intégrale double

(1)

intégrales multiples intégrale double

intégrale double

ffonction positive Ssurface d’équationz=f(x,y) Dpartie du plan horizontalz=0

V ensemble des points au dessus deD, sous la surfaceS: V ={(x,y,z)|(x,y,0)∈D,0≤z≤f(x,y)}

volume deV?

(2)

intégrale double

on décomposeVen petits pavés :

base rectangulaire[x,x+dx]×[y,y+dy], hauteurf(x,y), donc volume d²V=f(x,y)×dxdy=f(x,y)×d²S

x x+dx

y y+dy S

f(x,y)

D

volume total : « somme » de tous ces éléments V =R R

Df(x,y)dxdy

2 / 29

(3)

méthode de calcul ?

équations deD:a≤x≤b,c(x)≤y ≤d(x)

a x b

d (x )

c(x)

D

aire des tranches àxfixéRd(x)

y=c(x)f(x,y)dy, puis nouvelle intégrale enx intégrale double = deux intégrales simples !

R R

Df(x,y)dxdy=Rb x=a(Rd(x)

y=c(x)f(x,y)dy)dx

(4)

exemple

Rle rectangle[0,1]×[0,1].

inéquations décrivantR? calcul deR R

R3xydxdy? T le triangle de côtésA(1,0),B(0,1),C(1,1) inéquations décrivantT? calcul deR R

T3xydxdy?

4 / 29

(5)

cas particulier : calcul d’aire

sif =1 ? R R

D1 dxdyvolume d’un ensemble "cylindrique" de baseDet hauteur 1 le volume vaut aire(D)×1, donc :

aire du domaineD:

aire(D) =R R

Ddxdy

une intégrale double peut représenter : - un volume :R R

Df(x,y)dxdy - une aireR R

Ddxdy - une masseM=R R

Dσ(x,y)dxdy,σmasse surfacique - un moment d’inertieI=R R

Dd(M,∆)²σ(x,y)dxdy - une forceF =R R

Dd²F

(6)

exemple : aire du disque

disqueDde centreOet rayon 1 : équations ?

calcul deR R

Ddxdy:

6 / 29

(7)

cas particulier : rectangle et f (x , y ) = g(x)h(y )

si :

Drectangle de côtés parallèles aux axes[a,b]×[c,d], fest un produitf(x,y) =g(x)h(y)

alors :

R R

Dg(x)h(y)dxdy=Rb a g×Rd

c h

(8)

exemples

exemple 1 : masse d’une plaque carré, côtéL, masse surfaciqueσ?

exemple 2 : moment d’inertie de la plaque par rapport à un côté ?

8 / 29

(9)

exemples

exemple 3 : centre de gravitéGd’un solide ?

rappel système ponctuel(P1,m1), . . .,(Pk,mk):m1GP~1+. . .+mkGP~k =~0 doncm1(x1−x_G) +. . .+mk(xk −x_G) =0 etm1(y1−y_G) +. . .+mk(yk−y_G) =0

doncxG= m1x1+. . .+mkxk

m1+. . .+mk

,yG=m1y1+. . .+mkyk

m1+. . .+mk

pour un solide : par analogie

centre de gravité d’un solideSde masseM=R R

Sρ(M)d²S: x_G=

R R

Sρ(M)xd²S

M ety_G=

R R

Sρ(M)yd²S M

(10)

intégrales multiples intégrales triples

intégrales triples

de même :

on intégre un infiniment petit d’ordre 3 sur un solideVde l’espace pour obtenir - un volumeR R R

Vdxdydz - une masseR R R

Vρ(x,y,z)dxdydz - un moment d’inertieR R R

Vd(M,∆)²ρ(x,y,z)dxdydz - etc

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(11)

intégrales multiples autres coordonnées

quand utiliser d’autres coordonnées ?

SiDa des éléments de symétries (circulaire, cylindrique, sphérique), si la fonction intégrée ne dépend que d’une distance à un point ou à un axe...

il est intéressant d’exprimer l’intégrale dans un autre système de coordonnées : polaires, cylindriques, sphériques.

