et de la Recherche Scientifique

Minist`ere de l’ ´Education Nationale, de l’Enseignement Sup´erieur, de la Formation des Cadres

et de la Recherche Scientifique

Pr´esidence du Concours National Commun 2008

´Ecole Nationale de l’Industrie Min´erale ENIM

Concours National Commun d’Admission aux

Grandes ´Ecoles d’Ing´enieurs ou Assimil´ees

Session 2008

´E ^{PREUVE DE} M ^ATH EMATIQUES ´ II

Dur´ee 4 heures

Fili`ere MP

Cette ´epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde L’usage de la calculatrice estinterdit

L’´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats de la fili`ere

MP

L’usage de la calculatrice est

interdit

Les candidats sont inform´es que la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements constitueront des ´el´ements importants pour l’appr´eciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec pr´ecision les r´ef´erences des questions abord´ees.

Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.

Sur les classes de similitude de matrices carr´ees d’ordre 2

L’objectif de ce probl`eme est d’´etudier quelques propri´et´es topologiques des classes de simili- tudes de matrices carr´ees `a coefficients r´eels ou complexes en liaison avec la diagonalisabilit´e.

Notations et rappels

Dans ce probl`eme,Kd´esigne le corps des r´eels ou celui des complexes (K=RouC) etM<sub>2</sub>(K) l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre2`a coefficients dansK; la matrice identit´e se noteraI₂.GL2(K) d´esigne le groupe des matrices inversibles deM₂(K).

Pour toute matriceAdeM₂(K),^tAd´esigne la matrice transpos´ee deA,tr (A)sa trace,detAson d´eterminant etSp_K(A)l’ensemble des valeurs propres deAappartenant `aK.

SiA ∈ M₂(C), on appelle matrice conjugu´ee deAet on noteA, la matrice deM₂(C) dont les coefficients sont les conjugu´es de ceux deA; la matrice transpos´ee de la matriceAse noteraA^∗.

On rappelle que deux matricesAetBdeM₂(K)sont ditessemblablesdansM₂(K)s’il existe une matrice P ∈ GL₂(K)telle queA = P BP⁻¹. Il s’agit d’une relation d’´equivalence surM₂(K); les classes d’´equivalence de cette relation sont ditesles classes de similitudedeM2(K).

I. R´esultats pr´eliminaires

1. (a) V´erifier que siA ∈ M₂(K), la classe de similitude de la matrice A dansM₂(K), not´ee S_K(A), est ´egale `a{P AP⁻¹; P ∈GL₂(K)}.

(b) Donner la classe de similitude d’une matrice scalaire, c’est `a dire une matrice de la forme xI₂avecx∈K.

2. Pour toutλ∈K, on pose E_λ =

1 λ

0 1

et F_λ=

1 0

λ 1

.

(a) Justifier que, pour toutλ∈K,E_λetF_λsont inversibles et exprimer leur inverses.

(b) SoitA=

a b

c d

∈ M2(K); calculer les produitsE_λAE_λ⁻¹etF_λAF_λ⁻¹o `uλ∈K.

(c) On suppose que la classe de similitudeS_K(A)deA∈ M2(K)est r´eduite `a un singleton.

Montrer queAest une matrice scalaire.

3. PourA=

a b

c d

∈ M₂(K), on poseA_S=

|a|²+|b|²+|c|²+|d|²_1/2 . (a) Montrer queA−→ A_Sest une norme surM₂(K).

(b) V´erifier que, pour tout A ∈ M₂(K), A_S =

tr (AA^∗) et que si U ∈ M₂(K) est une matrice v´erifiantU U^∗=I₂alorsA_S =U AU^∗_S =U^∗AU_S.

´Epreuve de Math´ematiques II 1 / 4 Tournez la page S.V.P.

4. On suppose que la classe de similitudeS_K(A)de la matriceA∈ M2(K)est born´ee.

(a) Justifier que les parties{E_λAE_λ⁻¹; λ∈K}et{F_λAF_λ⁻¹; λ∈K}deM2(K)sont born´ees.

(b) En d´eduire queAest une matrice scalaire.

5. Que peut-on dire d’une matriceB ∈ M₂(K)dont la classe de similitude est compacte ? 6. Montrer que les applicationsA−→tr (A)etA−→detAsont continues surM₂(K).

7. Montrer que siAetBsont deux matrices semblables deM2(K), elles ont le mˆeme d´eterminant, la mˆeme trace et le mˆeme polyn ˆome caract´eristique.

