Construction de facettes pour le polytope du sac-à-dos quadratique en 0-1

RAIRO Oper. Res.37(2003) 249–271 DOI: 10.1051/ro :2004008

CONSTRUCTION DE FACETTES POUR LE POLYTOPE DU SAC- ` A-DOS QUADRATIQUE EN 0-1

Alain Faye

et Olivier Boyer

Abstract. We build facets of the quadratic 0-1 knapsack polytope fol- lowing two different approaches. The quadratic 0-1 knapsack polytope is included in the Boolean quadric polytope introduced by Padberg [12]

for unconstrained 0-1 quadratic problem. So in a first approach, we ask the question which are the facets of the Boolean quadric polytope that are still facets of the quadratic 0-1 knapsack polytope. Results for this problem are given for the cut inequality introduced by Padberg [12].

We give necessary and sufficient conditions for which the cut inequality induces a facet of the quadratic 0-1 knapsack polytope and when these conditions are not satisfied we give a lifting of the inequality. In a differ- ent way, following the linearization technique of Adams and Sherali [1], we build facets of the quadratic 0-1 knapsack polytope from facets of the linear 0-1 knapsack polytope multiplying a linear inequality by a variablexior ¯xi=1-xi. We show that this approach gives facets of the quadratic 0-1 knapsack polytope and we extend it to multiplying an inequality that induces a facet of the quadratic 0-1 knapsack polytope.

To conclude, we give numerical results of a cutting plane algorithm involving cuts built following these two schemes.

R´esum´e. Nous construisons des familles de facettes du polytope du sac-`a-dos quadratique en 0-1 selon les deux approches suivantes. Le Boolean quadric polytope (introduit dans le cas sans contraintes par Padberg [12]) contenant le polytope du sac-`a-dos quadratique, une premi`ere approche consiste `a se demander sous quelles conditions une facette du premier est aussi une facette du second et quand ces condi- tions ne sont pas remplies quels liftings permettent d’en faire une fa- cette. Des r´eponses `a ces questions sont donn´ees dans le cas de l’in´egalit´e ((coupe))introduite par Padberg. Dans une seconde approche, suivant la m´ethode de lin´earisation d’Adams et Sherali [1], nous multiplions par une variable directe ou compl´ement´ee une facette du polytope du sac-`a-dos lin´eaire. Nous montrons que cette approche permet d’obtenir

1CEDRIC-IIE, 18 all´ee Jean Rostand, 91025 Evry Cedex, France ; e-mail :fayea@iie.cnam.fr c EDP Sciences 2004

des facettes du polytope du sac-`a-dos quadratique et nous l’´etendons par la suite `a la multiplication de facettes du sac-`a-dos quadratique lui-mˆeme. Des r´esultats num´eriques illustrent la mise en oeuvre dans un algorithme de coupes, d’in´egalit´es ainsi obtenues.

Mots Cl´es. Polytope du sac-`a-dos quadratique en 0-1, m´ethodes poly´edriques.

1. Introduction

Etant donn´´ e un grapheG = (V, E), des poids a_i ≥0 i ∈ V, b t.q. 0 < b <

i∈V a_i et des coˆuts c_i i ∈ V, c_ij = 0 (i, j) ∈ E, on d´efinit le probl`eme du sac-`a-dos quadratique en 0-1 par :

max

i∈V

c_ix_i+

(i,j)∈E

c_ijx_ix_j s.c. i∈V

a_ix_i≤b x_i∈ {0,1} i∈V.

Si E = Ø c’est-`a-dire si la fonction objectif est purement lin´eaire, on retrouve le probl`eme du sac-`a-dos lin´eaire.

Diff´erentes approches sont possibles pour aborder ce probl`eme : relaxation La- grangienne [4], d´ecomposition Lagrangienne [3,10], programmation semi-d´efinie [7], lin´earisation et m´ethode poly´edrique [2, 8, 13, 14]. Dans [5] une lin´earisation et une m´ethode de d´ecomposition sont compar´ees. On pourra trouver dans [16] un tour d’horizon approfondi de ces diverses m´ethodes. Ici nous nous int´eressons `a l’ap- proche poly´edrique.

Pour toute paire (i, j) deE, posonsy_ij =x_ix_j et consid´erons l’ensemble des so- lutions admissibles ´etenduesQKP(G) =

(x, y)∈ {0,1}^|V|+|E|:

i∈V a_ix_i≤b, y_ij = x_ix_j (i, j) ∈ E

puis l’enveloppe convexe de ces solutions admissibles P_QKP(G) = Conv (QKP(G)).

P_QKP(G) est le polytope du sac-`a-dos quadratique. Si E = Ø, on retrouve le polytope du sac-`a-dos lin´eaire.

Le probl`eme du sac-`a-dos quadratique s’´ecrit alors comme le probl`eme lin´eaire suivant :

max

i∈V

c_ix_i+

(i,j)∈E

c_ijy_ij s.c.(x, y)∈P_QKP(G) car l’optimum de ce probl`eme est atteint en un point deQKP(G).

Lorsque b =

i∈V a_i, on retrouve le Boolean quadric polytope introduit par Padberg [12] dans le cas du probl`eme quadratique en 0-1 sans contrainte.P_QKP(G) est donc inclus dans leBoolean quadric polytope quelle que soit la valeur deb.

