[b Variable aléatoire c\ Table des Matières

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[b Variable aléatoire c\

Table des Matières

I. Introduction 1

II. Variable aléatoire et loi de probabilité 1

III.Espérance d’une variable aléatoire 2

IV. Variance et écart-type d’une variable aléatoire 2

Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges dmath-adore.frd 0/3

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[b Variable aléatoire c\

I. Introduction

tActivité 1

On lance 3 fois une pièce de monnaie bien équilibrée.

Si PILE apparaît on gagne 10 euros, si FACE apparaît on perd 5 euros.

1. Déterminer toutes les gains possibles.

2. Calculer la probabilité de tous ces gains possibles.

II. Variable aléatoire et loi de probabilité

Soit une probabilitéPdéfinie sur un univers finiΩà valeur dans [0 ; 1] et une applicationXdeΩdansRqui a tout événementAide l’univers associe un nombre réelxi,iétant un nombre entier naturel compris entre 1 etn.

P: Ω → [0 ; 1]

Ai 7→ P(Ai) X: Ω → R

Ai 7→ xi=X(A_i)

On noteP(X=x_i) le nombreP(A_i) tel queA_iest l’ensemble des événements antécédents dex_iparX. On noteP(X6_x_i) le nombreP(Ai) tel queAiest l’ensemble des événements antécédents de tous lesxjpar Xtels quexj6xi(on définit de manière analogue les autres inégalités).

Xest appelée variable aléatoire etX(Ω)={x₁;x₂;...;x_n}.

La loi de probabilité de la variable aléatoireXest l’ensemble desnprobabilitésP(X=x_i).

gDéfinition

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On lance simultanément deux dés à six faces bien équilibrés, numéroté de 1 à 6. On s’intéresse à la somme des numéros des faces.

Ω={(1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (1 ; 4) ; (1 ; 5) ; (1 ; 6) ; (2 ; 1) ; ... ; (6 ; 5) ; (6 ; 6)}

Ωpossède 36 couples, 36 événements élémentaires équiprobables.

X((1 ; 1))=2 ;X((1 ; 2))=3 ;X((1 ; 3))=4 ; ... ;X((1 ; 6))=7 ;X((2 ; 1))=3 ; ... ;X((6 ; 5))=11 ;X((6 ; 6))=12 Ainsi,

P(X=3)=P[(1 ; 2)∪(2 ; 1)]=P((1 ; 2)+P(2 ; 1)= 1 36+ 1

36= 1 18

X=3 correspond aux antécédents de 3 parX, soit à la réunion des événements élémentaires (1 ; 2) et (2 ; 1) deΩ.

P(X63)=P(X=2)+P(X=3)= 1 36+ 1

18= 1 12

X 63 correspond aux antécédents de 2 et de 3 par X, soit à la réunion des événements élémentaires (1 ; 1) ; (1 ; 2) et (2 ; 1) deΩ.

gExemple

gRemarque

P(X=x₁)+P(X=x₂)+...+P(X=xn)= Pn

i=1P(X=xi)=1

III. Espérance d’une variable aléatoire

SoitX={x₁;x₂;...;xn} une variable aléatoire définie sur un universΩmuni d’une probabilitéP. On appelle espérance mathématique d’une variable aléatoireX, notéeE(X) la valeur suivante :

E(X)=P(X=x1)x1+P(X=x2)x2+...+P(X=xn)xn= Pn

i=1P(X=xi)xi

gDéfinition

tExercice 1

On reprend l’exercice de l’activité :

Si PILE apparaît on gagne 10 euros, si FACE apparaît on perd 5 euros. On noteXla variable aléatoire du gain.

En reprenant les résultats de l’activité 1, 1. Calculer l’espéranceE(X).

2. Est-ce que le jeu est équitable ? Justifier ? 3. Comment rendre le jeu équitable ?

Soitaetbdeux nombres réels :

E(a X+b)=aE(X)+b gPropriété

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tDémonstration 1 Laissée en exercice

IV. Variance et écart-type d’une variable aléatoire

SoitX={x1;x2;...;xn} une variable aléatoire définie sur un universΩmuni d’une probabilitéP. On appelle variance mathématique d’une variable aléatoireX, notéeV(X) la valeur suivante :

V(X)=P(X=x1)(x1−E(X))²+P(X=x2) (x2−E(X))²+...+P(X=xn)(xn−E(X))²= Pn

i=1P(X=xi)(xn−E(X))² L’écart-typeσ(X) est égal àp

V(X).

gDéfinition

• V(X)=E(X²)−E(X)²

• Soitaetbdeux nombres réels :

V(a X+b)=a²V(X) gPropriété

tExercice 2

On reprend l’exercice de l’activité :

Si PILE apparaît on gagne 10 euros, si FACE apparaît on perd 5 euros. On noteXla variable aléatoire du gain.

En reprenant les résultats précédent, Calculer l’écart-typeσ(X).

tDémonstration 2 Laissée en exercice

tExercice 3

SoitX={x₁;x₂;...;x_n} une variable aléatoire définie sur un universΩmuni d’une probabilitéP.

Étudier la fonction

f : R → R

x 7→ E((X−x)²) .