Feuille 11. CONVERGENCES PROBABILISTES
Exercice I.
SoitXune variable aléatoire positive, admettant une espérance, et soita >0.
On se propose de démontrer l’inégalité de Markov, dans les cas oùXest discrète, et oùXest à densité.
1. Rappeler l’inégalité de Markov.
2. On suppose queXest discrète.
a. DécomposerE(X)comme somme de deux sommes.
b. En déduire que E(X)≥a
+∞
X
k=min(a,bac+1)
P(X=k).
c. Conclure.
3. On suppose queXest à densité, de densitéf.
a. En utilisant la relation de Chasles, décomposerE(X)comme la somme de deux intégrales.
b. En déduire que E(X)≥a Z +∞
a
f(t)dt.
c. Conclure.
Exercice II.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que ∀x >0, Z x
−∞
e−t
2
2dt≥√ 2π
1− 1
2x2
.
Exercice III.
Soit(Xn)n∈N∗ une suite de v.a. indépendantes, suivant la même loi uniforme sur[0,1].
On pose Mn=max(X1, ..., Xn) et Yn=n(1−Mn).
1. Déterminer la fonction de répartition deMn, puis celle deYn.
2. En déduire que(Yn)n∈N∗converge en loi vers une v.a. dont on précisera la loi.
Exercice IV.
Etudier la convergence en loi des suites(Xn)n∈N∗ de variables aléatoires dans les cas suivants : 1. Xn,→ E(n) 2. Xn,→ E
1 n
3. Xn,→U([[1, n]]) 4. Xn,→ N
m,σ2 n
Exercice V.
On considère unn-échantillon(X1, ..., Xn)d’une v.a.X.
Suivant la loi deX, trouver les réelsmetσtels queXn∗ =√
nXn−m
σ converge en loi vers la loiN(0,1).
1. X ,→ U([0; 1]) 2. X ,→ U([[1;n]]) 3. X ,→ B(p) 4. X ,→G(p) 5. X ,→P(λ) 6. X ,→ E(λ)
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Exercice VI.
On considère la fonctionf définie surRpar f(x) =
3
x4 , six≥1 0 , six <1
.
1. Vérifier quef est une densité de probabilité.
2. SoitXune variable aléatoire de densitéf. DonnerX(Ω), en justifiant brièvement.
3. Déterminer la fonction de répartitionFX deX.
4. Justifier brièvement son existence, et vérifier que E(X) = 3 2. 5. Si possible, calculer V(X).
6. On dispose d’un échantillon de100réalisations de la loi de densitéf. Trouver des réelsaetbtels que P(a≤X100≤b)'0.95
On rappelle lethéorème central limite:
Sinest assez grand, et siX1,...,Xnsontnréalisations indépendantes de la v.a.X, alors on peut considérer que la loi de X1+...+Xn−n E(X)
√n σ(X) est proche d’une loiN(0; 1).
Par ailleurs, on rappelle aussi que si Y ,→ N(0; 1), alors P(−2< Y <2)'0.95 Exercice VII.
On considère unn-échantillon(X1, ..., Xn)de v.a. indépendantes de même loi exponentielleE 1
n
. On poseYn=min(X1, ..., Xn). Etudier la convergence en loi de(Yn)n∈N∗.
Exercice VIII.
On considère une suite de v.a.(Xn)n∈N∗, telle que ∀n∈N∗, Xn,→U
0;1 n;2
n;3
n;...; ;n−1 n
. 1. DonnerXn(Ω), et pourk∈Xn(Ω), donnerP(Xn=k).
2. CalculerFXn(x), pourx <0, et pourx≥1.
3. Soitx∈[0; 1[.
a. Trouverk∈[[0;n−1]]tel que k
n ≤x < k+ 1
n , puis exprimerFXn(x).
b. Encadrer bnxc.
c. En déduire lim
n→+∞FXn(x).
4. La suite(Xn)n∈N∗converge-t-elle en loi ? Si oui, vers quelle v.a. ? Exercice IX.
On considère une suite(Xn)n∈N∗de v.a. indépendantes de même loi exponentielleE(1).
On pose Zn=max(X1, X2, ..., Xn)−ln(n).
1. Déterminer la fonction de répartition deZn.
2. On poseZ =−ln(X), oùX ,→ E(1). Déterminer la fonction de répartition deZ. 3. Montrer que la suite(Zn)n∈N∗converge en loi versZ.
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Exercice X.
On considère une suite(Xn)n∈N∗de v.a. indépendantes suivant toutes la loi de PoissonP(1).
On pose Sn=
n
X
k=1
Xk. 1. Déterminer la loi deSn. 2. DéterminerP(Sn≤n).
