Intégrale dépendant de la borne supérieure

Intégrale dépendant de la borne supérieure

¦ Le théorème suivant est à connaitre impérativement. Il s’applique à des fonctions définie et conti- nues sur un intervalle deRet à valeurs dansR^ouC^.

Théorème 1 – Fondamental du calcul intégral

Si I est un intervalle deR^{, f :I}→R^ouCest continue et a∈I , alors l’application :

F: I → R

x 7→ Rx a f(t) dt est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a. En particulier :

• F∈C¹(I);

• F(a)=0;

• ∀x∈I , F⁰(x)=f(x).

BRemarques.

• L’hypothèse de continuité est essentielle ;

• Ce théorème donne un moyen d’écrire (sous forme intégrale) une primitive def surImais on l’utilise souvent dans l’autre sens : il faut savoir reconnaitre dans l’expressionF(x)=Rx

a f(t) dt une primitive de f.

Au sujet des primitives, on rappelle également que :

• Pour pouvoir affirmer qu’une fonction f définie sur un intervalleI possède une primitive, il faut qu’elle soitcontinuesurI;

• Il n’y a pas unicité d’une primitive, on doit donc en général parler d’uneprimitive def surI, à moins de disposer d’élément supplémentaires permettant de déterminer une primitive parmi l’ensemble de toutes les primitives, par exemplelaprimitive def surIqui s’annule en 0 (bien

entendu si 0∈I).

¦ On rencontre également des fonctions de la formeF:x7→Rv(x)

u(x) f(t) dt. Expliquons sur un exemple comment faire leur étude.

Exemple. On considère la fonctionFdéfinie par :

F(x)= Z x²

2x

1 ln(1+t²)dt 1

Déterminer le domaine de définition deF. Étudier la dérivabilité deF et donner l’expression de F⁰(x).

ÞOn définit :

f :t7→ 1 ln(1+t²)

Cette fonction est définie et continue surR^{∗. Pour queF}(x) soit défini, il faut que l’intégraleRx² 2x f(t) dt ait un sens, autrement dit il faut que la fonctionf soit continue sur tout l’intervalle [2x,x²]. On dis- tingue trois cas :

— Six>0, alors [2x,x²]⊂R^+∗, doncF(x) est bien défini ;

— Six<0, alors 0∈[2x,x²] etf n’est pas définie en 0, doncF(x) n’est pas définie ;

— Six=0, on considère queF(x) n’est pas défini carf n’est pas définie en 0.

La fonctionF est donc définie surR^+∗. Pour étudier la dérivée deF, on va expliciter l’intégrale en utilisant une primitive def. La fonctionf est continue surR^+∗, elle possède donc une primitiveG surR^+∗(que l’on ne cherche pas à expliciter). Avec cette fonctionG, on peut écrire :

∀x>0,F(x)=G(x²)−G(2x)

La fonctionFest donc de classe C¹surR^+∗comme composée de fonctions de classe C¹. On obtient l’expression deF⁰en utilisant les formules de dérivation d’une composée :

∀x>0,F⁰(x)=2xG⁰(x²)−2G⁰(2x) et commeGest une primitive def :

∀x>0,F⁰(x)=2x f(x²)−2f(2x)= 2x

ln(1+x⁴)− 2 ln(1+4x²)

On pourrait ensuite étudier le signe deF⁰, les variations deF, etc.

2