Le Galvanomètre par Gilbert Gastebois

Le Galvanomètre

par Gilbert Gastebois

1. Galvanomètre balistique

1.1. Relation entre charge et déviation

B champ magnétique radial donc F toujours perpendiculaire au plan du cadre

F = N i b B

S = ab Surface du cadre Mtorsion = - C q

Relation de Newton : Jq'' = S MForces ( J Moment d'inertie du cadre )

Le cadre est à l'équilibre. On libère la charge du condensateur, le temps de décharge est très inférieur à la période du cadre ce qui fait qu'à la fin de la décharge, le cadre n'a pas tourné d'un angle significatif, il a seulement acquis une certaine vitesse angulaire q'.

J q'' = 2 MF ( On néglige le frottement de l'air sur le cadre) J q'' = 2 F a/2 = F a ( F = N i b B ( Loi de Laplace ) ) J q'' = N i b B a = NSB i ( S = ab est la surface du cadre ) On intègre la relation de 0 à l'infini, on obtient :

Jq' = NSB Q ( Q est la charge du condensateur ) q' = NSB/J Q

L'énergie cinétique Ec = ½ J q' ² se transforme en énergie potentielle Ep = ½ C qm² A l'arrêt, on a ½ C qm² = ½ J q' ² donc

qm= (J/C)^1/2 q' = NSB/(JC)^1/2 Q En posant w0 ² = C/J on obtient Q = Jw0/(NSB) qm Q est donc proportionnel à qm

B F i

C

N spires a

b

1.2. Freinage électromagnétique du cadre

1.2.1 Expression du courant induit

B champ magnétique radial donc F toujours perpendiculaire au plan du cadre

F = N i b B

S = ab Surface du cadre Mtorsion = - C q

Le cadre tourne dans un champ magnétique radial, il se crée donc une f.e.m d'induction.

Les électrons subissent la force de Lorentz f = q v B = q Ee Ee champ électromoteur la f.e.m e est l'inverse de l'intégrale de Ee le long du circuit plongé dans le champ B e = - Ee 2Nb = - 2NbB v

v = a/2 q' donc e = - 2NbB a/2 q' = - NSB q' ( S = ab est la surface du cadre ) i = e/R ( R résistance totale du circuit )

i = - NSB/R q'

1.2.2 Étude de l'oscillation du cadre

Jq'' = S MForces

J q'' = 2 MF - C q ( On néglige le frottement de l'air sur le cadre) J q'' = 2 F a/2 - C q = F a - C q ( F = N i b B ( Loi de Laplace ) ) J q'' = N i b B a - C q = NSB i - C q = - N²S²B²/R q' - C q

q'' + N²S²B²/(RJ) q' + C/J q = 0

q'' + g q' + w0² q = 0 ( En posant g = N²S²B²/(RJ) et w0² = C/J ) Solutions de l'équation ( Cliquer ici )

Si g < 2 w0 On a une oscillation pseudo-périodique Si g > 2 w0 On a un retour apériodique à l'équilibre

Si g = 2 w0 On a un retour apériodique à l'équilibre le plus rapide ( Régime critique ) La résistance critique Rc = N²S²B²/(2Jw0)

B F i

C

R

N spires a

b

1.2.3 Application numérique

On utilise un fil de cuivre de section A = 10^-8 m² enroulé sur un cadre carré de masse mo = 0,028 g et de a = 1 cm de côté sur N = 73,5 tours, placé dans un champ radial B = 0,179 T

Fil de torsion C = 1,184.10^-8 N.m/rd

La masse volumique µ = 8960 kg/m³ et la résistivité r = 1,7.10^-8 W.m La masse du cuivre mc = µ A 4 N a = 2,6.10^-4 kg

Le moment d'inertie d'un cadre carré J = m a²/6 = (mo + mc) a²/6 = 4,80.10^-9 kg.m² La résistance du cadre r = r 4 N a/A = 5 W

La pulsation du cadre w0 = (C/J)^1/2 = 1,57 rd/s Q = Jw0/(NSB) qm = 5,72.10^-6 qm = 1.10^-7 qm (en °)

Rc = N²S²B²/(2Jw0) = 115 W donc R = 110 W

2. Milliampèremètre

2.1. Relation entre intensité et déviation

B champ magnétique radial donc F toujours perpendiculaire au plan du cadre

F = N i b B

S = ab Surface du cadre

Rs << Rc donc i << I

U = Rs(I - i) = Rs I Le cadre est en régime critique.