3. En utilisant le théorème central limite, calculer lim
n→+∞e−n
n
X
k=0
nk k!.
Exercice XI.
On considère une suite(Xn)n∈N∗de v.a. indépendantes de même loi exponentielleE 1
n
. On poseYn=bXnc.
1. a. DéterminerYn(Ω), puis la loi deYn. b. CalculerE(Yn)etV(Yn).
2. On poseZn=Xn−Yn.
a. Montrer queZnest à densité, et en déterminer une densité.
b. Montrer que(Zn)n∈N∗converge en loi vers une variable aléatoireZdont on donnera la loi.
c. CalculerE(Zn).
d. A-t-on lim
n→+∞E(Zn) =E(Z)? Exercice XII.
Un serveur dans un café remarque qu’un client sur cinq lui laisse un pourboire.
1. Pour1000clients, on noteY le nombre de clients qui laissent un pourboire.
Etablir la loi deY.
2. Par quelle loi peut-on approcher la loi deY? 3. Majorer / calculer P(190< Y <210).
Exercice XIII.
Un étudiant fait en moyenne une faute d’orthographe tous les 50 mots. Quelle est la probabilité qu’il ne fasse pas plus de 3 fautes dans un devoir contenant 250 mots ?
Exercice XIV.
Il passe en moyenne 400 voitures par heure sous un pont d’autoroute. Quelle est la probabilité qu’il passe au moins 300 voitures pendant une heure sous ce pont ?
Exercice XV.
On dispose de 1000 pots de peinture. La probabilité qu’un pot soit défectueux est de0,2%. Donner la probabi- lité qu’au moins quatre pots soit défectueux.
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Feuille 11. CONVERGENCES PROBABILISTES
Exercice XVI.
Un joueur gagne une partie avec probabilité 1
5. Combien le joueur doit-il jouer de parties pour que la probabi- lité de gagner au moins 200 parties soit supérieure à95%?
Exercice XVII.
1. SoitZune variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètrep.
Ainsi, pour toutk∈N∗, P (Z =k) =p(1−p)k−1.
Rappeler la valeur de l’espéranceE(Z)et celle de la varianceV (Z)de la variable aléatoireZ.
2. Soient un entiernsupérieur ou égal à2,etnvariables aléatoires indépendantesZ1,Z2,. . .,Zn, suivant toutes la loi géométrique de paramètrep.
On considère la variable aléatoireMn= 1
n(Z1+Z2+· · ·+Zn).
a. Déterminer l’espérancemet l’écart-typeσndeMn. b. Montrer que lim
n→+∞P (0≤Mn−m≤σn)existe et exprimer sa valeur à l’aide de Z 1
0
e−x
2
2 dx.
Sujets récents
Exercice XVIII. (Ecricome 2018, Tchebychev)
Soitnun entier naturel non nul.
Dans une fête foraine, un stand propose le jeu suivant : le joueur lancenfois une pièce et compte le nombre de Pile obtenus. Si ce nombre est pair, le joueur est déclaré vainqueur, et s’il est impair, il est déclaré perdant.
Si le joueur est déclaré vainqueur, il gagne 10 euros pour chaque Pile obtenu, mais s’il a perdu, il doit payer 10 euros pour chaque Pile obtenu.
En particulier, s’il n’obtient aucun Pile, il est déclaré vainqueur, mais ne remporte rien. La pièce est truquée, et à chaque lancer, la probabilité d’obtenir Pile est égale àp(p∈]0,1[), et celle d’obtenir Face est de1−p.
On notera X la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus, et Gla variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Enfin, on noteraAl’événement : « le joueur est déclaré vainqueur » et on dira que le jeu est favorable au joueur si l’espérance mathématique de la variable aléatoireGest positive. Le forain décide de fixern = 2etp = 1
4. En période estivale, il pense pouvoir compter sur la participation de200clients dans le journée. Avant de se décider à installer son stand, il voudrait être certain, avec un risque d’erreur inférieur à10%, qu’il gagnera plus de100euros dans la journée.
Pour tout entiericompris ente1et200, on note alorsGile gain algébrique dui-ième joueur.
On note aussiJ la variable aléatoire égale au gain du forain sur toute la journée.
1. Pour tout entieri∈[[1,200]], donner la loi deGiet calculer son espérance et sa variance.
2. Exprimer la variable aléatoireJ en fonction des variables aléatoiresGi. Démontrer alors queE(J) = 500etV(J) = 11250.
3. Justifier que : P(J ≤100)≤P(|J−500| ≥400).
4. Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchébychev, puis montrer que : P(J ≤100)≤ 9 128. 5. Compte tenu de ses exigences de rentabilité, le forain peut-il installer son stand ?
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