II. Condition pour qu’une classe de similitude deM2(K)soit ferm´ee

1. SoitA∈ M2(K).

(a) SiSp_K(A) ={λ, µ}, justifier queAest semblable dansM₂(K) `a la matrice

λ 0

0 µ

. (b) Si Sp_K(A) = {λ}, montrer que A est diagonalisable dans M2(K) si et seulement si

A=λI₂.

(c) SiSp_K(A) = {λ}etA n’est pas une matrice scalaire, montrer queAest semblable dans M₂(K) `a la matrice

λ 1

0 λ

. 2. SoitA∈ M2(K).

(a) SiAest une matrice scalaire, justifier que la classe de similitudeSK(A)deAdansM2(K) est ferm´ee.

(b) SiSp_K(A) ={λ}etAnon diagonalisable, on poseA_k=

2^−k 0

0 1

λ 1

0 λ

2^k 0

0 1

, k∈N.

´Etudier la suite(A_k)_k∈Net en d´eduire que la classe de similitudeS_K(A)n’est pas ferm´ee.

(c) SiSp_K(A) ={λ, µ}, soit

P_kAP_k⁻¹

k∈Nune suite d’´el´ements deS_K(A)qui converge vers une matriceB ∈ M₂(K). Soitα∈{λ, µ}.

i. ´Etudier la suite

P_k(A−αI₂)P_k⁻¹

k∈Net en d´eduire quedet(B−αI₂) = 0.

ii. Montrer alors queB ∈SK(A)et conclure queSK(A)est ferm´ee.

3. Montrer que siA∈ M₂(C)alorsS_C(A)est ferm´ee si et seulement siAest diagonalisable dans M2(C).

4. SoitA∈ M₂(R)une matrice telle queSp_R(A) =∅.

(a) Justifier que4detA−(tr (A))² >0. Dans la suite, on pose A = 2

δ

A−tr (A) 2 I₂

etA= 1 2

tr (A) −δ δ tr (A)

avecδ : =

4detA−(tr (A))².

(b) Montrer queA² =−I₂.

(c) On notefl’endomorphisme deR²canoniquement associ´e `aAet on consid`ere un vecteur non nuledeR². Montrer que la famille(e, f(e))est une base deR²et ´ecrire la matriceA₁ defdans cette base.

(d) ExprimerA en fonction de A₁ et en d´eduire que les matrices A etA sont semblables dansM₂(R).

(e) Soit

P_kAP_k⁻¹

k∈N une suite d’´el´ements de S_R(A) qui converge vers une matrice A˜

´el´ement deM₂(R).

i. Montrer quetr ( ˜A) = tr (A)etdet ˜A= detA.

ii. Justifier alors que les matricesAetA˜sont semblables dansM2(R).

5. Montrer que si A ∈ M2(R) alors SR(A) est ferm´ee dans M2(R) si et seulement si A est diagonalisable dansM₂(R)ou bienSp_R(A) =∅.

III. Une caract´erisation des matrices diagonalisables deM2(K) 1. Un r´esultat de r´eduction

On muni le K-espace vectoriel K² de son produit scalaire canonique not´e (.|.); la norme associ´ee est not´ee.. Ainsi(K²,(.|.))est un espace euclidien siK=Ret hermitien siK=C.

SoitG∈ M₂(K); on notegl’endomorphisme deK² canoniquement associ´e `aG. On suppose de plus queSp_K(G)=∅siK=R.

(a) Justifier que les racines du polyn ˆome caract´eristiqueχ_GdeGsont toutes dansK.

Dans la suite, on d´esigne par λ et µ les racines de χ_G (´eventuellement confondues) ; ce sont les valeurs propres de g. On choisi un vecteur propre u₁ de g, associ´e `a la valeur propre λ, qu’on compl`ete en une base (u₁, u₂) de K² et on note (u₁, u₂) la base orthonorm´ee de(K²,(.|.))obtenue en appliquant le proc´ed´e de Schmidt `a(u₁, u₂).

(b) Rappeler les expressions des vecteursu₁etu₂ en fonction des vecteursu₁etu₂.

(c) On noteU la matrice de passage de la base canonique(e₁, e₂) deK² `a la base(u₁, u₂).

Montrer queU U^∗=I₂. (on pourra exprimer les coefficients deU `a l’aide du produit scalaire).

(d) On noteT la matrice degdans la base(u₁, u₂). Justifier queT est de la forme

λ α

0 µ

et queG=U T U^∗. Que vautG_S?

2. Calcul d’une borne inf´erieure

On consid`ere une matriceA∈ M₂(K)avecSp_K(A) =∅siK=R, et on d´esigne parλetµles valeurs propres deA(´eventuellement confondues).