Johnsonet al. [8] ont introduit le polytope du sac-`a-dos quadratique en 1993 pour r´esoudre le sous-probl`eme d’un algorithme de g´en´eration de colonnes pour un probl`eme de partition de graphe. Ils ont propos´e comme in´egalit´e valide, l’in´egalit´e

“arbre” construite sur un sous-arbre deGdont les sommets forment une couverture (c’est-`a-dire tel que la somme des poids associ´es aux sommets d´epasseb). Ils ont montr´e que cette in´egalit´e induit une facette du polytope du sac-`a-dos quadratique d´efini sur le sous-graphe deGinduit par les sommets de l’arbre. Rader [14] a ´etudi´e les liftings de cette in´egalit´e pour en faire une facette du polytope du sac-`a-dos quadratique d´efini sur le grapheGtout entier.

Notons aussi le travail de Mehrotra [9] qui a ´etudi´e le polytope dans le cas particulier o`u tous les poids sont ´egaux `a 1.

Ici nous nous int´eressons `a la construction de facettes du polytope du sac-`a-dos quadratique selon les 2 approches suivantes.

De fa¸con g´en´erale, une premi`ere approche consiste `a se demander sous quelles conditions les facettes du Boolean quadric polytope sont aussi des facettes de P_QKP(G). Des r´esultats sont donn´es pour l’in´egalit´e((coupe))introduite par Pad- berg [12]. Nous donnons les conditions sous lesquelles cette in´egalit´e induit une facette deP_QKP(G) et quand ces conditions ne sont pas remplies, nous donnons un lifting particulier de l’in´egalit´e qui permet d’en faire une facette deP_QKP(G).

Adams et Sherali [1] ont propos´e une lin´earisation pour les programmes qua- dratiques en 0-1 sous contraintes lin´eaires obtenue en multipliant les contraintes par les variablesx_i et leurs compl´ements ¯x_i = 1−x_i. Cette approche a beaucoup

´

et´e utilis´ee car elle fournit d’assez bonnes relaxations (cf. par exemple [5, 15]).

Nous montrons qu’en appliquant cette m´ethode `a des facettes du polytope du sac-`a-dos lin´eaire construit sur le voisinage du sommet i, on obtient des facettes de P_QKP(G). Cette approche est ensuite ´etendue `a la multiplication de facettes du sac-`a-dos quadratique d´efini sur le sous-graphe de G induit par le retrait du sommet i. Nous donnons des conditions sous lesquelles cette m´ethode permet de construire des facettes de P_QKP(G). ´A titre d’exemple, nous appliquons ces r´esultats aux in´egalit´es de couverture induisant des facettes du polytope du sac-

`

a-dos lin´eaire et nous obtenons quatre familles de facettes deP_QKP(G).

Finalement nous donnons des r´esultats num´eriques illustrant l’utilisation des in´egalit´es ainsi construites dans un algorithme de coupes pour des tailles de probl`emes (i.e. cardinal deV) allant de 50 `a 150 variables.

Dans la suite, nous travaillerons toujours sous l’hypoth`ese a_i≤b ∀i∈V

a_i+a_j≤b ∀(i, j)∈E.

Noter que la premi`ere condition n’est pas impliqu´ee par la seconde dans le cas o`u iest un sommet isol´e deG. Sous ces conditionsP_QKP(G) est de dimension pleine c’est-`a-dire ´egale `a|V|+|E|[8].

Donnons quelques notations et d´efinitions que nous utiliserons pour les graphes.

Pour toutV⊂V, on d´efinitE(V) ={(i, j)∈E: i, j∈V}. Pour tout V, V ⊂ V disjoints, on d´efinit (V:V) =

(i, j)∈ E : i ∈ V, j∈V

.

Pour toutE⊂E, on d´efinitV(E) ={i∈V : ∃e= (i, j)∈E}.

Le graphe (V, E(V)) est le sous-graphe deGinduit parV.

Un graphe partiel deG= (V, E) est un graphe de la forme (V, E) avecE ⊂E.

Etant donn´´ ea∈V, Γ (a) ={i∈V : ∃e= (a, i)∈E}est l’ensemble des voisins deaetδ(a) ={(a, i)∈E}est l’ensemble des arˆetes incidentes `aa.

Rappelons quelques d´efinitions usuelles concernant les polytopes. Soitf une fonc- tion affine, on dit que l’in´egalit´ef(x, y)≤0 est valide pourP_QKP(G) siP_QKP(G) ⊂ {(x, y) : f(x, y)≤0}. Noter que l’inclusionQKP(G) ⊂ {(x, y) : f(x, y)≤0} en- traˆıne l’inclusion du polytope par d´efinition de l’enveloppe convexe.

Une in´egalit´e valide f(x, y)≤ 0 induit une face de P_QKP(G) `a savoir la face d´efinie par P<sub>QKP</sub>(G) ∩ ({(x, y) : f(x, y) = 0}. Une facette est une face propre maximale c’est-`a-dire contenue dans aucune autre face hors-mis le polytope lui- mˆeme.