Il faut pour cela connaître :

- un ensemble d’(in)équations pour décrireD

- l’expression de la fonction dans ce système de coordonnées

- l’expression des éléments de surface ou volume dxdyou dxdydzdans ce système de coordonnées

(12)

intégrales multiples coordonnées polaires

en polaires : éléments de longueur, de surface

distances et surface parcourues

lors de petites variations des coordonnées polaires ? Mde coordonnéesr etθ

M1de coordonnéesr+dr etθ M2de coordonnéesr etθ+dθ M^′de coordonnéesr+dretθ+dθ

M M

₂

d θ dr M

^′

M

1

éléments de longueur

MM1=dr

MM2≃r dθ (segment, proche d’un arc de cercle) MM^′≃√

dr²+r²dθ²

déplacements élémentairesdl~

MM~1=dr u~r

MM~2≃rdθ ~uθ

MM~ ^′≃dru~r + r dθ ~uθ

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(13)

éléments de longueur, de surface

distances et surface parcourues

lors de petites variations des coordonnées polaires ? Mde coordonnéesr etθ

M₁de coordonnéesr+dr etθ M2de coordonnéesr etθ+dθ M^′de coordonnéesr+dretθ+dθ

M M

2

d θ dr M

^′

M

1

élément de surface

d²S=r dr dθ

(14)

exemples de calculs coordonnées polaires

bornes, fonction et élément de surface exprimés avecr etθ en polaires

R R

Df(x,y)dxdy = R R

Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ exemple 1 : aire du disque ?R2π

θ=0

RR r=0rdrdθ

exemple 2 : moment d’inertie du disque homogène par rapport à son centre ? R2π

θ=0

RR

r=0r²σrdrdθ

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(15)

intégrales multiples coordonnées cylindriques

coordonnées cylindriques

(O,~ı, ~, ~k)repère orthonormé direct de l’espace.

Mde coordonnées cartésiennes(x,y,z).Pprojeté deMsur(0z).

O M r

~

P θ

~ k z

~ı

coordonnées cylindriques deM:

(16)

les coordonnées

relations entrex,y,z,r etθ?

M

O θ

~

x r y

~ı

par définition du sinus et du cosinus :

x=rcosθ y=rsinθ z=z(eh oui !)

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(17)

les coordonnées

relations réciproques ?

pourr:x²+y²=r²cos²θ+r²sin²θ=r², doncr =p x²+y². pourθ: on sait que y

x = rsinθ

rcosθ = tanθ:θetarctan(y/x)ont même tangente arctan(y/x)∈[−π/2;π/2]: c’estθsix>0, sinon il faut ajouter±π

coordonnées cylindriques en fonction dex,yetz

θ= arctan(y/x) six>0 r =p

x²+y² θ= arctan(y/x) +π six<0 ety≥0 z θ= arctan(y/x)−π six<0 ety<0 θ=π/2 six=0 ety>0 θ=−π/2 six=0 ety<0

(18)

exercices

Déterminer les coordonnées cartésiennes du point de coordonnées cylindriques r =4 θ=5π/6 z=−1.

x=−2√

3 y=2 z=−1

Déterminer les coordonnées cylindriques du point de coordonnées cartésiennes x=−1 y=0 z=−1

r =1 θ=π z=−1

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(19)

éléments de longueur

distances parcourues

lors de petites variations des coordonnées cylindriques ? Mde coordonnéesr,θ,z

M₁de coordonnéesr+dr,θ,z M2de coordonnéesr,θ+dθ,z M3de coordonnéesr,θ,z+dz

M M

2

d θ

dr M

₁

MM1=dr

MM2≃rdθ(arc de cercle) MM3=dz déplacements élémentairesdl~

MM~ 1=dr u~r

(20)

éléments de surface

surfaces balayées

lors de petites variations des coordonnées cylindriques ? Mde coordonnéesr,θ,z

M1de coordonnéesr+dr,θ,z M2de coordonnéesr,θ+dθ,z M3de coordonnéesr,θ,z+dz

M M

2

d θ dr M

^′

M

1

éléments de surface

d²S=r dr dθ (siretθvarient de dr et dθ) d²S=dr dz (sir etzvarient de dret dz) d²S=r dθdz (sizetθvarient de dzet dθ) élément de volume

d³V≃r drdθdz

20 / 29

(21)

coordonnées cylindriques

bornes, fonction et élément de volume exprimés avecr,θ,z en cylindriques

R R R

Vf(x,y,z)dxdydz = R R R

Vf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz exemple 1 : volume du cylindre ?

exemple 2 : moment d’inertie du cylindre homogène par rapport à(Oz)?

