E60145. Tour de table en euros
Des jeunes gens sont assis autour d’une table. Sauf le premier, qui est le plus riche, chacun a un euro de moins que son voisin de gauche. Au signal, le premier donne un euro `a son voisin de droite, le second donne 2 euros
`
a son voisin de droite, le troisi`eme donne 3 euros `a son voisin de droite, et ainsi jusqu’`a l’avant-dernier, mais le dernier ne donne rien et cache dans un sac ce qu’il re¸coit. Ce cycle se r´ep`ete jusqu’`a ce qu’un des participants soit ruin´e.
On constate alors qu’un des participants poss`ede 4 fois plus qu’un de ses voisins. Combien y avait-il de jeunes gens, et quelles ´etaient leurs fortunes de d´epart ?
Solution
Observons qu’en un cycle de dons, chaque participant s’appauvrit d’un euro, sauf le dernier, dont le sac augmente d’autant (de n−1 euros, s’il y a n participants). C’est l’avant-dernier qui sera ruin´e le premier, au bout de c cycles si sa fortune initiale estc euros.
Sauf entre le premier et le dernier, la diff´erence de fortune entre voisins reste d’un euro. Elle ne peut pas donner un rapport de 1 `a 4, sauf entre ces deux participants. Si la fortune initiale de l’avant-dernier est c euros, celle du premier estn+c−2, et il lui resten−2 euros. La fortune initiale du dernier estc−1 euros, et avec le sac il a `a la fin c−1 +c(n−1) =cn−1 euros. La condition cn−1 = 4(n−2) s’´ecritn(4−c) = 7.
On en conclut qu’il y an= 7 participants,c= 3 cycles de dons, `a partir de fortunes initiales qui vont de 8 `a 2 euros.
1