On notera u(x, y) = u0 +

i∈V u_ix_i +

(i,j)∈Eu_ijy_ij = 0 l’´equation d’un hyperplan contenant la face induite par une in´egalit´ef(x, y)≤0 c’est-`a-dire t.q.

f(x, y) = 0 ⇒ u(x, y) = 0 pour tout (x, y) ∈ P_QKP(G). Le polytope ´etant de dimension pleine, l’in´egalit´e f(x, y) ≤ 0 induit une facette de P_QKP(G) ssi il existe un scalaireµt.q.u=µf ([11], p. 91, Th. 3.6.).

Etant donn´´ eU un sous-ensemble deV, on notera (x, y)^U le point deQKP(G) t.q.x_i = 1 ssii∈U ety_ij= 1 ssi (i, j)∈E(U).

2. In´ egalit´ e coupe

Le polytope du sac-`a-dos quadratique ´etant inclus dans leBoolean quadric poly- tope pour lequel une bonne connaissance faciale est d´ej`a acquise, il est l´egitime de se demander sous quelles conditions une facette de ce dernier est aussi une facette du premier et lorsque ces conditions ne sont pas remplies quels sont les liftings permettant d’en faire une facette. Nous donnons des r´eponses `a ces questions dans le cas de l’in´egalit´e((coupe)).

SoientS,T 2 sous-ensembles deV non vides et disjoints t.q. le sous-graphe in- duit parS∪T soit une clique deG. L’in´egalit´e((coupe))est d´efinie parcut^S,T(x, y)

=

i∈Sx_i+

(i,j)∈E(S)y_ij+

(i,j)∈E(T)y_ij−

(i,j)∈(S:T)y_ij≥0 [12].

Les points (x, y) deQKP(G) qui saturent cette in´egalit´e v´erifient l’une des deux conditions,

i∈Sx_i =

i∈Tx_i ou

i∈Sx_i=

i∈Tx_i−1.

On suppose|T| ≥2. L’in´egalit´e((coupe))induit une facette duBoolean quadric polytope. Pour le polytope du sac-`a-dos quadratique ce n’est plus toujours le cas.

On notetmin 1, tmin 2, tmax 1, tmax 2les indices deTcorrespondant respectivement aux 2 plus petits des poids de T avec a_{tmin 1} ≤a_{tmin 2} et aux 2 plus grands avec a_{tmax 1} ≥a_{tmax 2}.

On notesmin 1, smax 1, smax 2 les indices deS correspondant respectivement au plus petit des poids deS et pour|S| ≥2 aux 2 plus grands aveca_{smax 1}≥a_{smax 2}. Proposition 2.1. cut^S,T(x, y)≥0induit une facette deP_QKP(S∪T, E(S∪T)) ssi

• C1 : a_{tmax 1}+a_{tmax 2}+a_{smin 1} ≤b,

• C2 : a_{smax 1}+a_{smax 2}+a_{tmin 1}+a_{tmin 2}≤b si|S| ≥2.

Proposition 2.2. cut^S,T(x, y)≥0induit une facette deP_QKP(G)ssi C1, C2 de la proposition 2.1 et C3 : ∀(s, i)∈E avecs∈S eti∈V −S∪T

a_s+a_i+a_{tmin 1}≤b.

D´emonstration de la proposition 2.1. NotonsF cut^S,T

la face deP_QKP S∪T, E(S∪T)

induite par l’in´egalit´ecut^S,T(x, y)≥0.

Sens suffisant.

Soitu(x, y) = 0 l’´equation d’un hyperplan contenantF cut^S,T

. Montrons que u=µcut^S,T.

Les ensemblesU suivants sont tels que les points (x, y)^U associ´es appartiennent

`

a F cut^S,T

et satisfont doncu(x, y)^U = 0.

SoitU = Ø, on obtientu0= 0.

j∈T soitU ={j}. On obtientu_j= 0.

a)i∈S, j∈T soitU ={i, j}. On obtientu_i+u_ij= 0 soitu_ij=−u_i.

b) j ∈ T, k ∈ T (j = k) soit U = {j, k, smin 1}. C1 implique l’existence de (x, y)^U et on obtientu_jk=u_{smin 1}.

Si |S| = 1 on a finalementu_jk =u_{smin 1} =−u_{smin 1j} =µ ∀j, k∈T (j =k) et c’est termin´e.

Si |S| ≥2.i ∈S soit U ={i, tmin 1, tmin 2}. C2 implique l’existence de (x, y)^U et on obtientu_{tmin 1tmin 2} =u_i.

En prenantj =tmin 1, k =tmin 2 dans b) on obtientu_i =u_{smin 1} et finalement u_jk=u_i=µ ∀i∈S, ∀j, k∈T (j=k). Par a) on obtientu_ij=−µ ∀i∈S, j∈T.

i, h ∈ S soit U ={i, h, tmin 1, tmin 2}. C2 implique l’existence de (x, y)^U et on obtientu_ih=µ.

Sens n´ecessaire.

Si C1 n’est pas satisfaite alorsF cut^S,T

est incluse dans l’hyperplan d’´equation y_{tmax 1tmax 2} = 0 et commecut^S,T =µy_{tmax 1tmax 2},F cut^S,T

n’est pas une facette deP_QKP(S∪T, E(S∪T)).

