Corrigé de l’exercice 16, fiche 1

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 – Probabilités Année universitaire 2015–2016

Corrigé de l’exercice 16, fiche 1

Exercice 1 – Modèle d’Ising, algorithme de Metropolis. Soit Λ = {1, . . . , r}² un carré dans Z². On note E={+1,−1}^Λ :E est l’ensemble des configurations obtenues en plaçant les valeurs +1 ou -1 en chaque sommet deΛ. Pourσ= (σ(z))_z∈Λ∈E etx∈Λ, on définit φxσ∈E en changeant la valeur de σenx:

φ_xσ(z) =

(σ(z) siz6=x

−σ(x) siz=x.

On définitH :E→Rpar : pour tout σ∈E, H(σ) = 1

2

X

x,y∈Λ,|x−y|=1

1{σ(x)6=σ(y)}.

Soitβ >0. On peut alors définir une mesureµ surE parµ(σ) = _Z¹e^−βH(σ), où Z est une constante telle que µ(E) = 1. L’objectif est de simuler (approximativement) une variable aléatoire de loiµ.

Soit(Zn)nune suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme surΛ, et(Un)nune suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur [0,1], indépendantes entre elles. On définit la suite (Xn)_n≥0 à valeurs dans E par récurrence en choisissantX0 quelconque (par exemple,X0(x) = +1pour toutx∈Λ, ouX0peut être aléatoire) puis, pour tout n≥0,

Xn+1=

(φZ_n+1Xn siUn+1< ^µ(φ_µ(X^Zn+1Xn)

n)

Xn sinon.

1.Justifier que(Xn)n est une chaîne de Markov. Donner ses probabilités de transitionP(σ, σ⁰)(selonH).

On a, pour tout n,Xn+1=f(Xn,(Un+1, Zn+1))oùf :E×([0,1]×Λ)→E est définie par

f(σ,(u, z)) =

(φz(σ) siu < ^µ(φ_µ(σ)^z(σ))

σ sinon.

et les v.a.(Un+1, Zn+1), pour n≥0, sont indépendantes et suivent la même loi. Par l’exercice 3, on conclut que(Xn)nest une chaîne de Markov. On noteP sa matrice de transition. Pour toutσ∈E, on aP(σ, σ⁰)>0 si et seulement siσ⁰ =σouσ⁰ =φzσoùz∈Λ. Et, pour tousσ∈E,z∈Λ,

P(σ, φ_xσ) =P Z₁=z, U₁<µ(φzσ) µ(σ)

=P(Z₁=z)P U₁<µ(φzσ) µ(σ)

Si µ(φzσ)> µ(σ), c’est-à-dire siH(φzσ)≤H(σ), alors le second événement est toujours vérifié donc P(σ, φzσ) =P(Z1=z) = 1

Card(Λ)

et si H(φ_zσ)> H(σ)alors

P(σ, φzσ) = 1 Card(Λ)

µ(φzσ)

µ(σ) = 1

Card(Λ)e^{−β(H(φzσ)−H(σ))}.

On peut noter que H(φzσ)−H(σ) dépend seulement du nombre de voisins y de z tels que σ(y) 6=σ(z).

Enfin, la probabilité P(σ, σ)est non nulle et se déduit des autres mais n’a pas d’expression simple : P(σ, σ) = 1−X

z∈Λ

P(σ, φ_zσ)

2.Est-elle irréductible ? apériodique ? récurrente ?

1

On aP(σ, φzσ)>0pour tousz∈Λ,σ∈E, or pour toutσ∈E, la composée des opérationsφzoùσ(z) =−1 envoie σsur la configuration constante(+1)_x∈Λ, et vice-versa, doncP est irréductible. PuisqueP(σ, σ)>0 pour n’importe quelσ, P est apériodique. X est une chaîne de Markov irréductible sur un espace fini, donc est récurrente positive.