(22)

intégrales multiples coordonnées sphériques

coordonnées sphériques

(O,~ı, ~, ~k)repère orthonormé direct de l’espace.

Mde coordonnées cartésiennes(x,y,z).Pprojeté deMsur(0z).

~k

~ı θ

P M

O ~

r ϕ

coordonnées sphériques deM:

r =||OM~ || ϕ= (~ı, ~PM) θ= (~k, ~OM) θest entre 0 etπ,ϕentre 0 et 2π

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(23)

les coordonnées

relation entrez,r etθ?

~ k M

O z

r θ

rsinθ

Msur un grand cercle (méridien) de rayonr

(24)

les coordonnées

relations entrex,y,r,θetϕ?

~ y

rayon : r sin θ ϕ

M

P ~ı

x

Msur un cercle horizontal de centreOet de rayonr sinθ(un parallèle) x=r sinθ cosϕ

y=r sinθ sinϕ

24 / 29

(25)

les coordonnées

relations réciproques ? pourr :r²=OM²=x²+y²+z², doncr =p

x²+y²+z²

pourθ:z

r = cosθetθ∈[0;π]doncθ= arccos(z/r) pourϕ:y/x= tanϕdoncϕetarctan(y/x)ont la même tangente arctan(y/x)∈[−π/2;π/2]: c’estθsix>0, sinon il faut ajouter±π

on a déjà fait ce genre de calculs deux fois...

(26)

exercices

Déterminer les coordonnées cartésiennes du point de coordonnées sphériques r =2 θ=5π/6 ϕ=π/3.

x=1/2 y=√

3/2 z=−√ 3

Déterminer les coordonnées sphériques du point de coordonnées cartésiennes x=−1 y=0 z=−1

r =√

2 θ=3π/4 ϕ=π

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(27)

éléments de longueur

distances parcourues lors de petites variations des coordonnées sphériques ? Mde coordonnéesr,θ,ϕ M1de coordonnéesr +dr,θ,ϕ M₂de coordonnéesr,θ+dθ,ϕ M3de coordonnéesr,θ,ϕ+dϕ

M

₂

M

3

~ k

dϕ

O θ dθ

r

~ ϕ

r sin θ dϕ

r dθ

MM1=dr

MM2≃rdθ(arc de grand cercle) MM₃≃r sinθdϕ(arc de cercle de rayonr sinθ)

~

(28)

éléments de surface

surfaces balayées lors de petites variations des coordonnées sphériques ? Mde coordonnéesr,θ,ϕ M1de coordonnéesr +dr,θ,ϕ M₂de coordonnéesr,θ+dθ,ϕ M3de coordonnéesr,θ,ϕ+dϕ

M

₂

M

3

~ k

dϕ

O θ dθ

r

~ ϕ

r sin θ dϕ

r dθ

éléments de surface

d²S=r dr dθ; (sir etθvarient de dr et dθ) d²S=r sinθdr dϕ; (sir etϕvarient de dr et dϕ) d²S=r²sinθdθdϕ (siθetϕvarient de dθet dϕ) élément de volume

d³V≃r² sinθdr dθdϕ

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(29)

coordonnées sphériques

bornes, fonction et élément de volume exprimés avecr,θ,ϕ en sphériques

R R R

Vf(x,y,z)dxdydz = R R R

Vf(rsinθcosϕ,rsinθsinϕ,rcosθ)r²sinθdrdθdϕ exemple 1 : volume de la boule ?

exemple 2 : moment d’inertie d’une boule homogène par rapport à son centre ?