Pour|S| ≥ 2, si C2 n’est pas satisfaite alors F cut^S,T

est incluse dans l’hy- perplan d’´equationy_{smax 1smax 2} = 0 et comme cut^S,T =µy_{smax 1smax 2}, F cut^S,T n’est pas une facette deP_QKP(S∪T, E(S∪T)).

D´emonstration de la proposition 2.2. Notons F cut^S,T

la face de P_QKP(G) in- duite par l’in´egalit´ecut^S,T(x, y)≥0.

Sens suffisant.

Soitu(x, y) = 0 l’´equation d’un hyperplan contenantF cut^S,T

. Montrons que u=µcut^S,T.

De la proposition 2.1 on peut d´ej`a d´eduire que u(x, y) = µcut^S,T(x, y) +

i∈V−S∪Tu_ix_i+

(i,j)∈E−E(S∪T)u_ijy_ij. Cherchons les coefficients deurestants.

Pour cela construisons les ensembles U tels que les points (x, y)^U associ´es appar- tiennent `aF cut^S,T

et satisfont doncu(x, y)^U = 0.

i∈V −S∪T soitU ={i}. On obtientu_i= 0.

(t, i)∈E avect∈T et i∈V −S∪T soitU ={t, i}. On obtientu_ti= 0.

(s, i) ∈ E avec s ∈ S et i ∈ V −S ∪T soit U = {s, i, tmin 1}. C3 entraine l’existence de (x, y)^U et on obtientu_si= 0.

(i, j)∈E(V −S∪T) soitU ={i, j}. On obtientu_ij= 0.

Sens n´ecessaire.

C1, C2 sont n´ecessaires d’apr`es la proposition 2.1.

S’il existe une arˆete (s, i) qui ne satisfait pas C3 alors F cut^S,T

est incluse dans l’hyperplan d’´equationy_si= 0 et commecut^S,T =µy_si,F cut^S,T

n’est pas

une facette deP_QKP(G).

On consid`ere une in´egalit´ecut^S,T(x, y)≥0 qui induit une facette deP_QKP S∪ T, E(S∪T)

le polytope du sac-`a-dos quadratique d´efini sur le sous-graphe deG induit parS∪T. On s’int´eresse alors au plus “grand” grapheG contenu dansG t.q.cut<sup>S,T</sup>(x, y)≥0 induise une facette deP<sub>QKP</sub>(G). D’apr`es la proposition 2.2, Gest le grapheGauquel on a retir´e les arˆetes (s, i)∈Eavecs∈Seti∈V−S∪T qui ne v´erifient pas C3 c’est-`a-dire t.q.a_s+a_i+a_{tmin 1}> b. On voudrait alors lifter l’in´egalit´ecut^S,T(x, y)≥0 induisant une facette deP_QKP(G) pour obtenir une facette deP_QKP(G).

Proposition 2.3. Etant donn´´ ee une in´egalit´e cut^S,T(x, y) ≥ 0 qui induit une facette de P_QKP S∪T, E(S∪T)

, soitG = (V, E)le graphe partiel de G t.q.

E ⊂E soit maximal et t.q. cut^S,T(x, y) ≥0 induise une facette de P_QKP(G).

Alors il n’existe qu’une in´egalit´e lift´ee de cut^S,T(x, y)≥0 qui induise une facette de P_QKP(G)`a savoircut^S,T(x, y)−

e∈E−Ey_e≥0.

Pour d´emontrer cette proposition, nous avons besoin du lemme suivant.

Lemme. Si cut^S,T(x, y) ≥ 0 induit une facette de P_QKP(S∪T, E(S∪T)) et si (i, s), (j, s) sont 2 arˆetes de G avec i, j dans V −S ∪T et s dans S t.q.

a_s+a_i+a_{tmin 1} > beta_s+a_j+a_{tmin 1}> balors a_s+a_i+a_j> b.

D´emonstration.

a) Supposons|S|= 1.S contient un unique ´el´ementsqui est aussi smin 1.

cut^S,T(x, y) ≥ 0 induisant une facette de P_QKP(S∪T, E(S∪T)), on a n´ecessairement C1a_{tmax 1}+a_{tmax 2} +a_s≤b.

Supposonsa_s+a_i+a_j ≤b (∗). Alors a_s+a_i+a_{tmin 1} > b => a_j < a_{tmin 1} ≤ a_{tmax 2}. En rempla¸cant dans C1, on obtienta_s+a_j+a_{tmax 1} ≤bqui est en contrac- diction aveca_s+a_j+a_{tmin 1}> b. Donc (∗) est impossible.

b) Supposons|S| ≥2.

cut^S,T(x, y) ≥ 0 induisant une facette de P_QKP(S∪T, E(S∪T)), on a n´ecessairement C2a_{smax 1}+a_{smax 2}+a_{tmin 1}+a_{tmin 2}≤b.

Figure 1. D´emonstration de la proposition 2.3 : ensemble H d’arˆetes deE−E.

Supposonsa_s+a_i+a_j≤b(∗). Alorsa_s+a_i+a_{tmin 1}> b=> a_j< a_{tmin 1}≤a_{tmin 2}. En rempla¸cant dans C2, on obtient a_{smax 1}+a_{smax 2}+a_{tmin 1}+a_j ≤b qui est en contradiction aveca_s+a_j+a_{tmin 1}> b. Donc (∗) est impossible.