Mtorsion = - C q

En tournant dans le champ magnétique, le cadre génère une f.e.m d'induction e = NBS q'.

Jq'' = S MForces

J q'' = 2 MF - C q ( On néglige le frottement de l'air sur le cadre) J q'' = 2 F a/2 - C q = F a - C q ( F = N i b B ( Loi de Laplace ) ) i = ( U – e )/Rc = ( RS I - NSB q' )/Rc donc F = NB b ( RS I - NSB q' )/Rc

J q'' = NBS RS/Rc I - N²S²B²/Rc q' - C q

q'' + N²S²B²/(JRc) q' + C/J q = NBS RS/(JRc ) I B

F i

C

N spires a

b

G + i I

Rs

Rc

q'' + g q' + w0² q = KI ( En posant g = N²S²B²/(JRc), K = NBS RS/(JRc ) et w0² = C/J ) On pose qe = q - K/w0² I, on obtient

qe'' + g qe' + w0² qe = 0

Étant en régime critique g = 2 w0 et partant de l'immobilité à qe = - K/w0² I On a ( Cliquer ici pour le calcul ) :

qe = - K/w0² I ( 1 + w0 t ) exp(- w0 t) q = K/w0² I ( 1 - ( 1 + w0 t ) exp(- w0 t))

Quand t tend vers l'infini, on obtient l'équilibre ( C qm = Jw0² qm = NBSRS/Rc I ) pour : qm = NBS RS/(JRcw0² ) I

D'autre part, Rc = N²S²B²/(2Jw0) donc qm = 2 RS/(NSBw0) I

2.2 Exemple :

N = 73,5 tours, B = 0,179 T, S = 10^-4 m² et w0 = 1,57 rd/s On veut que qm = en degrés soit égal à I en mA

En degrés, qm = 0,36 RS/(p NSBw0) I Il faut donc que 0,36 RS/(p NSBw0) = 1 RS = 0,0180 W ( ce qui est très inférieur à Rc qui vaut 115 W )

q = 10 ( 1 - ( 1 + 1,57t ) e^{- 1,57 t} )

I = 10 mA qm = 10 °

0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

(°)

3. Voltmètre

3.1. Relation entre tension et déviation

B champ magnétique radial donc F toujours perpendiculaire au plan du cadre

F = N i b B

S = ab Surface du cadre

Rv >> r et Rv >> R le cadre est en régime critique donc

R + r = Rc

U = Rv(i + iR) +R iR

Mtorsion = - Cq

En tournant dans le champ magnétique, le cadre génère une f.e.m d'induction e = NBS q'.

Jq'' = S MForces

J q'' = 2 MF - C q ( On néglige le frottement de l'air sur le cadre) J q'' = 2 F a/2 - C q = F a - C q ( F = N i b B ( Loi de Laplace ) ) On a R iR = r i + e et R iR = U - Rv ( i + iR ) ou iR = (U – Rv i)/(Rv + R)

En remplaçant iR et en négligeant r et R devant Rv, sachant que R + r = Rc on obtient : i = U R/(Rc Rv) - e/Rc = U R/(Rc Rv) - NSB q'/Rc donc

F = NB b (U R/(Rc Rv) - NSB q'/Rc )