(a) Justifier que l’ensemble{P AP⁻¹_S; P ∈GL₂(K)}poss`ede une borne inf´erieure.

(b) Montrer que, pour toute matriceB ∈S_K(A),B_S

|λ|²+|µ|². (c) Montrer qu’il existeα∈Ktel que, pour tout r´eel non nult, la matrice

λ tα

0 µ

∈S_K(A).

(d) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que inf

B∈SK(A)B_S =

|λ|²+|µ|².

(e) Montrer queAest diagonalisable dans M₂(K) si et seulement si la borne inf´erieure de l’ensemble {P AP⁻¹S ; P ∈ GL2(K)} est atteinte. (pour montrer que la condition est suffisante, on pourra utiliser le r´esultat de la question1.)

3. Application

On consid`ere une matriceA∈ M₂(K)avecSp_K(A) =∅siK=R, et on d´esigne parλetµles valeurs propres deA(´eventuellement confondues).

On suppose que la classe de similitudeS_K(A)deAest ferm´ee.

(a) Justifier qu’il existe une suite P_k

k∈Nd’´el´ements deGL₂(K) telle que, pour tout entier naturelk,P_kAP_k⁻¹_S

|λ|²+|µ|²+_k+1¹ .

´Epreuve de Math´ematiques II 3 / 4 Tournez la page S.V.P.

(b) En consid´erant une sous-suite convergente de la suite

P_kAP_k⁻¹

k∈N, dont on justifiera pr´ealablement l’existence, montrer que la matriceAest diagonalisable dansM₂(K).

IV. Cas d’une matrice r´eelle n’ayant aucune valeur propre r´eelle

On consid`ere une matriceM ∈ M2(R)n’ayant aucune valeur propre r´eelle, ce qui signifie que Sp<sub>R</sub>(M) =∅. On a d´ej`a vu que 4detM−(tr (M))²>0; on pose alorsδ: =

4detM −(tr (M))² et M= 2

δ

M− tr (M) 2 I₂

, M = 1 2

tr (M) −δ

δ tr (M)

.

On rappelle queM² =−I₂et on notef l’endomorphisme deR²canoniquement associ´e `aM. 1. On noteM =

a b

c d

; justifier que la matriceMest de la formeM =

α β

γ −α

, o `uα,βet γsont des r´eels `a pr´eciser en fonction dea,b,cetd, puis v´erifier queα²+βγ=−1.

2. Pour tout vecteur v = (x, y) de l’espace euclidien (R²,(.|.)), exprimer le produit scalaire (v|f(v)) et montrer qu’il existe un vecteur non nul e ∈ R² tel que la famille

e, f(e) soit orthogonale. Justifier quef(e)= 0.

3. Un tel vecteur e´etant choisi, on pose u₁ = _e¹ .eet u₂ = _f(e)¹ .f(e); V´erifier que(u₁, u₂)est une base orthonorm´ee de l’espace euclidien(R²,(.|.))et ´ecrire la matriceM₁ def dans cette base.

4. On noteU la matrice de passage de la base canonique(e₁, e₂)deR² `a la base(u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>); justifier queU est une matrice orthogonale et exprimer M en fonction de M<sub>1</sub> puis en d´eduire que M =U M<sub>2</sub><sup>t</sup>U o `uM₂ = 1

2

tr (M) −δ

δ tr (M)

,´etant un r´eel>0`a pr´eciser.

5. On sait, d’apr`es les parties pr´ec´edentes, que l’ensemble{P M P<sup>−1</sup><sub>S</sub>; P ∈GL<sub>2</sub>(R)}poss`ede une borne inf´erieure et que les matricesM etMsont semblables dansM2(R).

(a) Justifier que inf

B∈SR(M)B_S M_S =√

2detM.

(b) Montrer queM_2S M_S et que, plus g´en´eralement, B_S √

2detM pour toute matriceB ∈S_R(M). Que vaut alors la borne inf´erieure inf

B∈SR(M)BS?

6. Conclure que la borne inf´erieure de l’ensemble {P M P⁻¹S ; P ∈ GL2(R)}est atteinte et caract´eriser toutes les matrices deS_R(M)en lesquelles cette borne est atteinte.

7. Conclusion : Soit A une matrice r´eelle d’ordre 2; montrer que la borne inf´erieure de l’ensemble{P AP⁻¹_S ; P ∈ GL₂(R)} est atteinte si et seulement si la classe de similitude S_R(A)est ferm´ee (dansM₂(R)).

F

’ ´