D´emonstration de la proposition 2.3. On construit les in´egalit´es du poly`edre PL dont les points extrˆemesb∈R^|E−E|donnent les liftings decut^S,T par l’expression cut^S,T(x, y) +

e∈E−Eb_ey_e (cf.Zemel [17]).

E´etant maximal, pour toute arˆete (s, i)∈E−Eon aa_s+a_i+a_{tmin 1}> bsinon selon C3 (Prop. 2.2) (s, i) serait dansE. SoitH ⊂E−E t.q.

i∈V(H)a_i≤b.

NotonsS_H =V(H)∩Set (V −S∪T)_H =V(H)∩(V −S∪T) (cf.Fig. 1).

On a

i∈V(H)a_i =

i∈SHa_i+

i∈(V−S∪T)_Ha_i (∗). Chaque sommet de S_H a un seul voisin dans le graphe (V(H), H) car sinon la somme (∗) contiendrait a_s+a_i+a_javec (s, i),(s, j)∈H et d’apr`es le lemme alors la somme (∗) d´epasserait strictementb.

Notonsi_s∈(V −S∪T)_H le voisin de s∈S_H dans le graphe (V (H), H).

L’in´egalit´e du poly`edre PL associ´ee `a H s’´ecrit :

h∈Hb_h+z_H^∗ ≥0 o`uz_H^∗ = min

cut^S,T(x, y) :

(x, y)∈QKP(G) t.q.x_i= 1i∈V(H)

· Etant donn´´ e que pour toute arˆete (s, i)∈H on a a_s+a_i+a_{tmin 1}> b, tout point r´ealisant le min dans z_H^∗ a ses coordonn´ees x_t nulles pour t ∈ T et finalement z_H^∗ = ¹₂|S_H|(|S_H|+ 1).

L’in´egalit´e associ´ee `a H est donc

s∈SHb_{s is}+¹₂|S_H|(|S_H|+ 1)≥0.

Pour H = {(s, i_s)} de cardinal 1 l’in´egalit´e est b_{s is} + 1 ≥ 0. Une in´egalit´e associ´ee `a un H de cardinal ≥2 est domin´ee par la somme des in´egalit´es as- soci´ees aux singletons {(s, i_s)} form´es des ´el´ements (s, i_s) de H puisque |S_H| ≤

1

2|S_H|(|S_H|+ 1). Donc les in´egalit´es associ´ees `a unH de cardinal plus grand que 1 peuvent ˆetre retir´ees de la description du poly`edre PL qui est finalement d´ecrit par les in´egalit´es de la forme b_si+ 1 ≥0 (s, i)∈ E−E et dont l’unique point extrˆeme est le point dont toutes les coordonn´eesb_sivalent -1.

Exemple. Soit le probl`eme de sac-`a-dos quadratique d´efini par le grapheGsuivant

et la contraintex1+x2+x3+ 2x4+ 2x5+ 6x6+ 6x7≤8.

L’in´egalit´ecut^S,T(x, y)≥0 construite avecS={1,2,3}, T ={4,5}induit une facette deP_QKP(G) o`uG est le graphe partiel maximal obtenu en enlevant `aG les arˆetes (1, 6), (3, 6), (2, 7) et (3, 7) qui ne satisfont pas C3. Les in´egalit´es du poly`edre PL (cf.la d´emonstration de la proposition. 2.3 et [17]) sont :

b16+ 1≥0 b27+ 1≥0 b36+ 1≥0 b37+ 1≥0 b16+b36+ 3≥0 b27+b37+ 3≥0.

Apr`es ´elimination des contraintes redondantes, on obtient : b16+ 1≥0 b27+ 1≥0 b36+ 1≥0 b37+ 1≥0.

Ce poly`edre comporte un unique point extrˆeme de coordonn´ees b16=−1 b27=−1

b36=−1 b37=−1

et l’unique lifting de l’in´egalit´e((coupe))estcut^S,T(x, y)−y16−y36−y27−y37≥0.

Il est possible d’obtenir d’autres liftings de l’in´egalit´e((coupe))en partant d’un sous-graphe de Gplutˆot que d’un graphe partiel. Par exemple ici si l’on part du sous-grapheG induit parS etT, les in´egalit´es du poly`edre PL sont :

b6≥0 b7≥0

b6+b16+ 1≥0 b7+b27+ 1≥0 b6+b36+ 1≥0 b7+b37+ 1≥0 b6+b16+b36+ 3≥0 b7+b27+b37+ 3≥0.

Ce poly`edre a des points extrˆemes t.q. b6 = 0 ou b7 = 0 comme par exemple le point de coordonn´ees

b6= 1 b7= 1 b16=−2 b27=−2 b36=−2 b37=−2

qui donne le lifting cut^S,T(x, y) +x6−2y16−2y36+x7−2y27−2y37≥0.

Comme on le voit sur cet exemple le poly`edre a dans ce cas une structure plus complexe.

