Optimisation de la Production de l’Energie Active du Réseau Ouest Algérien par la Méthode de Zoutendijk

Rev. Energ. Ren. : Physique Energétique (1998) 81 - 84

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Optimisation de la Production de l’Energie Active du Réseau Ouest Algérien par la Méthode de Zoutendijk

M. Rahli

*

, L. Abdelmalek

**

et M. Tamali

***

*

Institut d’Electronique, U.S.T.O., B.P. 1505, El M’naouer, Oran

**

Département d’Electricité, E.N.S.E.T., B.P. 1523, El M’naouer, Oran

***

Centre Universitaire de Béchar, B.P. 417, Béchar

Résumé – Dans le présent article, nous présentons une méthode de résolution de la répartition optimale des puissances actives basée sur la programmation non linéaire qui est la méthode de Zoutendijk. Cette méthode dérive des méthodes quasi-newtoniennes; et comme leur principe se base sur les problèmes non contraint et que le notre est contraint, nous avons utilisé la fonction de pénalité mixte qui permet de trouver les puissances optimales à générer sous les contraintes de type égalité et inégalités Nous devons souligner que cette méthode est utilisée pour la première fois dans l’optimisation des puissances actives et que nous avons appliqué au réseau ouest algérien. Ces résultats ont été comparés avec ceux de la société de production d’énergie électrique Sonelgaz lors des mesures du top du 18 octobre 1987 à 10 heures du matin et d’autres méthodes.

Abstract - In the present paper, we present a method for the resolution of the active power optimal repartition based on non linear programming and that is Zoutendijk method. This method is derived from the quasi Newtonian methods. As the principle of these methods is based on no constraint problems and as ours is a constraint one, we have used the combined penalty function to find the optimal power to be generated under the equality or inequality type constraints. We mustsdy that this method has been used for the first time here in the active powers optimization, and that we have applied it to western Algeria electrical network. The present results have been compared to those of the electrical energy production co. (Sonelgaz).

Mots clés: Puissances actives – Programmation non linéaire - Méthode de Zoutendijk - Problèmes contraint et non contraint - Fonction de pénalité mixte - Réseau ouest algérien.

1. INTRODUCTION

Le rôle primordial de toute entreprise chargée de la production d’énergie est d’assurer à tout montent et en tout lieu la couverture en puissances actives et réactives demandées par tous les utilisateurs et de garantir une qualité acceptable de l’énergie livrée avec un coût aussi faible que possible.

Le problème de la répartition économique d’énergie a pris une importance considérable avec l’apparition de la crise d’énergie nécessitant des combustibles de plus en plus chers. La résolution de la tâche de minimisation de la fonction coût est devenue en partie facile avec surtout l’apparition de l’informatique permettant une grande rapidité de calcul dès son application aux réseaux électriques et une bonne fiabilité de commande de cette répartition en temps réel. Parmi ces méthodes, nous allons étudié la méthode de Zoutendijk [1] qui est une forme de la programmation non linéaire que nous avons appliquée pour la première fois au réseau ouest algérien.

2. MODELE MATHEMATIQUE

Considérons un réseau électro-énergétique [5] dont on connaît à tout instant les puissances actives demandées en vue de satisfaire les nombreux consommateurs liés à ce réseau. Les trais de combustibles nécessaires pour la production des puissances électriques est une fonction monotone. Le responsable du dispatching possède une infinité de solutions pour répartir ces puissances aux consommateurs. Mais parmi toutes les solutions existantes, il faut garantir la répartition optimale en un temps très réduit et consistant à minimiser le coût de production totale de l’énergie électrique. La fonction du coût total de production d’énergie dite fonction objective ( dépendant fortement des puissances actives à générer ) s’écrit sous la forme mathématique suivante :

∑ ( )

=

= ^nG

1 i

i G i P F

F (1)

où : Fi : Fonction de coût du i^ème générateur F : Fonction de coût total

nG : Nombre de générateurs

PGi : Puissance active produite par le i^ème générateur

M. Rahli et al.

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Notre tâche consiste à minimiser la fonction de coût de production total

( )











 =

∑

= G n

1 i

Gi i P F F

Min (2)

sous les contraintes suivantes :

∑

^{PGi − Pch − PL = 0 (3)}

imax Gi G

imin

G P P

P ≤ ≤ (4)

1max min 1

1 E E

E ≤ ≤ (5)

max ij ≤ θij

θ (6)

kmmax

km P

P ≤ (7)

où Pch : Puissance active de charge totale PL : Pertes totales dans le réseau

Gimin

P : Puissance minimale active du i^ème générateur

max

PGi : Puissance maximale active du i^ème générateur θij : Déphasage entre deux noeuds voisins i et j Pij : Puissance transmise du noeud i vers le noeud j Ei : Tension nodale du noeud i

2.1 Méthode de pénalité

La méthode mathématique que nous allons étudier est une méthode avec contraintes. C’est pour cette raison qu’on va utilisé une méthode basée sur la transformation du problème original contraint en un problème auxiliaire non contraint et où le minimum est le même dans les deux cas.

