probabilités-cours-terminale STLPH-2009-2010

PROBABILITÉS I. Expériences aléatoires

Quand le résultat d’une expérience dépend du hasard, on parle d’expérience aléatoire.

Par exemple : tirer un jeton dans une urne, lancer des dés, tirer une carte etc….

I.1 Vocabulaire

• L’ensemble Ω formé par tous les résultats possibles d’une expérience est appelé univers (ou ensemble des possibilités).

• On appelle événement toute partie de l’univers.

• On appelle événement élémentaire un événement constitué d’un seul élément de Ω.

• Quand deux événements A et B n’ont aucun événement élémentaire commun, on dit qu’ils sont incompatibles (ou disjoints) . On a alors A B =.

• L’événement complémentaire, noté _A, d’un événement A est formé de tous les éléments de Ω qui n’appartiennent pas à A.

Exemple : On lance un dé ………… on a Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A l’événement « obtenir un chiffre pair » : A ={2, 4, 6} ; B l’événement élémentaire « obtenir 5 » : B = {5}. A B =d’où A et B sont incompatibles et _Best l’événement « obtenir un résultat différent de 5 » : _B= {1, 2, 3, 4, 6}.

I.2 Loi des grands nombres

Pour décrire mathématiquement une expérience aléatoire, on construit un modèle de cette expérience.

On associe à chaque événement élémentaire un nombre appelé sa probabilité.

Ce nombre mesure les chances qu’a l’événement de se réaliser.

Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire pouvant conduire à des résultats a1, … , an, la fréquence de réalisation de chaque événement élémentaire

 

Ce nombre peut-être considéré comme la probabilité de réalisation de l’événement

 

Définition : Soit Ω = { a1, a2, … , an} un ensemble fini.

• On définit une loi de probabilité sur Ω si on choisit des nombres p p p1; 2; 3;...;p_n tels que pour tout i, ^0 pi ^1et p1+ + +...p2 p3 p_n 1.

pi est la probabilité de l’événement élémentaire

 

   

• Pour tout événement A, on définit p(A) comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui définissent A.

Théorème : Soit Ω un ensemble fini muni d’une probabilité p. On a : • p(Ω) = 1 ; • p() = 0 (la probabilité de l’événement impossible est nulle) ;

• Aun événement, Aet A sont des événements contraires donc p( A ) = 1 - p(A) ; • A et B deux événements incompatibles : p(A B) = p(A)+ p(B)^ ;

• A et Bdeux événements : p(A B) = p(A)+ p(B) - p(A B)^{ }

• A et Bsont deux événements incompatibles, donc ^{p A}



 



^

^

Remarques :

1) L’événement «A OUB», noté A B , représente la réunion des événements A et B. Ce sont les éléments de Ω qui appartiennent à A ou à B (éventuellement aux deux).

2) L’événement «A et B», noté A B , représente l’intersection des événements A et B. Ce sont les éléments de Ω qui appartiennent à A et à B.

III. Equiprobabilité

Définition : On dit qu’il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Théorème : Dans une situation d’équiprobabilité, si Ω a n éléments et si A est un événement composé de q événements élémentaires ^{(q n )} : card(A) q

p(A) = =

card(Ω) n

où cardAet card Ω désignent respectivement le nombre d’éléments (appelé cardinal) de Aet de Ω.

IV. Variable aléatoire IV.1 Définition

Définition : Soit Ω l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire.

On définit une variable aléatoire X sur Ω en associant un nombre réel à chaque résultat.

Remarque : x un nombre réel, l’événement « X prend la valeur x » est noté X x IV.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Définition : La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction qui à toute valeur xi de X associe p X⁽ xi⁾ pi . Cette loi est généralement donné dans un tableau :

xi x₁ x₂ …….. ……… ……… x_n

( _i) _i

p X x  p p X( x₁) p₁ p X( x₂) p₂ p X( x_n) p_n La somme des probabilités est égale à 1 :



i=1

p X = x = 1 .

Exemple : On lance un dé pipé. La face 6 a 3 fois plus de chance de sortir que chacune des autres faces.

La loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le numéro de la face obtenue est

xi 1 2 3 4 5 6

p(X = xi) = pi 1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

3 8

IV.3 Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire

L’espérance d’une variable aléatoire X nous renseigne sur la moyenne des valeurs prises par X quand on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire, mais des variables aléatoires très différentes peuvent avoir la même espérance.

Comme en statistique, on définit la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire X pour mesurer la dispersion de X autour de son espérance.

Définition : Soit x1, x2, x3...xi,---, xn et i un naturel de 1 à n : les valeurs prises par une variable aléatoire X.

On appelle espérance de la variable aléatoire X le nombre réel :

E X( ) x1 p X( x1) x2 p X( x2) x3 p X(  x3) ...  x_i p X( x_i) ...  x_n p X( x_n)

1

( ) ( )





^{i p}



E X x p X x

Définition : Soit x1, x2, x3...xi ;… xn et i un naturel de 1 à n: les valeurs prises par une variable aléatoire X.

On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel :

V x( )













La variance de X est :







i=1

V(X) = x - E(X) p(X = x ) = E(X ) - (E(X))

Démonstration

 

1 1 1 1

( ) ⁿ _i ( ) ( _i) ⁿ _i ( _i) 2 ( ) ⁿ _i ( _i) ( ( )) ⁿ ( _i)

i i i i

V X x E X p X x x p X x E X x p X x E X p X x

   











V X( )E X( ²) 2 ( ( ))  E X ²( ( ))E X ² puisque

1

( ) 1

n

i i

p X x



 



Et on a : V X( ) = E(X²) - (E( ))X ²

Définition : On appelle écart-type de la variable aléatoire X le nombre réel : ^{(X) = V(X)}