, on est dans le seul cas 3-4) et une cinquième pesée permet d’identifier v dans le lot D.
Si la pesée est déséquilibrée avec v < L, on est dans le seul cas 3-5) et une cinquième pesée permet d’identifier v dans le lot C.
Si on se trouve dans les trois autres cas (3-1,3-2 et 3-3) avec un déséquilibre du type L > l ou L > v, on réalise une cinquième pesée en comparant la pièce la plus légère de D à la 9ième pièce et suivant les trois résultats possibles, la vraie pièce est dans C ou est la 9ième pièce ou est dans D.
4) Une pesée est équilibrée (A, spdg) et trois pesées sont déséquilibrées (B,C et D, spdg). On a les deux configurations possibles :
4-1) A = (L,L), B = (L,l), C = (L,l), D = (v,l) et 9ième pièce = l avec deux autres permutations sur B,C et D
4-2) A = (l,l), B = (L,l), C = (L,l), D = (L,v) et 9ième pièce = L avec deux autres permutations sur B,C et D
Une cinquième pesée permet de différencier 4-1) de 4-2) car dans 4-1), les pièces les plus légéres de B,C et D et la 9ième pièce sont toutes les plus légères alors que dans 4-2), les pièces les plus légères et la 9ième pièce recouvrent les trois types L,l et v. Il suffit donc de prendre ces 4 pièces et de comparer 2 de ces pièces aux 2 autres. Si égalité, on est dans la configuration 4-1). Si
déséquilibre, on est dans la configuration 4-2). Une sixième pesée permet d’identifier v. En effet :
- Si on est dans 4-1), on pèse la pièce la plus lourde de l’un quelconque des trois lots B ou C ou D contre la pièce la plus lourde d’un autre lot. Si égalité, les deux pièces sont de type L et la pièce vraie se trouve dans le troisième lot où
elle est la plus lourde. Si déséquilibre, la vraie pièce est la plus légère des deux.
- Si on est dans 4-2), on pèse la pièce la plus légère de l’un quelconque des trois lots B ou C ou D contre la pièce la plus légère d’un autre lot. Si égalité, les deux pièces sont de type l et la pièce vraie se trouve dans le troisième où elle est la plus légère. Si déséquilibre, la vraie pièce est la plus lourde des deux.
Dans un cas comme dans l’autre six pesées sont suffisantes.
5) Les quatre pesées sont déséquilibrées. On a trois configurations dans lesquelles la 9ième pièce est respectivement du type v , L et l :
5-1) A = (L,l), B = (L,l), C = (L,l), D = (L,l) et 9ième pièce = v
5-2) A = (L,l), B = (L,l), C = (L,l), D = (v,l) et 9ième pièce = L avec trois autres permutations sur A,B,C et D
5-3) A = (L,l), B = (L,l), C = (L,l), D = (L,v) et 9ième pièce = l avec trois autres permutations sur A,B,C et D
Compte tenu des permutations sur A,B,C et D, il y a au total 1 + 4 + 4 = 9 configurations possibles.
Il reste deux pesées à effectuer et lors de chacune d’elles on a les trois modalités : équilibre (=), plateau de gauche plus lourd(>),plateau de gauche plus léger (<) soit au total 3²=9 cas distincts qui permettent théoriquement de différencier les 9 configurations précédemment décrites.
Pour ce faire, on numérote les pièces des différents lots à l’issue de chaque pesée A :(1,2) puis B :(3,4) puis C :(5,6) puis D :(7,8) et enfin la dernire pièce : 9 avec les pièces 1,3,5,7 les plus lourdes et 2,4,6,8 les plus légères. On construit une table de décision en retenant pour la cinquième pesée deux lots de trois pièces avec dans le premier lot 2 pièces lourdes (par exemple 1,5) et une pièce légère (par exemple 2) et dans le deuxième lot les autres pièces lourdes (3,7) et une pièce légère (8). Pour la sixième pesée, on retient un premier lot fait de deux pièces légéres (2,4) et d’une pièce lourde (3) et dans le deuxième lot les deux autres pièces légères (6,8) et une pièce lourde (5).
D’où la table de décision ci-après :
lots 2 et 3 pièces (5-1)
(1,2) L,l L,l L,l L,l v,l L,l L,l L,l L,v
(3,4) L,l L,l L,l v,l L,l L,l L,l L,v L,l
(5,6) L,l L,l v,l L,l L,l L,l L,v L,l L,l
(7,8) L,l v,l L,l L,l L,l L,v L,l L,l L,l
9 v
(1,2,5)/(3,7,8) = > < > < < = = >
(2,3,4)/(5,6,8) = = > < = < < > >
(5-2) (5-3)
L l
Le tableau se lit de la manière suivante : si les résultats des 5ième et 6ième pesées sont (<,=), la vraie pièce a le numéro 1. Avec (=,=), la vraie pièce est la neuvième.
Avec (=,>), elle porte le numéro 4 etc...