Le principe de base de cette méthode ([l - 3]) consiste à modifier le critère en lui ajoutant une fonction de pénalisation qui permet le passage de la programmation avec contraintes en un programme sans contraintes.

( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( )

= =

+ +

= ^k

1 i

m 1 i

2 Gi k i

2 Gi i k Gi k

Gi H P

R P 1 G R P F R , P

F (8)

k , 1 i 0 ) P (

G_{i Gi} = (contraintes de type inégalité) (9)

m , 1 i 0 ) P (

H_{i Gi} = (contraintes de type égalité) (10)

R est une constante de réglage de calcul ( coefficient de pénalité) k (11) 2.2 Méthode de Zoutendijk

Le principe de cette méthode [1] consiste essentiellement en une généralisation de la formule itérative de Newton originale par l’approximation de la formule quadratique de F(PGi) en négligeant le troisième terme ainsi que les termes d’ordre supérieur à partir du développement en série de Taylor.

( ) ( )

^{k k}

1

*k

k = −λ Η Χ ∇Ρ Χ

Χ

∆ ⁻ (12)

La direction de recherche d’optimisation est obtenue par l’expression :

( ) ( )

^{k k}

1

*k

Sk = −λ Η⁻ Χ ∇Ρ Χ (13)

où ^Η−1

( )

^Χk est la matrice inverse du Hessien

Le scalaire λ^*_k sera déterminé en minimisant la fonction objective c'est à dire en dérivant ^Ρ

( )

^{Χk par}

rapport à λ et en l’égalisant à zéro.

( )

( )

* T 2

⁽

k

⁾

^*k k

*k T k

*k

S S

S Χ Ρ

∇ Χ Ρ

= ∇

λ (14)

La matrice approximative est modifiée à chaque itération par la formule de Zoutendijk

( )( )

( )

T k

(

k

)

k

T k k k k k

1

k g ~ g

~ g

~ g

~

~

∆ Η

∆

∆ Η

∆

− Η Η

=

Η ₊ (15)

avec : H~₀ = 1, (matrice identité) et ∆gk = ∇Ρ

(

Χ^k+1

)

−∇Ρ

( )

Χ^k (16)

SIPE : Optimisation de la Production de l’Energie Active… 83

2.3 Algorithme

Etape 1 : Choix de PG(0) et H~₀ matrice approximative du hessien définie positive ( On prend H~₀

= 1 matrice unité ), k = 0

Etape 2 : Détermination de la direction de recherche Sk = −Ηk ∇P

( )

PG^k

Etape 3 : Détermination de Ρ_G^k+1 = P_G^k +λ_kS_k

λ sera choisi telle que Ρ_G^k+1 soit une valeur acceptable pour la prochaine itération. On utilise pour cela une recherche linéaire.

Etape 4 : Détermination de ∆Ρ_G^k = Ρ_G^k+1−Ρ_G^k et calcul de

( )

k 1

( )

G^k

k F G F

g = ∇ Ρ −∇ Ρ

∆ ⁺

Etape 5 : Calcul de

( )( )

( )

T k

(

k

)

k

T k k k k k

1

k g ~ g

~ g

~ g

~

~

∆ Η

∆

∆ Η

∆

− Η Η

= Η ₊

Etape 6 : Test d’arrêt si non aller à l’étape 2 2.4 Illustration

Nous avons fait une application de cette méthode sur le réseau Ouest Algérien 220 kV dont le schéma se trouve en figure 1.

Fig. 1 : Schéma du réseau Ouest algérien

Comme nous le voyons en figure 1, le réseau Ouest 220 kV se compose de 12 noeuds, dont trois de production qui sont :

• Noeud N°l : Centrale de Mersat El Hadjadj

• Noeud N°2 : Centrale de Tiaret

• Noeud N°3 : Centrale de Ravin Blanc

Comme nous ne connaissons pas exactement les fonctions de coût de ces trois centrales, nous avons approximé ces fonctions sur une base moyenne de la consommation de la quantité de combustible en Nm³/h pour une certaine production de puissance active par groupe et nous avons abouti aux fonctions suivantes qui vont être utilisées pour la répartition optimale des puissances actives :

( )

P 0.85P 150P 2000 F_{1 G1} = _G²₁ + _G1 +

( )

P 0.40P 75P 850 F_{21 G2} = _G²₂ + _G2 +

( )

^{P 1.70P 250P 3000}

F_{3 G3} = _G²₃ + _G3 + sous les contraintes suivantes :

510

30≤Ρ_G1 ≤ / 25≤Ρ_G2 ≤420 / 10 ≤ Ρ_G3 ≤ 70 /

∑

^PGi ⁻

∑

^{Cj−PL = 0}

La consommation totale

∑

C est de 213 MW et les pertes totales actives P^j L après calcul par la méthode de Newton-Raphson [4] sont égales à 3.59 MW. L’application de la méthode décrite Zoutendijk sur ce réseau a donné les résultats qui se trouvent dans le tableau 1. Nous avons comparé ces résultats aux valeurs relevées par Sonelgaz [6] pour la journée du 28 octobre 1987 et avec ceux trouvés par d’autres méthodes.