3.Vérifier que, pour tousσ∈E et x∈Λ, en notantσ⁰ =φxσ, on aµ(σ)P(σ, σ⁰) =µ(σ⁰)P(σ⁰, σ)et en déduire queµest invariante. (On dit queµest réversible dans ce cas)

Pour tousσ∈E,x∈Λ, on a, en notantσ⁰=φxσ, P(σ, σ⁰) = 1

Card(Λ)min

1,µ(σ⁰) µ(σ)

,

donc

µ(σ)P(σ, σ⁰) = 1

Card(Λ)min

µ(σ), µ(σ⁰)

=µ(σ⁰)P(σ⁰, σ),

où la dernière égalité s’obtient en échangeant les rôles (symétriques) deσetσ⁰ précédemment. Notons que la formule µ(σ)P(σ, σ⁰) =µ(σ⁰)P(σ⁰, σ)vaut pour n’importe quelsσ, σ⁰ ∈E car si σ⁰ 6=φ_xσ pour toutx∈Λ, alors les deux termes de l’identité valent zéro.

Alors, pour tout σ∈E, X

σ⁰∈E

µ(σ⁰)P(σ⁰, σ) = X

σ⁰∈E

µ(σ)P(σ, σ⁰) =µ(σ)X

σ⁰∈E

P(σ, σ⁰) =µ(σ),

ce qui montre que µest invariante.

4.Conclure que la loi deXn converge versµquand n→ ∞. Quel est le rôle qualitatif deβ?

La chaîne de Markov(Xn)n est irréductible, récurrente positive (car l’espace d’états est fini), et apériodique, donc la loi deXn converge vers l’unique probabilité invariante, qui estµd’après la question précédente.

Remarquons qu’il n’a pas été nécessaire de connaître la constante Z de la définition de µ pour définir la chaîne de Markov (X_n)_n. Il suffit de pouvoir comparer H(σ) et H(φ_zσ), ce qui est très simple et rapide.

On peut donc simuler une variable aléatoireX de loi approximativement égale àµen simulant la chaîne de Markov (X_n)_n pendant un grand nombre de pas.

Si X_n = σ, la définition de X_n+1 se résume ainsi : on choisit un sommet Z_n+1 = z au hasard de façon uniforme ; si changer le signe de σ en z diminue sonénergie H, c’est-à-dire que cela diminue le nombre de voisins de signes contraires, alors on le change pour définir X_n+1; sinon, on ne change le signe enz qu’avec probabilitée^{−β(H(φzσ)−H(σ))}.

Notons que si β est proche de zéro, alors la dernière probabilité est proche de 1 : on change le signe en z dans presque tous les cas, quelle que soit la configuration σ. Il en résulte que les composantes de Xn sont presque indépendantes : la loi µ est proche de la loi uniforme surE, le “désordre” est grand (en termes de physique statistique, l’entropie est importante).

Inversement, si β est grand, alors l’exponentielle plus haut est proche de zéro, donc on ne change le signe de Xn=σ enzpresque seulement lorsque cela diminue le nombre de voisins de signes contraires. Il en résulte rapidement une certaine régularisation de la configuration : les îlots de +1 entourés de -1 (ou vice-versa) prennent des formes plus régulières, les îlots de petite taille disparaissent,... jusqu’à aboutir à une situation où l’énergie ne peut plus diminuer, sauf avec petite probabilité, ce qui peut emmener la configuration vers une autre configuration “stable”, etc. La dynamique est beaucoup moins rapide ici, et moins désordonnée.

Cela correspond à une “phase” différente du système.

Pour le système physique, β = _T¹ oùT est la températûre. Cela reflète bien la dynamique rapide et désor- donnée siT est grand (β proche de 0), et lente et plus ordonnée siT est petit. On pourrait parler dephase gazeuse et dephase liquide. La simulation suivante obtenue avec Scilab montre, pour un carré de côté 30 (en fait, un tore : conditions au bord périodique), l’allure de Xn pour n= 50000(noir pour +, blanc pour -).

β = 0.5 β = 1 β = 2

2