J q'' = NBS (U R(Rc Rv) - N²S²B²/Rc q' - C q q'' + N²S²B²/(JRc) q' + C/J q = NBSR/(JRcRv) U

q'' + g q' + w0² q = KU ( En posant g = N²S²B²/(JRc), K = NBSR/(JRcRv) et w0² = C/J ) On pose qe = q - K/w0² U, on obtient

qe'' + g qe' + w0² qe = 0

Étant en régime critique g = 2 w0 et partant de l'immobilité à qe = - K/w0² U On a ( Cliquer ici pour le calcul ) :

qe = - K/w0² U ( 1 + w0 t ) exp(- w0 t) q = K/w0² U( 1 - ( 1 + w0 t ) exp(- w0 t))

Quand t tend vers l'infini, on obtient l'équilibre ( C qm = Jw0² qm = NBSR/(RcRv) U ) pour : qm = NBSR/(JRcRvw0²) U

B F i

C

N spires a

b

G + i

R U

R_v

r

i_R

3.2 Exemple :

N = 73,5 tours, B = 0,179 T, S = 10^-4 m² w0 = 1,57 rd/s r = 5 W et J = 4,80.10^-9 kg.m² Rc = 115 W donc R = 110 W

On veut que qm = en degrés soit égal à U en V

En degrés, qm = 180 NBSR/(p JRcRvw0²) U Il faut donc que 180 NBSR/(p JRcRvw0²) = 1 Rv = 6,11.10⁶ W ( ce qui est très supérieur à r et à R )

q = 10 ( 1 - ( 1 + 1,57t ) e^{- 1,57 t} )

U = 10 V qm = 10 °

0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

(°)

4. Wattmètre

4.1. Relation entre puissance et déviation

Un wattmètre est un voltmètre à la différence près que le champ magnétique qui baigne le cadre, au lieu d'être fixe, est produit par le courant qui passe dans le circuit. B = k I

Comme B est variable, on ne peut pas compter sur un freinage

électromagnétique, il faut ajouter un freinage mécanique fluide critique au cadre.

On reprend la théorie du voltmètre sans shunt R et avec frottement fluide Mf = - h q' : Jq'' = S MForces

J q'' = 2 MF + Mf - C q

J q'' = 2 F a/2 - h q' - C q = F a - h q' - C q ( F = N i b B ( Loi de Laplace )) On a U = Rv i + r i + e = Rv i + e car r << Rv

i = U/Rv - e/Rv = U/Rv - NSB q'/Rv donc F = NB b (U/Rv - NSB q'/Rv )

J q'' = NBS (U/Rv - NSB/Rv q') - h q' - C q = NBS U/Rv - h q' - C q car N²B²S²/Rv << h Comme B = k I, on obtient :

q'' + h/J q' + C/J q = kNS/(JRv) P car P = UI

q'' + g q' + w0² q = K P ( En posant g = h/J, K = kNS/(JRv) et w0² = C/J ) On pose qe = q - K/w0² P, on obtient

qe'' + g qe' + w0² qe = 0

Étant en régime critique g = 2 w0 ( h = 2 J w0 ) et partant de l'immobilité à qe = - K/w0² P On a ( Cliquer ici pour le calcul ) :

qe = - K/w0² P ( 1 + w0 t ) exp(- w0 t) q = K/w0² P ( 1 - ( 1 + w0 t ) exp(- w0 t))

Quand t tend vers l'infini, on obtient l'équilibre ( C qm = Jw0² qm = kNS/Rv P ) pour : qm = kNS/(JRvw0²) UI = kNS/(JRvw0²) P

i -

r

B = k I F i

C

N spires a

b

G + I

Rv

U Appareil

4.2 Cas du courant alternatif

Le wattmètre fonctionne aussi bien en courant alternatif.

On a u = Um cos(wt ) et i = Im cos (wt + f )

qm = kNS/(JRvw0²) u i = kNS/(JRvw0²) Um Im cos(wt ) cos (wt + f ) w >> w0 donc le cadre ne peut pas suivre, on obtient la moyenne de qm

qm = kNS/(JRvw0²) <Um Im cos(wt ) cos (wt + f )>sur une période

<Um Im cos(wt ) cos (wt + f )>sur une période = Um Im/2 cos f = U I cos f = P en courant alternatif

U et I étant les valeurs efficaces de u et i donc qm = kNS/(JRvw0²) P