3. Multiplication de facettes du sac-` a-dos lin´ eaire par une variable

Adams et Sherali [1] proposent une m´ethode de lin´earisation de programme quadratique en 0-1 dans laquelle les contraintes lin´eaires sont multipli´ees par les variables et leurs compl´ements `a 1. Nous allons voir ici que cette approche permet de construire des facettes du polytope du sac-`a-dos quadratique `a partir de facettes du polytope du sac-`a-dos lin´eaire. Les in´egalit´es construites peuvent ˆetre vues comme le produit d’une variablex_a ou de son compl´ement´e ¯x_a = 1−x_a par une in´egalit´e valide du polytope du sac-`a-dos lin´eaire construit sur le voisinage du sommeta.

Etant donn´´ ea∈V, on d´efinit : KP^xa =

x∈ {0,1}^|Γ(a)|:

i∈Γ(a)a_ix_i ≤b−a_a

KP^x¯a=

x∈ {0,1}^|Γ(a)|:

i∈Γ(a)a_ix_i≤b et les polytopes associ´esP_KP^xa = ConvKP^xa etP_KP^x¯a = ConvKP^x¯a.

P_KP^xa etP_KP^x¯a sont les polytopes construits sur le voisinage du sommetaen fixant resp.x_a = 1 etx_a= 0.

Notons que P_KP^x¯a est de dimension pleine. Il en est de mˆeme pour P_KP^xa car a_i≤b−a_a ∀i∈Γ(a).

3.1. Construction d’in´egalit´es valides Soitg(x) =q_a+

i∈Γ(a)q_ix_i≤0 une in´egalit´e valide pourP_KP^xa alors l’in´egalit´e f(x, y) =q_ax_a+

i∈Γ(a)q_iy_ia≤0 est valide pourP_QKP(G). Il suffit de le v´erifier surQKP(G) :

•six_a= 1 on a y_ia=x_i et on retouveg(x)≤0 qui est valide pourP_KP^xa ;

•six_a= 0 on a y_ia=0 et on obtient 0≤0.

Soitg(x) =q_a+

i∈Γ(a)q_ix_i ≤0 une in´egalit´e valide pourP_KP^x¯a alors l’in´egalit´e f(x, y) =q_a(1−x_a) +

i∈Γ(a)q_i(x_i−y_ia)≤0 est valide pourP_QKP(G). Il suffit de le v´erifier surQKP(G) :

•six_a= 0 on a y_ia= 0 et on retouveg(x)≤0 qui est valide pourP_KP^x¯a ;

•six_a= 1 on a y_ia=x_i et on obtient 0≤0.

L’in´egalit´ef(x, y)≤0 peut s’interpr´eter comme ´etant la lin´earisation de l’in´egalit´e obtenue resp. par les produitsx_a×g(x)≤0 et (1−x_a)×g(x)≤0.

Ces in´egalit´es induisent des facettes `a condition de partir d’in´egalit´es induisant des facettes.

Proposition 3.1. f(x, y) = q_ax_a +

i∈Γ(a)q_iy_ia ≤ 0 induit une facette de P_QKP(G)ssig(x) =q_a+

i∈Γ(a)q_ix_i≤0 induit une facette deP_KP^xa . Proposition 3.2. Sous l’hypoth`eseH =

a_a+a_i≤b i∈V − {a} a_a+a_i+a_j≤b (i, j)∈E−δ(a) , f(x, y) =q_a(1−x_a) +

i∈Γ(a)q_i(x_i−y_ia)≤0 induit une facette de P_QKP(G) ssig(x) =q_a+

i∈Γ(a)q_ix_i≤0 induit une facette deP_KP^x¯a . D´emonstration de la proposition 3.1.

Sens suffisant.

Soitu(x, y) = 0 l’´equation d’un hyperplan contenant la face induite par l’in´egalit´e f(x, y)≤0.

Les points (x, y)^U d´efinis par les ensemblesU suivants, sont dansQKP(G) et satisfont l’´egalit´ef(x, y) = 0 et donc u(x, y) = 0.

AvecU =∅, on obtientu0= 0.

AvecU ={i} i∈V − {a}, on obtientu0+u_i= 0 et finalement u_i= 0.

AvecU ={i, j} (i, j)∈E−δ(a), on obtientu0+u_i+u_j+u_ij = 0 et finalement u_ij= 0.

Notons ˆxles points deKP^xa satisfaisant l’´egalit´eg(ˆx) = 0. Consid´erons mainte- nant les points (x, y) deQKP(G) d´efinis par



 x_a= 1

x_i= ˆx_i i∈Γ(a) x_i= 0 i /∈ {a} ∪Γ(a).

Alors y_ia = ˆx_i pour tout i ∈ Γ(a). Ces points satisfont f(x, y) = 0 et donc u(x, y) =u_a+

i∈Γ(a)u_iay_ia=u_a+

i∈Γ(a)u_iaxˆ_i= 0. Comme l’in´egalit´eg(x)≤0 induit une facette de P_KP^xa , il existe µ t.q. u_a = µq_a et u_ia = µq_i. Finalement

u=µf.

D´emonstration de la proposition 3.2.

Sens suffisant.