3. CONCLUSION

Comme nous pouvons le constater tout de suite à travers les résultats obtenus, nous pouvons affirmer que le fait d’avoir utiliser la programmation non linéaire par l’intermédiaire de la méthode Zoutendijk , permet, puisque nous sommes dans le domaine de l’optimisation, un grand gain de combustible. En effet, la différence est de

M. Rahli et al.

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l’ordre de 11537 Nm³/h de gaz ce qui fait, pour une durée moyenne de fonctionnement des trois groupes de 8000 heures sur l’année, un gain de 92.296 millions de Nm³ de gaz si la Sonelgaz [6] avait procédé à une répartition économique de la puissance générée. Nous remarquons également la rapidité de calcul de cette méthode par rapport aux autres et compte tenu que nous faisons une commande de la répartition optimale en temps réel, il est très intéressant d’utiliser cette méthode. Comparée donc aux méthodes de Davidon - Fletcher - Powel [7], Broyden - Fletcher - Goldfarb-Shanno [7], aux trois méthodes de programmation linéaire [8], cette méthode donne presque les mêmes valeurs en coût de production et un faible nombre d’itérations alors que le temps de calcul est pratiquement nul même avec une grande précision de 0.00001.

Tableau 1: Comparaison des résultats déterminés par la méthode de Zoutendijk avec ceux déterminés par d’autres méthodes et ceux mesurés par Sonelgaz

D.F.P.¹ B.F.G.S² Sonelgaz PLI³ PL2⁴ PL3⁵ Zoutendijk

PG1 initial (MW) 100 100 / / / / 100

PG2 initial (MW) 100 100 / / / / 100

PG3 initial (MW) 50 50 / / / / 50

Précision sur PG1 0.000001 0.000001 - - - - 0.000001

Précision sur PG2 0.000001 0.000001 - - - - 0.000001

Précision sur PG3 0.000001 0.00001 - - - - 0.000001

Précision sur F^optim 0.01 0.01 - - - - 0.01

F optimale (Nm³/h) 46482 47871 58718 49269 45768 45741 47181.9

PG1 optimale (MW) 103.08 91.03 116 95 106.9 86.59 89.57

PG2 optimale (MW) 94.48 96.81 33 81.69 100 100 92.20

PG3 optimale (MW) 19.03 28.75 60 40 10 30 34.81

N^bre d’itérations 8 8 - - - - 6

Temps de calcul (s) 0.11 0.11 - 0.05 0.60 0.38 0.00

1 D.F.P : Méthode de Davidson – Fletcher – Powel (Programmation non linéaire)

2 B.F.G.S. : Méthode de Broyden – Fletcher – Goldfarb – Shanno (Programmation non linéaire)

3 PL1 : Méthode de Newton (méthode N°1 de la programmation linéaire)

4 PL2 : Méthode de Dantzig – Wolfe (méthode N°2 de la programmation linéaire

5 PL3 : Méthode de Grabiwski (méthode N°3 de la programmation linéaire)

REFERENCES

[1] D.M. Himmelblau, ‘Applied non Linear Programming’, Ed. Mc Graw-Hill, 1972.

[2] M. Minoux, ‘Programmation Mathématique : Théorie et Algorithmes’, Ed. Dunod.

[3] J.C. Dodu et P. Huard, ‘Méthodes Quasi-newtoniennes sous Contraintes non Linéaires’, Bulletin de la direction des Etudes de Recherche, Electricité de France, série C, N°2, 1988.

[4] G.W Stagg and A.H. El Abiadh, ‘Computer Methods in Power System Analysis’, Edition Mc Graw Hill, 1968.

[5] M. Rahli, ‘La commande Optimale des Puissances Actives par la Programmation Linéaire’, Thèse de Magister, Institut d’Electrotechnique, USTO, Oran, 3 juillet 1995.

[6] Documents Sonelgaz.

[7] M. Rahli, ‘Application d’une Nouvelle Méthode de Programmation non Linéaire à la Répartition Economique des Puissances Actives du Réseau Ouest Algérien’, Proceedings of the Conference on Modelling and Simulation of Electrical Systems (CMSES’95), pp. 08-13, Guelma, 07-08 novembre 1995.

[8] M. Rahli et M. Tamali, ‘La Répartition Optimale des Puissances Actives du Réseau Ouest Algérien par la Programmation Linéaire’, Proceedings du 2^ème Séminaire International sur la Physique Energétique (SIPE’2), pp. 19-24, 08- Béchar, 10 novembre 1994.