Soit u(x, y) = 0 l’´equation d’un hyperplan contenant la face induite par l’in´egalit´e f(x, y) ≤ 0. Les points (x, y)^U d´efinis par les ensembles U suivants, sont sous l’hypoth`eseH, dansQKP(G) et satisfont l’´egalit´ef(x, y) = 0 et donc u(x, y) = 0.

AvecU ={a}, on obtientu0+u_a= 0.

AvecU ={a, i} i∈V − {a}, on obtientu0+u_a+u_i+u_ia= 0 et finalement u_i=−u_iaen posantu_ia= 0 si (i, a)∈/E.

AvecU ={a, i, j}(i, j)∈E−δ(a), on obtientu0+u_a+u_i+u_j+u_ia+u_ja+u_ij= 0 et finalementu_ij= 0.

Notons ˆxles points deKP^x¯a satisfaisant l’´egalit´eg(ˆx) = 0. Consid´erons main- tenant les points (x, y) deQKP(G) d´efinis par



 x_a= 0

x_i= ˆx_i i∈Γ(a) x_i= 0 i /∈ {a} ∪Γ(a).

Alorsy_ia=0 pour touti∈Γ(a). Ces points satisfontf(x, y) = 0 et doncu(x, y) = u0+

i∈Γ(a)u_ixˆ_i =−u_a−

i∈Γ(a)u_iaxˆ_i = 0. Comme l’in´egalit´eg(x)≤0 induit une facette de P_KP^x¯a , il existeµ t.q.u0=−u_a =µq_a et u_i=-u_ia=µq_i pour tout

i∈Γ(a). Finalementu=µf.

D´emonstration des propositions 3.1 et 3.2 . Sens n´ecessaire.

Supposons que l’in´egalit´eg(x)≤0 n’induise pas une facette deP_KP^xa (resp.P_KP^x¯a ).

Si g = 0 alorsf = 0 et la face induite par l’in´egalit´ef(x, y)≤0 n’est autre que P_QKP(G). Supposonsg= 0 alors il existeg(x) =q_a+

i∈Γ(a)q_ix_i=µg(x) pour tout r´eel µ t.q. la face de P_KP^xa (resp. P_KP^¯xa) induite par l’in´egalit´eg(x) ≤ 0 est contenue dans l’hyperplan d’´equationg(x) = 0. Alors la face deP_QKP(G) induite par l’in´egalit´e f(x, y) ≤ 0 est contenue dans l’hyperplan d’´equation f(x, y) = q_ax_a+

i∈Γ(a)q_iy_ia= 0 (resp.f(x, y) =q_a(1−x_a) +

i∈Γ(a)q_i(x_i−y_ia) = 0) et commef =µf pour tout r´eelµl’in´egalit´ef(x, y)≤0 n’induit pas une facette

deP_QKP(G)

3.2. Application `a l’in´egalit´e de couverture

Les in´egalit´es de couvertures sont souvent utilis´ees pour la r´esolution du sac-`a- dos lin´eaire (cf.par exemple la publication r´ecente [6]). Nous donnons ici quelques rappels sur cette in´egalit´e puis nous appliquons les pr´ec´edentes propositions.

Consid´erons un ensemble N de n indices et le polytope du sac-`a-dos lin´eaire d´efini parP_N,b= Conv

x∈ {0,1}ⁿ:

i∈Na_ix_i≤b

avec 0≤a_i ≤b i∈N.

Soit un entier αpositif etS ⊂N t.q. |S| ≥α+ 1. Maintenant supposons que tout S ⊂S t.q.|S| ≥α+ 1 soit une couverture c’est-`a-dire v´erifie

i∈Sa_i > b alors l’in´egalit´e

i∈Sx_i≤αest valide pourP_N,b. Cette in´egalit´e induit une facette deP_N,b sous certaines conditions.

Pour simplifier les notations, supposonsS={1,2,· · ·, s}eta1≤a2≤ · · · ≤a_s. L’in´egalit´e

i∈Sx_i≤αinduit une facette deP_N,bssi







a1+· · ·+a_α−1+a_s≤b (C1) a2+· · ·+a_α+1≤b (C2) a1+· · ·+a_α+ max

i∈N−Sa_i≤b (C3) (par conventiona1+· · ·+a0= 0).

Les ensemblesSsatisfaisant ces conditions sont des extensions de couverture mini- male avec C = {1, ..., α + 1} la couverture minimale et S = E(C) = C∪ {i∈N\C t.q. a_i≥a_j∀j∈C} son extension (cf.[11] p. 266).

Pour S et α v´erifiant les d´efinitions ci-dessus, on dira que S est une (α+1)- configuration deP_N,b.

A la lumi`` ere de ces rappels, appliquons les propositions 3.1 et 3.2 pour obtenir des familles de facettes deP_QKP(G).

Soitt∈V,S ⊂Γ (t) et un entier positif αt.q. S soit une (α+1)-configuration du polytopeP_KP^xt , alors l’in´egalit´e

i∈Sy_it≤αx_t est valide pour P_QKP(G) (cf.

Sect. 3.1). De plus nous avons le r´esultat suivant.

Proposition 3.2.1. Supposons S = {1,2,· · ·, s} et a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ a_s (s ≥ α+1), alors l’in´egalit´e

i∈Sy_it≤αx_t induit une facette deP_QKP(G)ssi







a1+· · ·+a_α−1+a_s≤b−a_t (C1.1) a2+· · ·+a_α+1≤b−a_t (C1.2) a1+· · ·+a_α+ max

i∈Γ(t)−Sa_i ≤b−a_t. (C1.3) D´emonstration. D’apr`es le rappel,

i∈Sx_i ≤αinduit une facette pour le poly- tope du sac-`a-dos lin´eaireP_KP^xt =PΓ(t), b−at ssi C1.1, C1.2, C1.3. On applique alors

la proposition 3.1.

On retrouve l’in´egalit´e introduite par Rader [13] et qui avait montr´e qu’elle induit une facette du polytope du sac-`a-dos quadratique construit sur le sous- graphe deGinduit parS∪ {t}. Pour|S|=α+ 1, on retrouve l’in´egalit´e “´etoile”

introduite par Johnsonet al.[8].

On dira que le couplet, S est une (1, α+1)-configuration deP_QKP(G).

Maintenant supposons que S soit une (α+1)-configuration du polytope P_KP^¯xt , alors l’in´egalit´e

i∈S(x_i−y_it)≤α(1−x_t) est valide pourP_QKP(G) (cf.Sect. 3.1).

De plus nous avons le r´esultat suivant.

Proposition 3.2.2. Soit la conditionH=

a_t+a_i≤b i∈V − {t} a_t+a_i+a_j ≤b (i, j)∈E−δ(t) . SupposonsS={1,2,· · ·, s}et a1≤a2≤ · · · ≤a_s(s≥α+1) et H v´erifi´ee, alors l’in´egalit´e

i∈S(x_i−y_it)≤α(1−x_t)induit une facette de P_QKP(G) ssi







a1+· · ·+a_α−1+a_s≤b (C2.1) a2+· · ·+a_α+1≤b (C2.2) a1+· · ·+a_α+ max

i∈Γ(t)−Sa_i≤b. (C2.3) D´emonstration. D’apr`es le rappel

i∈Sx_i ≤αinduit une facette pour le polytope du sac-`a-dos lin´eaire P_KP^x¯t = P_{Γ(t), b} ssi C2.1, C2.2, C2.3. On applique alors la

proposition 3.2.

On dira que le couplet,S est une (0,α+1)-configuration deP_QKP(G).

4. Multiplication de facettes du sac-` a-dos quadratique par une variable

Les propositions 4.1 et 4.2 qui suivent, permettent de construire de nouvelles in´egalit´es induisant des facettes deP_QKP(G) `a partir d’in´egalit´es induisant des facettes d’un polytopeP_QKP(G) d´efini sur un sous-grapheG deG.

Plus pr´ecis´ement, les in´egalit´es construites peuvent ˆetre vues comme le produit d’une variablex_a ou de son compl´ement´e ¯x_a= 1−x_a par une in´egalit´e valide du polytope induit par le sous-graphe G− {a}, les termes cubiques z_{a i j} =x_ax_ix_j engendr´es ´etant implicitement ´elimin´es `a l’aide des in´egalit´es de la forme z_{a i j} ≤ y_ai,z_{a i j}≤y_aj ouz_{a i j}≤y_ij.

Etant donn´´ ea∈ V, on consid`ereG− {a} = (V − {a}, E(V − {a})) le sous- graphe deGinduit par le retrait deaet on d´efinit :

QKP^xa(G) =

(x, y)∈ {0,1}^{|V|−1+|E|−|δ(a)|}:

i∈V−{a}a_ix_i ≤b−a_a, y_ij =x_ix_j (i, j)∈E(V − {a}) QKP^x¯a(G) =

(x, y)∈ {0,1}^{|V|−1+|E|−|δ(a)|}:

i∈V−{a}a_ix_i ≤b, y_ij =x_ix_j (i, j)∈E(V − {a})

et les polytopes associ´es P_QKP^xa (G) = ConvQKP^xa(G) et P_QKP^x¯a (G) = ConvQKP^x¯a(G).

Les points extrˆemesQKP^xa(G), resp. QKP^x¯a(G), de ces polytopes sont les points de QKP(G) tels que x_a = 1, resp. x_a = 0, et que l’on proj`ete sur les variablesxindex´ees dansV − {a}et les variablesy index´ees dansE−δ(a).

4.1. Multiplication d’une facette par une variable directe

Soita∈V, V ⊂Γ (a), E ⊂E−δ(a), o`uV, E est le support de l’in´egalit´e valide pourP_QKP^xa (G) :

f(x, y) =q_a+

i∈Vq_ix_i+

(i,j)∈Eq_ijy_ij≥0 avecq_ij>0 ∀(i, j)∈E, q_i= 0 ∀i∈V.

L’in´egalit´eh(x, y) =q_ax_a+

i∈Vq_iy_ia+

(i,j)∈Eq_ijy_ij ≥0 est valide pour P_QKP(G). Il suffit de le v´erifier surQKP(G) :

•six_a= 1 on retouvef(x, y)≥0 qui est valide pourP_QKP^xa (G) ;

•six_a= 0 on obtient

(i,j)∈Eq_ijy_ij ≥0 qui est valide carq_ij >0 ∀(i, j)∈E.